Fisica 16-30 Aprile 2012 AVVERTENZA: Quesi appuni non vogliono essere, non possono essere e non sono un raao sulla Fisica Generale, argomeno sul quale esisono moli oimi esi, ra cui il eso di riferimeno, il cui uso è indispensabile per uno sudio approfondio e compleo. Quesi appuni sono solo una raccia di alcuni degli argomeni raai nel corso da usarsi come inegrazione alle lezioni e ai esi radizionali di Fisica Generale. ome ali possono essere uili solo se uilizzai DOPO lo sudio dei esi. Quesi appuni nascono durane la preparazione delle lezioni e non hanno ceramene la compleezza né l organicià che deve avere un libro sull argomeno. In ogni caso l apprendimeno e la comprensione degli argomeni raai nel corso richiede necessariamene la consulazione dei esi, come quello di riferimeno indicao all inizio dell anno. Quesi appuni non sono di pubblico dominio e sono riservae agli sudeni del orso di Fisica del orso di Sudi in Ingegneria Indusriale (Gesione-Energia-Ambiene) delluniversià degli Sudi di Genova. Quese noe non hanno preesa di compleezza, non sosiuiscono in nessun modo la frequenza alle lezioni (che è indispensabile), non sosiuiscono in nessun modo lo sudio dei esi raccomandai (che è indispensabile), e non esonerano in nessun modo dallo svolgimeno di un adeguao numero di problemi (cioè moli). Quese noe non sosiuiscono né esauriscono nel modo più assoluo la raazione degli argomeni svola nel libro di eso di riferimeno, e per alcuni argomeni rimanda espliciamene al eso di riferimeno. Ad esempio non viene riporao il cono esplicio per il campo elerico generao da un disco di carica uniforme, in quano ale raazione è già svola adeguaamene sul libro, così come non viene raao il eorema di Gauss, svolo egregiamene sul eso di riferimeno. Semplici circuii Gli elemeni che modellizzano semplici circuii sono dei dipoli in quano hanno due poli o morsei ai capi dei quali si può misurare una differenza di poenziale oppure araverso i quali passa una correne. Un circuio è composo da un insieme di elemeni dipolari collegai per i poli: quando la opologia forma un circuio chiuso, abbiamo una maglia, e quando re o più poli sono unii abbiamo un nodo. Per i circuii valgono le due leggi di Kirchhoff: ˆ La somma delle correni enrani in un nodo è uguale alla somma delle correni usceni: ovvero, si ha sempre conservazione della carica. Quesa legge si esenderà con le correni di sposameno. ˆ La somma delle differenze di poenziale lungo una maglia è pari a zero: E dl = 0. Quesa legge deriva dalla conservaivià del campo elerico, e si può esendere nel caso in cui il poenziale non sia definio - quando sono preseni delle induanze. Le leggi di Kirchhoff permeono di risolvere i circuii, ovvero di rovare il poenziale ad ogni polo, e le correni che passano araverso i dipoli. Un accorgimeno uile è di deerminare l orienameno di ogni dipolo e il verso di percorrenza di ogni maglia. Gli elemeni dipolari che formano un circuio elemenare vengono percorsi araverso una maglia, e la cadua di poenziale ai capi dei dipoli e le correni araverso i dipoli si deerminano in base all orienameno: ˆ Generaori di ensione: sono caraerizzai da una forza eleromorice E, orienaa dal polo negaivo a quello posiivo - posiiva. Araversando un generaore di ensione lungo l orienameno si ha una salia di poenziale V = E, alrimeni V = E. Una correne posiiva che araversa un generaore di ensione pora cariche posiive dal polo negaivo al polo posiivo. ˆ Resisenze: sono caraerizzai da una resisenza R, e se ne sceglie l orienameno a piacere: la cadua di poenziale è pari a V = IR se percorsa nel verso dell orienameno, e V = IR se percorsa nel verso opposo all orienameno. Si noi che a sua vola la correne può avere un valore negaivo o posiivo: quando è posiivo le cariche posiive araversano il dipolo nel verso dell orienameno, alrimeni nel verso opposo. ˆ apacià: sono caraerizzae da una capacià ed un orienameno scelo a piacere: quando è araversaa nel verso I dell orienameno si ha una una cadua di poenziale V =, l inverso se araversaa nel senso opposo. ome nel caso delle resisenze, la correne può avere un valore posiivo o negaivo. Resisenze in serie È alvola possibile individuare in un circuio una serie di resisenze, caraerizzae da elemeni dipolari R 1, R 2,..., R n connessi in modo da essere araversai da una sessa correne. In quese condizioni è possibile sosiuire le resisenze nella 1
serie con un dipolo formao da resisenza equivalene R eq, ale che la correne che passa araverso la correne equivalene è uguale a quella che passa araverso le resisenze originali. Possiamo deerminare il valore della resisenza equivalene: V = IR eq V = i V i = i IR i R eq = i R i Resisenze in parallelo Quando un cero numero di elemeni dipolari R 1, R 2,..., R n hanno alle esremià la sessa differenza di poenziale sono dee in parallelo : in quese condizioni è possibili sosiuire le resisenze in parallelo con una resisenza equivalene R eq : V = I i R i 1 I = i I = V R eq I i = i 1 V R i R eq = i R i Pariore Dae due resisenze in serie R 1 e R 2 possiamo rovare la ensione ai capi di ognuna delle due resisenze V Ri della ensione ai capi della serie V : V = I(R 1 + R 2 ) in funzione V R1 = IR 1 = V R 1 R 1 + R 2 ircuio R Meiamo in serie un generaore di forza e.m. E, una resisenza R ed una capacià. Applicando la prima legge di Kirchhoff roviamo: E RI Q = 0 I = dq E R dq Q = 0 Si raa di un equazione differenziale per la carica Q() presene sul condensaore, che si risolve mediane una soluzione paricolare dell equazione non omogenea più ue le soluzioni dell equazione omogenea. Abbiamo già inconrao nel moo in un fluido la sessa equazione: la soluzione della non omogenea è Q() = E; la soluzione della omogenea è Q() = Ae R. La soluzione più generale è quindi: Q() = E + Ae R. Il valore della cosane arbiraria A viene deerminao dalle condizioni iniziali: se, ad esempio, il condensaore è inizialmene scarico abbiamo: Q() = E + Ae Q(0) = 0 = E + A A = E R Q() = E(1 e R ) 2
Noa la carica sul condensaore in funzione del empo, dae le condizioni al conorno, possiamo deerminare la correne che lo araversa e la ensione ai capi del condensaore sesso. Supponiamo per esempio di avere un condensaore inizialmene scarico: Oeniamo dunque che: Q() = E(1 e R ) I() = dq() V () = Q() = E R e R = E(1 e R ) ˆ la correne che araversa il condensaore ende a zero via via che il condensaore si carica - il condensaore carico è equivalene ad un dipolo apero, dove non passa correne ˆ un condensaore compleamene scarico è equivalene ad un dipolo corocircuiao. La grandezza R = τ è il empo caraerisico del circuio R. Se eliminiamo la sorgene di forza eleromorice dal circuio abbiamo solo l equazione omogenea, e, supponendo che le condizioni al conorno siano di condensaore compleamene carico, abbiamo: R dq Q = 0 Q() = Q(0)e I() = dq() V () = Q() R = Q(0) R e R = Q(0) e R ) Generaore reale e poenza dissipaa su un carico Un generaore di forza eleromorice reale è doao di una (piccola) resisenza inerna r e fornisce una ensione a circuio apero f = V O. La ensione a circuio apero è la ensione presene ai capi del generaore quando non viene applicao nessun carico. Applicando un carico R ai capi di un generaore reale realizziamo un pariore composo dalle resisenze r = R I e R = R L. Abbiamo per la poenza dissipaa sul carico sesso: W L = V L I L R L V L = V O R I + R L V O I L = R I + R L W L = VO 2 R L (R I + R L ) 2 Noiamo che solo quando R L >> R I abbiamo ai capi della resisenza di carico la ensione V O ; quando la resisenza di carico invece è più piccola della resisenza inerna, ipicamene quando corocircuiiamo il generaore, la ensione fornia ai capi del generaore sesso ende a zero - in gergo il generaore si siede. Quesa è una conseguenza del fao che un generaore reale è limiao in poenza dalla massima correne che può fornire: W max = V I max = V 2 O /R I. 3
La poenza dissipaa sul carico è una funzione della resisenza di carico R L. rovarne i massimi e i minimi facendone la derivaa rispeo a R L : W L = V 2 O R L (R I + R L ) 2 dw L dr L = R I R L (R I + R L ) 3 dw L = 0 R L = R I dr L Possiamo sudiare quesa funzione per Viso che per R L 0 e R L la poenza dissipaa ende a zero il puno sazionario rovao è un puno di massimo, per cui la massima poenza dissipaa sul carico si ha quando - in gergo - il carico è accoppiao in impedenza col generaore. Alernaive al meodo delle maglie per la risoluzione di semplici circuii Le grandezze variabili in un circuio elemenare sono ipicamene le correni araverso i dipoli e le differenze di poenziale ra nodi, e quese grandezze sono soluzioni di un sisema di equazioni lineari. In quese condizioni e possibile sovrapporre gli effei dei vari generaori di effeo, cioè le sorgeni di forza eleromorice e di correne: sovrapporre significa considerare, nodo per nodo e dipolo per dipolo, gli effei dei generaori uno per uno, spegnendo gli alri. In praica queso significa sosiuire nel circuio ad ogni forza eleromorice un corocircuio ed ad ogni generaore di correne un circuio apero, escluso quello di cui si vuole deerminare l effeo. Sommando le differenze di poenziale ai capi dei dipoli e le correni araverso i dipoli oenue da ogni generaore preso uno per vola oerremo le effeive differenze di poenziale e correni. Un esempio di applicazione del meodo di sovrapposizione degli effei consise nel eorema di Thevenin. Il eorema dice che, preso un dipolo in un circuio, e possibile rovare la ensione ai capi del dipolo e la correne che passa per il dipolo sosiuendo al circuio una sua forma equivalene, formaa da un generaore di forza eleromorice V h e una resisenza R h posi in serie. La prima cosa da fare è isolare un dipolo (deo carico ) in una ree lineare, come in figura: lo scopo è rovare la ensione ai capi del carico. Se al carico sosiuiamo un generaore di correne di inensià pari a quella che passa per il dipolo le grandezze in ogni puno del circuio non cambiano, per cui possiamo affermare che i due circuii - quello col carico e quello col generaore di correne - sono compleamene equivaleni. A queso puno possiamo rovare la ensione ai capi del carico considerando la sovrapposizione dei due effei V 1 e V 2. V 1 è la ensione ai capi del carico causaa dai generaori di forza eleromorice preseni nel circuio, quando il carico non sia presene, cioè la cosiddea ensione a circuio apero : V 1 = V O, e la si deermina risolvendo il circuio avendo eliminao il carico e calcolando la ensione ra i morsei a cui il carico era aaccao. V 2 è la ensione ai capi del generaore di correne, quando i generaori di forza eleromorice nel circuio sono speni e quindi corocircuiai: il generaore di correne in quese condizioni si chiude su una ree di resisenze di resisenza complessiva R eq e ai capi del generaore è presene una ensione V 2 = IR eq. Sommando le due ensioni abbiamo la ensione visa dal carico R poso sui morsei: V = V 1 +V 2 = V O IR eq. Quindi, viso che V = IR L, abbiamo l equazione V O = IR + IR eq che rappresena un circuio come in figura: 4
che mosra il eorema del Thevenin, con V h = V O e R h = R eq. Forza di Lorenz Sperimenalmene si osserva che una carica q in moo con velocià v in una regione dello spazio in cui è presene un campo magneico B subisce una forza, dea forza di Lorenz, F L = q v B. Noiamo che: ˆ poiché la forza di Lorenz è sempre perpendicolare alla velocià non si ha accelerazione angenziale al moo: queso implica che il modulo della velocià scalare non cambia, cambia solo la direzione della velocià. Poi, viso che lo sposameno della paricella è sempre perpendicolare alla forza di Lorenz, si ha che la forza di Lorenze non compie lavoro. ˆ In un filo di lunghezza L percorso da una correne I i poraori di carica si muovono con una velocià media v d parallela al filo. Il moo dei poraori di carica è osacolao, nella direzione perpendicolare al filo, dai campi elerici del maeriale: per cui per reazione sul maeriale viene eserciaa una forza uguale a quella di Lorenz. Se consideriamo un elemeno di filo dl di sezione S la forza risenia si somma su ui i poraori di carica preseni nella lunghezza dn = ns dl. Quindi df = dn q v d B = nqs dl v d B. Ma viso che nqv d = J e I = JS, oeniamo che la forza agene vale df = I dl B, da inegrare sulla lunghezza del filo per oenere la forza oale. Forza agene su una spira in un campo magneico L argomeno è ben svolo sul libro di riferimeno. Riassumendo: ˆ Una spira è un conduore filiforme chiuso percorso da correne I: racchiude una superficie, la cui direzione n è perpendicolare alla superficie, e il verso di n è deerminao dal verso della correne secondo la regola della mano desra - dia lungo la correne, pollice indica il verso... ˆ In un campo magneico uniforme la forza nea risenia dalla spira è nulla. ˆ Possiamo definire il momeno magneico di una spira piana di area A come µ = AI n. ˆ In un campo magneico uniforme B la spira risene un momeno M = µ B. ˆ Se ruoiamo una spira in un campo magneico compiamo un lavoro conro il momeno che il campo magneico esercia sulla spira. Poiché viene compiuo un lavoro possiamo definire una energia poenziale della spira nel campo magneico U = µ B. ˆ Il campo magneico non compie lavoro: il lavoro viene compiuo dal generaore di forza eleromorice che maniene cosane la correne I sulla spira durane la roazione, in quano la variazione di flusso del campo magneico araverso la spira genera per induzione una forza eleromorice che si oppone al moo delle cariche. ampi magneici generai da correni Sperimenalmene si noa che una disribuzione di correni nello spazio genera un campo magneico. La legge di Bio- Savar afferma che un elemeno di filo conduore dl percorso da una correne I genera in un puno poso ad una disanza r dall elemeno sesso un campo magneico: db = µ 0 I dl r 4π r 3 Una spira di correne circolare di raggio R, percorsa da una correne I, dà origine ad un campo magneico nello spazio. Il calcolo analiico in un puno generico dello spazio e piuoso difficile. Più agevole, e svolo nel eso di riferimeno, il calcolo del campo sui puni dell asse della spira, che risula essere orienao lungo l asse, direo secondo il verso della spira e di modulo, dea z la disanza dal piano della spira: B(z) = µ 0I 2. Si può vedere l andameno del campo a lunga disanza (z >> R): B(z) = µ 0I 2 B(z >> R) µ 0I R 2 2 z 3 µ = AI n B(z >> R) = µ 0µ 2πz 3 R 2 (R 2 +) 3/2 R 2 (R 2 +) = µ 0I 3/2 2 = µ 0IA 2πz 3 R 2 z 3 1 (1 + (R/z) 2 )3/2 5
da cui vediamo che a lunga disanza una spira genera un campo orienao come il suo momeno magneico e la cui inensià descresce col cubo della disanza, un risulao simile a quano rovao per il campo di un momeno elerico p a p lunga disanza dal momeno sesso: E = ε 0 2πz 3. Due spire coassiali pose a lunga disanza ineragiscono araverso il loro campo magneico, e, nell approssimazione che il campo generao dalla prima sia approssimaivamene uniforme nella regione occupaa dall alra, non si araggono, ma eserciano un momeno orcene che ende ad allinearle. Legge di Ampere La legge di Ampere afferma che B dl = µ 0 Ich, cioè che l inegrale di linea del campo magneico su una linea chiusa è proporzionale alla somma delle correni concaenae dalla linea sessa, e permee di calcolare il campo magneico in condizioni di paricolare simmeria, come ad esempio nel caso di un filo reilineo indefinio e di un solenoide ideale. La simmeria assiale e raslazionale del filo indefinio percorso da correne I pora a concludere che le linee di forza del campo magneico formano in ogni regione dello spazio delle circonferenze concenriche col filo e pose sul piano perpendicolare al filo sesso; inolre, il modulo del campo magneico è cosane su una daa linea di forza di raggio R. Se ne conclude che B dl = 2πRB = µ0 I, ovvero che il valore del campo magneico a disanza d dal filo percorso da correne d è: B = µ 0I 2πd. Si noi che lo sesso risulao non si oiene se il filo è di lunghezza finia L: per simmeria si ha sempre che le linee di forza formano circonferenze concenriche col filo e pose sul piano perpendicolare al filo sesso, uavia il calcolo direo mediane la legge di Bio-Savar pora, ad esempio, ad una espressione per il modulo di B in un puno poso a disanza d dall esremià del filo (il cono è svolo espliciamene sul eso di riferimeno): B = µ 0I 2πd L/2 L2 + d 2. Il moivo per cui non possiamo applicare la legge di ampere e rovare B = µ 0I 2πd è che un segmeno di filo percorso da correne ha senso solo in un circuio, in quano la correne non puo nascere dal nulla e finire nel nulla: gli alri rai di filo che porano correne al segmeno in quesione generano a loro vola un campo magneico, e quindi non e possibile applicare la legge di Ampere perche non e presene la necessaria simmeria... Usando la legge di Ampere oeniamo poi che in un solenoide ideale che abbia n spire per unià di lunghezza il campo all inerno del solenoide e direo lungo l asse e ha un valore cosane pari a B = µ 0 ni. Usando l espressione per il campo magneico generao da un filo reilineo possiamo deerminare la forza ra due fili conduori reilinei di lunghezza L coplanari posi a disanza d e percorsi dalle correni I 1 e I 2 : F 1 = I 1 L B 2, e, in modulo, F = µ 0I 1 I 2 L. Si noi che nel caso di correni concordi la forza ende a respingere i fili, menre nel caso di correni 2πd discordi la forza ende ad ararli. Legge di Lenz e induzione di Faraday Sperimenalmene si noa che, se araverso una spira si ha una variazione del flusso del campo magneico, sulla spira appaiono delle correni che si oppongono alla variazione di flusso. Quesa inerzia della spira rispeo alla variazione di flusso è dea legge di Lenz. In formule abbiamo la legge di induzione di Faraday:. Noiamo che: ˆ l inegrale si effeua su un cammino chiuso ed orienao. E dl = dφ B ˆ il flusso si calcola araverso la superficie racchiusa dal cammino, orienaa in base all orienameno del cammino ˆ il fao che su ogni cammino chiuso valesse la relazione E dl = 0 permeeva di definire il poenziale elerico V (r) come quella funzione ale che r 2 r 1 E(r) dr = V (r 1 ) V (r 2 ): il fao che in regioni dove varia il flusso di campo magneico queso non sia più vero impedisce di definire il poenziale in ali regioni. Dove il campo magneico non ha un flusso variabile è ancora possibile definire il poenziale elerico. ˆ viso che E dl è il lavoro per unià di carica compiuo da un campo elerico, e che queso lavoro è fornio in un circuio da una forza eleromorice E, abbiamo che in una spira condurice araverso la quale si ha una variazione di flusso compare una forza eleromorice E B, che genera una correne, che genera un campo magneico, che genera un flusso auoindoo sulla spira che si oppone alla variazione di flusso... 6
Auoinduzione Un conduore percorso da correne elerica I genera un campo magneico; queso campo magneico puo essere concaenao con il conduore sesso, come avviene nel caso di una spira, per esempio. Viso che il campo magneico concaenao è funzione lineare della correne che araversa il conduore è possibile definire un coefficiene di auoinduzione L ale che Φ B = LI. In genere è difficile calcolarlo; per un solenoide ideale è facilmene calcolabile e risula L = µ 0 n 2 V, dove V è il volume del solenoide, e n la densià linare delle spire. onsideriamo una spira circolare di resisenza R alla quale è applicaa una forza eleromorice E: araverso la spira circola quindi una correne I, si genera un campo magneico e araverso la superficie della spira passa un flusso Φ B = LI. La correne I e il campo elerico generao dalla forza eleromorice sono legae da E E dl = IR. Supponiamo ora di variare la forza eleromorice e quindi la correne araverso la spira: la variazione di flusso è L di un campo elerico auoindoo E B che secondo la legge di Faraday è ale che E B dl = dφ B e sul circuio della spira appare = L di. La correne che circola nella spira è ora legaa ad enrambi i campi elerici E E e E B : (E E + E B ) dl = IR = E L di. Abbiamo così oenuo che, dal puno di visa circuiale, una auoinduanza funziona come una forza eleromorice E B = L di, ovvero che araversando una induanza nel verso della correne abbiamo una cadua di poenziale V = L di. ircuio RL Sul libro di riferimeno c è una raazione esauriene del circuio RL. Noiamo che: ˆ l induanza si oppone alle variazioni di correne e/o di volaggio ai suoi capi, per cui ad una variazione repenina l induanza si compora come un circuio apero ˆ quando la correne araverso una induanza ha raggiuno il valore di regime, l induanza si compora come un coro circuio ˆ si può parlare di differenza di poenziale ai capi di una induanza perché si assume che la sola regione in cui varia il flusso di campo magneico è nell induanza sessa: queso è ragionevole per un solenoide reale percorso da correni non roppo elevae, in quano l inensià del campo all eserno è piccolo ed induce una rascurabile forza eleromorice nel reso del circuio Energia immagazzinaa in una induanza onsideriamo il circuio RL e deerminiamo la poenza W erogaa dalla forza eleromorice E quando nel circuio circola una correne I: W = EI. Abbiamo che: W = EI = (RI + L di )I = = RI 2 + 1 2 L di2 La poenza viene in pare dissipaa in calore nella resisenza R ed in pare immagazzinaa soo forma di energia poenziale eleromagneica nell induanza L. Il lavoro compiuo nell induanza dal generaore vale L = 1 2 LI2, e quindi possiamo definire una energia poenziale associaa al passaggio di una correne in una induanza U = 1 2 LI2. Nel caso di un solenoide di lunghezza l e sezione A, con un numero di spire N = nl e percorso da una correne I, siamo in grado poi di associare quesa energia alla presenza di un campo magneico nel solenoide sesso: E magn = 1 2 LI2 L = Φ B E magn = 1 I 2 Φ BI Φ B = BNA = BnlA B = µ 0 ni I = B µ 0 n E = 1 2 BnlA B µ 0 n = 1 2µ 0 B 2 V da cui oeniamo il risulao che in una zona in cui è presene un campo magneico è immagazzinaa una densià di energia u = E magn /V = 1 2µ 0 B 2 7