Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 16//017 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 016 017, compito A, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. Copiare anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È vietato l utilizzo di telefoni cellulari o altri strumenti di telecomunicazione. Testo della prova 1. (7 punti) Si consideri la funzione f : A R R data da f() = (log ). (a) Calcolare, se possibile, f( 1), f(0), f(1) ed f(). (b) Determinare l insieme di definizione A della funzione f. (c) Calcolare i seguenti limiti, se possibile: + 1 (d) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi. (e) Determinare il segno di f() al variare di. (f) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f. (g) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f. (h) Calcolare la derivata della funzione f. (i) Determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo. (j) Determinare l insieme f(a) delle immagini di f. (k) Calcolare la derivata seconda della funzione f. (l) Determinare concavità, convessità e punti di flesso. (m) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso. (n) Verificare che la funzione g() = ((log ) log + ) è una primitiva di f. (o) Determinare l area compresa tra il grafico della funzione, l asse delle ascisse e le rette = 1 ed = e.
. (6 punti) Si risolvano le seguenti disequazioni: log 1 e > 1 3. (6 punti) Si consideri la seguente matrice: A = 1 1 1 3 0 Calcolare la sua trasposta A T, e verificare se A T è l inversa di A.
Soluzione compito A 1. Prima di tutto, notare che (log ) è ben diverso da log. Nel primo caso, data una, prima ne calcolo il logaritmo e poi elevo il risultato al quadro. Nel secondo caso, invece, prima calcolo il quadrato della e poi faccio il logaritmo. I risultati sono in generale completamente differenti. Volendo, è possibile scrivere log come abbreviazione di (log ). (a) Non si può calcolare né f( 1) né f(0) perché l argomento del logaritmo deve essere un numero strettamente positivo. Per quanto riguarda gli altri due valori, abbiamo f(1) = (log 1) = 0 = 0 e f() = ( log ) = 4 log. Quest ultimo possiamo tranquillamente lasciarlo in questa forma, non è necessario scriverne una approssimazione decimale. (b) Perché la f sia definita, è necessario che l argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di 0. Dunque A = (0, + ). (c) Il limite per non esiste perché non è punto di accumulazione dell insieme di definizione di f. Il limiter per 1 lo si ottiene immediatamente per continuità: lim 1 f() = f(1) = 0. Il limite per + lo si ottiene semplicmente applicando le proprietà dei limiti: lim + f() = lim + (log ) = (lim + log ) = (+ ) = +. (d) Non ci sono intersezioni con l asse delle ordinate perché f(0) non è definita. Per trovare le intersezioni con l asse delle ascisse, risolviamo l equazione f() = 0. Abbiamo f() = 0 (log ) = 0 log = 0 = 1. Dunque abbiamo una intersezione nel punto X (1, 0). (e) Per determinare il segno di f() al variare di bisogna risolvere la disequazione (log ) 0. Ovviamente, essendo (log ) un quadrato, questa è sempre verificata nei punti dell insieme A. Pertanto, si ha f() 0 per A. (f) Gli asintoti verticali si trovano nei punti di frontiera di A (l insieme di definizione di f). In questo caso A ha un solo punto di frontiera, che è lo 0. Poiché lim 0 f() = lim 0(log ) = (lim 0 log ) = ( ) = + abbiamo che = 0 è un asintoto verticale. (Stiamo usando il fatto che lim 0 log =.) Poiché già sappiamo che lim + f() = + e che non esiste il lim f(), si ha che il grafico di f non ha asintoti orizzontali. (g) Per determinare gli eventuali asintoti obliqui, bisogna calcolare m = f() lim + = lim + (log ). Poiché è un infinito di ordine superiore di (log ) per +, si ha m = 0. Siccome il risultato è nullo, allora non c è un asintoto obliquo per +. Visto che f() è definita solo per valori positivi, ovviamente non esiste un asintoto obliquo per.
(h) Per definizione f () = D[(log ) ] = (log )D[log ] = log. Se i calcoli di sopra vi risultato ostici, tenete contro che si tratta di una applicazione della formula per il calcolo della derivata di una funzione composta. Infatti, se poniamo g() = log e h() =, abbiamo f() = h(g()). Dalla formula per la derivata della funzione composta, abbiamo f () = h (g())g (). Poiché g () = 1 e h () =, otteniamo il risultato di cui sopra. (i) Per determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo, bisogna studiare il segno di f (), e quindi risolvere la disequazione f () 0, ovvero log 0. Poiché log è definita solo per > 0, possiamo limitarci a considerare solo questo caso. Allora, il denominatore della frazione è sempre positivo, e abbiamo log 0 log 0 1. Concludendo f () 0 per 1 e f () < 0 per 0 < < 1 (e, ovviamente f () = 0 per = 1). Dal punto di vista della funzione f, questo vuol dire che f decresce per 0 < < 1 e cresce per > 1. Il punto = 1 è pertanto un punto di minimo relativo. Non ci sono punti di massimo relativo. (j) Il punto di minimo relativo è anche il punto di minimo assoluto, visto che la funzione cresce sempre allontanandosi da esso. Per = 1, si ha f() = 0. D altronde, per + si ha f() +, quindi la funzione assume valori grandi a piacere. Ne segue che tutti i valori da 0 in su vengono assunti prima o poi da f(), e quindi f(a) = [0, + ). (k) Per definizione abbiamo [ ] f log () = D = D[ log ] (log )D[] = log. (l) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso, va studiato il segno di f (). Poiché il denominatore è sempre strettamente positivo (tranne il caso = 0 che comuque non rientra nell insieme di definizione del logaritmo) abbiamo log 0 log 0 log log 1. Poichè 1 = log e, abbiamo log 1 log log e { e > 0 0 < e. Dunque f () 0 per 0 < e, ed f () < 0 per > e. Dal punto di vista della funzione f, vuol dire che f è convessa per 0 < < e, concava per > e, mentre per = e si ha un punto di flesso F (e, f(e)) (e, 1).
(m) Ecco il grafico della funzione: 4 3 1 0 F X 0 1 3 4 5 6 (n) Per verificare che la funzione g() = ((log ) log +) è una primitiva di f basta calcolare g () e verificare che coincide con f(). Per semplicità scrivo (log ) come log. Abbiamo g () = D[(log log + )] = = D[](log log + ) + D[log log + ] = ( = log log log + + ) = come volevamo dimostrare. = log log + + log = log = f() (o) Per 1 < < e la funzione f è sempre positiva. Dunque, per determinare e l area richiesta, basta calcolare il seguente integrale definito: f() d. 1 Poiché sappiamo che g() = (log log + ) è una primitiva di f(), abbiamo: e 1 f() = [g()] e 1 = [(log log +)] e 1 = e(1 +) 1(0 0+) = e.. Per risolvere la disequazione log 1 bisogna risolvere separatamente i casi in cui log 0 e in cui log < 0. Quando log 0 la disequazione diventa log 1, mentre qundo log < 0 la disequazione diventa log 1, ovvero log 1. Allora log 1 { log 1 log 0 oppure log 1 oppure log 1 e oppure 1/e. { log 1 log < 0
Per la disequazione e > 1 potremmo distinguere i casi 0 e < 0 e procedere come prima, ma c è un metodo più semplice. Facendo il logaritmo di ambo i membri, si ha e > 1 log e > log 1 > 0. Ovviamente il valore assoluto di è sempre strettamente positivo, tranne per = 0, valore per il quale si annulla. Dunque che è la soluzione della disequazione. > 0 0 3. Procedere come nell esercizio del compito A del 7/1/017, sennonché la matrice A T non è l inversa di A, per cui quando si calcola AA T non verrà la matrice identità.
Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 16//017 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 016 017, compito B, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello studente, l esercizio o il 3. Nel caso vengano svolti entrambi, verrà considerato ai fini del voto finale solo uno dei due (a discrezione del docente). Si noti che: Tutte le risposte vanno opportunamente motivate. Copiare anche un singolo esercizio causa l annullamento di tutto il compito. È possibile utilizzare una calcolatrice. Non si possono adoperare libri o appunti. È vietato l utilizzo di telefoni cellulari o altri strumenti di telecomunicazione. Testo della prova 1. (7 punti) Si consideri la funzione f : A R R data da f() = (log ) 3. (a) Calcolare, se possibile, f( 1), f(0), f(1) ed f(). (b) Determinare l insieme di definizione A della funzione f. (c) Determinare i punti di frontiera di A e dire se A è aperto e/o chiuso. (d) Calcolare i seguenti limiti, se possibile: + 1 (e) Determinare i punti di intersezione del grafico di f con gli assi. (f) Determinare il segno di f() al variare di. (g) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali e verticali della funzione f. (h) Determinare gli eventuali asintoti obliqui della funzione f. (i) Calcolare la derivata della funzione f. (j) Determinare crescenza, decrescenza e punti di minimo e massimo relativo. (k) Determinare i punti di minimo e massimo assoluto. (l) Determinare l insieme f(a) delle immagini di f. (m) Calcolare la derivata seconda della funzione f. (n) Determinare concavità, convessità e punti di flesso della funzione. (o) Disegnare il grafico della funzione, evidenziando le intersezioni con gli assi, i punti di massimo e minimo relativo e i punti di flesso.. (6 punti) Si calcoli l area della regione di piano delimitata dall asse delle ascisse, dalle rette di equazione = 1/e ed = e, e dalla funzione f() = log.
3. (6 punti) Si consideri la seguente matrice: A = 1 ( ) 3 1 1 3 Calcolare la sua trasposta A T, e verificare se A T è l inversa di A.
Soluzione compito B 1. La soluzione di questo esercizio sarà molto stringata. Per ulteriori spiegazioni, leggere la soluzione all esercizio 1 del compito A, che è molto simile. (a) f( 1) ed f(0) non si possono calcolare. f(1) = 0 ed f() = (log ) 3. (b) A = (0, + ). (c) I punti di frontiera di un intervallo sono i suoi estremi finiti. In questo caso, quindi, abbiamo un unico punto di frontiera che è 0. Siccome l intervallo non include i punti di frontiera è un aperto. (d) lim + f() = (+ ) 3 = +, lim 1 f() = f(1) = 0, lim f() non esiste. (e) Nessuna intersezione con l asse delle ordinate. L equazione (log ) 3 = 0 ha una sola soluzione che è = 1. Pertanto si ha un intersezione con l asse delle ascisse nel punto X (1, 0). (f) Questo è abbastanza diverso dall analogo punto del compito A, a causa dell esponente del logaritmo che qui è dispari. Dobbiamo risolvere (log ) 3 0. Possiamo prendere la radice cubica di ambo i membri e abbiamo: (log ) 3 0 3 (log ) 3 3 0 log 0 1. Dunque f() 0 per 1 e f() < 0 per 0 < < 1. (g) Si ha lim 0(log ) 3 = (lim 0 log ) 3 = ( ) 3 =, dunque = 0 è un asintoto vertiale. Poiché lim + (log ) 3 = + e lim (log ) 3 non esiste, non ci sono asintoti orizzontali. f() (log ) (h) Poiché lim + = lim 3 + = 0, non ci sono asintoti obliqui per +. Siccome f() non è definita per valori di negativi, non ci sono asintoti obliqui per. (i) f () = D[(log ) 3 ] = 3(log ) (log ) D[log ] = 3. (j) Per i valori in cui la f() è definita, ovvero per > 0, il numeratore è sempre positivo (a causa del quadrato) ed il denominatore è sempre strettamente positivo. Pertanto f () = 0 per = 1 e f () > 0 per 0 < < 1 e per > 1. Ne segue che f cresce sempre e il punto = 0 in cui la derivata prima si annulla non è né di minimo né di massimo relativo, ovvero è un punto di flesso a tangente orizzontale. (k) Poiché lim 0(log ) 3 = e lim + (log ) 3 = +, la funzione non ha né minimi né massimi assoluti. (l) Poiché f è continua e assume valori arbitariamente grandi e arbitariamente piccoli (per quanto visto sopra), assume tutti i possibili valori reali. Quindi f(a) = R. (m) Scrivo per semplicità (log ) come log. Si ha: [ ] f () = D[f ()] = D 3 log = 3 D[log ] (log )D[] = = 3 ( log()/) log = 6 log 3 log
(n) Per determinare concavità, convessità e punti di flesso devo determinare il segno della f (). Poiché per i valori per cui f() è definita ( > 0) è anche > 0, posso ignorare il denominatore. Ottengo: 6 log 3 log 0 6 log 3 log 0 (3 log )( log ) 0. Siccome il primo membro è un prodotto di funzioni, studio separatamente il segno di 3 log e log. Si ha che 3 log 0 per 1 mentre 3 log < 0 per 0 < < 1. Invece log 0 log log log e 0 < < e. Abbiamo la seguente situazione: + (3 log )( log s) + + log + + 3 log 0 1 e Mettendo assieme i risultati si ha che (3 log )( log ) è strettamente positivo per 1 < < e e strettamente negativo per 0 < < 1 oppure > e, mentre si annulla in 1 ed e. Pertanto, la funzione f() è convessa per 1 < < e e concava per 0 < < 1 e > e. I punti = 1 e = e sono punti di flesso (tra l altro, = 1 l avevamo già trovato). Essi corrispondono ai punti del grafico di coordinate F 1 = (1, f(1)) ed F = (e, f(e )) dove f(1) = 0 ed f(e ) = (log e ) 3 = ( log e) 3 = 8. (o) Ecco il grafico della funzione: 10 5 F 0 X, F 1 5 0 4 6 8 10. Prima di tutto calcoliamo una primitiva della funzione f(). Abbiamo log f() d = d = (log ) (log )D[log ] d =. dove abbiamo usato la regola che g(h())d[h()] d = G(h()), dove G() è una primita di g(). Nel nostro caso g() = ed h() = log.
A questo punto bisogna osservare che g() è positivo per > 1 e negativo per 0 < < 1. Pertanto, per determinare l area richiesta dall esercizio, bisogna calcolare separatamente i valori 1 f() d e e f() d e sommare i risultati 1/e 1 ottenuti. Allora: e 1 1/e 1 f() d = f() d = 1/e e 1 [ (log ) f() d = Dunque l area cercata è 1/ + 1/ = 1. [ (log ) ] e 1 ] 1 = [0 1/e [ (log e) = = (log 1/e) ] = ( 1) ] 0 = 1/. 3. Del tutto uguale all esercizio 3 del compito B del 7/1/017. = 1/