Elementi di Psicometria (con laboratorio software 1) ADD - 01-Concetti ulteriori (v. 1.0, 24 marzo 2019) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2018-19 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 1 / 23
Indici di posizione - Quantili Dopo aver ordinato i valori di una distribuzione, possiamo suddividere l intera distribuzione di frequenza in n parti uguali. Se divisa in 100 parti, Centili (C 1, C 2..., C 99 ) o Percentili (P 1, P 2... ) se divisa in 10 parti, Decili (D 1, D 2..., D 9 ) se divisa in 4 parti, Quartili (Q 1, Q 2, Q 3 ) se divisa in 3 parti, Terzili Notate che D 1 = P 10, e così via Q 1 = P 25, Q 2 = P 50 = D 5 è anche chiamato Mediana, Q 3 = P 75 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 2 / 23
Quartili I quartili suddividono la distribuzione in 4 parti uguali Q 1 Q 2 Q 3 Si usano solitamente il primo e il terzo quartile (Q1 e Q3) Q1 ha sotto di sé il 25% dei dati 25% 75% Q2 ha sotto di sé il 50% dei dati 50% 50% Q3 ha sotto di sé il 75% dei dati 75% 25% G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 3 / 23
Quartili: formule La posizione in cui cadono un quartile si trova con: Q 1 = 1 (N + 1) (N + 1) = 4 4 Q 2 = 2 2(N + 1) (N + 1) = = N + 1 4 4 2 Q 3 = 3 3(N + 1) (N + 1) = 4 4 Se la posizione trovata non è un intero, si tronca (ovvero si usa l intero inferiore) Una volta trovata la posizione si identifica il valore del quartile (il valore che corrisponde alla posizione) G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 4 / 23
Quartili Esempio 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 22 24 26 28 30 Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio 2 4 5 9 10 12 1 Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 5 / 23
Quartili Esempio 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 22 24 26 28 30 Q1 = (1/4)*(15+1)=16/4=4 Q1=8 Q2 = (15+1)/2 = 8 Q2=16 Q3 = (3/4)*(15+1)=48/4=12 Q3=24 Esercizio 2 4 5 9 10 12 1 Q1 =? 2 Q2 =? 3 Q3 =? Soluzione 2 4 5 9 10 12 1 N=6; pos=1.75; Q1=2 2 N=6; pos=3.5; Q2=5 3 N=6; pos=5.25; Q3=10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 5 / 23
Spss: n-tili (Frequenze) In Statistiche... Quartili calcola i quartili Punti di divisione divide in n parti uguali Percentili : scrivere il/i percentile/i deciderato/i e Aggiungi Qui abbiamo chiesto: i quartili, i terzili e il 45esimo percentile G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 6 / 23
Spss: Esplora... Dopo aver scelto le variabili, metterle in Variabili dipendenti poi click-are su Statistiche... scegliere Percentili e Quindi, click-are su Continua Poi OK G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 7 / 23
Spss: Esplora... Esplora non permette di scegliere i percentili, ma fornisce alcuni valori notevoli I tre quartili e i valori corrispondenti al 5% e 10% su entrambi i lati. Questi valori hanno particolarmente senso con variabili normali (capiremo più avanti). G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 8 / 23
Misure di variabilità: campo di variazione Il campo di variazione o gamma (di oscillazione) o range o intervallo (per SPSS) è la differenza fra il valore massimo e quello minimo gamma = max min Esempio valori campo var. 7 7 6 5 4 4 4 3 7-3=4 10 10 9 7 5 4 3 2 0 0 10-0=10 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 9 / 23
Misure di variabilità: differenza interquartilica La differenza interquartilica (DI, IQR) è la differenza fra il terzo e il primo quartile IQR = Q 3 Q 1 Esempio e corrisponde al 50% centrale dei valori della distribuzione valori Q3-Q1 IQR 7 7 6 5 4 4 4 3 6-4 2 10 10 9 7 5 4 3 2 0 0 7-0 7 La semi-differenza interquartilica è la metà dell IQR e corrisponde al 25% dei valori sopra o sotto la mediana G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 10 / 23
Diagramma a scatola e baffi Il diagramma a scatola e baffi (box-and-whiskers) è stato ideato da Tukey nell ambito della EDA (Exploratory data analysis). È più spesso chiamato box-plot 25 30 35 40 45 50 55 Tukey's Boxplot max Q3 Mdn Q1 La scatola è formata dai valori corrispondenti al primo e al terzo quartile min La linea spessa dentro la scatola corrisponde alla mediana I baffi rappresentano cose diverse in base ai software: come primo approccio useremo i valori minimo e massimo G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 11 / 23
Grafico a scatola [Box-plot] (I/R) 25 30 35 40 45 50 55 Tukey's Boxplot max Q3 Mdn Q1 variabile ordinata: 22 22 24 24 24 24 24 27 27 27 27 30 30 31 31 32 33 33 33 33 34 35 35 36 36 36 37 39 39 41 42 42 42 44 45 45 45 46 46 54 54 N=41; min=22; Q1(10)=27; Mdn(21)=34; Q3(31)=42; max=54 min G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 12 / 23
Grafico a scatola In realtà i box-plot di SPSS ed R non visualizzano i valori minimo e massimo Al loro posto viene usata la semi-differenza interquartilica moltiplicata per 1,5; in una distribuzione normale, questo valore è quasi sempre oltre il massimo e oltre il minimo (quindi si visualizzano max e min) inoltre visualizzano i singoli valori anomali (i valori oltre i baffi), evidenziando quindi le code asimmetriche L utilità dei box-plot è più evidente se si incrociano con una variabile categoriale, perché si possono fare confronti sulle distribuzioni dei sotto-campioni G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 13 / 23
Grafico a scatola (I/R) Vendita biglietti cinema 200 300 400 500 600 variabile ordinata: 172 173 173 174 175 176 176 177 177 178 180 180 181 181 181 181 183 183 183 184 184 184 185 188 190 191 192 194 197 199 199 202 202 205 206 207 211 213 215 216 217 218 219 226 228 229 233 234 235 239 241 242 242 246 250 251 256 257 260 260 262 268 286 290 294 306 309 311 313 318 329 330 339 357 404 431 435 461 601 SIQR: (260 184)/2 * 1.5 = 57 baffi: 184-57=127 e 260+57=317 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 14 / 23
Grafico a scatola (I/R) suddiviso (N/O) Fondamentalismo 50 100 150 Per ogni valore della variabile di raggruppamento, viene prodotto un box-plot In questo modo si possono vedere le differenze di distribuzione CrNPr CrPr NCrNPr NCrPr Credente G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 15 / 23
Spss: Box-plot (Esplora) Spss produce i box-plot tramite Analizza Statistiche descrittive Grafici... Esplora... e dal pulsante assicuratevi di aver attivato una delle prime due opzioni di Grafici a scatola Se avete selezionato più variabili, Un grafico ogni dipendente produce grafici separati Dipendenti insieme produce un unico grafico G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 16 / 23
Spss: Box-plot Esempio di box-plot di Spss i pallini indicano anomali con z 2: gli asterischi con z 3 i numerini indicano il caso statistico G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 17 / 23
Misure di normalità: curtosi e asimmetria Curtosi: è il grado di piattezza della curva della densità delle frequenze rispetto ad una curva particolare che è la normale (in SPSS, valore di riferimento = 0); Probabilità 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Curva normale con M=0 (sd=1) Asimmetria: è il grado di asimmetria della curva della densità delle frequenze rispetto ad una curva particolare che è la normale (valore di riferimento = 0); 4 2 0 2 4 x G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 18 / 23
Cos è la sommatoria La somma di un certo numero di valori (anche diversi fra loro) è indicata con il simbolo sommatoria ( ) Perciò N X i i=1 (3, 4, 5)=12 significa sommare tutti i valori che la variabile X può assumere iniziando con il primo valore (i=1) fino al valore N-esimo (i=n) Contatore Valori 1 3 3 2 4 3 + 4 3 5 3 + 4 + 5 12 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 19 / 23
Sommatoria Si possono usare anche versioni più sintetiche: Xi o X che significano la stessa cosa, in quanto si sottintendono gli indici Se si usano più indici ( Xij ) si fa riferimento a due diversi contatori (ad es. per indicare gli elementi di riga e di colonna di una tabella) In una tabella, il primo indice indica le righe e il secondo le colonne I totali rispetto ad un certo contatore si indicano con un punto ( X.j, Xi. e X.. ) X.j -> totale di colonna Xi. -> totale di riga X.. -> totale generale G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 20 / 23
Sommatoria La sommatoria può essere usata come un altro tipo di operazione Valori X ( X ) 2 X 2 3 3 3 9 4 3 + 4 3 + 4 16 5 3 + 4 + 5 3 + 4 + 5 25 12 (12) 2 50 È diverso sommare i quadrati X 2 o elevare a quadrato una somma ( X ) 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 21 / 23
Sommatoria: Regole Proprietà e regole della sommatoria (con X e Y variabili) 1 La sommatoria di una somma equivale alla somma delle sommatorie: (X + Y ) = X + Y 2 La sommatoria di una differenza equivale alla differenza delle sommatorie: (X Y ) = X Y 3 Ma la sommatoria di un prodotto non equivale al prodotto delle sommatorie: XY X Y 4 Quindi anche la sommatoria di una potenza non equivale alla potenza di una sommatoria: X 2 ( X ) 2 Suggerimento Potete fare delle prove a mano o in Excel seguendo gli esempi e gli esercizi del primo capitolo del testo. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 22 / 23
Sommatoria: Regole Proprietà e regole della sommatoria (con k=costante, X e Y variabili) 5 La sommatoria di una costante equivale a N volte la costante: k = Nk 6 Sommare una costante a dei valori equivale a sommare N volte la costante alla somma dei valori: (X + k) = X + Nk 7 Analogamente per la sottrazione: (X k) = X Nk 8 Moltiplicare una costante a dei valori equivale a moltiplicare la costante alla somma dei valori: kx = k X Suggerimento Potete fare delle prove direttamente in SPSS quando avrete iniziato a studiarlo. G. Rossi (Dip. Psicologia) ElemPsico 2018-19 23 / 23