SERIE NUMERICHE c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf
Serie numerica Definizione. Sia a k : N R una successione definita per k k 0. La sommatoria (di infiniti addendi) è detta serie di termine generale a k. Oss.. a k a k è la somma di tutti i termini a k della successione. Oss. 2. Assegnata la successione a k si vuole capire se la somma di tutti i suoi addendi a k (sono in numero infinito) è un valore finito, o un valore infinito, o un valore indeterminato. Esempio. a k = k. k = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... La somma di tutti gli addendi è un valore finito o infinito? c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 2
Somme parziali k=0 k=0 2 k = 2 0 + 2 + 2 2 +... + 2 n + 2 n +...... a k = a }{{} 0 +a +a 2 s } 0 {{} s }{{} s 2 +... }{{} +a n }. {{} s n }{{} s n +a n +...... }{{} lim s n = a k n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 3 k=0
Somma delle ridotte La succ. a k con k k 0 è nota (prendiamo per ora k 0 = 0) e costruiamo una nuova successione s n detta successione delle somme parziali o delle ridotte: s 0 = a 0 s = a 0 + a s 2 = a 0 + a + a 2... =... s n = a 0 +... + a n =... =... n k=0 a k = s n = n k=0 a k Osserviamo che s n = s n + a n, infatti: n n s n = a k = a k +a n = s n + a n k=0 k=0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 4
Analisi del comportamento della serie n Data a k, abbiamo costruito la successione delle ridotte s n = a k (k 0 è il primo naturale per cui è definita la successione a k ) e osserviamo che cioè a k = lim a k = lim n s n n a k n }{{} s n = lim n s n Quindi, per studiare una serie dobbiamo studiare la successione delle somme parziali s n. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 5
Caratterizzazione di una serie Def. Data {a k } k k0 e s n = n a k, - se esiste lim n s n = s R, si dice che la serie il valore reale s = a k converge e a k è detto somma della serie - se esiste lim n s n =, si dice che la serie a k diverge - se NON esiste lim s n, si dice che la serie a k è indeterminata n Oss. L obiettivo principale sarà quello di stabilire il comportamento della serie. Qualora la serie converga, solo in pochi casi si riesce a precisare il valore della somma s. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 6
a n = n, s n = n k La successione a n La successione s n 4 4 3.5 3.5 3 2.5 3 2.5 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 0 2.5 2.5 s 2 s 3 a s 0.5 a 2 a3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 0.5 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n s 0 = a +... + a 0 = 0 a k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 7
Esempio. a k =, per k. Abbiamo: k k s = a = s 2 = s + a 2 = + /2 = 3/2 s 3 = s 2 + a 3 = 3/2 + /3 = /6 s 4 = s 3 + a 4 = /6 + /4 = 25/2... =... s n = s n + a n = a +... + a n = n a k = è detta serie armonica, dimostreremo che diverge. n k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 8
a n = 2 n, s n = n 2 k La successione a n La successione s n.2.2 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 0 s 2 s 3 0.8 0.8 a s 0.6 0.6 0.4 0.2 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 0.4 0.2 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 9
Esempio. a k =, per k 0. Abbiamo: 2k s 0 = a 0 = s = s 0 + a = + /2 = 3/2 s 2 = s + a 2 = 3/2 + /4 = 7/4 s 3 = s 2 + a 3 = 7/4 + /8 = 5/8... =... s n = s n + a n = a 0 +... + a n = n a k = k=0 n k=0 è un esempio di serie geometrica, dimostreremo che questa 2k k=0 particolare serie converge. 2 k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 0
Esempi di serie convergenti, divergenti, indeterminate Esempio. è convergente e s = 2 ( serie geometrica, qualche 2k k=0 pagina più avanti). Esempio 2. s n = n k = k=0 k è divergente. In particolare si ha k=0 n(n + ) 2 e lim n s n =. (dimostrare con il principio di induzione che intuì questa formula all età di 0 anni...) Esempio 3. s n = ( ) k è indeterminata. Si ha k=0 { se n è pari 0 se n è dispari n k = k=0 n(n + ), Gauss 2 Quindi lim n s n. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf
Proposizione. Il comportamento di una serie non cambia se si aggiunge o toglie o modifica un numero finito di termini. Osservazione. Se la serie è convergente e si aggiunge (o toglie o modifica) un numero finito di termini, cambia la somma della serie. Esempio 2 k = 2 k a 0 = 2 = k=0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 2
SERIE TELESCOPICHE Definizione Una serie tale che In tal caso si ha: e s n = a k si dice telescopica se esiste una successione b k n a k = b k+ b k. a k = (b k0 + b k0 ) + (b k0 +2 b k0 +) + + (b n+ b n ) = b n+ b k0 a k = lim n s n = ( ) lim b n+ b k0 n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 3
La serie di Mengoli a k = (k + )k (k + )k = k ( k + = a k = lim n (b n+ b ) = lim n ) k + }{{} b k+ ( n + ( La serie di Mengoli è convergente e la sua somma è ) k }{{} b k ) + = c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 4
Un altro esempio di serie telescopica ( log + ) k Quindi: ( log + ) = k ( log + ) k La serie diverge. ( ) k + log = k log(k + ) log k }{{}}{{} b k+ b k = lim n (b n+ b ) = = lim log(n + ) log = + n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 5
Condizione necessaria per le serie convergenti Prop. Sia a k una serie convergente. Allora lim a k = 0. k n Dim. Sia s = lim s n = lim a k. Per definizione di somma n n parziale s k, si ha s k = s k + a k, ovvero a k = s k s k. Calcolo lim a k = lim (s k s k ) = s s = 0. k k Osservazione. Attenzione, il viceversa NON è vero. ( Si consideri la serie log + ). k ( a k = log + ) (. lim k log + ) = 0 eppure abbiamo visto k k che a k è divergente. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 6
Teorema di linearità. Siano a k e b k due serie e α, β R. Allora (αa k + βb k ) = α a k + β b k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 7
La serie geometrica Proposizione Sia q R fissato. Si ha: converge a se q < q k q = diverge a + se q k=0 è indeterminata se q Dim. Se q vale l identità q <. s n = + q + q 2 +... + q n = qn+ q. n k=0 q k = + q + q 2 +... + q n = qn+ q lim s n = lim n n q n+ q = q (ricordo che q n è la succ. geometrica e per q < è infinitesima) c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 8
q =. s n = n q k = + + +... + = (n + ) k=0 lim s n = lim (n + ) = + n n q >. Vale ancora n s n = q k = + q + q 2 +... + q n = qn+ q k=0 Stavolta lim n qn = (succ. geometrica per q > diverge) quindi lim s n = n q = +. q. lim n qn, quindi lim indeterminata. n q n+, ovvero la serie è q c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 9
SERIE A TERMINI POSITIVI Def. Una serie k k 0. a k si dice a termini positivi (t.p.) se a k 0, Proposizione. Sia a k una serie a t.p.. Allora essa converge o diverge (non può essere indeterminata). n+ Dim. Abbiamo s n+ = a k = s n + a n+ s n per ogni n k 0, poichè a k 0. Allora la succ. s n è monotona crescente e per il teorema delle successioni monotonone, s n converge oppure diverge. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 20
Criterio del confronto Siano Allora: a k e b k due serie a t.p. e sia 0 a k b k k k 0. ) se 2) se b k converge a k diverge a k converge e b k diverge. a k b k Dim. Basta applicare il teorema del confronto per successioni alle n n successione delle ridotte: s n = a k e t n = b k. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 2
La serie armonica k diverge Dim. Voglio confrontare che k con ( log + ) e mostrare k ( log + k ), k. k Applicando il criterio del confronto, risulterebbe quindi ( = log + ) k k Considero la funzione f (x) = x log( + x), studiandola risulta f (x) 0, ( x >. Ponendo ora x = /k, si ottiene k log + ), ovvero quanto cercato. k Quindi: la serie armonica diverge. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 22
La serie converge. La sua somma è s < 2. k2 Dim. Per ogni k 2 vale k 2 < k 2 k = k(k ) Applichiamo il criterio del confronto, prendendo a k = k 2 e b k = k 2. Si ha: k ovvero la tesi. k 2 = + = + k=2 n= k 2 < + k(k ) k=2 (n + )n = +, c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 23
Criterio del confronto asintotico Siano a k e b k due serie a t.p., con b k > 0 ed esista a k l = lim (0, + ). Allora: k b k a k conv b k conv Oss. L ipotesi che l (0, + ) equivale a dire che le successioni a k e b k sono equigrandi per k, cioè a k lb k per k. Sotto questa ipotesi (ed il fatto che a k 0, b k > 0), il criterio assicura che il comportamento delle rispettive serie coincide. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 24
Applicazione del criterio del confronto asintotico Studiare il comportamento della serie Per n, Poiché n n= n= (n + ) n 2 n n 2 = n. n= (n + ) n 2. diverge (serie armonica), allora diverge anche (n + ) n 2, per il criterio del confronto asintotico. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 25
Criterio di condensazione di Cauchy Sia a k una serie a t.p. e sia a k una succ. decrescente. Allora a k converge 2 k a 2 k converge Esempio. Si determini il comportamento della serie k 3/2. Il termine generale della serie è a k = k 3/2. La succ. a k è decr. e a t.p.. Per il criterio di condensazione di Cauchy si ha: k 3/2 converge 2 k (2 k converge ) 3/2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 26
Quindi studiamo la serie 2 k (2 k ) 3/2 = 2 k (2 k ) 3/2. 2 k (2 3/2 ) k = ( ) k 2 /2. Questa è una serie geometrica con q = / 2. Poichè q = / 2 <, la serie 2 k (2 k converge. ) 3/2 Per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie data converge. k3/2 c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 27
Serie armonica generalizzata È la serie n= n λ, con λ R : { converge se λ > diverge se λ Dim. se λ =. Si ha la serie armonica dimostrato). n=, divergente (già n se λ <. n <, quindi per il criterio del confronto, diverge nλ anche con λ <. nλ n= c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 28
... continua se λ >. Per il criterio di condensazione di Cauchy n λ converge 2 n (2 n ) λ converge. n= n= 2 n Si ha (2 n ) λ = ( 2 λ) n, n= n= questa è una serie geometrica con q = 2 λ. Poichè λ < 0, si ha q = 2 λ 2 n <, quindi la serie (2 n converge e per il ) λ n= criterio di condensazione di Cauchy, anche (con λ > ) nλ n= converge. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 29
3 esempi di serie Armonica generalizzata La successione an = n λ λ = λ = 2 λ = 0.5 5 4 n La successione sn = k λ 0.8 3 0.6 0.4 2 0.2 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 n 2 λ = 0.5 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 n La successione s n delle ridotte converge per λ > e diverge per λ, pur essendo le successioni a n tutte infinitesime. Affinchè la successione delle ridotte converga (e quindi anche la serie corrispondente), la successione a n deve andare a zero abbastanza velocemente per n, ovvero avere ordine di infinitesimo maggiore di. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 30
Criterio del rapporto Sia Allora: a k una serie a t. strett. p. e si supponga che a k+ lim k a k = l R ) se l < a k converge 2) se l > a k diverge 3) se l = non si può concludere c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 3
Esempi in cui l = Esempio. k. a k = k, l = lim a k+ k = lim k a k k k + =. Avevamo già dimostrato che la serie armonica diverge Esempio 2. k 2. a k = k 2, l = lim a k+ k 2 = lim k a k k (k + ) 2 =. Avevamo già dimostrato che questa serie converge. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 32
Esempio. Determinare il comportamento della serie Il termine generale della serie è a k = k 5 k, a k+ lim k a k k=0 k 5 k. k + 5 k = lim k 5 k+ k = 5 lim k + = k k 5 < Per il criterio del rapporto, la serie data converge. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 33
Criterio della radice Sia Allora: a k una serie a t.p. e si supponga che lim k k ak = l R ) se l < a k converge 2) se l > a k diverge 3) se l = non si può concludere c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 34
Esempio. Determinare il comportamento della serie ( ) 2 k Il termine generale della serie è a k =, k lim k 2 ak = lim k k k = 0 < Per il criterio della radice, la serie data converge. 2 k k k. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 35
Altre serie da ricordare Siano α, β R n=2 n(log n) β : { converge se β > diverge se β n=2 n α (log n) β : converge se α =, β > oppure se α >, β diverge altrimenti c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 36
SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO Sono serie del tipo ( ) k b k, con b }{{} k > 0, k k 0 a k Criterio di Leibniz. Sia ( ) k b k una serie a termini alterni. Se ) lim b k = 0 e k 2) b k è monotona decrescente, allora ( ) k b k è convergente. Inoltre, denotando con s la somma della serie e con r n = s s n il resto n-simo della serie, vale r n = s s n b n+ n k 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 37
Esempio La serie ( ) k soddisfa le ipotesi del Criterio di Leibniz k (b k = /k), quindi converge..5 La successione b n 0.5 La successione s n 0 0.5 0.5 0 0.5 0 4 8 2 6 20 24 28 32 36 40 n.5 0 4 8 2 6 20 24 28 32 36 40 n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 38
Esempio 2 ( )k b k, con b k = /k se k è pari e b k = /k 2 se k è dispari. La successione b k è infinitesima, positiva, ma non monotona. Non sono verificate tutte le ipotesi del Criterio di Leibniz. Non posso concludere che la serie converge. Dal grafico vediamo che la serie ( )k b k diverge..5 La successione b n La successione s n 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0 4 8 2 6 20 24 28 32 36 40 n.5 0 4 8 2 6 20 24 28 32 36 40 n c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 39
Esempio di applicazione del criterio di Leibniz con calcolo del residuo Sia ( ) k (2k + )!. k 0 Dire se la serie è convergente e stimare il residuo r 3 = s s 3. La serie è a segni alterni, si ha: b k = /(2k + )!, positiva, infintesima e monotona decrescente. Allora per il criterio di Leibniz la serie data converge e chiamiamo con s il valore della somma. Senza consocere il valore esatto di s posso dire che se approssimo s con s 3 = 3! + 5! 7! commetto un errore r 3 = s s 3 < b 4 = 9! 2.76 0 6 c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 40
SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALSIASI Def. Si dice che la serie a k converge assolutamente se è convergente la serie a k. Esempio. La serie ( ) k converge assolutamente. k2 La serie ( ) k converge, ma NON converge assolutamente. k Def. Se una serie a k converge, ma non converge assolutamente, si dice che essa converge semplicemente. ( ) k converge semplicemente. k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 4
Criterio di convergenza assoluta Se a k converge assolutamente, allora a k converge e a k. a k Oss. Il viceversa non è vero, si veda ( ) k k. ( ) k è detta serie armonica a segni alterni. k c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 42
Riferimenti bibliografici Canuto Tabacco: cap. 5.5 Esercizi: vedere paola-gervasio.unibs.it/analisi/serie.pdf paola-gervasio.unibs.it/analisi/esercizi3.pdf calvino.polito.it/~terzafac/corsi/analisi2/materiale.html c Paola Gervasio - Analisi Matematica - A.A. 208/9 Serie numeriche cap5c.pdf 43