Liceo Catoale Lugao Viale C. Cattaeo 4 CH-69 Lugao Lugao, 3 giugo 9 ESME SCRITTO DI MTURITÀ 8/9 OPZIONE SPECIFIC FISIC ED PPLICZIONI DELL MTEMTIC Durata dell esae: Tre ore (dalle 8. alle.) Sussidi aessi: -calcolatrice tascabile seza schero grafico, o prograabile e seza calcolo sibolico. -riassuto persoale aoscritto di 5 fogli 4 al assio. -raccolte di forule (testi ufficiali). Valutazioe: I quattro problei hao lo stesso peso ai fii della valutazioe. Co l equivalete di tre esercizi risolti correttaete e itegralete si ottiee il voto 6.
/ Decadieti i cascata Spesso u ucleo prodotto i u decadieto radioattivo è a sua volta istabile. I vari decadieti possoo quidi essere raggruppati i faiglie che si cocludoo quado viee raggiuto u isotopo stabile. La serie U-Ra si coclude co u isotopo stabile del piobo dopo iuerevoli decadieti: 9U 38 α 9Th 34 9Pa 34 83i 84Po α 8Pb 6 Cosideriao la cascata degli ultii tre eleeti: i, Po, Pb. 83i λ 84 Po λ 8 Pb 6 C l co i tepi di diezzaeto: τ, = 5 giori λ = τ τ, = 38 giori. La cascata dei decadieti forisce u sistea di tre equazioi differeziali accoppiate. ( ) dn dt dn dt dn dt C = λ N N t = = N. = λ N λ N N t = =. = λ N N t = = 3. C. Spiegare a parole il sigificato delle tre equazioi e le loro relazioi.. Risolvere le tre equazioi differeziali del prio ordie co le relative codizioi iiziali, sapedo che N = uclei radioattivi. iuto: coiciare a risolvere la pria equazioe, iserire poi la soluzioe N t ella secoda equazioe e risolverla. Ifie, trovare la soluzioe dell ultia equazioe per itegrazioe diretta..3 Calcolare l attività totale i Curie all iizio e dopo ore..4 Trovare l istate i cui la fuzioe N Forulario ttività: ( t) λ N ( t) t è assia. = Ci (Curie) = 3,7. dec/s
/ U oscillatore o aroico Due sfere elettricaete cariche soo fissate a ua certa distaza l ua dall altra. Poiao la pria carica q = + 3,5. 7 C all origie del sistea di coordiate lugo u asse orizzotale, etre la secoda carica q = +,6. 7 C ( q = 4 q ) è posta a destra alla distaza d = 5, c sullo stesso asse. Tra le due cariche viee lasciata libera di uoversi lugo l asse ua terza carica q = + 4,5. 8 C, la quale, soggetta all azioe delle due forze coulobiae, esegue u oto oscillatorio attoro alla posizioe di equilibrio. La assa del terzo corpo è = 4, g.. Rappresetare scheaticaete la situazioe i u disego, idicado le forze che agiscoo sulla terza carica posta a età distaza.. Calcolare, partedo dalla defiizioe l asse O agete sulla terza carica, ( Ftot ) = ( F + F ) =, c alla posizioe = 8, c. L F = Fi dr, il lavoro copiuto dalla forza totale lugo.3 L eergia poteziale della terza carica è data dalla relazioe, etre si sposta dalla posizioe q q q q U ( ) = k + k d, dove 9 k = = 8, 99 N C. 4πε Trovare il iio della fuzioe U ( ) all itero dell itervallo < < d, che corrispode alla posizioe di equilibrio eq della terza carica..4 Verificare il risultato., sfruttado opportuaete la relazioe del puto precedete. Rappresetare scheaticaete i u grafico la fuzioe U ( ) all itero dell itervallo < < d..5 L oscillazioe della terza carica o è aroica. Per dare u valore approssiato del periodo delle piccole oscillazioi, occorre deteriare l approssiazioe quadratica dell eergia U. questo scopo trovare il terie del secodo ordie dello sviluppo i serie poteziale di Taylor di U ( ), che descrive u oto aroico attoro alla posizioe di equilibrio. Questo terie quadratico della serie corrispode a u eergia poteziale di tipo elastico kelast Uelast = kelast eq. Sapedo che ω =, trovare ifie il periodo delle piccole oscillazioi, dove k elast è la costate elastica..6 Sepre ell approssiazioe aroica, eseguire due seplici calcoli. Sapedo che la velocità ella posizioe di equilibrio è v a =,553 /s, calcolare l itesità della forza edia teporale per lo spostaeto dal puto di equilibrio alla posizioe di assia oscillazioe, utilizzado il teorea dell ipulso F t = p. Trovare ioltre l itesità della forza edia spaziale, sepre dal puto di equilibrio al puto di assia oscillazioe per u apiezza = a eq =, c, utilizzado il teorea del lavoro: F = Eci. Perché questi due valori edi o coicidoo? Forulario = + + + + +!! ( Serie di Taylor: f ( ) f ( ) f ' ( )( ) f '' ( )( ) f ) ( )( )
3/ Coservazioe dell eergia e risoluzioe dell ED dell oscillatore aroico Ua assa è collegata ad ua olla di costate di elasticità k elast. Rilasciata da ua posizioe lugo l asse delle diversa da quella di equilibrio, è libera di uoversi seza attrito. Si suppoe che F t = k t. l uica forza i gioco sia la forza elastica di Hooke: el elast 3. Scrivere l equazioe del oto dell oscillatore aroico cosiderato e ricavare l equazioe differeziale. 3. Motivare perché per il sistea assa-olla, co le ipotesi cosiderate, l eergia eccaica totale del sistea riae costate ed espriere l eergia totale del sistea. Quale cosegueza d si ricava dalla coservazioe dell eergia, da cui deriva che E tot ( t ) =? dt 3.3 Mostrare che derivado esplicitaete E dell oscillatore aroico ( t) ( t) tot k + elast =. t si ricava l equazioe differeziale Per risolvere l equazioe differeziale, el 739 il grade ateatico basilese Leohard Euler (77 783) è partito dalla coservazioe dell eergia, ode dover itegrare ua volta sola l equazioe differeziale. 3.4 Verificare che la coservazioe dell eergia (che, coe verificato al puto 3., può essere d posta ella fora E tot ( t ) = ) coduce all equazioe differeziale separabile dt ( ' ( t) ) + ω ( t) = a kelast, dove ω =. t, utilizzado i odo opportuo la relazioe Trovare la soluzioe itegrale d arcsi d = b b. Coe soo legate le gradezze fisiche coivolte co la costate t? ella soluzioe geerale ( t ) e l apiezza di 3.5 Calcolare l eergia cietica edia T a, la costate d itegrazioe Eci t = Eci t dt durate u periodo di oscillazioe T T, utilizzado l itegrale cos ( α ) d = ( α + si( α ) cos ( α ) ). α Verificare che vale Eci ( t) = Etotale ( t) durate lo stesso periodo T. Quato vale l eergia poteziale elastica edia durate u periodo di oscillazioe? 3.6 Deteriare la soluzioe particolare, sapedo che =, kg, k elast = N, ci = 5 J e E t, v t = = 3 s. I realtà si vede applicato il etodo di Euler del oltiplicatore (o fattore itegrate) che rede esatta l ED e così direttaete itegrabile, coducedo poi a u ED di ordie a coefficieti costati.
4/ Circuito chiuso e atrici di trasizioe Cosiderare due serbatoi S e S. Il serbatoio S cotiee iizialete ua soluzioe acquosa di d 3 co, kg di peragaato di potassio KMO 4 e il serbatoio S ua soluzioe acquosa di d 3 co,6 kg di peragaato di potassio KMO 4. ll istate t = si attivao due pope: la 3 3 pria covoglia 3 d i di soluzioe da S a S e la secoda 5 d i da S a S. Il sistea è duque a circuito chiuso e si iagia che dei iscelatori provvedao ad u istataeo e copleto riescolaeto. 4. Verificare che il sistea di equazioi lieari copletaete il processo di escolaeto, iuto per iuto, dove e y rappresetao, + =, 7 i+,5 y i y+ =,3 i+,5 y i descrive rispettivaete, la cocetrazioe di KMO 4 el prio e el secodo serbatoio all istate t = iuti. Ricavare la atrice di trasizioe T e copletare (su foglio a parte) il diagraa di trasizioe. S S 4. Giustificare che la atrice è stocastica e deteriare gli spazi propri. 4.3 Calcolare lo stato del sistea dopo,, 3 iuti. 4.4 Espriere lo stato iiziale coe cobiazioe lieare dei vettori propri e studiare la covergeza del sistea a lugo adare. Rappresetare el sistea di riferieto Oy l evoluzioe del sistea. 4.5 Per etrabi i serbatoi, rappresetare il diagraa di flusso (bilacio etrata-uscita). Supporre t; t + t sia proporzioale a che la variazioe delle due cocetrazioi durate l itervallo [ ] t ( i) '( t) =,3 ( t) +,5 y ( t) differeziali lieari a coefficieti costati y '( t) =,3 ( t),5 y ( t) <<. Ricavare dal sistea di equazioi lieari il seguete sistea di equazioi variazioe istataea delle cocetrazioi., che descrive la t 4.6 Sia v = lo stato del sistea all istate t (i iuti), dove la pria copoete si y t riferisce al serbatoio S e la secoda a S. '( t),3, 5 ( t) Calcolare i valori e gli spazi propri del sistea = y '( t. Cosa si ota? ), 3,5 y ( t) t t 5.8 t 4.7 Verificare che y = = a e + b e y t soo le soluzioi geerali del sistea 3 di equazioi differeziali e trovare la soluzioe particolare defiita dal problea. 4.8 Deteriare la quatità di KMO 4 presete ei due serbatoi dopo 3 iuti e cofrotare i risultati co quelli del puto 4.3. Coe ai o coicidoo? 4.9 Calcolare li ( t) e li y ( t) t t si stabilizzerà su quali valori?. lugo adare, il coteuto i kg di KMO 4 ei due serbatoi