Modellazione delle preferenze Roberto Cordone 1 1 Sono debitore delle dispense di B. Simeone e F. Patrone
Sistemazione assiomatica Dato un insieme non vuoto di impatti F, esprimere una preferenza fra due impatti significa stabilire una relazione orientata fra loro. La preferenza viene quindi modellata come una relazione binaria su F, cioè come un sottoinsieme delle coppie ordinate di F Π F F La coppia (f 1, f 2 ) appartiene a Π quando il decisore preferisce f 1 a f 2. Anziché (f 1, f 2 ) Π, si usa scrivere f 1 Π f 2. Data Π, definiamo relazione complemento Π la relazione che lega tutte e sole le coppie non legate da Π: Π = (F F) \ Π e anziché (f1, f 2 ) Π si usa scrivere f 1 Π f 2 relazione inversa Π 1 la relazione che inverte tutte e sole le coppie legate da Π: Π 1 = {(f 1, f 2 ) F F : (f 2, f 1 ) Π}; anziché (f 1, f 2 ) Π 1 si usa scrivere f 1 Π f 2 Se F è finito, si può rappresentare Π con una matrice di incidenza il cui elemento (i, j) è pari a 1 se f i Π f j, a 0 altrimenti. Oppure si può rappresentarla con un grafo orientato i cui nodi corrispondono agli impatti f i, mentre gli archi corrispondono alle coppie in relazione. Affinché la relazione di preferenza possa modellare correttamente le intenzioni del decisore e insieme consentire algoritmi per definire una scelta soddisfacente, bisogna che goda di opportune ulteriori proprietà. C è però una certa libertà nella scelta di quali proprietà imporre, e molte di loro pongono problemi critici di grande rilevanza. In ultima analisi, la scelta del modello di preferenza va motivata sulla base degli scopi del modello stesso (vedi le conclusioni). Proprietà Una relazione Π su un insieme F è riflessiva quando f Π f per ogni f F; in questo caso, la preferenza va intesa come preferenza debole, cioè include la possibilità che i due impatti siano in realtà indifferenti (definizione alternativa: I Π) simmetrica quando f 1 Π f 2 f 2 Π f 1 per ogni f 1, f 2 F; in generale una relazione di preferenza non gode di questa proprietà, ma la introduciamo comunque, perché ne godrà la relazione di indifferenza che introdurremo in seguito antisimmetrica quando f 1 Π f 2 e f 2 Π f 1 f 1 = f 2 per ogni f 1, f 2 F; due impatti reciprocamente preferibili l uno all altro sono in realtà esattamente lo stesso impatto (definizione alternativa: Π Π 1 I) completa quando f 1 Π f 2 f 2 Π f 1 per ogni f 1, f 2 F; dati due impatti, uno dei due è sicuramente preferibile all altro (al limite, entrambi lo sono vicendevolmente) (definizione alternativa: Π Π 1 = F F) transitiva quando f 1 Π f 2 e f 2 Π f 3 f 1 Π f 3 per ogni f 1, f 2, f 3 F Sulla base di queste proprietà, possiamo introdurre le seguenti categorie di relazioni di preferenza: relazioni di preordine: godono delle proprietà riflessiva e transitiva 1
relazioni di ordine parziale: godono delle proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica relazioni di ordine debole: godono delle proprietà riflessiva, transitiva e di completezza relazioni di ordine totale: godono delle proprietà riflessiva, transitiva, antisimmetrica e di completezza Relazioni derivate Data una relazione di preferenza qualsiasi Π, se ne possono derivare altre due relazioni: 1. indifferenza: f 1 f 2 quando f 1 Π f 2 e f 2 Π f 1 (definizione alternativa Ind Π = Π Π 1 ) 2. incomparabilità: f 1 f 2 quando f 1 Π f 2 e f 2 Π f 1 (definizione alternativa Inc Π = Π Π 1 ) 3. preferenza stretta: f 1 Π f 2 quando f 1 Π f 2 e f 2 Π f 1 (definizione alternativa ˆΠ = Π \ Π 1 ) Data una coppia (f 1, f 2 ), possono valere quindi quattro casi: 1. f 1 f 2 : f 1 è strettamente preferibile a f 2 2. f 2 f 1 : f 2 è strettamente preferibile a f 1 3. f 1 f 2 : f 1 e f 2 sono indifferenti 4. f 1 f 2 : f 1 e f 2 sono incomparabili L incomparabilità modella le situazioni in cui il decisore non è indifferente fra due impatti, ma incapace o non disposto a scegliere fra loro. L incomparabilità è simmetrica. L indifferenza è riflessiva e simmetrica. Se la preferenza è transitiva, è anche transitiva. Quindi, è una relazione di equivalenza. La preferenza stretta è irriflessiva (f f per ogni f F) e asimmetrica (f 1 f 2 f 2 f 1 per ogni f 1, f 2 F). Se la preferenza è un ordine parziale, la relazione di indifferenza è vuota: il decisore non è mai indifferente fra due alternative (tutt al piì si dichiara incapace di dare una preferenza, cioè ci possono essere coppie di impatti incomparabili). Se la preferenza è un ordine debole, la relazione di incompatibilità è vuota: il decisore è in grado di mettere in fila gli impatti dal migliore al peggiore, eventualmente con degli ex-aequo. Se la preferenza è un ordine totale, c è contemporaneamente una concatenazione completa e senza pareggi: solo impatti identici sono fra loro indifferenti (per antisimmetria). Un assiomatica alternativa Si può costruire un assiomatica alternativa, partendo dalla preferenza stretta, cioè escludendo a priori la riflessività: f f per ogni f F (irriflessività). Dato un preordine stretto, si può costruire una relazione di indifferenza x y x y e y x 2
e una di preferenza debole x y x y oppure x y La relazione di indifferenza cosí ottenuta non è necessariamente transitiva, e quindi non è in generale una relazione di equivalenza, dato che racchiude in sé sia il caso di coppie equivalenti sia il caso di coppie non confrontabili. Problemi critici sull ipotesi di transitività Merita una discussione approfondita l ipotesi di transitività. La transitività è la condizione richiesta più spesso a una relazione di preferenza. Si ritiene di non poterla evitare, dato che negarla porterebbe a effetti paradossali come i seguenti: 1. supponiamo che un decisore, posto di fronte alla scelta fra A e B (una mela e una pera, ad esempio) affermi di preferire A; posto di fronte alla scelta fra B e C (una pera e un arancia, ad esempio) affermi di preferire B; posto di fronte alla scelta fra A e C (una mela e un arancia) affermi di non saper scegliere. Attraverso una catena di scambi, si può facilmente indurlo a cedere C (l arancia) in cambio di A (la mela), nonostante abbia affermato di non saper scegliere fra le due. 2. un decisore potrebbe addirittura avere preferenze strutturate ciclicamente, senza che però vi sia indifferenza (concetto che introdurremo in seguito) fra gli elementi del ciclo; qualora la preferenza fosse addirittura stretta (concetto che introdurremo in seguito), si potrebbe ricavare denaro da ogni passaggio (dandogli una pera in cambio di un arancia e denaro, una mela in cambio di una pera e denaro, un arancia in cambio di una mela e denaro), lasciando alla fine il decisore con la soluzione iniziale (l arancia) e avendone ricavato denaro per niente. Questa è quella che gli economisti chiamano money pump. La transitività non è tuttavia del tutto innocua come assunzione, per diversi motivi: 1. influenza del tempo: le scelte vengono in realtà fatte in istanti diversi; è possibile che la preferenza cambi nel tempo, dando luogo a violazioni della transitività. Si possono eliminare queste violazioni assegnando agli impatti anche un indice temporale, e stabilendo la relazione di preferenza non fra gli impatti, ma fra le coppie impatto-tempo (preferisco una mela oggi a una pera domani). Questo però complica moltissimo il modello. Il problema non è banale, dato che lo scopo del modello è aiutare a prendere decisioni per il futuro. 2. capacità discriminatoria limitata: il decisore non è effettivamente in grado di distinguere perfettamente tra loro le scelte; vi sono scelte estremamente simili fra le quali il decisore è indifferente, ma con una catena di scelte simili si possono legare scelte molto diverse. L esempio classico è quello della tazzina di caffé con una quantità di zucchero che cambia di un granello alla volta: ammettiamo che il decisore preferisca il caffé amaro; posto di fronte a una tazzina con n granelli e una con n + 1 granelli dovrebbe però considerarle indifferenti, cioè contemporaneamente preferire la tazzina più dolce alla meno dolce e viceversa. Attraverso una catena di tazzine, si può arrivare alla conclusione che il decisore preferisca il caffé dolce. In breve, o si assume una capacità infinita di discriminazione (che è illusoria) oppure si perde la transitività della preferenza. 3
3. effetti di contesto o framing: il modo in cui le alternative sono presentate influisce pesantemente sulle preferenze, anche se le alternative sono del tutto identiche. In un celebre esperimento, si chiese a un campione di persone di immedesimarsi nel ministro della sanità di un paese in cui è appena scoppiata un epidemia. Se il ministro non fa nulla, muoiono 600 persone. Si deve scegliere fra due programmi di intervento: (a) programma A: si salvano 200 persone (b) programma B: con un terzo di probabilità si salvano tutti, con due terzi nessuno La maggioranza del campione scelse il programma A. Si chiese quindi di scegliere fra altri due programmi di intervento: (a) programma C: muoiono 400 persone (b) programma D: con un terzo di probabilità non muore nessuno, con due terzi tutti La maggioranza del campione scelse il programma D. Eppure il programma A è identico al C e il programma B al D. Il contesto (cioè l idea di salvare piuttosto che di far morire ) cambia la percezione. Soluzioni dominate e non dominate Da una relazione di preferenza fra impatti deriva immediatamente una relazione fra soluzioni: una soluzione è preferita a un altra quando l impatto della prima è preferito a quello della seconda. La relazione fra soluzioni conserva le proprietà riflessiva, transitiva e di completezza; perde in generale quella antisimmetrica, perché possiamo avere soluzioni con lo stesso impatto, ma diverse tra loro. Supponiamo ora che Π sia una relazione riflessiva e transitiva. Diremo soluzione dominata una soluzione x tale che x X : f (x ) Π f (x) soluzione non dominata altrimenti Si noti l uso della preferenza stretta (derivata da quella debole): se una soluzione ne ammette un altra indifferente, non è dominata. Se la relazione di preferenza Π è riflessiva e transitiva, esiste sempre almeno una soluzione non dominata. Sotto queste ipotesi, ha senso assumere che un decisore razionale sceglie sempre una soluzione non dominata. Quindi, la soluzione di un problema di decisione sarà l insieme X delle soluzioni non dominate. In alcuni casi, ci sarà una sola soluzione non dominata, oppure tutte le soluzioni non dominate saranno fra loro indifferenti. In altri casi, però, potremo avere diverse soluzioni fra loro incomparabili, per cui il problema sarà in effetti più semplificato che risolto. Ora consideriamo il problema di determinare le soluzioni non dominate. Se X finito, possiamo costruire il grafo delle preferenze: i nodi corrispondono alle soluzioni, mentre gli archi corrispondono alle coppie di nodi tali che il primo estremo sia strettamente preferito al secondo. Le soluzioni non dominate corrispondono ai nodi privi di archi entranti. Basta scorrere gli archi per determinarle. Ad esempio, si supponga di dover andare da Milano a Roma e di dover scegliere il mezzo fra cinque alternative X = {Treno, Pullman, Auto, Taxi, Aereo} 4
con la seguente relazione di preferenza stretta = {(Treno, Taxi),(Auto, Pullman), (Auto, Taxi), (Auto, Treno),(Aereo, Pullman),(Aereo, Taxi)}. (vedi Figura 1). Si noti che la relazione di preferenza è a rigore fra gli impatti, ma qui si sta assumendo che ogni soluzione abbia un suo diverso impatto, a cui diamo lo stesso nome della soluzione. Le soluzioni non dominate sono X = {Auto, Aereo}. Treno Taxi Auto Pullman Aereo Figura 1: Grafo delle preferenze per una relazione di preferenza stretta Quindi, nel caso in cui X è finito, si pu o applicare la definizione, costruire il grafo delle preferenze e determinare i nodi con grado entrante nullo. Questo corrisponde a effettuare confrontare ogni coppia di impatti. Se la complessit a di un singolo confronto è O (p) perché occorre confrontare tutti gli indicatori, la complessit a totale è Θ( X 2 p). Ovviamente, questa procedura non è lecita nel caso di X infinito. Per risolvere questo caso, occorre aggiungere ipotesi ulteriori. Ordini deboli e funzioni valore Data una funzione valore v : F R, è possibile costruire una relazione di preferenza Π v = {(f, f ) F F : v (f ) v (f )} cioè f f v (f ) v (f ). Si dice che la funzione valore è conforme alla relazione di preferenza. È facile vedere che le relazioni di indifferenza e preferenza stretta si traducono nell uguaglianza e nella differenza stretta fra i valori. È facile vedere che, se una funzione valore v è conforme a una relazione di preferenza Π, data qualsiasi funzione strettamente crescente φ : R R la funzione composta φ(v ( )) è anch essa conforme a Π. Quindi ci sono infinite funzioni valore conformi alla stessa relazione. Se una relazione di preferenza ammette una funzione valore conforme ad essa, allora la relazione è di ordine debole. Si può infatti dimostrare semplicemente che gode della proprietà riflessiva, transitiva e di completezza (si sfrutta il fatto che i numeri reali ne godono). L implicazione inversa avrebbe una forte rilevanza per i problemi di decisione. Infatti, è possibile che da colloqui con il decisore emerga che la sua relazione di preferenza è riflessiva (banale), transitiva (il decisore è molto razionale) e completa (il decisore ha le idee molto chiare). In tale caso, sarebbe comodo poter dire che esiste una funzione valore conforme alla relazione, in modo da sfruttarla nel procedimento risolutivo. Questo non è però sempre vero. Un esempio di relazione di ordine debole (anzi, totale) non sempre corrispondente a una funzione valore è l ordine lessicografico. Supponiamo che F R 2 (cioè 5
gli impatti siano vettori di due numeri reali) e che [f 1, f 2 ] [f 1, f 2 ] f 1 < f 1 oppure f 1 = f 1 e f 2 < f 2: l impatto f è preferito all impatto f se la sua prima componente è minore, oppure se è uguale ed è minore la seconda. Si può dimostrare che non esiste una funzione che assegni ad ogni impatto in F un valore tale che la preferenza fra impatti corrisponda a una relazione fra i valori. Tuttavia, ci sono condizioni tecniche ulteriori che consentono di far corrispondere alla maggior parte degli ordini deboli una funzione valore conforme. Un primo esempio è il caso in cui F sia finito. Se una relazione di preferenza è di ordine debole ed è definita su un insieme finito, allora esiste una funzione valore conforme ad essa. Storicamente, questa funzione è denominata conto di Borda: v (f) = {f F : f f } cioè il valore di un impatto è il numero di impatti cui è preferibile (compreso esso stesso). È possibile estendere la proprietà al caso di insiemi infiniti numerabili e ad alcuni insiemi continui (ma occorrono assiomi abbastanza tecnici). Modelli normativi, descrittivi e prescrittivi La scelta della relazione di preferenza dipende in larga misura dallo scopo del modello stesso. Vi sono tre grandi categorie di modelli: 1. normativi: sono basati su proprietà logiche a cui i decisori dovrebbero conformarsi (ad esempio, la transitività è spesso considerata un requisito) 2. descrittivi: sono volti a rappresentare fedelmente il comportamento del decisore, cioè il modo in cui effettivamente prende le sue decisioni 3. prescrittivi: sono volti a creare un ponte fra i due approcci, aiutando il decisore a conformarsi a principi normativi, nel massimo rispetto delle sue effettive preferenze 6