3. Funzioni periodiche e sviluppi in Serie di Fourier Una prima classe di funzioni per cui si può effettuare l analisi armonica (3.5 contiene le funzioni periodiche (di periodo, tali cioè che f(t + = f(t, t R. (3.3 In tal caso è lecito aspettarsi che gli ω n dell eq. (3.5 siano tutti multipli interi dell armonica fondamentale ω = π ovvero Infatti dall identità ω n = n π, n Z. (3.31 segue e πin cos(πn + i sin(πn = 1, n Z (3.3 e iωn(t+ e i π n(t+ = e i π nt e iπn = e iωnt, n Z, t R. (3.33 Notare che la scelta di condizioni al contorno periodiche seleziona fra le possibili soluzioni dell equazione agli autovalori (3.8 solo quelle con ω n dato dalla (3.31. Senza occuparci per il momento di discutere la convergenza della serie f(t = n Z V n e iωnt (3.34 (detta serie trigonometrica di Fourier, vediamo subito come si possono calcolare i coefficienti V n nota la f(t; basta moltiplicare ambo i membri per e iω lt (l Z e integrare su un periodo (supponendo di poter integrare termine a termine per ottenere: e iωlt f(tdt = V n e iωlt e iωnt dt. (3.35 n Z Con il cambio di variabile x = πt, suggerito dalla (3.31, e usando l identità π e i(n lx dx = πδ nl, (3.36 85
detta relazione di ortogonalità, si ottiene subito: V l = 1 e iω lt f(tdt. (3.37 L eq. (3.37 è di grande importanza perché ci fornisce i coefficienti della serie di Fourier (3.34 e quindi, grazie alla proprietà P1, il modo per risolvere l equazione differenziale (3.1 con termine noto f(t periodico. I passi sono i seguenti: con la (3.37 si calcolano i coefficienti V l della serie di Fourier (3.34 di f(t; per ognuna delle armoniche, cioè per ognuno dei termini di tale serie, si applica la procedura che ci ha portato dal termine noto (3.16 alla soluzione (3.18, ottenendo così i coefficienti U n dati dalla (3.7; la soluzione dell equazione differenziale sarà data perciò dalla serie di Fourier (3.6. 3..1 Convergenza puntuale delle serie trigonometriche di Fourier Vogliamo ora discutere le proprietà di convergenza della serie con i coefficienti a n dati da a n e inx (3.38 n Z a n = 1 π e inx f(x dx. (3.39 π Per comodità siamo passati alla variabile x = πt, in cui il periodo è π. Notiamo subito che per f(x periodica, f(x + π = f(x, l integrale può essere esteso a qualsiasi altro intervallo di ampiezza π 3. 3 Vale infatti l identità, x R x+π x ( g(xdx = + x+π + x π 86 g(xdx
Notiamo inoltre che affinché la (3.39 abbia senso bisogna che l integrale esista; ciò succede certamente se f(x è sommabile 4, perché tale rimane dopo essere stata moltiplicata per il fattore e inx, il cui modulo vale 1. Ci conviene anzitutto enunciare il seguente lemma di Riemann: qualunque sia l intervallo (a, b, finito o infinito, per ogni f(x sommabile, vale lim f(xe ±ikx dx = lim f(x cos(kx dx = lim f(x sin(kx dx =. k a k a k a (3.4 Dimostrazione: ci limitiamo a dimostrare tale lemma nel caso particolare in cui f(x sia di classe C 1, cioè continua con la sua derivata prima. In tal caso è lecito integrare per parti e si ha da cui a a f(xe ±ikx dx = 1 ±ik f(x e±ikx b 1 a ik f(xe ±ikx dx 1 { f(b + f(a + k a a f (xe ±ikx dx, (3.43 f (x dx }. (3.44 La parentesi graffa non contiene più termini dipendenti da k, quindi il secondo membro tende a zero per k, e di conseguenza anche il primo. Usando le formule di Eulero si completa la dimostrazione, nel caso particolare di funzioni di classe C 1 ; nel caso generale la dimostrazione prosegue usando il fatto che per ogni funzione sommabile f(x e ogni ε > esiste una g C 1 tale che a f(x g(x dx < ε. [q.e.d.] Dimostriamo ora il = x g(xdx + g(xdx + g(y + πdy (3.4 x (nell ultimo integrale si è effettuato il cambio di variabile x = y + π. Se l integrando g(x è una funzione periodica di periodo π, allora i due ultimi addendi della (3.4 si cancellano e vale x+π x g(xdx = g(xdx, x. (3.41 Le due scelte più consuete sono x = oppure x =. 4 Definiremo più avanti che cosa significa funzione sommabile; per ora può essere tranquillamente letto come sinonimo di funzione assolutamente integrabile. 87
EOREMA: Condizione sufficiente affinché la serie (3.38 converga puntualmente a f(x è che la funzione f(x (sommabile nell intervallo (, π sia di classe C 1 nell intorno del punto x. Dimostrazione Definiamo la ridotta N-esima della serie (3.38 come S N (x = N l= N a l e ilx. (3.45 Sostituendo in (3.45 la definizione (3.39 dei coefficienti a l si ottiene Usando l identità N l= N e ilα = e inα N = la (3.45 diventa S N (x = 1 π π n= sin(n + 1/α sin α/ dyf(y N l= N e il(x y. (3.46 ( e iα n = e inα 1 ei(n+1α iα(n+1/ 1 ei(n+1/α = e 1 e iα e iα/ e iα/ S N (x = 1 π dyf(y sin [(N + 1/(x y] π sin(x y/ = 1 sin [(N + 1/t] dtf(x + t, (3.48 π dove nell ultimo passaggio si è posto t = x y e si è usata la periodicità dell integrando per fissare l intervallo di integrazione 5. Notare che per calcolare lim N S N (x non si possono applicare direttamente le formule di Riemann (3.4 alla (3.48, poiché la funzione f(x +t diverge come f(x t per t 6. Si noti che l integrale si può spezzare come segue: = δ1 non è integrabile: essa δ + + ; (3.49 δ 1 δ 5 sin(n + 1/t e hanno periodo 4π, ma il loro rapporto ha periodo π. 6è integrabile se f(x =, allora si applicano le formule di Riemann e si ottiene correttamente lim N S N (x =. 88 (3.47
δ 1, δ (, π si possono applicare le formule di Riemann al primo e terzo integrale, quindi sin [(N + 1/t] δ sin [(N + 1/t] lim f(x + t dt = lim f(x + t dt ; (3.5 N N δ 1 perciò la somma della serie nel punto x dipende solo dal comportamento locale della funzione f(x (sommabile in (, π in un intorno (arbitrariamente piccolo del punto x. Usando l identità 1 π sin [(N + 1/t] dt = 1, (3.51 π che si può verificare direttamente con il metodo dei residui (o anche considerando il caso particolare della (3.48 per f(x = 1, si può scrivere S N (x f(x = 1 [( dt sin N + 1 ] f(x + t f(x t. (3.5 π Adesso la funzione che moltiplica sin(n + 1/t è sommabile nell intervallo (, π; infatti in tale intervallo si annulla solo nell origine e f(x + t f(x lim t = f (x. (3.53 Si può quindi passare al limite per N e applicare le formule di Riemann per ottenere f(x = lim N S N(x. (3.54 [q.e.d] Notare che il eorema (3.54 può essere esteso al caso in cui nel punto x la funzione abbia una discontinuità di I specie, ma sia di classe C 1 sia in un intorno sinistro che in un intorno destro di x. Al posto della (3.5 si scrive infatti S N (x f(x + + f(x = 1 π + 1 π [( dt sin N + 1 ] f(x + t f(x t ] f(x + t f(x + [( dt sin N + 1 t dove f(x e f(x + sono i limiti destro e sinistro nel punto x e si è usata l identità sin (N + 1/ t sin (N + 1/ t dt = dt = π. (3.56 89, (3.55
Dalle formule di Riemann segue allora: lim S N(x = f(x + + f(x N, (3.57 di cui la (3.54 è ovviamente un caso particolare. Se il punto x cade in uno degli estremi dell intervallo di definizione della f(x, continua a valere la (3.57 purché la funzione sia continuata periodicamente: f(x + π = f(x. 3.. Importanti commenti In vista di una successiva applicazione fisica, torniamo alla variabile t = x: π f(t = a n e iωnt (3.58 n= i cui coefficienti sono, secono la (3.37, a m = 1 / / f(te iωmt dt. (3.59 Se la funzione f(t assume valori reali si vede subito che i coefficienti a n soddisfano la relazione seguente: a n = a n. (3.6 È utile osservare che, posto a n = a n e iαn, si può allora scrivere: a n e iωnt + a n e iωnt = a n [ e i(ωnt αn + e i(ωnt αn] = A n cos(ω n t α n, (3.61 con A n = a n. (3.6 Quindi per f(t reale la serie (3.58 diventa f(t = a + A n cos(ω n t α n Un integrale dalle importanti applicazioni fisiche è 9
1 / / f(t dt = 1 = 1 = 1 / / ( m= m= n= m= n= a me iωmt ( a ma n / / a ma n δ mn = n= e iωmt e iωnt dt n= a n e iωnt dx a n, (3.64 dove si sono sfruttate le identità: / e iωmt e iωnt = δ mn, (3.65 / note come relazioni di ortogonalità, su cui torneremo più avanti. risultato (3.64 si può ottenere più semplicemente sfruttando la (3.59: Il 1 / / f(t dt = 1 ( / a me iωmt f(t = a n. / m= n= La (3.64, che prende il nome di equazione di Parseval scritta nella base delle funzioni esponenziali, illustra come ogni componente di Fourier contribuisca separatamente all integrale; non ci sono cioè termini di interferenza del tipo a ma n. Qualora f(t rappresenti la corrente elettrica attraverso una resistenza R, la (3.64 moltiplicata per R mostra che la potenza media dissipata per effetto Joule è uguale alla somma delle potenze dissipate sulle varie frequenze. Per f(t reale la (3.64 diventa infatti: 1 / f(t dt = a + a n = a + / ( An, (3.66 dove nell ultimo passaggio si è ricordata la (3.6. In questo caso a è la componente di corrente continua della f(t e A n / il valore efficace della corrente alternata di pulsazione ω n. Serie di Fourier e funzioni trigonometriche Molto spesso anziché usare il sistema trigonometrico in forma esponenziale { e ilx, l Z } è utile usare il sistema trigonometrico tout court: {1, sin x, cos x, sin(x, cos(x,...} = {sin(nx, cos(nx}, n =, 1,,... 91 (3.67
È immediato verificare direttamente che le (3.67 formano un sistema di funzioni ortogonali nell intervallo (, π (o in qualunque altro intervallo di ampiezza π. Infatti: sin(mx sin(nxdx = πδ mn (m cos(mx cos(nxdx = πδ mn (m = πδ mn (m = sin(mx cos(nxdx =. (3.68 Data una f(x sommabile nell intervallo (, π, anziché la serie (3.38 proviamo a scrivere f(x = A + [A n cos(nx + B n sin(nx]. (3.69 Se la (3.69 è vera, i coefficienti A n e B n si ottengono moltiplicando la (3.69 rispettivamente per cos(mx e sin(mx, integrando su x fra e π e sfruttando le relazioni di ortogonalità (3.68, nell ipotesi che la serie converga a f(x e si possa integrare termine a termine. Si ricava così, per n = 1,,..., A n = 1 π B n = 1 π Il coefficiente A si ricava integrando la (3.69 tra e π: cos(nxf(xdx (3.7 sin(nxf(xdx. (3.71 A = 1 π f(xdx. Le relazioni (3.7 valgono quindi per tutti gli n =, 1,,..., mentre le (3.71 valgono per n = 1,,... Per la convergenza puntuale della serie (3.69 valgono esattamente gli stessi teoremi dimostrati per la serie (3.38, cioè se in un punto x interno all intervallo (, π la funzione f(x è di classe C 1, cioè continua assieme 9
alla sua derivata prima, allora la (3.69 è vera nel senso della convergenza puntuale. Se invece nel punto x la f(x ha una discontinuità di prima specie, ma è di classe C 1 sia in un intorno sinistro che in un intorno destro di x, vale allora: A + [A n cos(nx + B n sin(nx ] = f(x + + f(x. (3.7 dove f(x + e f(x sono rispettivamente i limiti destro e sinistro di f(x nel punto x. Se il punto x cade in uno degli estremi dell intervallo di definizione continua a valere quanto abbiamo detto per i punti interni purché la funzione sia continuata periodicamente su tutto l asse reale secondo la f(x + π = f(x. L equazione di Parseval, in termini dei coefficienti A n e B n, assume la forma seguente: f(x dx = π A + π ( An + B n. Se la funzione f(x è pari (f( x = f(x, i coefficienti B n sono nulli e la (3.69 si riduce a una serie di coseni: f(x = A + A n cos(nx. Se la funzione f(x è dispari (f( x = f(x, i coefficienti A n sono nulli e la (3.69 si riduce a una serie di seni: f(x = B n sin(nx. Esempio Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione a gradino: ɛ(x = { 1 π < x < +1 x π. Poiché la funzione è dispari, lo sviluppo in serie di Fourier conterrà solo seni (A n =. I coefficienti B n sono: 93
Pertanto B n = 1 π = 1 π = π { sin(nxɛ(xdx sin(nxdx + } sin(nxdx sin(nxdx = nπ [ cos(nx]π { n pari n dispari. = nπ [1 ( 1n ] = 4 nπ ɛ(x = 4 π sin x + 4 3π sin(3x + 4 sin(5x +... 5π = 4 sin[(n + 1x]. π n + 1 n= Graficamente, le successive approssimazioni sono: Notare che nell origine Figura 3.: e nei punti ±π la somma della serie vale zero, in accordo con la (3.7. Per n, si verifica il cosiddetto fenomeno di Gibbs, tipico delle serie di Fourier di funzioni discontinue: in prossimità di una discontinuità di prima specie, la ridotta ennesima della serie di Fourier presenta un picco, tanto più stretto quanto maggiore è n, di altezza pari a circa il 9% del salto. Questo esempio mostra che la serie di Fourier non converge uniformemente alla funzione f(x nei punti in cui essa ha una discontinuità di I specie. Scriviamo adesso esplicitamente la generalizzazione delle eq.(3.69,(3.7 e (3.71 al caso di funzioni periodiche con periodo π. In questo caso si pone t = π x. Se x varia nell intervallo (, π, la variabile t varierà nell intervallo ( /, /. La serie di Fourier (3.69 diventa così: con f(t = A + [ A n cos ( ( ] πnt πnt + B n sin 94,
A n = 1 π B n = 1 π cos(nxf(t(xdx = sin(nxf(t(xdx = / / / / ( πnt cos ( πnt sin f(tdt f(tdt. 3..3 Altri esempi Esempio 1 Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione f(x = sin x π < x < π contiene solo coseni, perché f(x è pari: I coefficienti di Fourier sono: f(x = A + A n cos(nx. A n = 1 π = 1 π = π Se n = 1 Quindi sin x cos(nxdx = π [sin(n + 1x sin(n 1x] dx = 1 π 1 + cos nπ n 1 A 1 = π se n 1. sin x cos xdx = π sin x cos(nxdx [ 1 cos(n + 1π sin x n + 1 π =. + ] cos(n 1π 1 n 1 f(x = π 1 + ( 1 n cos nx = π n= n 1 π 4 cos kx π k=1 (k 1 = π 4 ( cos x cos 4x cos 6x + + + π 3 4 35 Esempio 95
f(x = x π < x < π da cui A = π A n = π f(x = π 4 π xdx = π x cos nxdx = πn = πn [1 ( 1n ] k= Esempio 3 (x sin nx π sin nxdx cos(k + 1x = π (k + 1 4 ( cos 3x cos 5x cos x + + + π 9 5 f(x = x < x < π Quindi A = 1 π A n = 1 π B n = 1 π π π π f(x = π xdx = π x cos nx = 1 ( πn x sin nx = 1 πn sin nx n x sin nx π π ( x cos nx π + π sin nxdx = cos nxdx = n. ( sin x sin 3x = π sin x + + + 3 Si consiglia agli studenti di disegnare i grafici delle f(x dei tre esempi proposti. 96