Geometria 4, Matematica, I appello, 17 giugno Svolgimento.

Geometria 4, Matematica, I appello, 7 giugno 03. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva rappresentata dalla funzione x(t) = ( cos t + t sin t, sin t t cos t, sin t t cos t + ) (t > 0). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Le equazioni intrinseche di C sono κ = s, τ = 0. (b) Le equazioni intrinseche di C sono κ =, τ = 0. (c) C e contenuta nel piano x + y + z =. (d) C e contenuta in una sfera. (e) La retta normale a C nel punto P = x(π) e parallela al vettore (0,, ). Svolgimento. Derivando otteniamo: Deduciamo allora: x (t) = t( cos t, sin t, sin t), x (t) = ( cos t, sin t, sin t) + t( sin t, cos t, cos t), x (t) = ( sin t, cos t, cos t) + t( cos t, sin t, sin t). x (t) = t, s = t, x (t) x (t) = t (0,, ), x (t) x (t) = t, [x x x ] = 0. Quindi κ = t = s, e τ = 0. In particolare C e una curva piana, ed e contenuta in un piano ortogonale a b = (0,, ). Percio non puo essere contenuta nel piano x + y + z =, altrimenti C sarebbe una retta, in contrasto con le sue equazioni intrinseche. Ne C puo essere contenuta in una sfera, perche, essendo piana, sarebbe una circonferenza, il che comporterebbe κ costante, ancora in contrasto con le equazioni intrinseche. Infine, la retta normale per P deve essere ortogonale a t(π) = (, 0, 0), ed anche a b = (0,, ). L unica direzione che soddisfa queste condizioni e quella determinata dal vettore (0,, ), per cui l ultima affermazione e vera. In conclusione, le affermazioni vere sono soltanto (a) ed (e). Esercizio. Sia C un elica generale non contenuta in un piano (ossia C e una curva non piana per la quale esiste un vettore fissato nello spazio, detto l asse dell elica, tale che l angolo tra i vettori tangenti e l asse sia costante). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) L asse di C e parallelo a tutti i piani osculatori di C. (b) L asse di C e parallelo a tutti i piani normali di C. (c) L asse di C e parallelo a tutti i piani rettificanti di C.

Svolgimento. Sia u una direzione dell asse di C. Allora il prodotto scalare t u e costante, percio ṫ u = 0. Quindi n si mantiene ortogonale ad u, cioe u e parallelo a tutti i piani rettificanti di C. Cio prova che l affermazione (c) e vera. Se u fosse anche parallelo a tutti i piani normali allora u sarebbe parallelo a b, quindi b sarebbe costante, il che e in contrasto con l ipotesi che C non e piana. Per lo stesso motivo non puo accadere che u sia parallelo ai piani osculatori, perche allora t sarebbe costante, e C una retta. In conclusione, l unica affermazione vera e la (c). Esercizio 3. Sia S la superficie di equazione z = xe y x. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Tutti i piani tangenti di S passano per uno stesso punto. (b) S e un cono privato del vertice. (c) S possiede punti ellittici e punti iperbolici. Svolgimento. Poniamo f(x, y, z) = z xe y x, e sia P = (u, v, ue v u ) il generico punto di S. Allora f x (P ) = e v u ( v ), f y (P ) = e v u, fz (P ) =. u Quindi l equazione cartesiana del piano tangente ad S in P e : e v u ( v ) ( (x u) + e v v v u (y v) (z ue u ) = e u v ) x + e v u y z = 0, u u il che prova che tutti i piani tangenti passano per l origine (0, 0, 0). Ci aspettiamo che S sia un cono di vertice (0, 0, 0). Per provare cio, sia C la curva che si ottiene intersecando S con un piano non passante per l origine, per esempio il piano z =, e sia Σ il cono su C di vertice (0, 0, 0). Una parametrizzazione per C e data dalla funzione y(t) = (t, t log t, ), ed una rappresentazione parametrica di Σ e : x(s, t) = s(t, t log t, ). Le coordinate di x(s, t) soddisfano l equazione di S, percio Σ\{(0, 0, 0)} S. Viceversa, dati u, v, e posto s := ue v u e t := e v u, si ha (u, v, ue v u ) = s(t, t log t, ). Cio prova che S e contenuta in Σ\{(0, 0, 0)}, e dunque che S = Σ\{(0, 0, 0)}. Il fatto che S sia un cono implica che tutti i suoi punti sono parabolici o planari, percio l affermazione (c) e falsa. In conclusione, le uniche affermazioni vere sono la (a) e la (b). Esercizio 4. Sia S la superficie di equazione z = x 3 + xy + y. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) I punti con x > 4 sono tutti e soli i punti ellittici di S. (b) I punti parabolici di S sono disposti lungo una parabola. (c) Le curvature principali di S nell origine sono κ = + 5 e κ = 5. (d) Le direzioni asintotiche di S uscenti dall origine sono (, 0, 0) e (,, 0). Svolgimento. Una rappresentazione parametrica di S e : x(u, v) = (u, v, u 3 + uv + v ).

3 Le derivate parziali sono: x u = (, 0, 3u + v), x v = (0,, u + 4v), x uu = (0, 0, 6u), x uv = (0, 0, ), x vv = (0, 0, 4). Quindi x u x v = ( 3u v, u 4v, ), e, posto ν := ( 3u v, u 4v, ), si ha N = ν ( 3u v, u 4v, ). Percio L = 6u ν, M = ν, N = 4 ν, e LN M = 4u ν. Ne consegue che K > 0 se e solo se u > 4, il che prova l affermazione (a). Per S, che non ha punti planari perche M 0, i punti parabolici sono tutti e soli i punti con K = 0, cioe corrispondono alla v curva u 0 = 4, la cui immagine su S e una parabola nel piano x = u 0. Nell origine abbiamo E =, F = 0, G =. Percio le curvature principali κ e κ altro non sono che gli autovalori della matrice [ ] L M = M N Cioe [ ] 0. 4 κ = + 5 e κ = 5. Infine le direzioni asintotiche sono date dai vettori x u (0, 0)du + x v (0, 0)dv, con (du : dv) soluzioni dell equazione Ldu + Mdudv + Ndv = 0, cioe dell equazione dudv + 4dv = 0. Per cui anche l ultima affermazione e vera. In conclusione, tutte le affermazioni sono vere. Esercizio 5. Sia V + (F ) il luogo degli zeri di una quadrica irriducibile in P n C (n 3). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Se P,Q sono due punti distinti di V + (F ), e P Sing(F ), allora la retta l P Q che li congiunge e tutta contenuta in V + (F ). (b) Se P,Q sono due punti distinti di V + (F ), e P Sing(F ), allora la retta l P Q che li congiunge non e contenuta in V + (F ). (c) Se P e un punto regolare di V + (F ), e se T ( = P n C ) e l iperpiano tangente a V +(F ) in P, allora V + (F ) T e il luogo degli zeri di una quadrica di T per la quale P e un punto regolare. (d) Se P e un punto regolare di V + (F ), e se T ( = P n C ) e l iperpiano tangente a V +(F ) in P, allora V + (F ) T e il luogo degli zeri di una quadrica di T per la quale P e un punto singolare. Svolgimento. Sia F = n c ij X i X j = X T CX = 0 i,j=0 l equazione di V + (F ). E sia X = λp +µq l P Q il generico punto di l P Q. Sappiamo che X l P Q V + (F ) se e solo se P T CP λ + P T CQλµ + Q T CQµ = 0.

4 Se P e Q stanno su V + (F ) allora P T CP = Q T CQ = 0. Inoltre se P e singolare per V + (F ) allora si ha anche P T C = 0. Per cui l equazione precedente e identicamente nulla e dunque la retta l P Q e contenuta in V + (F ). Per studiare V + (F ) T e lecito assumere che P = [ : 0 : : 0], e che T sia l iperpiano di equazione X n = 0. Per cui possiamo pensare T come P n C con coordinate X 0,..., X n. In tal caso allora V + (F ) T e il luogo degli zeri dell equazione G = n i,j=0 c ij X i X j = 0 che e una quadrica di T (il polinomio G non puo essere nullo perche F e irriducibile). Inoltre, poiche n i=0 F X i (P )X i = X n = 0 e l equazione dell iperpiano tangente a V + (F ) in P allora F X i (P ) = 0 per ogni i = 0,..., n. Ma allora si ha anche G X i (P ) = 0 per ogni i = 0,..., n, e percio P e un punto singolare per la quadrica che rappresenta V + (F ) T. In conclusione, sono vere soltanto le affermazioni (a) e (d).

5 Geometria 4, Matematica, II appello, luglio 03. Svolgimento. Esercizio. Sia C la spirale logaritmica rappresentata dalla funzione x(t) = e t (cos t, sin t). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) L equazione (cos t + sin t)x (cos t sin t)y = e t rappresenta la retta normale a C in P = x(t). (b) L evoluta piana di C si ottiene ruotando C intorno all origine di un angolo pari a π. (c) L inviluppo della famiglia delle normali di C e rappresentato dall equazione x (t) = e t ( sin t, cos t). cioe Svolgimento. Poiche x (t) = e t (cos t sin t, cos t + sin t), allora la retta normale ha equazione e t (cos t sin t)(x e t cos t) + e t (cos t + sin t)(y e t sin t) = 0, (cos t sin t)x + (cos t + sin t)y = e t. Quindi (a) e falsa. L inviluppo della famiglia delle rette normali e costituito dai punti (x, y) che soddisfano le condizioni { (cos t sin t)x + (cos t + sin t)y = e t ( cos t sin t)x + (cos t sin t)y = e t (la seconda equazione e ottenuta dalla prima derivando rispetto a t). Risolvendo il sistema si ottiene x (t) = e t ( sin t, cos t). Quindi anche (c) e falsa. Infine, ricordiamo che l evouta piana altro non e che l inviluppo delle rette normali. Per cui l evoluta si rappresenta con la funzione x (t) T = Il che prova che (b) e vera. [ e t sin t e t cos t ] = [ 0 0 In conclusione, (b) e l unica affermazione vera. ] [ e t cos t e t sin t ] = [ 0 0 ] x(t) T. Esercizio. Sia C una curva non contenuta in un piano, ed S sia la superficie rigata di base C, generata dalle rette binormali di C. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S e sviluppabile. (b) Le rette binormali di C sono linee asintotiche per S. (c) Se C e un elica circolare con κ C = e τ C =, e D e una linea asintotica per S che non sia una retta, allora nei punti di D si ha τ D = H4 (τ D =torsione di D, H =curvatura media di S). Svolgimento. Sia y = y(u) una rappresentazione naturale per C. Allora possiamo rappresentare S sotto la forma x(u, v) = y(u) + vb(u). Sappiamo che se S e sviluppabile allora [t b ḃ] 0, il che implica τ 0, e cio non e possibile perche C non e piana. Quindi l affermazione (a) e falsa. La (b) e vera perche le rette sono sempre linee asintotiche. Veniamo all affermazione (c). Per il Teorema di Beltrami-Enneper sappiamo che τd = K. D altra parte dalla rappresentazione parametrica di S deduciamo (quando κ C = e τ C = ): E = + v, F = 0, G =, L = E, M = E, N = 0.

6 Deduciamo K = LN M EG F = E, Quindi K = H 4, e percio (c) e vera. EN + GL F M H = (EG F ) = L E = E. In conclusione, le affermazioni vere sono soltanto (b) e (c). Esercizio 3. Sia x = x(u, v) una rappresentazione regolare di una superficie S con i seguenti coefficienti fondamentali: E = G = ( + u + v ), F = 0, L =, M = 0, N =. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S e una rigata sviluppabile. (b) Le curvature principali di S sono κ = ± 4 +u +v. (c) Le linee asintotiche di S formano due famiglie di curve ortogonali in S. (d) Le linee asintotiche di S corrispondono ad iperboli nel piano u, v. Svolgimento. Poiche K = LN M EG F = 4 ( + u + v ) 4 0, allora S certo non puo essere una rigata sviluppabile. Anche (b) e falsa perche altrimenti K, dovendo 6 essere il prodotto delle curvature principali, sarebbe uguale a K = (+u +v ). Le linee asintotiche sono 4 definite dalla condizione II = Ldu + Mdudv + Ndv = du dv = 0. Pertanto esse nel piano u, v corrispondono alle famiglie dv du = ±, cioe v = ±u + costante. Si tratta di rette nel piano u, v, percio anche (d) e falsa. Invece (c) e vera. Infatti le direzioni asintotiche (du : dv) = ( : ) e (δu : δv) = ( : ) sono ortogonali in quanto Eduδu + F (duδv + dvδu) + Gdvδv = E G = 0. In conclusione, l unica affermazione vera e (c). Esercizio 4. Sia Σ il cilindro rappresentato dall equazione x + y = 4. Si considerino i seguenti punti di Σ: P = (, 0, 0), Q = (0,, 3π), R = (0,, 0), ed S = (, 0, 7). Si denoti con d I la distanza intrinseca su Σ, e con d E quella euclidea nello spazio x, y, z. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) d I (P, Q) = π 0. (b) d I (P, Q) < d E (P, Q). (c) d I (P, S) = d E (P, S). (d) d E (P, R) =. Svolgimento. Consideriamo la carta di Σ (u, v) ] π, 3π[ R x(u, v) := ( cos u, sin u ), v Σ,

7 per la quale si ha ed anche P = x(0, 0), Q = x(π, 3π), R = x(π, 0), S = x(0, 7), E = G =, F = 0. Per cui d I (P, Q) coincide con la lunghezza del segmento di estremi (0, 0), (π, 3π) nel piano u, v, cioe d I (P, Q) = π 0. Percio (a) e vera. In alternativa: sappiamo che le geodetiche del cilindro sono (a parte le generatrici e le traslate della base, nessuna delle quali passa simultaneamente per P e Q) le eliche circolari; possiamo allora cercare un elica siffatta C passante per P e Q, del tipo y(t) = ( cos t, sin t, bt); dovendo passare anche per Q deve essere b = 6; calcolando la lunghezza dell arco di tale elica compreso tra P e Q otteniamo di nuovo la (a). L affermazione (b) e palesemente falsa. L affermazione (c) e vera perche i punti P ed S sono allineati sul cilindro. Anche la (d) e vera in quanto d E (P, R) = P R = (,, 0) =. In conclusione, le sole affermazioni vere sono (a), (c), e (d). Esercizio 5. Nel piano proiettivo P C si considerino quattro punti E 0, E, E, E, a tre a tre non allineati. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Esiste un unica conica nonsingolare passante per E 0, E ed E, per la quale la retta l E0E e una retta tangente. (b) Ci sono infinite coniche nonsingolari passanti per E 0, E ed E, per le quali la retta l E0 E e una retta tangente. (c) Non esiste nessuna conica nonsingolare passante per E 0, E ed E, per la quale la retta l E0 E e una retta tangente. Svolgimento. Possiamo supporre E 0 = [ : 0 : 0], E = [0 : : 0], E = [0 : 0 : ], E = [ : : ]. In tal caso una conica passa per E 0, E ed E se e solo se la sua equazione e del tipo F = ax 0 X + bx 0 X + cx X = 0, mentre la retta l E0E ha equazione X X = 0. D altra parte la retta tangente ad F in E 0 ha equazione ax + bx = 0. Per cui se esiste una conica nonsingolare che soddisfa le condizioni richieste, essa ha un equazione del tipo a(x 0 X X 0 X ) + cx X = 0, [a : c] P C. E viceversa, se l equazione precedente definisce una conica nonsingolare, allora essa soddisfa le condizioni richieste. Il calcolo del determinante della matrice di Gram mostra che tale conica e nonsingolare se e solo se ac 0. Per cui tutte e sole le coniche nonsingolari passanti per E 0, E ed E, per le quali la retta l E0 E e una retta tangente, sono quelle di equazione Ce ne sono pertanto infinite. a(x 0 X X 0 X ) + cx X = 0, [a : c] P C\{[ : 0], [0 : ]}. In conclusione, l unica affermazione vera e la (b).

8 Geometria 4, Matematica, III appello, 5 settembre 03. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva rappresentata dalla funzione ( ) x(t) = (t log t), (t + log t), t (t > 0). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) κ = τ. (b) Nel punto P = (,, ) il triedro di Frenet di C e : t = 6 (, 3, 4), n = 6 (, 3, 4), b = 3 (, 0, ). (c) Il piano osculatore a C nel punto P = (,, ) ha equazione x z = 3. Svolgimento. Per rispondere alla prima domanda, andiamo a calcolare la curvatura e la torsione di C in funzione di t. Derivando otteniamo: x (t) = ( t, + t, t), Deduciamo allora: x (t) = ( t, t, ), x (t) = ( t 3, t 3, 0). Quindi x (t) = t ( + t ), x (t) x (t) = ( + t x (t) x (t) = t ( + t ), [x x x ] = 8 t 3. κ = x (t) x (t) t x (t) 3 = ( + t ), [x x x ] τ = x (t) x (t) = t ( + t )., +, t t ), Cio prova che la (a) e vera. Il punto P corrisponde al valore t =. Percio utilizzando il calcolo precedente abbiamo: t = x () x () = 6 (, 3, 4), b = x () x () x () x () = 3 (, 0, ), n = b t = 6 (, 3, 4). Percio anche la (b) e vera. Come lo e la (c), in quanto il piano assegnato e ortogonale a b(), e passa per P.

9 In conclusione, tutte le affermazioni sono vere. Esercizio. La prima forma fondamentale di una superficie S e la seguente: I(du, dv) = du + (u + c )dv, dove c e un parametro. Siano A e B le due curve di S corrispondenti alle rette del piano u, v rappresentate dalle equazioni u + v = 0, e u v = 0. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Nel punto in comune le curve A e B hanno la stessa retta tangente se e solo se c = 0. (b) Nel punto in comune le curve A e B si incontrano ortogonalmente se e solo se c = 4. Svolgimento. Il punto P in comune ad A e B e quello corrispondente all origine u = 0, v = 0 del piano u, v. Il vettore (, ) e un vettore tangente alla retta u + v = 0 nell origine, mentre il vettore (, ) e un vettore tangente alla retta u v = 0 nell origine. Sulla superficie S tali vettori corrispondono a due vettori tangenti in P, chiamiamoli dx e δx, il primo tangente ad A in P, ed il secondo tangente a B in P. Tali vettori formano un angolo α dato da: cos α = dx δx dx δx = [ 0 [ ] 0 c ( [ ] [ 0 [ ] 0 c ]) ] [ ] ( [ ] [ 0 0 c ] [ ]) c =. ( + 4c ) (4 + c ) Ora A e B hanno la stessa retta tangente in P se e solo se cos α = ±, e cio equivale a dire che c = 0. Quindi (a) e vera.(*) Invece A e B si incontrano ortogonalmente in P se e solo se cos α = 0, cioe se e solo se c =. Quindi (b) e falsa. In conclusione, (a) e vera e (b) e falsa. Esercizio 3. Sia S la superficie che si ottiene ruotando la parabola x = 4z del piano x, z intorno all asse z. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S possiede un atlante costituito da un unica carta. (b) S e compatta. (c) L origine e l unico ombelico di S. (d) L equazione del piano tangente ad S nel punto P = (x 0, y 0, z 0 ) S e x 0 x + y 0 y z = z 0. Svolgimento. Poiche S si ottiene ruotando la parabola x(t) = (t, 0, t 4 ) intorno all asse z, allora una rappresentazione parametrica di S e data dalla funzione x(t, θ) = (t cos θ, t sin θ, t 4 ). Ne deduciamo la seguente rappresentazione cartesiana di S: x + y = 4z. Dunque S e un grafico, e percio ammette una carta globale, cioe x(u, v) = (u, v, u +v 4 ). Quindi la proprieta (a) e vera. Da quest ultima carta otteniamo i seguenti coefficienti fondamentali: E = + u 4, F = uv 4, G = + v 4, L = N = u + v + 4, M = 0. Cio premesso, veniamo alle altre domande. E chiaro che S non e compatta, perche non e limitata, infatti contiene una parabola. Quanto ai punti ombelicali, sappiamo che essi sono i punti in cui la matrice [ L M ] N E F G (*)Alcuni studenti hanno osservato che se c = 0 allora nel punto u = v = 0 si ha G = 0, il che e assurdo; percio le due curve non possono avere la stessa retta tangente, e dunque la risposta corretta e che (a) e falsa.

0 ha rango. Poiche M = 0 allora F = 0 e percio uv = 0. D altra parte L = N, percio E = G e dunque v = ±u. Ne deduciamo che u = v = 0, e percio S possiede un unico punto ombelicale, cioe l origine. Infine, ricordando che l equazione del piano tangente in P = (x 0, y 0, z 0 ) per una superficie f(x, y, z) = 0, e f x (P )(x x 0 ) + f y (P )(y y 0 ) + f z (P )(z z 0 ) = 0, nel nostro caso abbiamo: f x (P )(x x 0 ) + f y (P )(y y 0 ) + f z (P )(z z 0 ) = x 0 (x x 0 ) + y 0 (y y 0 ) 4(z z 0 ) = 0, cioe x 0 x + y 0 y z = z 0 (si tenga presente che x 0 + y 0 = 4z 0 ). In conclusione, le uniche proprieta vere sono la (a), la (c), e la (d). Esercizio 4. Sia x = x(θ, v) una rappresentazione regolare di una superficie S con i seguenti primi coefficienti fondamentali: E = c + v, F = 0, G = (c denota un parametro). Sia Γ l arco della θ-curva v = v 0 di S compreso tra i punti P e P corrispondenti a (θ, v 0 ) e (θ, v 0 ) (θ θ ). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) La lunghezza di Γ e pari a l(γ) = (θ θ )(c + v 0). (b) Nei punti di Γ si ha κ g = v0 c +v0. Svolgimento. Sappiamo che la lunghezza di un arco sopra una superficie e l integrale della radice quadrata di I. Percio, nel nostro caso, tenuto conto che Γ corrisponde al segmento θ(t) = t, v = v 0, θ t θ, abbiamo: l(γ) = θ θ [ E ( ) ( dθ dθ + F dt dt ) dv + G dt ( ) ] dv θ dt = c dt + v0 dt = (θ θ ) c + v0. θ Percio (a) e falsa. Invece, per la curvatura geodetica, poiche F = 0, possiamo applicare la formula: il che prova che (b) e vera. κ g = (κ g ) v=v0 = E v E G = E v E = v 0 c + v0, In conclusione, l unica proprieta vera e la (b). Esercizio 5. Nello spazio proiettivo P 3 (R) si consideri la quadrica Q luogo degli zeri dell equazione X 0 X 0 X + X 0 X X 0 X 3 + X X X + 4X X 3 + X + 3X 3 = 0. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X 0 + X X = 0. (b) Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X 0 + X + X = 0. (c) Ogni piano di P 3 (R) interseca Q in qualche punto. (d) Q e anche un sottospazio. Svolgimento. La matrice di Gram dell equazione di Q e la seguente: G =. 0 0 3

Applicando a G l algoritmo di Gauss-Lagrange (cioe applicando le operazioni elementari e (), e (), e 3 ( ), e 3 ( ), e 4 (), e 4 (), e 4 ( ), e 4 ( ), e 43 ( ), e 43 ( )), si perviene alla matrice 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 Deduciamo che Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X0 + X + X = 0. Quindi la proprieta (b) e vera, mentre e falsa la (a) per l unicita della forma canonica. Quanto alle altre proprieta, osserviamo che esse sono invarianti per proiettivita. Percio e sufficiente analizzarle per la quadrica X0 + X + X = 0. Il luogo degli zeri di tale quadrica e il punto [0 : 0 : 0 : ]. Percio (c) e falsa, mentre (d) e vera. In conclusione, le uniche affermazioni vere sono la (b) e la (d).

Geometria 4, Matematica, Appello straordinario, 9 settembre 03. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva rappresentata dalla funzione x(t) = e t (cos t + sin t, sin t cos t, cos t). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) La funzione curvatura κ = κ(t) di C e costante. (b) La curva C e contenuta in una sfera. (c) Il piano osculatore a C nel punto P = (,, ) passa per l origine. Svolgimento. Calcolando le derivate della rappresentazione di C otteniamo: x (t) = e t ( cos t, sin t, cos t sin t), x (t) = e t (cos t sin t, sin t + cos t, sin t), x (t) = e t ( sin t, cos t, sin t cos t), κ(t) = x (t) x (t) x (t) 3 = 6e t (5 cos t sin t) 3. Percio κ non e costante, e la (a) e falsa. Osserviamo anche che x (t) = x (t)+ x (t), percio la torsione di C e identicamente nulla, cioe C e contenuta in un piano. Ne deduciamo che (b) e falsa, altrimenti C sarebbe una circonferenza, il che non e possibile perche κ non e costante. Infine il piano osculatore a C in P e ortogonale al vettore (,, ) (infatti tale vettore e parallelo al vettore x () x ()), e, dovendo passare per P, ha equazione cartesiana x y z = 0, percio (c) e vera. In conclusione, l unica proprieta vera e la (c). Esercizio. Sia S la superficie di equazione z = (x + ) y. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S non possiede punti ombelicali. (b) I punti parabolici di S sono contenuti in una retta. (c) Le curvature principali di S nel punto O = (0, 0, 0) sono κ = e κ =. (d) Le direzioni asintotiche di S uscenti dal punto P = (0,, ) sono (0,, ) e (,, 3). Svolgimento. Calcolando le derivate della rappresentazione x(u, v) = (u, v, (u + ) v), otteniamo: E = + 4v (u + ), F = v(u + ) 3, G = + (u + ) 4, L = v ν N = ν ( v(u + ), (u + ), ), (u + ), M =, N = 0, ν dove abbiamo posto ν := 4v (u + ) + (u + ) 4 +. Osserviamo che il punto Q = (, 0, 0) (che si ottiene in corrispondenza di u = e v = 0), e un punto planare per S, percio ombelicale, dunque (a) e falsa. I punti parabolici di S, invece, sono quei punti per cui LN M = 4 (u+) ν = 0, v 0. Percio tali punti sono tutti contenuti nella retta x + = 0, z = 0, e la (b) e vera. Nel punto O abbiamo: E =, F = 0, G =, L = 0, M =, N = 0, percio le curvature principali in O sono date dalle soluzioni dell equazione: ([ ] [ ]) 0 det 0 κ = 0, 0 0

da cui otteniamo κ = ±, dunque (c) e falsa. Infine, poiche il punto P corrisponde a u = 0 e v =, allora l equazione delle direzioni asintotiche in P e : du + dudv = 0. Alla soluzione du = 0 corrisponde il vettore tangente x u du + x v dv = (0,, ), ed alla soluzione du =, dv =, corrisponde il vettore tangente (,, 3 ). Percio l ultima proprieta (d) e vera. In conclusione, le uniche proprieta vere sono la (b) e la (d). Esercizio 3. Sia S la sfera di centro il punto C = (,, 3), e raggio. Si considerino i seguenti punti di S: P = (,, 3), Q = ( 3, 4+ 3, 3) ed R = (0,, 3). Si denoti con d I la distanza intrinseca su S, e con d E quella euclidea nello spazio x, y, z. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) d I (P, Q) = π 3. (b) d I (P, Q) = π 6. (c) d I (P, R) = π. (d) d E (P, R) =. Svolgimento. I vettori CP e CQ formano un angolo di ampiezza 60 0. Quindi il piano passante per C, P, Q interseca la sfera S in un cerchio massimo, sul quale P e Q sono estremi di un arco di lunghezza minima, pari a π 3. Percio (a) e vera, e (b) e falsa. Invece l angolo formato dai vettori CP e CR e ampio 80 0. Cio significa che i punti P ed R sono antipodali rispetto al centro di S. Percio sia (c) che (d) sono vere. In conclusione, le uniche proprieta vere sono la (a), la (c), e la (d). Esercizio 4. Sia S la superficie di equazione xyz =. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S possiede un atlante costituito da un unica carta. (b) S e compatta. (c) S non possiede punti ellittici. (d) Il sistema di equazioni { x0 x y 0 y = x 0 y 0 x 0 x z 0 z = x 0 z 0 rappresenta la retta normale ad S nel punto P = (x 0, y 0, z 0 ) S. Svolgimento. L applicazione (u, v) R \{(u, v) : uv = 0} x(u, v) := (u, v, uv ) S fornisce una carta globale per S, percio (a) e vera, e (b) e falsa perche S e omeomorfa a R \{(u, v) : uv = 0}, che non e compatto in quanto non e limitato. Poi, calcolando le derivate di x, otteniamo N = (v, u, u v ), L = v ν ν u, M =, N = u ν ν v (ν := u + v + u 4 v 4 ). Deduciamo LN M = 3 ν > 0, quindi tutti i punti di S sono ellittici, e (c) e falsa. Infine osserviamo che la retta indicata passa per P = (x 0, y 0, z 0 ), ed e parallela ad N calcolato in P. Percio (d) e vera. In conclusione, le uniche proprieta vere sono la (a) e la (d). 3

4 Esercizio 5. Nello spazio proiettivo P 3 (R) si consideri la quadrica Q luogo degli zeri dell equazione Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. X 0 + X 0 X + X 0 X 3 + X + X X 3 X = 0. (a) Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X 0 + X + X + X 3 = 0. (b) Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X 0 X + X + X 3 = 0. (c) Ogni piano di P 3 (R) interseca Q in qualche punto. (d) La retta passante per i punti [0 : 0 : : 0] e [0 : 0 : 0 : ] e una retta tangente a Q. Svolgimento. La matrice di Gram dell equazione di Q e la seguente: 0 0 G =. 0 0 0 0 0 Applicando alla matrice G l algoritmo di Gauss-Lagrange (cioe applicando le operazioni elementari e ( ), e ( ), e 4 ( ), e 4 ( ), p 4 p 4, p 3, p 3 ), si perviene alla matrice 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 Deduciamo che Q e proiettivamente equivalente alla quadrica di equazione X 0 X + X + X 3 = 0. Quindi la proprieta (b) e vera, mentre e falsa la (a) per l unicita della forma canonica. Dalla forma canonica di Q deduciamo che Q ha indice i =, e percio, per la stessa definizione di indice, la proprieta (c) e vera. Infine osserviamo che Q e nonsingolare, perche non lo e la sua forma canonica, e la retta assegnata interseca Q solo nel punto [0 : 0 : 0 : ]. Percio tale retta e tangente a Q nel punto [0 : 0 : 0 : ], ed anche (d) e vera. In conclusione, le uniche affermazioni vere sono la (b), la (c), e la (d).

5 Geometria 4, Matematica, II Appello straordinario, 6 novembre 03. Svolgimento. Esercizio. Siano C e D le curve piane rappresentate rispettivamente dalle equazioni x + y = 8, y = x. Al variare del punto P in C D, sia α P l angolo sotto cui C e D si intersecano in P. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. { (a) Per ogni P C D si ha cos α P ± }., 0 (b) Per ogni P C D si ha cos α P {±, 0}. { (c) Per ogni P C D si ha cos α P ± 3 0, ± 0 }. Svolgimento. Le due curve si intersecano esattamente nei due punti P = (, ) e Q = (, ). Un vettore tangente a C in P e (, ), e un vettore tangente a C in Q e dato da (, ). Inoltre un vettore tangente a D in P e (, ), e un vettore tangente a D in Q e dato da (, ). Percio in P le due curve si incontrano sotto un angolo α P dato da ± cos α P = (, ) (, ) 0 = 0. E in Q l angolo e dato da: ± cos α Q = (, ) (, ) 0 = 0. In conclusione, l unica affermazione vera e la (c). Esercizio. Sia C la curva intersezione delle superfici x = z, z = y. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Nel punto P = (,, ), la curva C ha il piano osculatore di equazione 8x + y 6z = 3. (b) Nel punto P = (,, ), la curva C ha il piano normale di equazione x + 4y + z = 7. (c) Il piano rettificante a C nel punto P = (,, ) ammette la seguente rappresentazione parametrica: x = + 8s + t, y = + s + 4t, z = 6s + t. Svolgimento. La curva assegnata ammette come rappresentazione parametrica x(t) = (t, t 4, t ). Quindi x (t) = (, 4t 3, t), x (t) = (0, t, ), e x (t) = (0, 4t, 0). Percio, nel punto P = x(), si ha che t(p ) e parallelo al vettore (, 4, ), e b(p ) al vettore (8,, 6). Tenuto conto che l equazione del piano osculatore e (x P ) b(p ) = 0, che quella del piano normale e (x P ) t(p ) = 0, e che la rappresentazione parametrica del piano rettificante e data da x = P + sb(p ) + tt(p ), un calcolo diretto prova che tutte le affermazioni sono vere. In conclusione, le affermazioni sono tutte vere. Esercizio 3. Sia S la superficie rigata avente come base la curva y(u) = (u, u, u ), e direttrici parallele al vettore g(u) = (0, cos u, sin u). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) S e una superficie sviluppabile. (b) Il piano tangente ad S nel punto P = (0,, 0) ha equazione x y + = 0. (c) La retta normale ad S nel punto P = (0,, 0) ha equazioni x + y =, z = 0.

6 Svolgimento. Sappiamo che una rigata e sviluppabile se e soltanto se il prodotto misto [y (u) g(u) g (u)] e identicamente nullo. Nel nostro caso abbiamo [y (u) g(u) g (u)] = det 0 0 cos u sin u =, u sin u cos u percio S non e sviluppabile, ed (a) e falsa. Per le altre domande, osserviamo che la rappresentazione parametrica di S e data dalla funzione Percio nel punto P = (0,, 0) = x(0, ) abbiamo x(u, v) = (u, u, u ) + v(0, cos u, sin u). x u (P ) = (,, ), x v (P ) = (0, 0, ), x u (P ) x v (P ) = (,, 0). Ne consegue che il piano tangente ad S in P ha equazione (x P ) (x u (P ) x v (P )) = x y + = 0, mentre la retta normale ha equazioni parametriche x = P + λ(,, 0). Percio (b) e (c) sono vere.(*) In conclusione, le uniche affermazioni vere sono (b) e (c). Esercizio 4. Sia S la superficie di equazione x 3 3xy + y z = 0. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Nei punti di S con x = c e una sola direzione asintotica. (b) Nei punti di S con x < ci sono due direzioni asintotiche distinte. (c) Nei punti di S con x ci sono due direzioni asintotiche distinte. Svolgimento. Poiche z = x 3 3xy + y, la superficie e un grafico, ed ammette la rappresentazione parametrica x(u, v) = (u, v, u 3 3uv + v ). Si deduce: LN M = u ( 3u + 3v, 3u v, ). Percio per u > i punti di S sono ellittici, per u < sono ipebolici, e per u = sono parabolici (non ci sono punti planari perche N = ( 3u + 3v, non si annulla mai). Ricordando che in un 3u v,) punto parabolico c e una sola direzione asintotica, che in quelli iperbolici ce ne sono due, e che in quelli ellittici non ce ne sono, deduciamo che (a) e (b) sono vere, e (c) e falsa. In conclusione, le uniche affermazioni vere sono (a) e (b). Esercizio 5. Nello spazio proiettivo P 3 (C) si consideri la quadrica Q luogo degli zeri dell equazione X 0 + X 0 X + X 0 X 3 + X + X X 3 + X + X 3 = 0. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Q non contiene rette. (b) Esistono due rette di Q disgiunte. (c) Q contiene rette, e tutte passano per uno stesso punto. Svolgimento. La quadrica e proiettivamente equivalente alla quadrica definita dall equazione X 0 + X + X = 0. Percio Q e un cono su una conica nonsingolare. Deduciamo che Q possiede rette, e sono tutte e sole quelle che congiungono i punti della conica con il vertice. Quindi (a) e (b) sono false, e (c) e vera. In conclusione, l unica affermazione vera e (c). (*)Anche qui c e un errore, che mi e stato fatto notare da alcuni studenti. Infatti deve essere x v (P ) = (0,, 0), e quindi x u(p ) x v(p ) = (, 0, ). Ne consegue che il piano tangente ha equazione x z = 0, e la retta normale e l intersezione dei piani y =, x + z = 0. Percio anche (b) e (c) sono false.

7 Geometria 4, Matematica, IV appello, 9 febbraio 04. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva rappresentata dalla funzione ( x(t) = et (sin t + cos t) ) 3 e t 3, et (cos t sin t) +, (sin t + cos t). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) L arco di C compreso tra i punti x(0) ed x(t) ha lunghezza l = (e t ). (b) La curva C e contenuta in un piano passante per l origine. (c) La curvatura di C soddisfa l equazione e t κ(t) =. (d) L intersezione del piano osculatore a C nel punto P = (,, 3), con il piano rettificante, e la retta x(s) = (s,, 3(s )). Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che le coordinate di x(t) = (x (t), x (t), x 3 (t)) soddisfano l equazione 3x (t) x 3 (t) = 0. Percio la curva e contenuta nel piano di equazione 3x x 3 = 0, che passa per l origine (in alternativa, avremmo potuto calcolare la torsione di C, verificare che e identicamente nulla, e dedurne che C e piana; poi, per trovare l equazione del piano, sarebbe stato sufficiente calcolare il piano osculatore di C in un qualsiasi suo punto). Ora derivando otteniamo: x (t) = e t ( cos t, sin t, 3 cos t), x (t) = e t, x (t) = e t ( cos t + sin t, sin t cos t, 3 cos t + 3 sin t), Deduciamo: Poi x (t) x (t) = e t ( 3, 0, ), x (t) x (t) = 4e t. l = t 0 x (τ) dτ = t 0 e τ dτ = (e t ). κ(t) = x (t) x (t) x (t) 3 = e t. Con cio abbiamo verificato che le prime tre affermazioni sono vere. Infine, osserviamo che, in generale, l intersezione del piano osculatore con il piano rettificante, altro non e che la retta tangente in P = x(0). E tale retta e : x(s) = x(0) + sx (0) = ( s,, 3( s )). E tale retta coincide con quella indicata nel testo dell esercizio. In conclusione, tutte le affermazioni sono vere. Esercizio. Si considerino le seguenti curve C e C : x (t) = e t (cos t, sin t), x (t) = e t (cos t, sin t). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Le curve C e C sono uguali.

8 (b) Le due curve sono sovrapponibili. (c) Le due curve non sono sovrapponibili. Svolgimento. Le due curve sono diverse. Per provare cio, e sufficiente osservare che il punto (, 0), che appartiene all immagine della funzione x = x (t), non appartiene all immagine della funzione x = x (t) (altrimenti esisterebbe t R tale che e t (cos t, sin t) = (, 0); tale numero allora soddisfa la condizione e t =, percio < t < 0, e cio e impossibile perche in tale intervallo la funzione seno non si annulla). Pero le due curve sono sovrapponibili. Per provare cio, possiamo rappresentare le due curve con l ascissa curvilinea (effettuando la sostituzione s = e t = + t 0 x (τ) dτ per la prima curva, ed s = e t = + t 0 x (τ) dτ per la seconda): x (s) = s ( cos log s ) s, sin log, x (s) = s ( cos log s, sin log s ), calcolare le rispettive curvature κ (s) = s, κ (s) = s, osservare che coincidono, e finalmente invocare il Teorema di esistenza ed unicita. Possiamo anche fare un calcolo diretto. Infatti possiamo scrivere: [ ] x (t) = e t+log cos t, sin t da cui, sostituendo il parametro t con τ = t + log, otteniamo: [ ] [ ] ( [ ]) x (τ) = e τ cos(τ log ) cos log sin log = e τ cos τ = sin(τ log ) sin log cos log sin τ [ ] cos log sin log x sin log cos log (τ), cio che prova che C si ottiene da C tramite una rotazione di angolo pari a log in senso orario. In conclusione, l unica affermazione vera e la (b). Esercizio 3. Sia S la superficie ottenuta ruotando l iperbole xz = del piano x, z intorno all asse z. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) La superficie S := S {(x, y, z) R 3 : z > 0} e un grafico. (b) S possiede un unico punto ombelicale. (c) S possiede punti dotati di un unica direzione asintotica. (d) Le direzioni asintotiche di S uscenti dal punto P = (, 0, ) sono le direzioni (, ±, ). (e) Il piano tangente ad S nel punto P = (, 0, ) ha equazione x + y + z =. Svolgimento. Possiamo rappresentare l iperbole tramite la funzione x(t) = (t, 0, t ) (t 0). Quindi una rappresentazione parametrica di S e : ( x(t, θ) = t cos θ, t sin θ, ) (t 0). t Osserviamo che S soddisfa l equazione z (x + y ) =, percio S e il grafico della funzione z =. x +y Derivando la rappresentazione di S otteniamo le seguenti espressioni per i coefficienti fondamentali: L = E = + t 4, F = 0, G = t, t ( + t 4 ), M = 0, N = t + t 4.

9 Dunque K = t ( + t 4 ). Ora osserviamo che, dalle formule precedenti, segue che la matrice [ L M ] N E F G ha sempre rango. Percio la superficie S non ha punti ombelicali. Ed essendo tutti i suoi punti iperbolici (in quanto K < 0), in ogni suo punto ci sono due direzioni asintotiche distinte. Ora osserviamo che il punto P assegnato corrisponde ai parametri t = e θ = 0. Poiche x t (t, θ) = (cos θ, sin θ, t ), x θ (t, θ) = ( t sin θ, t cos θ, 0), il piano tangente ad S in P ha equazione parametrica x = P + hx t (, 0) + kx θ (, 0) = (, 0, ) + h(, 0, ) + k(0,, 0). Eliminando i parametri, si ottiene l equazione cartesiana che e x+z =. Infine, sappiamo che le direzioni asintotiche in P si ottengono in corrispondenza delle soluzioni (dt : dθ) dell equazione: L(, 0)dt + M(, 0)dtdθ + N(, 0)dθ = dt dθ = 0. Le soluzioni sono ( : ± ), percio le due direzioni asintotiche uscenti da P sono i vettori tangenti : dx = x t (, 0) ± x θ (, 0) = (, 0, ) ± (0,, 0) = (, ±, ). In conclusione, le uniche affermazioni vere sono la (a) e la (d). Esercizio 4. Sia S la sfera unitaria rappresentata dalla funzione x(u, v) = (cos u sin v, sin u sin v, cos v). Sia C una curva di S rappresentata dalla funzione x(s) := x(u(s), v(s)), dove s rappresenta un parametro naturale. Sia P = x(s 0 ) un punto di C, e sia α l angolo con cui C incontra il meridiano u = u(s 0 ) in P. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) cos α = ± u(s 0 ). (b) cos α = ± v(s 0 ). (c) cos α = ±( u(s 0 ) v(s 0 )). (d) cos α = ±( u(s 0 ) + v(s 0 )). Svolgimento. Un versore tangente al meridiano u = u(s 0 ) in P e dato dal vettore x v (u(s 0 ), v(s 0 )), mentre un versore per C e dato dal vettore ẋ(s 0 ) = x u (u(s 0 ), v(s 0 )) u(s 0 ) + x v (u(s 0 ), v(s 0 )) v(s 0 ). Tenuto conto che x u x v = 0, e che x v x v =, segue che: ± cos α = ẋ(s 0 ) x v (u(s 0 ), v(s 0 )) = v(s 0 ). In conclusione, l unica affermazione vera e la (b).

0 Esercizio 5. Al variare del parametro t C, si consideri, nello spazio proiettivo P 3 (C), la quadrica Q t luogo degli zeri dell equazione F = X 0 +4X 0 X +X 0 X +X 0 X 3 +X +6X X +4X X 3 +(t+)x +(t+)x X 3 +(t+)x 3 = 0. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Per ogni valore del parametro t la quadrica Q t e nonsingolare. (b) Per ogni valore del parametro t C, la quadrica Q t e irriducibile. (c) Per ogni t C, il punto P = [ + : : 0 : 0] e un punto regolare per Q t, ed il piano tangente a Q t in P ha equazione X 0 + ( )X + ( + )X + X 3 = 0. Svolgimento. La matrice di Gram dell equazione di Q t e la seguente: 3 G t =. 3 t + t + t + t + Il rango di G t e 4 se t 0, mentre il rango di G 0 = 3. Percio (a) e falsa. Invece (b) e vera, perche Q 0 e proiettivamente equivalente alla quadrica X0 + X + X = 0, che e irriducibile. Infine, una sostituzione diretta prova che P Q t per ogni t, e che le derivate parziali F Xi dell equazione di Q t, valutate in ( +,, 0, 0), sono: F X0 =, F X = ( ), F X = ( + ), F X3 =. Percio, per ogni t C, P e un punto regolare per Q t, ed il piano indicato nel testo e il piano tangente. In conclusione, le uniche affermazioni vere sono la (b) e la (c).

Geometria 4, Matematica, I appello, 7 giugno 04. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva rappresentata dalla funzione x(t) := (t 3 + t +, 4t 3 + 5t +, t 4 t 3 ). Sia p il punto di C di coordinate (, 7, ). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Le equazioni rappresentano la retta tangente a C in p. { 7x + 6y + 7z = 9 7y + 7z + 5 = 0 (b) L equazione x + 7y 7z + 3 = 0 rappresenta il piano normale a C in p. (c) Le equazioni rappresentano il piano osculatore a C in p. (d) Le equazioni rappresentano la retta binormale a C in p. x = 9s t + y = 3s 7 z = 3s + 68t + x = 69h + y = 5h 7 z = h + Svolgimento. Il punto p corrisponde al valore t = del parametro. Percio il vettore x ( ) = (, 7, 7) e tangente a C in p, ed i punti della retta tangente hanno coordinate y = (, 7, ) + h(, 7, 7), h R. Tali punti soddisfano il sistema assegnato, e dunque (a) e vera. L equazione data in (b) e quella di un piano passante per p, ortogonale a (, 7, 7) = x ( ), cioe e quella del piano normale, quindi anche (b) e vera. Il piano osculatore a C in p e il piano per p ortogonale a b, cioe ortogonale a x ( ) x ( ) = (, 7, 7) (,, 9) = (69, 5, ). Questo vettore non e ortogonale al vettore (, 0, 68) parallelo al piano assegnato in (c). Percio la proprieta (c) e falsa. Mentre (d) e vera perche la retta data e parallela a x ( ) x ( ) = (69, 5, ), e passa per p. In conclusione, le affermazioni vere sono (a), (b) e (d). Esercizio. Nel piano x, y si consideri la curva C definita dalla funzione x(t) = ( t +, t), t R. Per ogni punto P = (a, b) (, 0) di C, si consideri il punto Q = (4a 3, b), anch esso appartenente a C. Denotiamo con n P ed n Q le rette normali principali a C in P ed in Q. Sia R il punto di intersezione di tali rette. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) L equazione di n P e y = b b(x a). (b) L equazione di n Q e y = 4b + b(x 4a 3). (c) R = (3a +, ab). (d) La distanza di P da R e pari a κ P, dove κ P e la curvatura di C in P. Svolgimento. La curva C e la parabola definita dall equazione f(x, y) :== (x ) y = 0. Percio l equazione della retta tangente a C in P e : f x (P )(x a) + f y (P )(y b) = (x a) b(y b) = 0.

Quindi la retta normale in P ha equazione b(x a) + (y b) = 0, cioe y = b b(x a). Similmente, l equazione della retta tangente a C in Q e : f x (Q)(x (4a 3)) + f y (Q)(y + b) = (x 4a + 3) + 4b(y + b) = 0. Quindi la retta normale in Q ha equazione 4b(x 4a + 3) (y + b) = 0, cioe y = 4b + b(x 4a). Ne consegue che (a) e vera e (b) e falsa. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni trovate, si trova che il punto R in comune alle due rette ha coordinate: R = (3a, b( a)). Per cui (c) e falsa. La distanza ρ tra P = (a, b) ed R e : ρ = (a ) + (b( a)) = (a ) ( + b ) = (a ) 3. Cioe ρ = (a ) 3. D altra parte la curvatura κ P di C in P = (a, b) = x(b) e data dalla formula: Dunque (d) e vera. κ P = x (b) x (b) x (b) 3 = ( + b ) 3 = (a ) 3 = ρ. In conclusione, le affermazioni vere sono (a) e (d). Esercizio 3. Sia S una superficie con prima forma fondamentale data da: I = du + (u + 6)dv. Sia T S il triangolo curvilineo di S corrispondente al triangolo curvilineo nel piano dei parametri u, v formato, nei punti di intersezione, dalle tre curve u = ±v e v =. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Il perimetro p di T e p = + 6 3. (b) Il perimetro p di T e p = + 6 3. (c) Per almeno uno dei tre angoli α di T, si ha cos α {, }. (d) Per almeno uno dei tre angoli α di T, si ha cos α { 5, 5 }. Svolgimento. Sia x = x(u, v) la carta di S corrispondente ad I. Nel piano u, v le tre curve assegnate si intersecano, a due a due, nei punti A = (0, 0), B = (, ), e C = (, ). Il lato di T corrispondente all arco di estremi AB sulla curva u = v ha lunghezza data da: l AB = 0 x (t, t) dt = 0 = x u (t, t)t + x v (t, t) dt = 0 8t + t 4 + 6 dt = 0 0 E(t, t)4t + F (t, t)t + G(t, t) dt (t + 4) dt = 3 3. Un calcolo simile prova che il lato di T corrispondente all arco di estremi AC sulla curva u = v ha lunghezza data da l AC = 3 3, e che il lato di T corrispondente all arco di estremi BC sulla curva v = ha lunghezza data da l BC =. Si deduce che Percio (a) e falsa e (b) e vera. p = l AB + l AC + l BC = + 6 3.

Ora denotiamo con α A l angolo formato da T nel vertice corrispondente al punto A. Il punto A e il punto di intersezione delle curve u = v, u = v. Percio : cos α A = x (t, t) t=0 x ( t, t) t=0 x (t, t) t=0 x ( t, t) t=0 = x v(0, 0) x v (0, 0) x v (0, 0) x v (0, 0) =. Dunque (c) e vera. Lo e anche (d). Infatti, sia α C l angolo formato da T nel vertice corrispondente al punto C. Il punto C e il punto di intersezione delle curve u = v, v =. Percio come prima abbiamo: cos α C = x ( t, t) t= x (t, ) t= x ( t, t) t= x (t, ) t= = ( x u(, ) + x v (, )) x u (, ) x u (, ) + x v (, ) x u (, ) =. 5 3 In conclusione, le affermazioni vere sono (b), (c), e (d). Esercizio 4. Sia S la superficie ottenuta ruotando la curva z = cos x (0 < x < π) del piano x, z, intorno all asse z. Sia P S il luogo costituito dai punti parabolici di S. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) P e una parabola. (b) P e una circonferenza. (c) P e una linea di curvatura. (d) P e una linea asintotica. (e) P e una linea geodetica. Svolgimento. Una rappresentazione parametrica regolare per S e data dalla funzione x : (θ, t) R (0, π) x(θ, t) := (t cos θ, t sin θ, cos t) S. Osserviamo che S e una superficie regolare in quanto S = x(r (0, π)) e il grafico della funzione z = cos( x + y ), con 0 < x + y < π. Per tale rappresentazione si ha: I = t dθ + ( + sin t)dt, II = + sin t (t sin t dθ + cos t dt ). Poiche L non si annulla mai, non ci sono punti planari, e percio P e il luogo dei punti di S per cui LN M = t sin t cos t + sin t = 0. Cioe P e il parallelo t = π. Ne consegue che P e una circonferenza, e che non e una parabola. Poiche F = M = 0 allora le linee coordinate sono anche linee di curvatura, percio P e una linea di curvatura. Poiche F = 0 abbiamo anche ( (κ g ) t= π = E ) t E G t= π ( ) t = E G il che prova che P non e una linea geodetica. E non e nemmeno una linea asintotica. Infatti P e una θ curva, percio in ciascun punto x(θ, π ) di P la retta tangente a P e diretta da x θ. Invece la direzione asintotica per t = π deve soddisfare la condizione dθ = 0. In conclusione, le affermazioni vere sono (b) e (c). t= π = π,

4 Esercizio 5. Sia C la curva nel piano x, z rappresentata dalla funzione c(t) = (f(t), 0, g(t)), con f(t) > 0. Sia S la superficie che si ottiene ruotando C intorno all asse z. Per ogni punto p di S, sia L p la retta normale ad S passante per p. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) L p e uguale all intersezione del piano osculatore con il piano normale al parallelo di S passante per p. (b) L p e ortogonale alla retta tangente al parallelo di S passante per p. (c) L p e uguale all intersezione del piano osculatore con il piano normale al meridiano di S passante per p. (d) L p interseca l asse di rotazione. Svolgimento. La superficie S e rappresentata dalla funzione x(θ, t) := (f(t) cos θ, f(t) sin θ, g(t)). Il versore normale ad S e : N(θ, t) = f (t) + g (t) (g (t) cos θ, g (t) sin θ, f (t)). Ora poniamo p = x(θ 0, t 0 ). La funzione y(θ) = x(θ, t 0 ) rappresenta il parallelo di S per p, mentre la funzione z(t) = x(θ 0, t) il meridiano. L intersezione del piano osculatore con il piano normale al parallelo di S passante per p, coincide con la retta normale principale alla curva y(θ) = x(θ, t 0 ) nel punto p = y(θ 0 ). Il parallelo e una circonferenza posta nel piano z = g(t 0 ). Percio in questo caso b = ±(0, 0, ), ed il versore normale principale e proporzionale al vettore: (0, 0, ) y (θ 0 ) = ( cos θ 0, sin θ 0, 0). Confrontando con N(θ 0, t 0 ), e tenendo presente che f (t 0 ) puo essere non nullo, si deduce che (a) e falsa. Un calcolo analogo mostra che il versore normale principale al meridiano per p, cioe alla curva z(t) = x(θ 0, t), e proporzionale al vettore ( g (t 0 ) cos θ 0, g (t 0 ) sin θ 0, f (t 0 )), dunque e proporzionale ad N(θ 0, t 0 ), percio (c) e vera. E ovvio che (b) e vera perche i vettori tangenti ad S sono tutti ortogonali ad N. Infine osserviamo che una rappresentazione del generico punto u della retta L p e : u = u(h) = x(θ 0, t 0 ) + h(x u (θ 0, t 0 ) x v (θ 0, t 0 )) = ((f(t 0 ) + hg (t 0 )) cos θ 0, (f(t 0 ) + hg (t 0 )) sin θ 0, g(t 0 ) hf (t 0 )). Per qualche profilo C puo accadere che g (t 0 ) = 0 (ad esempio c(t) = (t, 0, (t ) )), e percio (d) in generale e falsa. In conclusione, le affermazioni vere sono (b) e (c).

5 Geometria 4, Matematica, II appello, 8 luglio 04. Svolgimento. Esercizio. Sia C la curva nel piano x, y rappresentata dalla funzione x(t) = ( + t, t + t + 9), t R. Siano P = x(t ) e Q = x(t ), t < t, i due punti di C tali che le rette l OP ed l OQ congiungenti l origine degli assi O = (0, 0) con P e con Q siano tangenti a C in P ed in Q. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) La retta congiungente P con Q ha equazione x y = 8. (b) La retta congiungente P con Q ha equazione x y = 8. (c) Le curvature di C in P e Q sono κ(p ) = 58, κ(q) = 6 330. (d) Le curvature di C in P e Q sono κ(p ) = 50, κ(q) = 6 338. Svolgimento. Sia x = x(t) un qualunque punto di C. La retta tangente a C in x(t) e parallela al vettore x (t) = (, t + ). Percio la retta l Ox(t), congiungente O con x(t), e tangente a C in x(t) se e solo se x(t) (t +, ) = 0, cioe se e solo se t + t 8 = 0. Quindi P = x( 4) = ( 3, ), e Q = x() = (3, 5), ed (a) e (b) sono false. Possiamo calcolare le curvature utilizzando la formula κ(p ) = x ( 4) x ( 4) x ( 4) = 50. Un calcolo simile prova che κ(q) = 6 338. In conclusione, l unica affermazione vera e la (d). Esercizio. Sia S la superficie ottenuta ruotando la curva x = z 3 + (z 3 + > 0) del piano x, z, intorno all asse z. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (a) Tutti e soli i punti ellittici (x, y, z) di S sono quelli per cui z > 0. (b) S possiede infiniti punti ombelicali. (c) Il luogo dei punti parabolici di S e una linea geodetica. (d) Il luogo dei punti parabolici di S e una curva nei cui punti la curvatura normale e κ n =. Svolgimento. Una rappresentazione di S e x(θ, t) = ((t 3 + ) cos θ, (t 3 + ) sin θ, t). Si deduce che la prima e la seconda forma fondamentale sono: I = (t 3 + ) dθ + ( + 9t 4 ) dt, II = + 9t 4 ((t3 + ) dθ 6t dt ). In particolare si ha: LN M = 6t(t3 + ) + 9t 4. Quindi, ricordando che deve essere t 3 + > 0, un punto di S e ellittico se e solo se t (, 0). Dunque (a) e falsa. Inoltre LN M = 0 se e solo se t = 0. Percio, tenuto conto che L non si annulla mai, possiamo dire che il luogo C dei punti parabolici di S e il parallelo t = 0. Per tale θ-curva sappiamo che: ( (κ g ) t=0 = E ) t E E t=0 = ( 6t (t 3 ) + ) E = 0. E t=0

6 Si deduce che (c) e vera. Poiche F = M = 0, allora le curvature principali sono κ = L E e κ = N G. I punti ombelicali sono quelli per cui κ = κ, e cio equivale a dire, per le formule precedenti, che p(t) := 5t 4 + 6t + = 0. Ora la derivata p (t) = 6(0t 3 + ) si annulla per t 0 = 0 3 (> ), e si mantiene < 0 per t < t 0 e > 0 per t > t 0. Poiche p( ) > 0, p(t 0 ) < 0 e p(0) > 0, allora l equazione p(t) = 0 ammette due radici t, t >. Le θ-curve t = t e t = t sono curve di punti ombelicali, il che prova che (b) e vera. Infine consideriamo di nuovo il luogo C dei punti parabolici, cioe il parallelo t = 0. Nei punti di C la retta tangente ha direzione x θ (θ, 0), che e la direzione principale corrispondente a ( ) ( ) L (k ) t=0 = = E (t 3 + ) =. + 9t 3 Dunque (d) e vera. t=0 In conclusione, le affermazioni vere sono (b), (c) e (d). t=0 Esercizio 3. Sia C la curva ottenuta intersecando il cilindro S di equazione x + y = r, con il piano T di equazione x y z + = 0. Sia P il punto di C di coordinate P = ( r, r, ). Siano κ e κ n la curvatura e la curvatura normale di C in P. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. x( π 4 (a) κ = (b) κ = r 3r+. 3r 4r+. (c) κ n = 3r. (d) κ n = 3 4r. Svolgimento. Possiamo rappresentare S con la funzione x(θ, v) = (r cos θ, r sin θ, v). In tal caso P =, ), N(θ, v) = (cos θ, sin θ, 0), e le forme fondamentali sono: I = r dθ + dv, II = r dθ. Osserviamo che N(P ) = (,, 0), percio C = S T e una sezione normale ad S in P, in particolare κ = κ n, dunque per rispondere alle domande sara sufficiente calcolare κ n. Ora noi sappiamo che κ n = II I = r dθ r dθ + dv. Percio occorre calcolare la direzione tangente [dθ : dv] alla curva C che corrisponde a C nel piano dei parametri, nel punto P = ( π 4, ) corrispondente a P. Una rappresentazione v = v(θ) di C si ottiene imponendo che le coordinate del generico punto x(θ, v) di S soddisfino l equazione di T. Un calcolo prova che v = ( + r cos θ r sin θ). Quindi v (θ) = r (cos θ + sin θ), e nel punto P avremo [d θ : dv] = [ : r], da cui κ n = 3r (per calcolare [d θ : dv] avremmo anche potuto procedere cosi : la direzione cercata e quella della retta intersezione del piano T con il piano tangente ad S in P, che ha equazione x + y = r; tale retta e parallela al vettore r (,, ) = x θ ( π 4, ) + r x v( π 4, )). In conclusione, l unica affermazione vera e la (c). Esercizio 4. Sia S il paraboloide di equazione z = x y + 9. Sia L il luogo formato dai punti P di S tali che il vettore OP e ortogonale al piano tangente ad S in P (il punto O = (0, 0, 0) denota l origine degli assi). Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere.