Curve Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 1 / 28
Curve Definizione (Curva in R n ) Chiamiamo curva a valori in R n ogni applicazione r : [a, b] R n con [a, b] R. I punti r(a), r(b) R n si dicono gli estremi della curva r. L immagine r(a, b) R n si dice il sostegno della curva. Quindi una curva a valori in R n è una n-upla di funzioni da [a, b] a valori in R: r(t) = (r 1 (t), r 2 (t),..., r n (t)), r j : [a, b] R, j = 1,..., n. Notazione alternativa: r(t) = r 1 (t) e 1 + r 2 (t) e 2 + + r n (t) e n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 2 / 28
Esempi La curva r : [0, 1] R 2 data da r(t) = (2t, t) ha come sostegno il segmento che congiunge i punti (0, 0) e (2, 1). La curva r : [ 1, 1] R 2 data da r(t) = (t, t 2 ) ha come sostegno l arco di parabola che congiunge ( 1, 1) e (1, 1). La curva r : [0, 2π] R 2 data da r(t) = (R cos t, R sin t) R > 0 ha come sostegno la circonferenza di raggio R e di centro (0, 0). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 3 / 28
La curva r : [1, ) R 2 data da r(t) = (t sin t, 1 cos t) ha come sostegno l arco della cicloide: Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 4 / 28
La curva r : (, 0] R 2 data da r(t) = ( e t cos t, e t sin t ) ha come sostegno l arco della spirale logaritmica: Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 5 / 28
Figure: Sezione della conchiglia di un Nautilus (mollusco) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 6 / 28
Derivata della curva e vettore tangente Definizione Sia r : [a, b] R n una curva. Diciamo che r è derivabile in t 0 (a, b) se sono derivabili in t 0 le funzioni r j, j = 1,..., n. In tal caso scriviamo r (t 0 ) = (r 1(t 0 ),..., r n(t 0 )) Il vettore r (t 0 ) si dice il vettore tangente a r in t 0. Esempio Sia r(t) = (t, t 2 ), t [ 1, 1]. Allora r (t) = (1, 2t). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 7 / 28
Retta tangente Definizione Sia r : [a, b] R n una curva derivabile in t 0 (a, b). Allora chiamiamo la retta tangente alla curva r nel punto r(t 0 ) la retta descrita dalle equazioni parametriche x(t) = r(t 0 ) + r (t 0 ) (t t 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 8 / 28
Curve regolari Definizione (Curve regolari e curve regolari a tratti) Una curva r : [a, b] R n si dice 1 regolare se r C 1 ([a, b]) e se r (t) 0 per ogni t (a, b). 2 regolare a tratti se r C 0 ([a, b]) e se esiste una suddivisione di [a, b] tale che r sia regolare in ogni subintervallo. 3 chiusa se r(a) = r(b). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 9 / 28
Curve rettificabili Sia r : [a, b] R n una curva continua e sia una suddivisione di [a, b]. a = t 0 < t 1 < < t m = b Consideriamo la poligonale P inscritta nella curva r che si ottiene congiungendo i punti e siano r(t k ), k = 0,..., m. La lunghezza di P è data da L(P) = m r(t k ) r(t k 1 ). k=1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 10 / 28
Curve rettificabili Definizione (Curve rettificabili) La curva r : [a, b] R n è detta rettificabile se l estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili suddivisioni, sup L(P) P è finite. In tal caso definiamo la lunghezza di r come L( r) = sup L(P). P Se sup P L(P) = +, allora diciamo che r è non rettificabile. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 11 / 28
Curve rettificabili Esempio Data la funzione t cos ( ) π t 0 < t 1 f (t) = 0 t = 0, la curva descritta da è continua ma non rettificabile. r(t) = (t, f (t)), t [0, 1] La funzione f è continua. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 12 / 28
Teorema Sia r : [a, b] R n una curva regolare. Allora r è rettificabile è vale L( r) = b a r (t) dt. Esempio Sia r(t) = (R cos t, R sin t), t [0, 2π]. Si ha r (t) = ( R sin t, R cos t) e quindi L( r) = 2π 0 2π R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t dt = R dt = 2πR. 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 13 / 28
Elica Consideriamo l arco d elica r : [0, 2] R 3 di raggio R data da r(t) = (R cos(2πt), R sin(2πt), t), t [0, 2]. Si ha Quindi r (t) = r (t) = ( 2πR sin(2πt), 2πR cos(2πt), 1). 4 π 2 R 2 sin 2 (2πt) + 4 π 2 R 2 cos 2 (2πt) + 1 = 4 π 2 R 2 + 1 da cui L( r) = 2 0 4 π 2 R 2 + 1 dt = 2 4 π 2 R 2 + 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 14 / 28
Curve piane Nel caso n = 2 chiamiamo r : [a, b] R 2 curva piana e scriviamo r(t) = (x(t), y(t)) t [a, b]. Un caso particolare. Se f C 1 ([a, b]), allora il grafico di f può essere parametrizzato con la curva r(t) = (t, f (t)) t [a, b]. Quindi r (t) = (1, f (t)) e la lunghezza del grafico di f è data da L( r) = b a r (t) dt = b a 1 + f (t) 2 dt. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 15 / 28
Curve piane: vettore tangente e vettore normale Nel caso n = 2 il vettore tangente di una curva derivabile parametrizzata da r(t) = (x(t), y(t)) è della forma r (t) = (x (t), y (t)) t [a, b]. Se r è regolare, allora r (t) > 0 per ogni t [a, b] e quindi possiamo definire il versore tangente: T (t) = r (t) r (t). Scriviamo T (t) = (α(t), β(t)) e supponiamo che T (t) sia derivabile e consideriamo la sua derivata: T (t) = (α (t), β (t)). Vogliamo mostrare che i vettori T (t) e T (t) sono ortogonali tra loro. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 16 / 28
In fatti, d dt T (t) 2 = d ( α 2 (t) + β 2 (t) ) = 2α(t) α (t) + 2β(t) β (t) dt = 2 (α(t), β(t)) (α (t), β (t)) = 2 T (t) T (t). Dall altra parte, siccome T (t) = r (t) r (t) = r (t) r (t) = 1, si ha 0 = d dt T (t) 2 = 2 T (t) T (t) t [a, b] e quindi T (t) e T (t) sono ortogonali tra loro per ogni t [a, b]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 17 / 28
Se inoltre T (t) 0, allora questo vettore si può normalizzare. In tal caso chiamiamo il versore T N(t) = (t) T (t) il versore normale alla curva r. Esempio Sia r la circonferenza di raggio R centrata nell origine: r(t) = (R cos t, R sin t), t [0, 2π]. Allora e quindi r (t) = ( R sin t, R cos t) T (t) = ( sin t, cos t), N(t) = ( cos t, sin t). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 18 / 28
Esempio Sia r l arco di parabola ristretta all intervallo [ 1, 1]: r(t) = ( ) t, t2 2 t [ 1, 1]. Allora e quindi r (t) = (1, t) ( 1 T (t) =, 1 + t 2 ) t 1 + t 2 ( ) t N(t) =, 1 1 + t 2 1 + t 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 19 / 28
Curve nello spazio Sono le funzioni r : [a, b] R 3. Quindi r(t) = (r 1 (t), r 2 (t), r 3 (t)) t [a, b]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 20 / 28
Esempio Elica r : [0, 2] R 3 di raggio R data da r(t) = (R cos(2πt), R sin(2πt), t), t [0, 2]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 21 / 28
Triedro fondamentale Dato t (a, b), definiamo il versore tangente e il versore normale come nel caso delle curve piane: T (t) = r (t) r (t), N(t) = T (t) T (t) Il versore binormale alla curva r nel punto r(t) è dato da Quindi B(t) = T (t) N(t). B 1 (t) = T 2 (t)n 3 (t) T 3 (t)n 2 (t) B 2 (t) = T 3 (t)n 1 (t) T 1 (t)n 3 (t) B 3 (t) = T 1 (t)n 2 (t) T 2 (t)n 1 (t) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 22 / 28
Triedro fondamentale I tre versori T (t), N(t), B(t) formano il triedro fondamentale. I due versori T (t) e N(t) giacciono nel piano osculatore. Se la curva è piana, il piano osculatore è il piano che la contiene. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 23 / 28
Riparametrizzazione Una stessa curva può avere diverse rappresentazioni parametriche. Ad esempio: r(t) = (cos t, sin t) 0 t 2π q(τ) = (cos(2τ), sin(2τ)) 0 τ π s(ξ) = (cos(2π ξ), sin(2π ξ)) 0 ξ 2π descrivono tutte la circonferenza di centro (0, 0) e raggio 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 24 / 28
Definizione (Riparametrizzazione) Sia r : [a, b] R n una curva e sia ϕ : [c, d] [a, b] una funzione biettiva derivabile con inversa derivabile. La curva q : [c, d] R n definita da q(s) = r(ϕ(s)), s [c, d] si dice riparametrizzazione della curva r. Il sostegno di q coincide con il sostegno di r. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 25 / 28
Teorema (Lunghezza della riparametrizzazione) Sia r : [a, b] R n una curva di classe C 1 ([a, b]). Sia q : [c, d] R n una sua riparametrizzazione. Allora L( q) = L( r). Dimostrazione: Per ipotesi esiste una funzione biettiva derivabile ϕ : [c, d] [a, b] tale che q(s) = r(ϕ(s)), s [c, d]. La lunghezza di q è data da Vi sono due possibilità: L( q) = d c q (s) ds Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 26 / 28
Se ϕ è monotona crescente, allora ϕ 0 su [c, d] e si ha q (s) = r (ϕ(s)) ϕ (s) = ϕ (s) r (ϕ(s)) = ϕ (s) r (ϕ(s)). Quindi con la sostituzione t = ϕ(s) otteniamo L( q) = = d c b a q (s) ds = d c r (t) dt = L( r), r (ϕ(s)) ϕ (s) ds dove abbiamo usato il fatto che ϕ(c) = a e ϕ(d) = b per via della biettività di ϕ. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 27 / 28
Se ϕ è monotona decrescente, allora ϕ 0 su [c, d] e si ha q (s) = r (ϕ(s)) ϕ (s) = ϕ (s) r (ϕ(s)) = ϕ (s) r (ϕ(s)). Quindi ϕ(c) = b, ϕ(d) = a, e con la sostituzione t = ϕ(s) otteniamo L( q) = d = = c a b b a d q (s) ds = r (t) dt r (t) dt = L( r) c r (ϕ(s)) ϕ (s) ds Hynek Kovarik (Università di Brescia) Curve Analisi Matematica 2 28 / 28