Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 5 FEBBRAIO 2019 - Compito A (a) (b) (c) (d) Parziali 1 2 3 4 Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione f h : R 2 R 2 definita in termini del parametro h R da: f h (x, y) = (2x + y, 4x + 2y hy + h 2 y). (a) Determinare il nucleo ker(f h ) di f h, individuandone una base, al variare di h R. (b) Sempre al variare di h R, ricavare l immagine Im(f h ) di f h, specificandone una base e riconoscendo se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Posto Q = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, dire se Q è un sottospazio di R 2 e determinare, disegnandolo nel piano cartesiano ortogonale Oxy, l insieme f 1 (Q). (d) Individuare e disegnare nel piano Oxy l insieme f 2 (Q), specificando se si tratta di un sottospazio di R 2. Svolgimento dell esercizio 1
Esercizio 2. Sono date le rette r ed s di equazioni rispettive: { x = 1 + t { 3x y 2 = 0 r : y = 1 2t s : 2x + z 4 = 0. z = 2 3t Determinare: (a) se le rette sono incidenti e, in caso affermativo, il più piccolo angolo α (0, π/2] che esse formano intersecandosi; (b) l equazione cartesiana del comune piano di giacitura π di r ed s, se definito; (c) le equazioni parametriche del piano π contenente r ed ortogonale a π; (d) il punto P proiezione ortogonale su π del punto P (1, 1, 1). Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)
Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x + y + z, 2y z, 3z). (a) Calcolare gli autovalori. (b) Determinare le basi dei relativi autospazi. (c) Dire se f è semplice. (d) Scrivere la matrice del cambiamento di base che permette di diagonalizzare M E,E (f), matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)
Esercizio 4. Si consideri la mappa ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + 9y 1 y 2. (a) Mostrare che ϕ rappresenta un prodotto scalare, motivando la risposta. (b) Scrivere la norma di un qualunque vettore di R 2 secondo il suddetto prodotto scalare. (c) Sia v = (1, 0) E. Scrivere il sottospazio ortogonale a v rispetto a ϕ. (d) Scrivere, se esiste, un vettore la cui norma rispetto a ϕ coincida con la norma del prodotto scalare standard. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)
Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 5 FEBBRAIO 2019 - Compito B (a) (b) (c) (d) Parziali 1 2 3 4 Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione f h : R 2 R 2 definita in termini del parametro h R da: f h (x, y) = (2x + y, 4x + 2y hy + h 2 y). (a) Determinare il nucleo ker(f h ) di f h, individuandone una base, al variare di h R. (b) Sempre al variare di h R, ricavare l immagine Im(f h ) di f h, specificandone una base e riconoscendo se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Posto Q = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, dire se Q è un sottospazio di R 2 e determinare, disegnandolo nel piano cartesiano ortogonale Oxy, l insieme f 1 (Q). (d) Individuare e disegnare nel piano Oxy l insieme f 2 (Q), specificando se si tratta di un sottospazio di R 2. Svolgimento dell esercizio 1
Esercizio 2. Sono date le rette r ed s di equazioni rispettive: { x = 1 + t { 3x y 2 = 0 r : y = 1 2t s : 2x + z 4 = 0. z = 2 3t Determinare: (a) se le rette sono incidenti e, in caso affermativo, il più piccolo angolo α (0, π/2] che esse formano intersecandosi; (b) l equazione cartesiana del comune piano di giacitura π di r ed s, se definito; (c) le equazioni parametriche del piano π contenente r ed ortogonale a π; (d) il punto P proiezione ortogonale su π del punto P (1, 1, 1). Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)
Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x + y + z, 2y z, 3z). (a) Calcolare gli autovalori. (b) Determinare le basi dei relativi autospazi. (c) Dire se f è semplice. (d) Scrivere la matrice del cambiamento di base che permette di diagonalizzare M E,E (f), matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)
Esercizio 4. Si consideri la mappa ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + 9y 1 y 2. (a) Mostrare che ϕ rappresenta un prodotto scalare, motivando la risposta. (b) Scrivere la norma di un qualunque vettore di R 2 secondo il suddetto prodotto scalare. (c) Sia v = (1, 0) E. Scrivere il sottospazio ortogonale a v rispetto a ϕ. (d) Scrivere, se esiste, un vettore la cui norma rispetto a ϕ coincida con la norma del prodotto scalare standard. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)
Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 5 FEBBRAIO 2019 - Compito C (a) (b) (c) (d) Parziali 1 2 3 4 Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione f h : R 2 R 2 definita in termini del parametro h R da: f h (x, y) = (2x + y, 4x + 2y hy + h 2 y). (a) Determinare il nucleo ker(f h ) di f h, individuandone una base, al variare di h R. (b) Sempre al variare di h R, ricavare l immagine Im(f h ) di f h, specificandone una base e riconoscendo se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Posto Q = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, dire se Q è un sottospazio di R 2 e determinare, disegnandolo nel piano cartesiano ortogonale Oxy, l insieme f 1 (Q). (d) Individuare e disegnare nel piano Oxy l insieme f 2 (Q), specificando se si tratta di un sottospazio di R 2. Svolgimento dell esercizio 1
Esercizio 2. Sono date le rette r ed s di equazioni rispettive: { x = 1 + t { 3x y 2 = 0 r : y = 1 2t s : 2x + z 4 = 0. z = 2 3t Determinare: (a) se le rette sono incidenti e, in caso affermativo, il più piccolo angolo α (0, π/2] che esse formano intersecandosi; (b) l equazione cartesiana del comune piano di giacitura π di r ed s, se definito; (c) le equazioni parametriche del piano π contenente r ed ortogonale a π; (d) il punto P proiezione ortogonale su π del punto P (1, 1, 1). Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)
Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x + y + z, 2y z, 3z). (a) Calcolare gli autovalori. (b) Determinare le basi dei relativi autospazi. (c) Dire se f è semplice. (d) Scrivere la matrice del cambiamento di base che permette di diagonalizzare M E,E (f), matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)
Esercizio 4. Si consideri la mappa ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + 9y 1 y 2. (a) Mostrare che ϕ rappresenta un prodotto scalare, motivando la risposta. (b) Scrivere la norma di un qualunque vettore di R 2 secondo il suddetto prodotto scalare. (c) Sia v = (1, 0) E. Scrivere il sottospazio ortogonale a v rispetto a ϕ. (d) Scrivere, se esiste, un vettore la cui norma rispetto a ϕ coincida con la norma del prodotto scalare standard. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)
Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 5 FEBBRAIO 2019 - Compito D (a) (b) (c) (d) Parziali 1 2 3 4 Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione f h : R 2 R 2 definita in termini del parametro h R da: f h (x, y) = (2x + y, 4x + 2y hy + h 2 y). (a) Determinare il nucleo ker(f h ) di f h, individuandone una base, al variare di h R. (b) Sempre al variare di h R, ricavare l immagine Im(f h ) di f h, specificandone una base e riconoscendo se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Posto Q = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, dire se Q è un sottospazio di R 2 e determinare, disegnandolo nel piano cartesiano ortogonale Oxy, l insieme f 1 (Q). (d) Individuare e disegnare nel piano Oxy l insieme f 2 (Q), specificando se si tratta di un sottospazio di R 2. Svolgimento dell esercizio 1
Esercizio 2. Sono date le rette r ed s di equazioni rispettive: { x = 1 + t { 3x y 2 = 0 r : y = 1 2t s : 2x + z 4 = 0. z = 2 3t Determinare: (a) se le rette sono incidenti e, in caso affermativo, il più piccolo angolo α (0, π/2] che esse formano intersecandosi; (b) l equazione cartesiana del comune piano di giacitura π di r ed s, se definito; (c) le equazioni parametriche del piano π contenente r ed ortogonale a π; (d) il punto P proiezione ortogonale su π del punto P (1, 1, 1). Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)
Esercizio 3. Sia f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x + y + z, 2y z, 3z). (a) Calcolare gli autovalori. (b) Determinare le basi dei relativi autospazi. (c) Dire se f è semplice. (d) Scrivere la matrice del cambiamento di base che permette di diagonalizzare M E,E (f), matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)
Esercizio 4. Si consideri la mappa ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + 9y 1 y 2. (a) Mostrare che ϕ rappresenta un prodotto scalare, motivando la risposta. (b) Scrivere la norma di un qualunque vettore di R 2 secondo il suddetto prodotto scalare. (c) Sia v = (1, 0) E. Scrivere il sottospazio ortogonale a v rispetto a ϕ. (d) Scrivere, se esiste, un vettore la cui norma rispetto a ϕ coincida con la norma del prodotto scalare standard. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)