Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3a (ultima modifica 21/03/2010)

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3a (ultima modifica 1/03/010) CAMPI ELETTICI STATICI o ELETTOSTATICA Definizione generale di campo Per campo si intende una distribuzione spaziale di una grandezza scalare o vettoriale che può o no essere funzione del tempo. Esempi: campo gravitazionale terrestre, quote di una regione terrestre rispetto al livello del mare, temperatura in ogni punto di uno spazio finito dove sono presenti fonti di calore etc, etc, M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 1

CAMPO ELETTOSTATICO L elettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche (sorgenti) a riposo (fisse nello spazio). In tali condizioni i campi generati non cambiano con il tempo e non si generano campi magnetici. L elettrostatica riguarda lo studio del campo più semplice, ma ha una importanza fondamentale per comprendere i modelli elettromagnetici più complessi e generali. La spiegazione di molti fenomeni naturali come: fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain explosion e i principi di diverse applicazioni industriali come l oscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret microphone, sono basati sulla elettrostatica. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a

La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni che legano: la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e dielettrici, la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico interposto, le differenze di potenziale fra i conduttori e la distribuzione del campo nel dielettrico. Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema all equilibrio. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 3

Per esempio la determinazione delle grandezze di campo è utilizzata per determinare: la capacità fra conduttori, il massimo gradiente dell isolamento, il valore del campo fra le placche di deflessione in un oscilloscopio, la schermatura della griglia di un tubo a vuoto, il campo agente su elettroni e lacune di un transistore, la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone elettronico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 4

Lo sviluppo dell elettrostatica nella fisica elementare inizia con la : Legge fondamentale dell elettrostatica di Coulomb (1785), espressa dalla relazione, matematica: Q1 Q F1 a 1 K [ N] +Q 1 +Q +Q 1 F1 1 1 1 F1 -Q La forza che si stabilisce tra due cariche Q 1 e Q di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza di separazione 1, ha: il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale alla distanza 1, la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le cariche uguali si respingono. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 5 F1 F1

La legge di Coulomb è basata su prove empiriche evidenti e quindi è anche un postulato. Il caso più semplice dell elettrostatica si ha per un Campo elettrostatico dovuto a cariche elettrostatiche nel vuoto per definirlo è necessaria solo una delle quattro grandezze fondamentali vettoriali, che sono utilizzate per descrivere il modello elettromagnetico più generale: l intensità del campo elettrico E. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 6

In generale l esistenza di un campo in un punto P di esso, è rilevabile attraverso le forze che agiscono su una carica di sondaggio (test) puntiforme q posta in quel punto P. La carica q deve essere tale da non alterare la distribuzione del campo. Il campo elettrico E in un punto P generico del campo è definito come la forza F per unità di carica, che agisce su una carica puntiforme di sondaggio o test fissa q, quando questa sia posta in P: F V E lim q 0 q m E ha la stessa direzione della forza F [N] che agisce sulla carica test. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 7

Se q F [ C] [ N] E N C V m Infatti: N C N m m 1 A s J m 1 A s W A 1 m V m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 8

I due postulati fondamentali dell elettrostatica nel vuoto sono definiti attraverso la divergenza e il rotore di E : div E E e rot E E ρ ε 0 0 dove: ρ ε 0 é la densità di carica volumica é la permettività nel vuoto Queste equazioni affermano che il campo elettrico statico: non è solenoidale a meno che ρ 0, ma esso é irrotazionale. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 9

I due postulati fondamentali dell elettrostatica descrivono due aspetti fondamentali dei fenomeni fisici legati alla presenza di un campo elettrostatico. Infatti il I postulato esprime analiticamente che il flusso elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie. div E E ρ ε 0 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 10

Inoltre il II postulato esprime, come si può si può verificare empiricamente che: L energia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quell istante e non da come esse si sono evolute. Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo elettrostatico) Analiticamente questi concetti possono essere espressi da: rot E E 0 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 11

Integrando il primo e secondo membro relazione analitica del I postulato, espressa mediante l operatore divergenza si ha: div E E per il da cui : ρ ε 0 si ha : teorema della divergenza: E E E ds E ds che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campo elettrico nel vuoto, uscente da una superficie chiusa, è uguale alla carica totale racchiusa nella superficie diviso ε 0. V V S dv dv S Q ε 0 1 ε 0 V ρ dv, M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 1

Integrando la relazione che esprime il II postulato, espressa mediante il rotore del campo e applicando il teorema di Stokes si ha: ( E) ds E dl 0 S L integrale lineare del campo elettrico lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero. Il prodotto scalare integrato lungo un qualsiasi percorso dl, E dl dv, è pari alla tensione lungo tale percorso. C C Tale relazione nella teoria circuitale esprime la legge delle tensioni di Kirchhoff : la somma algebrica delle tensioni lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 13

Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che l integrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo dai punti estremi del percorso: C 1 P 1 P C C 1 E dl + C E dl 0 P P 1 E dl P P 1 E dl M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 14

Postulati dell Elettrostatica nello spazio vuoto Forma differenziale Forma integrale E ρ ε 0 S E d s Q ε 0 E 0 E d l 0 C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 15

Campo elettrostatico dovuto ad una carica q fissa in una regione dello spazio vuota e illimitata. Si tratta del problema elettrostatico più semplice possibile. Il campo elettrico è radiale e ha la stessa intensità in tutti i punti appartenenti ad una sfera di raggio generica. E Si ha: E d s S S S da cui risulta: ( a E ) a ds ( ) E ds E 4 π E a E a 4πε q 0 q ε 0 q ε 0 V m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 16 q a

In generale se la carica q non è localizzata nell origine del sistema di coordinate scelto, occorre considerare un versore diverso: z q E E P a qp 4πε o ' P essendo: ' a E qp P q 4πε ( ' ) o ' ', ' 3 V m x o q ' a qp a qp y M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 17

In particolare la forza che agisce su una carica q posta all interno di un campo generato dalla carica q 1 è data dalla relazione: F 1 q E F 1 1 a 4πε ( N ) che rappresenta la forma matematica della legge di Coulomb. q 1 q o E 1 è il valore del campo nel punto P dove è posta la carica q. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 18

Se il campo elettrostatico è generato da un insieme discreto di cariche q 1, q,,,q n, poiché l intensità del campo elettrico è una funzione lineare di q con fattore di proporzionalità a /4 πε0, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Il campo totale E in un punto P dovuto ad un insieme di cariche, è la somma vettoriale dei campi generati da ciascuna carica: E 1 4πε o ( ) ' k n qk V k 1 ' 3 m k M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 19

Campo elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche Il campo dovuto a una distribuzione volumica continua di carica si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare relativa al volume differenziale dv, per la distribuzione di carica. La densità di carica volumica ρ (C/m 3 ) é una funzione delle coordinate. Poiché un elemento differenziale di cariche equivale ad una carica puntiforme, il contributo di carica ρ dv in un elemento di volume elementare dv all intensità del campo elettrico nel punto P é: dq d E a 4πε con dq o ρ dv' M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 0

Quindi l intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione volumica di carica continua è: d E Il campo elettrico totale sarà: E 1 4πε o V' a a ρ ρdv' 4πε dv' o V m ρdv P a E 1 4πε o V' ρ 3 dv' V m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 1 V

L intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione superficiale di carica continua è: E 1 4π ε o S' a ρ S ds' V m L intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione di carica lineare continua è: E 1 4π ε o L' a ρ l dl' V m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a

Potenziale Elettrico Si può definire il potenziale elettrico facendo riferimento alla I identità nulla, per la quale il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero: rot (grad (V)) ( V) 0 Infatti per il teorema di Stokes, l integrale superficiale su una superficie è uguale all integrale lineare del V lungo un precorso chiuso che delimita la superficie, : ( V) d s V d ed essendo: dv [ ] ( ) l Ossia se il campo è irrotazionale, esso può essere espresso come il gradiente di un campo scalare: E 0 E V S ( V ) d l ( V ) dl dv 0 ( V ) 0 C C C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 3

Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a quelle vettoriali, si è indotti a definire il potenziale V tale che: E V e a calcolare il campo attraverso l operatore gradiente. Il potenziale elettrico ha un significato fisico: esso equivale al lavoro fatto per trasportare una carica da un punto P 1 ad un altro P del campo, in senso contrario a quello del campo: W J V V1 E dl q C P P 1 o [ V] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 4

Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei punti, si definisce differenza di potenziale elettrico tra i punti P 1 e P : V P V 1 E P 1 dl [ V] E C 1 P P 1 C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 5

Occorre fare due puntualizzazioni : 1. L inclusione del segno negativo nella relazione è necessaria per essere conformi con la convenzione per la quale il potenziale elettrico aumenta spostandosi in direzione opposta a quella del campo, ossia il campo è diretto dalle cariche positive verso quelle negative e il potenziale aumenta in senso inverso;. In base alla definizione del gradiente di un campo scalare, la direzione di V è parallela alle superfici delle linee di flusso o di campo, che indicano in ogni punto la direzione del campo E, sono ovunque perpendicolari alle linee equipotenziali o alle superfici equipotenziali. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 6

Potenziale elettrico dovuto a una distribuzione di cariche Il potenziale elettrico in un punto a distanza da una carica q, riferito all infinito, si può determinare dalla equazione: E V da cui: q V V πε 4 o q V E d a a d 4πε 0 [ ] ( ) La differenza di potenziale tra due punti P e P 1 alla distanza e 1 rispettivamente dalla carica q è: q q 1 1 V V V Vd d 1 P P1 1 1 4πε 4πε o o 1 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 7

Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto. Esempio: lungo il percorso P 1 -P 3, il lavoro è uguale a zero. q P P 3 1 P 1 Il potenziale elettrico di un punto a distanza da un sistema di cariche q 1, q,,,q n, è ottenuto attraverso la sovrapposizione degli effetti dalla somma dei potenziali dovuti alle singole cariche: V 1 4πε o q N k k 1 ' k [ V ] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 8

Come esempio, si consideri il dipolo elettrico costituito dalle cariche +q e q separate da una piccola distanza d z P dipolo elettrico +q d -q θ + - p d + - θ a Punto Le distanze dalle cariche del punto del campo P siano + e - rispettivamente e il potenziale in P sarà: V q 4π ε o M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 9 1 1 +

Se d << e 1 1 d 1 + + d cosϑ 1 + cosϑ 1 1 d 1 d cosϑ 1 cosϑ p d + - θ a Punto Per cui sostituendo nella espressione del potenziale: q d cosθ p a r V oppure V 4πε 4πε o o [ V ] dove, p qd è il momento del bipolo e il campo elettrico essere ottenuto dalla relazione: E V E può M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 30

In coordinate sferiche si ha: E V a V θ a V θ essendo: q d cosθ 4πε V o [ V ] si ha: E 1 4πε 0 3 ( a cosθ a sinθ) + θ M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 31

Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in un volume finito, si ottiene integrando il contributo di un elemento di carica per l intero volume : V 1 4πε 0 dv' [ V ] Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una superficie finita: 1 ρ S V ds' [ V ] 4πε 0 Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una linea di lunghezza finita : 1 ρ V l dl' [ V ] 4πε 0 V' S' L' ρ M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 3

Conduttori nei campi elettrostatici La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà elettriche è la seguente: conduttori, semiconduttori e isolanti o dielettrici. Tutti questi materiali sono composti da atomi. La rappresentazione schematica del modello atomico èdi un nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni che orbitano intorno. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 33

Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un atomo all altro. Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo esterno perché gli elettroni migrino. Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle di conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero limitato di cariche mobili libere. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 34

Conduttori nei campi elettrostatici La proprietà elettrica macroscopica dei materiali è caratterizzata da un parametro costitutivo chiamato conduttività, che sarà definita in seguito, quando si studieranno i campi dovuti a cariche in movimento. Se viene generato un campo elettrico nel conduttore, il campo esercita una forza sulle cariche e fa si che si muovano una rispetto all altra. Questo movimento continuerà sino a quando tutte le cariche raggiungeranno la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che la carica e il campo interni si annullino. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 35

All interno di un conduttore in condizioni statiche la densità di carica ρ e il campo E si annullano: ρ 0 E 0 Infatti: la prima condizione è dovuta al fatto che all interno del conduttore non è presente alcuna carica e la seconda condizione è dovuta alla legge di Gauss: il flusso totale uscente attraverso la superficie chiusa che delimita il conduttore è uguale a zero. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 36

Quindi se si considera un campo elettrostatico, generato da due corpi conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q). Se in un campo elettrostatico si introducono dei corpi conduttori, non precedentemente caricati, essi assumono, all atto della introduzione del campo, un potenziale determinato uguale per tutti i punti dell area occupata dal conduttore. A - -q - C + +q +Q -Q - + + B La superficie esterna del conduttore C risulta essere una superficie equipotenziale del campo, dalla quale partono e arrivano linee di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme delle cariche indotte positive +q e negative -q. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 37

La distribuzione sulla superficie del conduttore sottoposto a un campo elettrostatico, dipende dalla forma della superficie e tali cariche devono risultare fisse in uno stato di equilibrio: ciò equivale a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico, che producono forze e movimenti tangenziali devono essere nulle. Sulla base di tali considerazioni si ha che: Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta ovunque normale alla superficie. In condizioni statiche la superficie di un conduttore èuna superficie equipotenziale. Poiché E 0 dappertutto all interno del conduttore, l intero conduttore ha lo stesso potenziale elettrico V. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 38

Alle cariche è richiesto un tempo finito per ridistribuirsi sulla superficie del conduttore e raggiungere lo stato di equilibrio. Tale tempo dipende dalla conduttività del materiale come si vedrà in seguito, (per il rame è dell ordine di 10-19 s). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 39

Schermo elettrostatico L uso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore all interno di uno schermo conduttore collegato a terra e un terzo corpo conduttore. 1 3 Se un conduttore, come il conduttore, è cavo il campo elettrico all interno di esso è nullo, ossia l involucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, all influenza di campi elettrici esterni. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 40

Campo elettrostatico in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto spazio vuoto E a n E n S b c w a d h conduttore ρ s Per definire la componente tangenziale del campo, si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico, ossia l integrale lineare lungo il contorno abcda avente : larghezza: abcd w e altezza: bcda h con h 0 abcda E d l ab E d l E w Poiché il campo è nullo nel conduttore e i contributi al calcolo dell integrale nei tratti bc e da sono trascurabili poiché h 0 t M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 41 0 E t 0

Per definire la componente normale del campo, si applica il teorema di Gauss, considerando una superficie Gaussiana, come riportato in figura con la superficie superiore nello spazio vuoto e quella inferiore nel conduttore. Calcolando l integrale superficiale del campo sulla superficie Gaussiana si ha: ρ S ρ s s E dse S E n ε ε S o Quindi nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spazio vuoto, per le condizioni statiche descritte: la componente tangenziale del campo è nulla e la componente normale del campo è uguale alla densità di carica superficiale diviso per la permettivittà dello spazio vuoto. o M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 4

Condizioni al contorno in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto E t 0 ρ E s n εo Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo fa si che gli elettroni all interno del conduttore si muovano in direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in direzione concorde con quella del campo. Così le cariche libere si distribuiranno sulla superficie del conduttore creando un campo indotto tale da annullare il campo esterno sia all interno del conduttore che in direzione tangenziale alla sua superficie. Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 43

Dielettrici nel campo elettrostatico I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un corpo dielettrico è posto all interno di un campo elettrostatico, non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo all altro come nei conduttori. Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono sul campo elettrico. Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi: 1. polarizzazione elettronica e. polarizzazione per orientamento. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 44

La polarizzazione elettronica che consiste in uno spostamento relativo delle orbite degli elettroni periferici degli atomi rispetto al nucleo, per cui ogni atomo si comporta come un dipolo orientato secondo il campo. La polarizzazione per orientamento si presenta insieme a quella elettronica, in quei dielettrici in cui, già in assenza di campo esterno, le molecole costituiscono dei bipoli, che in assenza di campo sono orientati disordinatamente per l agitazione termica. Tali molecole sono macroscopicamente neutre. In presenza di un campo si polarizzano i dipoli elettrici, ossia si orientano nella direzione del campo, modificando il campo elettrico sia all interno che all esterno del materiale dielettrico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 45

Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che ha generato la polarizzazione. Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati. Gli electrets sono materiali equivalenti ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei microfoni ad alta fedeltà. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 3a 46