Come impariamo i numeri

Come impariamo i numeri Nicoletta Perini, Elena Brentan nicolettaperini@hotmail.it elena.brentan@gmail.com www.poloapprendimento.it 1

Le strategia didattiche per i bambini in difficoltà vanno bene anche per gli altri, ma non è vero il contrario! 2

SVILUPPO DELL INTELLIGENZA NUMERICA 4

Le abilità aritmetiche Saper leggere e scrivere i numeri Contare oggetti in un insieme Calcolare attraverso le quattro operazioni Applicare queste abilità sul denaro Dire orari e date Trovare una certa pagina in un libro Selezionare il canale televisivo 5

Il processo di acquisizione di tali strumenti aritmetici è supportato soltanto da capacità cognitive generali (ragionamento, memoria a breve termine, abilità spaziali)? Oppure abbiamo capacità numeriche innate? 6

Comprendere il principio di corrispondenza uno a uno Comprendere che gli insiemi di oggetti hanno una numerosità e che questa si può manipolare Comprendere che gli insiemi sono composti di elementi non necessariamente visibili Riconoscere piccole quantità senza contare MATEMATICA Numerosità La cardinalità di un insieme di elementi Le consuete operazioni aritmetiche dell addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione possono essere definite in termini di operazioni su insiemi e sulla loro numerosità. 7

Il processo di acquisizione di tali strumenti aritmetici è supportato soltanto da capacità cognitive generali (ragionamento, memoria a breve termine, abilità spaziali)? Oppure abbiamo capacità numeriche innate? 8

Secondo diversi studi, sia gli animali che i neonati sono capaci di riconoscere le quantità numeriche e sono in grado di distinguere gruppi di oggetti in base alla numerosità. 9

Gallister e Gelman (1992) hanno ipotizzato che la conoscenza numerica abbia delle basi diverse ed indipendenti da quelle che coinvolgono le competenze linguistiche. 10

DISCRIMINAZIONE DI QUANTITA I neonati sono in grado di discriminare insiemi di diversa numerosità. Antell e Keating (1983) Starkey, Spelke e Gelman (1990) Van Loosbroek e Smitsman (1990) 11

ASPETTATIVE ARITMETICHE Il possesso del concetto di numerosità implica molto di più: il bambino di pochi mesi di vita non solo discrimina 2 insiemi in base al numero di elementi contenuti, ma possiede anche aspettative aritmetiche basate sul concetto di numerosità Wynn (1992) 12

Neonati e bambini di pochi mesi di vita sono in grado di percepire la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo immediato, senza contare. La capacità di percepire la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo immediato si chiama SUBITIZING. 13

Quanti sono? 14

Quanti sono? 16

Quanti sono? 18

Questo processo funziona con un massimo di circa 4 elementi. Quanto maggiore è il numero di elementi tanto meno preciso è il processo di identificazione numerica. In questo caso si parla di STIMA DI GRANDEZZA. 20

Riassumendo Questi dati ci dimostrano che L intelligenza di quantità è innata Si può parlare di Intelligenza Numerica, cioè... 21

L intelligenza numerica è.. La capacità di manipolazione di intelligere le quantitàovvero manipolare, capire, ragionare, attraverso il complesso sistema cognitivo dei numeri e delle quantità. 22

Butterworth (1999; 2005): È sostenitore della tesi innatista del cervello matematico. Il Modulo Numerico (circuiti cerebrali specializzati) ha la funzione di classificare il mondo in termini di quantità numerica o numerosità Paragona la percezione della numerosità alla percezione dei colori, entrambe i processi sono automatici la natura fornisce un nucleo di capacità per classificare piccoli insiemi di oggetti nei termini della loro numerosità per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell istruzione, ossia di acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura in cui viviamo

Il conteggio In che modo i bambini imparano a contare? 24

PROCESSI SEMANTICI PROCESSI LESSICALI PROCESSI PRE- SINTATTICI E SINTATTICI CONTEGGIO CALCOLO A MENTE CALCOLO SCRITTO 25

Natura vs Cultura «la natura fornisce un nucleo di capacità per classificare piccoli insiemi di oggetti nei termini delle loro numerosità [...] per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell'istruzione, ossia di acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura in cui viviamo» Butterworth (1999) NATURA CULTURA Capacità innate Contare Acquisizioni matematiche 26

Lo sviluppo delle abilità di conteggio Gelman e Gallistel (1978), hanno elaborato la teoria dei principi di conteggio secondo la quale l'acquisizione dell'abilità di conteggio verbale è guidata dalla conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica non verbale. 27

Quante sono? 28

Ogni bambino avrà la sua caramella? 29

Quante sono? 30

Quante sono? 31

Il conteggio (2-6 anni) Il concetto di numero si evolve nell acquisizione di alcuni principi: 1. Corrispondenza biunivoca (ad ogni elemento dell insieme deve corrispondere una sola parolanumero e viceversa); 2. Il principio dell ordine stabile (le parole-numero devono essere ordinate in una sequenza fissa e inalterabile); 3. Il principio della cardinalità (l ultima parolanumero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell insieme). 32

Leggere e scrivere i numeri In che modo i bambini imparano a leggere e scrivere i numeri? 33

Lo sviluppo della comprensione simbolica (Bialystock) Sistema orale Numero che si dice tre Sistema scritto Numero che si scrive 3 Semante corrispondente 3 mele La comprensione avviene secondo questi stadi: 1. L apprendimento delle notazioni orali dei numeri I bambini recitano la sequenza appresa, ma non sanno distinguere gli elementi sia nella scrittura sia nel semante corrispondente 2. La rappresentazione formale La capacità di riconoscere il nome verbale e la scrittura corrispondente al numero risultano integrate 3. La rappresentazione simbolica La rappresentazione formale (nome e scrittura del numero) è integrata al riconoscimento della quantità corrispondente 35

Come la mente si rappresenta il numero? Tre distinte rappresentazioni numeriche con codici: Visivo arabico Verbale (lessicale, fonologico e sintattico) Analogico Ciascun codice è legato a specifici processi di input /output e implicato in specifiche abilità numeriche. Il passaggio da un codice all altro richiede la TRANSCODIFICA di input/output.

Processi di Subitizing e stima Compiti di comprensione semantica Il modello del triplo codice Calcolo approssimato e mentale complesso: spazio mentale visivo sul quale manipolare i numeri, attiva regioni neuronali attive nell elaborazione analogica (Dehaene e Cohen, 1995) Codice analogico di quantità COMPRENSIONE SEMANTICA CONFRONTO E CALCOLO APPROSSIMATIVO Operazioni non simboliche indipendenti dal tipo di input Rappresentazione semantica del N. Linea numerica Codice visivoarabico CALCOLO COMPLESSO Processamento di n. arabi compiti lessicali e sintattici Via a-semantica o diretta Codice verbale FATTI ARITMETICI E CONTEGGIO Processamento di Output verbale Input uditivo Compiti lessicali e sintattici

La semantica = il significato numerico dei numeri La grandezza numerica è rappresentata in modo analogico e visuospaziale. Metafora della linea numerica mentale: l ipotesi prevalente è che i numeri siano rappresentati in modo topografico (i numeri contigui sono fisicamente vicini) e ordinati per grandezza lungo una linea che, almeno nella cultura occidentale, è orientata da sinistra a destra.

LA LINEA NUMERICA MENTALE Galton (XIX secolo): indagine su come persone normali si rappresentano i numeri: IMMAGINE VISIVA COLORATI DISPOSTI SU UNA LINEA DA SINISTRA A DESTRA LINEA NUMERICA MENTALE da: Monja Tait, I.C. Arco 2010-2011- Formazione Erickson 39

La sintassi (etimo = ordinare insieme) dei numeri La COSTRUZIONE SINTATTICA dei numeri prevede l unione di: elementi lessicali primitivi (numeri dall 1 al 9, le decine, numeri dall undici al sedici) miscellanei ( cento, mila,...) Il sistema numerico lega (sintassi) le cifre per mezzo di regole di tipo additivo (23=20+3) di tipo moltiplicativo (2000 = 2X1000 Integrandole si posso produrre tutti i numeri in N (223=2x100+20+3). 40

Il lessico: il vestito verbale, parlato e scritto, del numero Riguarda la produzione di parole che definiscono correttamete il nome di ciascuna cifra contenuta in un numero. Il problema, è che 4 non è sempre //quattro//, puo essere //quaranta//, //quattromila// oppure nel 14 è //quattror// Nelle prime fasi di apprendimento i nomi dei numeri si possono confondere e 4 è letto //sette//, 6 //nove// 41

ALCUNI ERRORI. 42

Per quanto riguarda gli errori maggiormente commessi dai bambini nella lettura dei numeri, si possono distinguere: - errori a livello di lessico numerico, quelli cioè relativi alla produzione delle singole cifre, ma che non coinvolgono il loro posto all'interno del numero. Ad esempio: 4 / 7 leggo, scrivo o dico ad alta voce «sette» invece di «quattro» - errori di lettura a base sintattica, quelli cioè dovuti a difficoltà nel riconoscimento delle posizioni delle cifre all'interno del numero, legati pertanto alla sintassi interna del numero stesso. Ad esempio: 574 «cinquesettequattro» 20057 «duecentocinquantasette» 43

Errori Semantici 44

ALLENARE LA SEMANTICA 45

Potenziamo la semantica..

Potenziare la semantica 1. Potenziare il senso del numero 2. Rafforzare il collegamento tra differenti rappresentazioni del numero http://ccnl.psy.unipd.it/gara_dei_numeri.html 3. Concettualizzare ed automatizzare l aritmetica

ALLENARE LA SINTASSI 48

SPUNTI UTILI Associare la rappresentazione della quantità Rendere evidente la posizione di un numero Proporre un lavoro specifico sullo 0 49

Una riflessione per iniziare 50

Il posto delle decine 51

Il posto delle centinaia

In che modo i bambini imparano a fare i calcoli? I PROCESSI DI CALCOLO 55

PROCESSI SEMANTICI CONTEGGIO CALCOLO A MENTE PROCESSI LESSICALI PROCESSI PRE- SINTATTICI E SINTATTICI I meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema numerico possono avere origine solo nel momento in cui i meccanismi di riconoscimento pre-verbale della quantità si sono integrati con gli apprendimenti relativi ai sistemi di conteggio, lettura e scrittura di numeri arabici. CALCOLO SCRITTO 56

Il conteggio è la prima strategia che il bambino utilizza per svolgere semplici addizioni. SUBITIZING CAPACITA DI CONTEGGIO CAPACITA DI CALCOLO Prima di procedere all insegnamento delle procedure di calcolo bisogna assicurarsi che abbia ben automatizzato la capacità di conta. 57

5+5 28+17 1228+ 135 58

La capacità di calcolo è l insieme dei processi che consentono di operare sui numeri tramite operazioni aritmetiche Nell esecuzione di compiti aritmetici possono agire due tipi di strategie: a)strategie basate sul recupero mnemonico (CONOSCENZE DICHIARATIVE) b)strategie basate sui processi procedurali (CONOSCENZE PROCEDURALI) Le conoscenze procedurali sono diverse nel caso del calcolo a mente e del calcolo scritto 59

15+5 Riconoscimento del segno Riconoscimento dei dati Recupero della memoria? SI 20 NO recupero delle regole procedurali dell addizione Calcolo a mente Calcolo scritto 60

Il calcolo a mente STRATEGIE DI SCOMPOSIZIONE: Consentono di operare scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici Es. 17+5 10+5+5+2 =22 ALTRE STRATEGIE? 61

Il calcolo scritto Le procedure ordinano la forma grafica della specifica operazione: l incolonnamento dei numeri e la direzione spazio/temporale delle azioni Si procede da destra verso sinistra, prima si effettua il calcolo delle unità, poi delle decina Le decine si devono scrivere sotto le decine Le unità si devono scrivere sotto le unità!!!!la regole del riporto!!!! 62

Presentare le procedure come strategie per eseguire i calcoli, mettendo l accento e facendo sperimentare l utilità della strategia. Esercizi ripetuti in modo sistematico Lente procedure di conteggio Applicazione di regole in modo sempre più automatico 63

Il calcolo a mente Come apprendono i bambini le strategie di calcolo a mente? 64

Le strategie impiegate dai bambini per svolgere calcoli a mente seguono un certo percorso evolutivo e rappresentano una tappa fondamentale per il corretto apprendimento delle strategie e procedure per il calcolo scritto. Recupero dalla memoria del risultato. Ad es. le tabelline Conteggio Strategie di composizione/scomposizione. Ad es. 13+7 7+3+10 66

Fatti aritmetici (f.a.) Sono le combinazioni più frequenti (operazioni con numeri inferiori al 10, le tabelline ) Calcoli di base archiviati nella memoria a lungo termine (magazzino dei f.a.)dalla quale possono essere direttamente richiamati senza ricorrere a procedure di calcolo (conoscenze dichiarative)

Le strategie usate alla scuola primaria (Geary*) 1. Counting all es. 2+1 2. Counting on es. 5+2 7 Si parte dall addendo maggiore e poi si aggiunge il minore 3 3. Guardare le dita senza contarle es. 5+1 6 68

Calcolo a mente di numeri a 2 cifre È nel calco a mente che il bambino utilizza strategie più complesse, costruttive. La ricerca Studio di Beishuizen con bambini di 8 e 9 anni Nelle addizioni di numeri a due cifre egli individua 2 strategie La prima del 10-10, che consiste nel dividere entrambe gli operatori in decine e unità che poi vengono sommate o sottratte separatamente Es: 12+24= 10+20+2+4; 36-23=(30-20), (6-3), 10+3 È una strategia che manipola correttamente il numero scomponendo decine e unità ma non è adeguata per addizioni e sottrazioni che richiedono il passaggio della decina.

Con la seconda definita N10, il bambino scompone solo il secondo operatore in decine e unità che poi vengono sommate/sottratte separatamente al primo. Es: 24+17 24+10= 34 (prima somma parziale) 34+7=41

Come scelgono i bambini la strategia da utilizzare? La scelta è dettata dal LIVELLO DI FIDUCIA Recupero dalla memoria Si rappresenta gli addendi in modo astratto Utilizza supporti concreti (come le dita) Conteggio e dal TEMPO DI RICERCA IN MEMORIA. 71

ALLENARE IL CALCOLO MENTALE E I FATTI 72

GLI OBIETTIVI DEL LAVORO CON IL CALCOLO A MENTE E I FATTI NUMERICI Far apprendere una molteplicità di strategie per eseguire calcoli mentali. Aumentare la consapevolezza delle proprie caratteristiche cognitive. Presentare la matematica come qualcosa di piacevole e accessibile.

Il lavoro sul calcolo a mente L intelligenza numerica vol 2 1. Allenare il subitizing 2. Aggiungere e togliere da una determinata quantità. Vie analogica e fonologica. 3. Strategia di composizione con il nodo 4. Allenare al calcolo veloce i bambini vengono motivati a trovare strategie funzionali e automatizzano il riconoscimento di diversi calcoli! 5. Strategie partire dall addendo maggiore 6. Addizioni e sottrazioni con il nodo del il bambino deve automatizzare questo processo, è fondamentale per le operazioni di composizione e scomposizione dei numeri 5 10

7. Generalizzare il lavoro con il numero 10 al lavoro con le altre decine, facendo notare l uguaglianza 8. Proporre le strategie di composizione e scomposizione 9. Automatizzazione nel recupero delle tabelline 10. Utilizzando esempi concreti e le numerazioni si arriva alle divisioni a mente

Allenare il subitizing

Aggiungere e togliere da una determinata quantità.

Strategia di composizione con il nodo del 5

Allenare al calcolo veloce i bambini vengono motivati a trovare strategie funzionali e automatizzano il riconoscimento di diversi calcoli!

Strategie partire dall addendo maggiore

Addizioni e sottrazioni con il nodo del 10 il bambino deve automatizzare questo processo, è fondamentale per le operazioni di composizione e scomposizione dei numeri

Generalizzare il lavoro con il numero 10 al lavoro con le altre decine, facendo notare l uguaglianza

Proporre strategie di composizione e scomposizione

Automatizzazione nel recupero delle tabelline

Utilizzando esempi concreti e le numerazioni si arriva alle divisioni a mente

I processi di calcolo Gli errori nel calcolo scritto 86

Grazie per l attenzione! 89