Dnamca de sstem partcellar Marco Favrett Aprl 11, 2010 1 Cnematca Sa dato un sstema d rfermento nerzale (O, e ), = 1, 2, 3 e consderamo un sstema d punt materal (sstema partcellare) S = {(OP, m )}, = 1,, n, ove m > 0 è la massa del punto P e OP l raggo vettore dall orgne Comncamo ntroducendo alcune defnzon elementar Il barcentro d S è l vettore OG := m OP m = m OP m Una conseguenza mmedata della defnzone d barcentro è che mv G = m dog dt = m v = P ove P ndca la quanttà d moto d S Defnto l barcentro G, ha senso ntrodurre l sstema (non nerzale) (G, e ) con orgne concdente con G ed ass sempre parallel a quell d (O, e ), per cu s ha (formula d composzone delle veloctà) ω (τ) = 0, v (τ) = v G, v = v (τ) + v (r) = v G + v (r) S dmostrano faclmente le seguent relazon m GP = m (OP OG) = mog mog = 0 da cu, dervando rspetto a t, Inoltre s ha per l energa cnetca 0 = d m GP = dt m v (r) = P (r) 2T = m v 2 = m (v (r) + v G ) 2 = m (v (r)2 + mv 2 G + 2v G P (r), 1
da cu segue l Teorema d Köng T S = 1 2 mv2 G + T (r) Sa A un punto (fsso o moble) nel rfermento nerzale; l momento angolare o momento della quanttà d moto d S rspetto al polo A è M A = AP m v ; usando la formula d varazone del momento d un sstema d vettor applcat al varare del polo s ha subto M A = AG P + M G ed essendo noltre M G = GP m v = GP m (v (r) + v G ) = GP m v (r) = M (r) G s ha l analogo del Teorema d Köng per l momento angolare M A = AG P + M (r) G 2 Cnematca de sstem partcellar rgd Sa ora S sstema rgdo e denotamo con ω la veloctà angolare assoluta d S Mostramo prelmnarmente che: Proposzone 21 Se S è rgdo, allora G è soldale a S, ovvero Infatt, fssato j {1,, n}, v G = v + ω P G, = 1,, n mv G = m v = m (v j + ω P j P ) = mv j + ω m P j P, ed essendo P j P = GP GP j, s ha mv G = mv j + ω m (GP GP j ) = m(v j + ω P j G) 2
Ne segue che l sstema S = S {(OG, 0)} è ancora un sstema rgdo e n (G, e ) l moto d S ha un punto fsso G Inoltre, da ω (τ) = 0, usando la formula d composzone delle veloctà angolar ne mot rgd s ha che ω = ω (τ) + ω (r) = ω (r) Per un generco sstema rgdo con un punto fsso A, l momento angolare e l energa cnetca ammettono l espressone seguente (s usa la formula del doppo prodotto vettore) M A = AP m v = m AP (ω AP ) = = m (AP 2 ω (AP ω)ap ) = m (AP 2 I AP AP )ω = I A ω ove a b M(n) ndca la matrce prodotto tensore de due vettor a, b R n (a b)u := a(b u) u R n e I A = m (AP I Ap AP ) M(n) è l tensore d nerza del sstema (rgdo) d punt materal S tratta d un oggetto che dpende dalla sola geometra della dstrbuzone delle masse del sstema rgdo Prma d studare le propretà del tensore d nerza, rcavamo l espressone dell energa cnetca per un generco sstema rgdo con un punto fsso 2T S = = m v 2 = m (ω AP ) 2 = m ω Ap ω Ap = m ω AP (ω AP ) = ω m AP (ω AP ) = ω I A ω Nel caso partcolare d G punto fsso nel sstema del barcentro e ω (r) veloctà angolare del sstema rspetto al rfermento del barcentro, ottenamo l analogo delle formule d Köng per un sstema rgdo 201 Propretà del tensore d nerza T S = 1 2 mv2 G + 1 2 ω I Gω, ( 1) M A = AG P + I G ω ( 2) 1) I A è operatore smmetrco (e qund dagonalzzable) Rspetto alla base (O, e ) s ha nfatt (I A ) j = e I A e j = k m k (AP 2 k e e j AP k e AP k e j ) = (I A ) j 3
2) Sa ω = ω u, ove u= vers ω Allora ove T = 1 2 ω I Aω = ω2 2 u I Au = ω2 2 I u ( 3) I u := u I A u = m (u AP ) 2 = m d 2 0 è l momento d nerza del sstema rspetto alla retta per A e parallela al versore u Esso concde con la somma delle masse per le dstanze al quadrato de punt P dalla retta per A Come s vede subto, I u non vara se s consdera un altro punto A sulla retta defnta da (A, u) Dalla (3) s deduce che I A, smmetrco è defnto postvo ovvero ω I A ω 0, ω I A ω = 0 ω = ω u = 0, tranne che nel caso n cu essta u tale che I u = 0 In tal caso punt d S sono dspost tutt lungo una retta parallela a u e S è soldo degenere (asta) 3) Formula d varazone del momento d nerza (Teorema d Huygens Stener) Consderamo le rette parallele al versore u per punt A e G, barcentro d S; non è restrttvo supporre che sa d = AG la dstanza tra le rette Allora (ved fgura) A d P G I (A) u = m (u AP ) 2 = m [(u AG) + (u GP )] 2 = = m [(u AG) 2 + (u GP ) 2 + 2(u AG) (u GP )], da cu I (A) u = md 2 + I (G) u Eserczo Mostrare che la relazone precedente è un caso partcolare della formula I O = I G + OG OG 4
4) Moment prncpal d nerza Supponamo per semplctà A concdente con l orgne del rfermento nerzale, per cu OP = (x, y, z ) I termn sulla dagonale d I O sono dett moment prncpal d nerza S ha ad esempo per e 3 (I O ) 33 = e 3 I O e 3 = I (O) e 3 = m (OP e 3 ) 2 = = m (OP 2 (OP e 3 ) 2 ) = m (x 2 + y 2 + z 2 z 2 ) = m (x 2 + y 2 ) I termn extra dagonal sono dett moment devator (I O ) 23 = e 2 I O e 3 = m ( y z ) 5) Sold pan (lamne) Sa e 3 perpendcolare al pano che contene l sstema Allora z = 0 per ogn = 1, n e I 1 = m (x 2 + y 2 + 0 x 2 ) = m y 2, I 2 = m x 2 e s ha I (O) 3 = I (O) 2 + I (O) 1 5