MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 6/7 Prof. C. Presilla Prova A 8 luglio 7 Cognome Nome Matricola iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto 3 4 5 6
Esercizio Calcolare tutte le soluzioni della seguente equazione e graficarle nel piano complesso cos z / = [punteggio 5] Posto w = x + iy, le soluzioni dell equazione cos w = eiw + e iw = sono le soluzioni del sistema cos x cosh y = sin x sinh y = ovvero y =ex = ±(k + ) /, con k =,,,... Si ha quindi che cos z / = quando z = ± (k + ) k =,,,... cioè quando z = p ±(k + ) = ± p (k + ) ±i p (k + ) k =,,,...
Esercizio potenze: Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di a) X n 3 n z n, b) n= X ( 5) n3 z +n3. n= [punteggio 6] a) Il coe ciente n-esimo della serie è a n = n 3 n esiha a n a n+ = n 3 n (n + ) 3 n+ = n n + 3 n!!. Il raggio di convergenza della serie è R =/. b) Il coe ciente n-esimo della serie riscritta nella forma P n= a nz n è ( 5) k 3 n =+k a n = 3, k =,,,... altrimenti equindi R =limsup a m /m = lim m! cioè R =/5. = lim m! sup k: +k 3 m sup m! n m n a n /no n 5 k3 /(+k 3 ) o = lim m! 5=5,
Esercizio 3 Assumendo per le funzioni polidrome il ramo principale, calcolare l integrale (z z ) dz, dove è una curva chiusa semplice regolare a tratti orientata positivamente passante per il punto z R, con R>, e tale z Int( ). [punteggio 6] Si consideri q 6= reale arbitrario. Il ramo principale della funzione integranda (z z ) q =e (q ) log(z z ) è una funzione analitica in D = C\ dove = {z(u) =z u, u [, )} è la linea di diramazione del ramo principale di log(z z )cheintersecalacurva nel punto z R. Parametrizzato il cammino :[a, b] 7! C in modo tale che (a) = (b) =z R, definiamo un nuovo cammino " :[a+", b "] 7! C con "> tale che " (t) = (t) 8t [a + ", b "]. Evidentemente si ha (z z ) q dz =lim (z z ) q dz. "! " La traccia di " è contenuta in D eind il ramo principale della funzione integranda ammette come primitiva il ramo principale di q (z z ) q d e q log(z z ) dz q =e (q ) log(z z ). Pertanto risulta (z z ) q dz = eq log( "(b ") z ) " q = eq log( (b ") z ) q e q log( "(a+") z ) q e q log( (a+") z ) q. Prendendo il limite "! concludiamo (z z ) q dz = eq log(rei ) q q = eq ln R q e i q = i sin( q) R q. q e q log(re i ) e i q
Esercizio 4 Sia f(z) intera. Dimostrare che se 9b R tale che Im(f(z)) apple b 8z C, allora f(z) è costante in C. [punteggio 5] Si ponga g(z) =exp( if(z)). La funzione g è intera. Essa è anche limitata in C in quanto 8z C risulta g(z) =e Im f(z) apple e b. Per il teorema di Liouville, g(z) è quindi costante in C. Concludiamo che anche f(z) = i log g(z) è costante in C.
Esercizio 5 Determinare fino all ordine z 6 compreso lo sviluppo in serie di Taylor intorno a z = del ramo principale della funzione f(z) = z sin z p cos z. [punteggio 5] Si osservi innanzitutto che f è analitica in un intorno di z =, precisamente nella palla B(, /), e in tale intorno risulta f(z) = z d dz p cos z. Pertanto è su ciente determinare lo sviluppo in serie di Taylor con centro in z = del ramo principale di p cos z. Ricordando gli sviluppi notevoli si ha X ( ) k cos z = (k)! zk, z <, k= p X +z = z k, z <, k k= p p cos z = + (cos z ) =+ z! + z4 4! + z 6! + z4 4! =! z + 4! = z 6 6! +... 8 z 6 3 +... 6! +... 8 (!) z 4 + 9 4 z 96 z4 576 z6 + O(z 8 ). z! + z4 4! 6! + 8!4! z 6 6! +... Tale sviluppo è valido all interno del massimo disco centrato in z = e tale che per ogni z al suo interno risulti Re(cos z ) >. Questa condizione equivale a z < / e possiamo concludere z sin z p cos z = z + z4 + 9 48 z6 + O(z 8 ), z <. 6 (!) 3 z 6 + O(z 8 )
Esercizio 6 Calcolare, usando il teorema dei residui, l integrale + con, R. e x / e i x dx, [punteggio 6] Si completi, per cominciare, il quadrato all esponente della funzione integranda! x i x = = x + x i x + i i + 4. i Con il cambio di variabile t = x/, l integrale da calcolare diventa + e x / e i x dx = e 4 + e (t+i /) dt. L integrale in t può essere valutato integrando la funzione intera f(z) =e z lungo il cammino chiuso orientato negativamente = + + 3 + 4,dove (u) =u, A u A, (y) = A +iy, apple y apple /, 3(t) =t +i /, A apple t apple A, 4(y) =A +iy, / y. In queste espressioni A è un arbitrario numero reale positivo. Dal teorema dei residui risulta f(z)dz = 4X k= k f(z)dz =. Gli integrali lungo i quattro cammini che compongono A f(z)dz = e u du, A valgono: f(z)dz = / e ( A+iy) idy = / e A +iay+y idy, 3 f(z)dz = A e (t+i A /) dt, 4 f(z)dz = e (A+iy) idy = / / e A iay+y idy. Il modulo degli integrali su e 4 può essere maggiorato come segue: / f(z)dz apple e A e y dy A!!,
4 / f(z)dz apple e A e y dy A!!. Pertanto, per A!si ottiene + In conclusione, e (t+i /) dt = + e u du = p. + e x / e i x dx = p e 4.
MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 6/7 Prof. C. Presilla Prova B 8 luglio 7 Cognome Nome Matricola iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto 3 4 5 6
Esercizio Determinare per quali valori di a R la funzione f(x) = cos(ax) x a appartiene allo spazio vettoriale normato L ([, )). [punteggio 5] Dobbiamo stabilire per quali valori di a R risulta convergente l integrale kfk = f(x) dx = cos (ax) (x a) dx. Per a<, si ha x a 6= 8x [, ), pertanto l integrale è convergente in quanto per x!si ha cos (ax) (x a) apple (x a) O(x ). Per a, la funzione integranda presenta una singolarità in x = a. Per determinare la natura di questa singolarità si sviluppi cos (ax) inseriedi Taylor intorno a x = a cos (ax) = cos (a ) a cos(a )sin(a )(x a) + a sin (a ) a cos (a ) (x a) + O((x a) 3 ). I primi due termini di questo sviluppo sono nulli quando cos(a ) =, cioè per a = p (n + ) /, con n =,,,... Per questi valori di a si ha cos (ax) = a (x a) + O((x a) 3 ), equindi cos (ax) (x a) = a + O(x a). La singolarità è eliminabile e l integrale convergente (si noti che il comportamento all infinito è come nel caso a<). Per a 6= p (n + ) /, essendo cos (a ) 6=, la singolarità è del tipo (x a), cioè non integrabile. In conclusione kfk < per a<epera = p (n + ) /, con n =,,,...
Esercizio Stabilire, motivando sinteticamente in caso di risposta positiva o portando un esempio esplicito nel caso di risposta negativa, se k kè una norma nello spazio vettoriale indicato. a) kxk = X k= x k k /, x `(R) b) kfk =sup f(x), f C (R) xr c) kxk = x + x + x + x 3, x R 3 d) kxk =sup x k, x `(R) kn / e) kfk = f(x) dx, f C (R) \ C b (R) R X fa) kxk = x k, x span(`f (R)) fb) kxk = k= X x k, x span(`f (R)) k= [punteggio 6] a) No. Si prenda x = (x,x,...) con x k = /( p k(log k) /3 ). Risulta x `(R) in quanto X x k = k= mentre kxk = X k= X k= k(log k) 4/3 < x k k / = X =. k(log k) /3 k= b) No. Esistono funzioni f C (R) non limitate. Si può scegliere, ad esempio, f come una funzione sempre nulla tranne che per dei picchi di forma triangolare centrati sugli interi positivi. Il picco k-simo centrato su x = k è un triangolo di base /k 3 e altezza k. c) No. Se x =(,, ) si ha kxk =. d) Si. Risulta ` ` e(`, k k ) spazio vettoriale normato. e) Si. Risulta C (R) \ C b (R) C (R) e(c (R), k k ) spazio vettoriale normato. fa) Si. Per ogni x span(`f (R)) = `f (R) la serie è una somma. Valgono poi le altre proprietà della norma. fb) No. Si consideri x =(x,x,...) con x k =/k. Risultax span(`f (R)) = `(R) mentre P k= x k =.
Esercizio 3 Sia A L(V ) un operatore lineare limitato nello spazio Euclideo (V,h, i). Dimostrare che ka Ak = kak. [punteggio 5] Sapendo che la norma del prodotto di due operatori è minore o uguale al prodotto delle norme degli stessi operatori e utilizzando la proprietà ka k = kak, si ha immediatamente ka AkapplekA kkak = kak. Dimostriamo ora che vale la disuaglianza opposta, ovvero kak apple p ka Ak. Si osservi che 8v V, con v 6=, si ha kavk = hav, Avi = ha Av, vi apple ka Avk kvk = ka Avk kvk kvk! ka Auk apple kvk kuk sup u6= = ka Akkvk, dove si è utilizzata la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz hu, vi apple kuk kvk e la definizione di norma di A A. Segue immediatamente kavk kak =sup v6= kvk apple p ka Ak.
Esercizio 4 Determinare la derivata della distribuzione regolare ' g asociata alla funzione cos(x)e x 3 apple x apple g(x) = x< 3, x >. [punteggio 5] La funzione g è continua a tratti (questo assicura che ' g è una distribuzione) con discontinuità nei punti u = 3eu = di valore h = g(u + ) g(u ) = cos( 3)e 3 = cos(3)e 3 h = g(u + ) g(u )= cos()e = cos()e La derivata di g esiste continua a tratti (questo assicura che ' g distribuzione) e vale 8 x< 3 >< g sin(x)e (x) = x cos(x)e x 3 <x< sin(x)e >: x + cos(x)e x <x< <x =( sin(x) + cos(x) sgn(x))e x [ 3,](x), è u n a dove [a,b](x) è la funzione caratteristica dell intervallo [a, b], cioè [a,b](x) = sex [a, b] e [a,b](x) = altrove. Di conseguenza ' g = ' g + e 3 cos(3) 3 e cos(). Alternativamente, osservando che [ 3,](x) = H(x + 3) H(x ) essendo H la funzione di Heavyside, D[cos(x)e x [ 3,](x)] = D[cos(x)]e x [ 3,](x) + cos(x)d[e x ] [ 3,](x) + cos(x)e x D[ [ 3,](x)] = sin(x)e x [ 3,](x) + cos(x) sgn(x))e x [ 3,](x) + cos(x)e x ( 3 ) =( sin(x) + cos(x) sgn(x))e x [ 3,](x) + e 3 cos(3) 3 e cos().
Esercizio 5 Sia T l operatore lineare su (C([, /3]; C), k k u )definitoda dove (T f)(x) =g(x)f(x), g(x) = p x apple x< x + apple x apple /3. Determinare lo spettro di T e la norma kt k. [punteggio 6] Determiniamo Ker(zI T )={f C([, /3]; C) : (zi T )f =} al variare di z C. L equazione per gli autovalori (zi T )f =implica (z g(x))f(x) =, 8x [, /3]. Se z C \ ([, ) [ [, /3 + ]), il fattore z g(x) non si annulla mai per x [, /3] e quindi l unica soluzione è quella banale f =, cioè zi T è iniettivo e z non è un autovalore. Se z [, ), il fattore z g(x) si annulla nel punto x z =(z/). Per x 6= x z si ha f(x) =e,dovendof essere continua, si conclude ancora f =, cioè zi T è i n i e t t i v o e z non è un autovalore. Alla stessa conclusione si giunge se z [, /3 + ]. Pertanto p(t )=;. Studiamo ora Ran(zI T )={hc([, /3]; C) : h =(zi T )f, f C([, /3]; C)} al variare di z C \ p (T ). A nchè (zi T )f = h, deve essere f(x) = h(x), 8x [, /3] : z g(x) 6=. z g(x) Se z [, ), per ogni h tale che h(x z ) 6=, con x z =(z/),laf diverge in x z e quindi risulta non continua. Segue che Ran(zI T ) non coincide con tutto C([, /3]; C), cioè zi T è non suriettivo ma iniettivo. Pertanto z c (T ). Allo stesso risultato si giunge se z [, /3 + ]. Se z C\([, )[[, /3+]), il fattore z g(x) non si annulla mai per x [, /3] e la funzione f risulta continua in [, /3]. Pertanto zi T è suriettivo e iniettivo e quindi invertibile, cioè z (T ). Riepilogando, c(t )=[, ) [ [, /3 + ] = [, /3 + ]. Dalla relazione (T ) B(, kt k) sihaktk /3 +. D altro canto 8f C([, /3]; C) siha ktfk u = sup x[, /3] g(x)f(x) apple( /3 + ) sup x[, /3] cioè kt kapple /3 +. Si conclude che kt k = /3 +. f(x) =( /3 + )kfk u
Esercizio 6 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f : R 7! R f(x) =e x ( x ). Determinare la funzione g(x) la cui autoconvoluzione è f(x), + g(y)g(x y)dy = f(x). [punteggio 6] La trasformata di Fourier di f vale F[f]( )= Risulta + equindi = + + f(x)e i x dx e (+i )x ( x)dx = F[f]( )= +i e (+i )x ( x)dx + + i + e (+i )x ( e (+i )x ( + x) + ( + i ) = +i = + ( + ) = 4 ( + ) ( + i ), ( + i ) ( i ) e (+i )x ( + i ) x)dx. Usando il teorema della convoluzione, dal precedente risultato segue F[g]( )=± p F[f]( )=± +. La funzione g(x) è ottenuta dalla trasformata di Fourier inversa di F[g]( ). Il calcolo è immediato usando il teorema dei residui g(x) = = ± + + = ± i sgn(x) Res = ±i sgn(x) = ±i sgn(x)e x. F[g]( )e i x d + ei x d =i sgn(x) e i x + i sgn x =i sgn x e i x ( i sgn(x))( + i sgn(x))
Un procedimento alternativo è il seguente. Si osservi che f(x) =e x ( Usando il risultato notevole F[e x ]( )= + x ) = d xe x. dx e le proprietà delle trasformate di Fourier, si ha F[xe x ]( )=i d d F + = 4i ( + ) apple d xe x ( )=i F[xe x ]( )= dx 4 ( + ). Per il teorema della convoluzione, dal precedente risultato segue F[g]( )=± p F[f]( )=± +. Usando ancora la trasformata di Fourier notevole sopra riporta, si ha F[g]( )=± F[e x ]( ) equindi g(x) =± i = ± i i F[e x ]( ) = ± i F apple d dx e x ( ) d dx e x = ± i e x ( sgn(x)) = ±i sgn(x)e x.