Corso di Laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI /9/8) Docente: Claudia Anedda ) Data la funzione yx) x + π, x, π) prolungarla su tutto R in modo tale che sia una funzione π-periodica pari, disegnare il grafico della funzione f così ottenuta e trovare, se possibile, la serie di Fourier associata a f; infine, studiare la convergenza puntuale e uniforme di tale serie. Prolunghiamo la funzione yx) su tutto R in modo tale che sia pari e π-periodica. y 5π/ π π/ π π/ y fx) -5π/ -π -π/ -π -π/ π/ π π/ π 5π/ π 7π -π/ -π Osservando il grafico, si vede che fx) P π, in quanto, oltre che essere π-periodica, è continua. Pertanto gli integrali che definiscono i coefficienti di Fourier di f esistono e possiamo considerare la serie di Fourier associata a f. Inoltre, f è pari, quindi tale serie sarà una serie di soli coseni, e b n per n,,... Si ha a π π fx)dx essendo f pari) π π x + π) dx [ x π + πx ] π fx)dx π.
Inoltre a n fx) cosnx)dx il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari) π π x + π) cosnx)dx [ ] π x + π) sinnx) + sinnx) π nπ nπ [ ] π cosnx) [ ] cosnπ). n π n π Per n pari la quantità tra parentesi quadre si annulla, quindi poniamo n k + per k,,,... La serie di Fourier associata a f è quindi fx) π + 4 cos[k + )x]. π k + ) k Osserviamo che è soddisfatta la condizione sufficiente di convergenza delle serie di Fourier: la serie k k + ) k converge; pertanto la serie trovata k ) converge uniformemente x R alla funzione f, essendo f continua. Si può allora scrivere fx) π + 4 cos[k + )x]. π k + ) k Naturalmente sono soddisfatte anche le ipotesi del teorema di convergenza uniforme: f : R R è π-periodica, continua, con derivata continua tranne, al più, in un numero finito di punti dell intervallo [ π, π] nei quali è comunque soddisfatta la condizione D), ii). ) Data la forma differenziale ω 4kx siny) cosy) dx 4 + x ) 4 + x ) dy, stabilire per quali valori di k R il campo vettoriale associato a ω è conservativo e calcolare il lavoro che le forze del campo compiono per spostare una particella di massa unitaria dal punto A, π ) al punto B 59, π ) muovendosi lungo la curva γ di 4 ) [ π parametrizzazione rt) π t 57, t, t 4, π ]. Richiedere che il campo vettoriale F di componenti F 4kx siny) 4 + x ) e F cosy) 4 + x )
sia conservativo equivale a chiedere che la forma differenziale ω sia esatta. Dato che ω è definita su R, che è semplicemente connesso, per trovare per quali valori di k ciò avviene basta imporre che F y F. Si trova x F y 8kx cosy) 4 + x ) e F x 4x cosy) 4 + x ). Quindi si ricava k. Essendo ω esatta per tale valore di k, il lavoro richiesto è dato dalla formula L ω UB) UA), γ dove U è una funzione potenziale per ω. Cerchiamo U iniziando a imporre la condizione U x F, da cui, integrando rispetto a x, si ricava Ux, y) siny) + gy). Ora, 4 + x ) derivando e imponendo la condizione U y F, si ricava cosy) 4 + x ) + g y) cosy) 4 + x ), da cui gy) c, con c costante arbitraria per esempio c ). Quindi Ux, y) siny) 4 + x ) e il lavoro cercato è L U 59, π ) U, π 4 ) 5. ) Data l equazione gx, y, z), con gx, y, z) logy + z + yz + ) + yz + e xy, stabilire se può essere utilizzato il teorema delle funzioni implicite in un intorno del punto,, ) per definire una funzione, dipendente dalle variabili x e y, in tale intorno; scrivere poi l equazione del piano tangente al grafico della funzione implicita nel punto considerato. Poiché y + z + yz + y + z) + > x, y, z, g è definita su tutto R ; osserviamo anche che essa è di classe C ; inoltre g,, ) ; poiché l esercizio richiede se, dall equazione gx, y, z), si possa esplicitare localmente z in funzione di x e y, consideriamo y + z la derivata di g rispetto a z: essendo g z y + z + yz + + y, g z,, ).
Per il teorema delle funzioni implicite, esiste quindi un intorno U di x, y ), ) e un unica funzione f : U R, tale che f, ) e gx, y, fx, y)) x, y U. Inoltre, essendo g di classe C, anche f lo sarà. Calcoliamo anche si ha g x ye xy, g y y + z y + z + yz + + z + xexy ; f x, ) g x,, ) g z,, ), f y, ) g y,, ) g z,, ). L equazione del piano tangente al grafico di f in, ) è x y + z +. 4) Scrivere lo sviluppo in serie di MacLaurin della seguente funzione: fx) + 5x) x). Per sfruttare uno sviluppo in serie già noto, cerchiamo due costanti A e B in modo tale che fx) si esprima nella forma fx) A + 5x + B. Si trova x A + 5x + B A Ax + B + 5Bx x + 5x) x) da cui si ricava A + 5B A + B B A A + A A B. Dunque fx) + 5x +. Possiamo ricavare lo sviluppo in serie delle funzioni x + 5x e dalla formula nota x x x n, valida per x < n mettendo al posto di x, rispettivamente, 5x e x: + 5x 5x) n, valida per 5x <, cioé per x < 5, n 4
da cui si ricava x x) n, valida per x <, cioé per x < n fx) + 5x + x x n [ ) n 5 n + n ], valida per x <. n Nell intorno di x, ) f ammette dunque lo sviluppo in serie di MacLaurin dato dalla ). Si possono verificare i primi termini dello sviluppo calcolando le derivate di f: x n [ ) n 5 n + n ] n [ + ] + x [ 5 + ] + x [5 + ] +... + 5x + 5x +...; 5x + ) f), f x) + 5x) x), da cui f ) 5; f x) 45x + x + ) + 5x) x), da cui f ) 45, etc. ) 5