Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato, valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi P(A)=P(B)=1/2. Supponiamo ora di essere venuti a sapere che lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari, che cosa possiamo dire per la probabilità di A?
Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari? Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i punteggi dispari sono due: 1,3, possiamo quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è 2/3
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T? Lo spazio degli eventi è Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole l equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4 Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è ottenuto T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2
Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due lanci ha dato T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità richiesta è 1/3
Torniamo al primo problema: Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A), sapendo che il punteggio è dispari(evento B)? Abbiamo detto che Ω=B={1,3,5}, in questo insieme i punteggi inferiori a 4 sono due:1,3, l insieme {1,3} corrisponde di fatto a A B. Nel valutare la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto di fatto il rapporto tra P(A B)=2/6 e P(B)=3/6, ottenendo appunto 2/3
In generale, indichiamo con P(A B) la probabilità dell evento A sapendo che si è verificato B, definiamo P(A B) = P(A B) / P(B) Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0 Chiameremo tale probabilità: probabilità condizionale di A noto B
Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma P(A B)= P(B) P(A B) Tale relazione viene detta legge delle probabilità composte Tale relazione esprime la probabilità dell evento intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la probabilità di uno dei due eventi e la probabilità condizionale dell altro.
ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(m) e 6 di sesso femminile (F). Ci domandiamo qual è la probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F. Possiamo pensare in termini di due estrazioni successive dalla gabbia che contiene le cavie. Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha P(F I )=6/10 Possiamo quindi calcolare P(F II F I ), che esprime la probabilità di prendere una cavia F alla seconda estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.
Si ottiene P(F II F I )=5/9 La legge delle probabilità composte ci dice allora che La probabilità di prendere due cavie entrambe F è P(F I F II ) = P(F I ) P(F II F I ) = (6/10) (5/9) = 1/3 OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra numero casi favorevoli e numero casi possibili. Ottenendo?..
OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità condizionale, scambiando A con B, naturalmente se P(A)>0, si ottiene P(B A) = P(A B) / P(A) Per l evento congiunto, quindi possiamo dire che vale P(A B)= P(B) P(A B), ma anche P(A B)= P(A) P(B A) Dunque, possiamo dire che P(B) P(A B) = P(A) P(B A)
Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A è modificata dal sapere che si è verificato un evento B, vale a dire P(A B) P(A), come nel caso precedente delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l evento esce un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio ottenuto è dispari. Se P(A B) > P(A) diremo che i due eventi sono correlati positivamente, B rende A più probabile ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una causa di A! Se P(A B) < P(A) diremo che i due eventi sono correlati negativamente, B rende A meno probabile.
Talvolta, invece, si ottiene P(A B)=P(A), vale a dire che il venire a conoscenza dell evento B non modifica la probabilità dell evento A ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio non è modificata dalla conoscenza dell esito del primo.
DEFINIZIONE: Se P(A B) = P(A), diremo che gli eventi A, B sono indipendenti. Quando gli eventi sono indipendenti la legge della probabilità composta diviene P(A B) = P(A) P(B) Si osserva che se P(A B) = P(A), anche P(B A) = P(B) (perché? )
ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di incompatibilità con quella di indipendenza! Due eventi A, B sono incompatibili quando A B=Ø In questo caso P(A B) =0 Due eventi A, B sono indipendenti quando P(A B) =P(A) P(B) Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che indipendenti?
TEST DIAGNOSTICI Si chiama test diagnostico un esame effettuato per stabilire se un dato individuo è affetto o no da una certa malattia. Il test, come ogni esame, ha un certo margine di errore, può risultare positivo anche se l individuo è sano, o negativo se l individuo è malato.
TEST DIAGNOSTICI Indichiamo con M l evento l individuo è affetto dalla malattia M l evento l individuo non è affetto dalla malattia T + l evento il test è risultato positivo T l evento il test è risultato negativo Si definisce specificità del test la probabilità condizionale P(T M ) Si definisce sensibilità del test la probabilità condizionale P(T + M )
TEST DIAGNOSTICI Si dicono valori predittivi del test le probabilità condizionali P(M T + ), P( M T ) La probabilità P(M) viene detta tasso di incidenza della malattia La specificità e la sensibilità del test viene testata su campioni di individui per i quali è noto se sono o meno affetti dalla malattia. A partire dalla conoscenza del tasso di incidenza della malattia e della specificità e sensibilità del test, si calcolano i valori predittivi.
TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) = P(M) P(T + M) / P(T + ) Come calcoliamo P(T + )? Il test può risultare positivo se la persona è affetta dalla malattia oppure se la persona non è affetta, ma il test ha dato erroneamente esito + P(T + ) = P(M) P(T + M) + P( M ) P(T + M) Quanto vale P(T + M)? P(T + M) = 1 - P(T M )
TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) = P(M) P(T + M) /[P(M) P(T + M) + P( M ) (1-P(T M ))] Analogamente P( M T ) = P( M) P(T M) /[P( M) P(T M) + P(M)(1- P(T + M))]
TEST DIAGNOSTICI Una certa malattia, presente in una data popolazione, ha un tasso di incidenza 0.003. Un test diagnostico nei confronti della malattia ha sensibilità 0.999 e specificità 0.998. Calcolare i valori predittivi del test. Abbiamo P(M) = 0.003, P(T + M ) = 0.999, P(T M )= 0.998 Vogliamo calcolare P(M T + ) e P( M T )
TEST DIAGNOSTICI P(M T + ) =P(M) P(T + M) /[P(M) P(T + M) + P( M ) (1-P(T M ))] P(M T + ) =0.003 0.999/[0.003 0.999 + 0.997 0.002 ] 0.6 quindi il valore predittivo del test nel caso risulti positivo è circa del 60%, vale a dire che la probabilità che l individuo sia effettivamente malato è circa 0.6
TEST DIAGNOSTICI P( M T ) = P( M) P(T M) /[P( M) P(T M) + P(M)(1- P(T + M))] = 0.997 0.998/[0.997 0.998 + 0.003 0.001] 0.99999 Il valore predittivo in caso di esito negativo del test è molto alto