Esercitazione del 12.03.2010 Esercizi sugli eventi e sulla definizione di probabilità Esercizio 1 (Ross, pg 140, n.7 Siano S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {4, 6}, C = {1, 4}. Deterinare A B, B C, A (B C, (A B c Esercizio 2 (Ross, pg 141, n.9 Un ipiegato ospedaliero (aericano classifica i pazienti a seconda della loro situazione assicurativa: 1=assicurato, 0=non assicurato; e della loro condizione: b=buona, s=stabile, g=grave, c=critica. Si elenchi lo spazio degli esiti dell esperiento consistente nel classificare un nuovo paziente arrivato all ospedale. Si descriva l evento il paziente non è assicurato ed è in condizioni gravi o critiche Si descriva l evento il paziente è in condizioni buone o stabili Si descriva l evento il paziente è assicurato. Esercizio 3 (Ross, pg 145, n.2 Se A e B sono due eventi disgiunti (incopatibili tali che P (A = 0.2 e P (B = 0.5, deterinare P (A c, P (A B, P (A B, P (A c B. Esercizio 4 (Ross, pg 145, n.1 Sia S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e P definita dalla seguente densità discreta su S: i 1 2 3 4 5 6 P ({i} 0.1 0.2 0.15 0.15 0.1 0.3 Dati gli eventi E = {1, 3, 5}, F = {2, 4, 6}, G = {1, 4, 6} si calcolino: P (E, P (F, P (G, P (E F, P (E G, P (F G, P (E F G, P (E F, P (G F, P (E G, P (E F G. Esercizio 5 (Dispense prof. Verri Si lancia 2 volte un dado regolare. Si deterini lo spazio S di tutti i possibili risultati e si calcoli: 1
la probabilità che al prio lancio esca il 6 la probabilità che al secondo lancio esca il 6 la probabilità che al aleno un lancio dia 6 la probabilità che nessun lancio dia 6 la probabilità che solo al prio lancio esca il 6 la probabilità che solo al secondo lancio esca il 6 la probabilità che solo in un esca il 6. (Suggeriento: se il dado è equilibrato, tutti i risultati hanno la stessa probabilità di verificarsi. Esercizi sulle forule del calcolo cobinatorio, per il odello unifore Esercizio 6 Si consideri un urna con 7 palline nere e 5 bianche, tutte uguali ed indistinguibili al tatto. Si calcoli la probabilità di estrarre 2 palline bianche dall urna nelle seguenti ipotesi: a. le palline vengono estratte conteporaneaente (o in blocco b. le palline vengono estratte una dopo l altra, e la pallina estratta viene riessa nell urna (o con reiissione c. le palline vengono estratte una dopo l altra, e la pallina estratta NON viene riessa nell urna (o senza reiissione. Esercizio 7 Un urna contiene 8 palline bianche, 3 palline nere e 5 palline verdi, indistinguibili al tatto. Si estraggono conteporaneaente 3 palline. Dopo aver deterinato lo spazio dei possibili esiti dell estrazione e la probabilità definita su tale spazio (serve descrivere esattaente tutti gli esiti?, calcolare: la probabilità che 2 palline estratte siano bianche ed 1 nera 2
la probabilità che tutte le palline estratte siano verdi la probabilità che tutte le palline siano dello stesso colore la probabilità che aleno 2 palline siano bianche la probabilità che nessuna pallina sia nera. Supponendo ora di estrarre 4 palline conteporaneaente, calcolare la probabilità che 2 siano nere e 2 siano verdi (si presti attenzione al fatto che è cabiato lo spazio dei possibili esiti. Esercizio 8 In un lotto di N articoli ce ne sono k di difettosi. Scegliendo a caso articoli dal lotto per un controllo, quanto deve essere grande perchè con probabilità 0.90 aleno uno dei pezzi scelti sia difettoso? Soluzione. Lo spazio S di tutti gli esiti possibili è costituito da tutti i gruppi da articoli, presi dagli N disponibili, e due gruppi sono considerati distinti se differiscono per aleno un articolo (l ordine degli articoli non conta, caso dell estrazione in blocco. Siccoe la scelta dei gruppi avviene casualente, ogni gruppo ha la stessa probabilità di ogni altro di venir scelto per il controllo: è il caso del odello unifore (casi favorevoli/casi possibili. Allora, gli eventi (=gruppi possibili sono in totale. La probabilità che aleno un pezzo del lotto scelto sia difettoso è P (esattaente i articoli nel gruppo sono difettosi = 1 P (nessun articolo è difettoso = i=1 = 1 k. Quindi deve essere 1 k 0.90 k 0.10. Per N = 1000, k = 10 sia ha (nuericaente 205 e per N = 10000, k = 100 si ha 227. 3
Esercizi sulla probabilità condizionata Esercizio 9 Siano U 1 un urna con una pallina bianca ed una nera (indistinguibili al tatto, e U 2 un urna con 2 palline nere ed 1 bianca (indistinguibili al tatto. Si sceglie a caso un urna e da questa si estrae una pallina. Si deterini a. la probabilità che la pallina estratta sia nera b. la probabilità che la pallina sia stata estratta da U 1 sapendo che è nera. Esercizio 10 (Ross, p.167 n. 10 Molti psicologi credono che l ordine in cui i figli nascono e la personalità siano correlati. Per studiare questa ipotesi, vengono scelti casualente 400 babini della scuola eleentare (non figli unici a cui viene soinistrato un test di autostia che fornisce il seguente esito: Priogenito Non priogenito Alta autostia 62 60 Bassa autostia 105 173 Qual è la probabilità che un babino scelto a caso sia un proogenito? Qual è la probabilità che un babino scelto a caso abbia alta autostia? Qual è la probabilità che un babino scelto a caso abbia alta autostia se è un priogenito? Qual è la probabilità che un babino scelto a caso abbia alta autostia e sia un priogenito? L ipotesi degli psicologi in questo gruppo di babini sebra essere realistica? Esercizio 10 Si lancia 2 volte un dado regolare. Siano A l evento la soa dei due lanci è 6, B l evento la soa dei due lanci è 7 ed H l evento al prio lancio esce 2. Deterinare P (A, P (B, P (H, P (A H, P (B H. A e H sono indipendenti? B ed H sono indipendenti? Soluzione. Siccoe il dado è regolare, il odello sullo spazio delle coppie possibili dei punteggi è quello della probabilità unifore. Si ha A = {(1, 5, (2, 4, (3, 3, (4, 2, (5, 1}, 4
B = {(1, 6, (2, 5, (3, 4, (4, 3, (5, 2, (6, 1}. Allora: P (A = 5/36, P (B = 6/36 = 1/6, P (H = 1/6 (> 0 e P (A H = 1/6 < P (A, P (B H = 1/6 = P (B per cui B e H sono indipendenti entre A ed H non lo sono. Il risultato, non olto intuitivo, è dovuto al fatto che se richiedo che la soa dei punteggi sia 7 (evento B, QUALUNQUE sia l esito del prio lancio, esiste sepre un punteggio del secondo lancio che porta alla soa = 7, e quindi le probabilità degli esiti del secondo lancio restano invariate (tutti sono possibili, una volta che si sappia l esito del prio. Nel caso invece della soa dei punteggi pari a 6 (evento A, sapendo l esito del prio lancio si può arrivare ad escludere qualche esito per il secondo (il 6 in questo caso. Detto in altre parole: in relazione alle soe dei punteggi, sapere l esito del prio lancio può odificare lo spazio degli esiti del secondo lancio (è il caso dell evento A oppure no (evento B e quindi portare ad assenza di indipendenza o a indipendenza rispettivaente. 5