INDICE INTRODUZIONE 13 SUGGERIMENTI PER AFFRONTARE LA PROVA A TEST 15 Bando di concorso e informazioni sulla selezione... 15 Regolamento e istruzioni per lo svolgimento della prova... 15 Domande a risposta multipla... 16 Valore dei quesiti e gestione del tempo a disposizione... 17 Scelta casuale della risposta nei quesiti che non si sanno risolvere... 17 Scheda per le risposte e correzioni... 18 INDICAZIONI PER I PARTECIPANTI AI CORSI ALPHA TEST 21 Informazioni e modalità di iscrizione ai corsi Alpha Test... 22 1 INSIEMI, NUMERI E OPERAZIONI 23 1.1 Insiemi... 23 1.1.1 Simbologia... 23 1.1.2 Definizioni... 23 1.1.3 Corrispondenze fra insiemi... 24 1.1.4 Operazioni con gli insiemi... 24 1.1.5 Proprietà delle operazioni con gli insiemi... 25 1.1.6 Quantificatori... 25 1.1.7 Prodotto cartesiano... 26 1.2 Numeri naturali... 28 1.2.1 Operazioni fondamentali e loro proprietà... 28 1.2.2 Divisione con resto, criteri di divisibilità e numeri primi... 29 1.2.3 Scomposizione in fattori primi... 29 1.2.4 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo... 30 1.3 Numeri interi relativi... 31 1.3.1 Valore assoluto di un numero relativo... 32 1.3.2 Confronto fra numeri relativi... 32 1.3.3 Operazioni fra numeri relativi... 32 1.4 Numeri razionali... 33 1.4.1 Proprietà invariantiva e frazioni equivalenti... 34 1.4.2 Operazioni tra frazioni... 34 1.4.3 Numeri decimali e frazioni generatrici... 35 1.4.4 Operazioni tra numeri decimali... 36 ALPHA TEST INDICE 5
1.5 Percentuali... 40 1.5.1 Problemi di sconto... 41 1.5.2 Problemi di interesse... 41 1.5.3 Variazione percentuale... 41 1.6 Potenze di un numero razionale... 43 1.6.1 Proprietà delle potenze... 43 1.6.2 Potenze e operazioni fondamentali... 43 1.6.3 Proprietà distributive delle potenze... 44 Test di verifica... 47 2 ALGEBRA CLASSICA: MONOMI E POLINOMI 51 2.1 Monomi... 51 2.1.1 Grado di un monomio intero... 51 2.1.2 Monomi simili e somma tra monomi... 51 2.1.3 Prodotto tra monomi e potenza intera di un monomio... 52 2.1.4 Quoziente tra monomi... 53 2.1.5 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di più monomi... 55 2.1.6 Minimo comune multiplo (m.c.m.) di più monomi... 55 2.2 Polinomi... 57 2.2.1 Grado di un polinomio... 57 2.2.2 Somma e differenza di polinomi... 57 2.2.3 Prodotto e quoziente di un polinomio per un monomio... 58 2.2.4 Prodotto di polinomi... 60 2.2.5 Prodotti notevoli... 62 2.2.6 Potenza n-esima di un binomio e triangolo di Tartaglia... 66 2.2.7 Principio di identità di due polinomi... 67 2.2.9 Quoziente di due polinomi... 68 2.2.9 Regola di Ruffini... 71 2.2.10 Criteri di divisibilità... 74 2.3 Scomposizione di un polinomio in fattori... 77 2.3.1 Raccoglimento a fattore comune... 77 2.3.2 Raccoglimento a fattore parziale... 77 2.3.3 Scomposizione tramite i prodotti notevoli... 77 2.3.4 Scomposizione tramite i binomi notevoli... 78 2.3.5 Scomposizione di un trinomio di secondo grado... 79 2.3.6 Scomposizione tramite la regola di Ruffini... 79 2.3.7 M.C.D. e m.c.m. di più polinomi... 85 2.4 Semplificazione di frazioni algebriche... 86 2.4.1 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore... 86 2.4.2 Somma di frazioni algebriche... 87 2.4.3 Prodotto di frazioni algebriche... 87 2.4.4 Potenza di frazioni algebriche... 87 2.4.5 Quoziente di frazioni algebriche... 87 Test di verifica... 92 6 INDICE ALPHA TEST
3 RADICALI E NUMERI REALI 97 3.1 Numeri razionali, irrazionali e reali... 97 3.2 Radicali algebrici e aritmetici... 97 3.2.1 Proprietà invariantiva dei radicali aritmetici... 98 3.2.2 Operazioni con i radicali aritmetici... 98 3.2.3 Somma di radicali aritmetici simili... 99 3.2.4 Radicali doppi... 100 3.2.5 Potenza con esponente razionale (frazionario)... 100 3.2.6 Razionalizzazione delle frazioni... 101 Test di verifica... 105 4 EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI 109 4.1 Uguaglianze, disuguaglianze e identità... 109 4.2 Equazioni... 110 4.2.1 Soluzione di un equazione... 110 4.2.2 Equazione impossibile, indeterminata, determinata... 110 4.2.3 Classificazione delle equazioni... 111 4.2.4 Forma normale e grado di un equazione... 111 4.2.5 Teorema fondamentale dell algebra... 111 4.2.6 Metodo della verifica... 112 4.2.7 Condizioni di esistenza delle espressioni frazionarie... 112 4.2.8 Equazioni equivalenti... 112 4.2.9 Equazioni intere di primo grado... 114 4.2.10 Equazioni frazionarie di primo grado... 114 4.2.11 Equazioni incomplete di secondo grado... 115 4.2.12 Equazioni complete di secondo grado... 115 4.2.13 Equazioni frazionarie di secondo grado... 116 4.2.14 Somma e prodotto delle radici di un equazione di secondo grado... 116 4.2.15 Scomposizione di un trinomio di secondo grado in fattori... 116 4.2.16 Regola di Cartesio... 117 4.2.17 Equazioni di grado superiore al secondo... 117 4.3 Proporzioni... 121 4.4 Sistemi di equazioni... 123 4.4.1 Equazioni in due incognite e sistemi di equazioni... 123 4.4.2 Soluzione di un sistema... 123 4.4.3 Grado di un sistema... 123 4.4.4 Metodi risolutivi dei sistemi lineari... 124 4.4.5 Carattere dei sistemi lineari... 124 Test di verifica... 129 ALPHA TEST INDICE 7
5 DISEQUAZIONI 135 5.1 Disequazioni... 135 5.1.1 Rappresentazione grafica della soluzione di una disequazione.. 135 5.1.2 Disequazioni e metodo della verifica... 135 5.1.3 Disequazioni equivalenti... 136 5.1.4 Disequazioni intere di primo grado... 136 5.1.5 Segno di un prodotto o di un quoziente... 137 5.1.6 Disequazioni frazionarie di primo grado... 137 5.1.7 Segno di un trinomio di secondo grado e disequazioni... 141 5.1.8 Disequazioni intere di secondo grado... 141 5.1.9 Disequazioni frazionarie di secondo grado... 142 5.1.10 Disequazioni di grado superiore al secondo... 142 Test di verifica... 145 6 LOGARITMI ED ESPONENZIALI 149 6.1 Definizione di logaritmo... 149 6.2 Segno del logaritmo... 150 6.3 Teoremi sui logaritmi... 150 6.4 Sistemi di logaritmi maggiormente utilizzati... 151 6.4.1 Logaritmi decimali e logaritmi naturali... 151 6.4.2 Passaggio da un sistema di logaritmi a un altro... 151 Test di verifica... 156 7 GEOMETRIA ANALITICA 159 7.1 Coordinate cartesiane e geometria analitica... 159 7.1.1 Rette e segmenti orientati... 159 7.1.2 Ascisse sulla retta... 159 7.1.3 Riferimento cartesiano e coordinate di un punto... 160 7.1.4 Distanza tra due punti e coordinate del loro punto medio... 160 7.2 Curve nel piano... 161 7.2.1 Condizione di appartenenza... 161 7.2.2 Curve del piano come luoghi geometrici... 161 7.2.3 Curve algebriche e curve trascendenti... 161 7.3 Curve algebriche del primo ordine: le rette... 162 7.3.1 Equazione generale della retta... 162 7.3.2 Casi particolari... 162 7.3.3 Equazione canonica della retta e coefficiente angolare... 163 7.3.4 Rette parallele e perpendicolari... 164 7.3.5 Equazione delle rette passanti per uno o per due punti... 164 7.3.6 Equazione segmentaria della retta... 164 7.3.7 Distanza di un punto da una retta... 164 8 INDICE ALPHA TEST
7.4 Curve algebriche del secondo ordine: le coniche... 168 7.4.1 Equazione generale di una conica... 168 7.4.2 Circonferenza... 168 7.4.3 Circonferenze con equazione incompleta... 169 7.4.4 Posizioni reciproche tra rette e circonferenze... 169 7.4.5 Ellisse... 173 7.4.6 Eccentricità dell ellisse... 173 7.4.7 Parabola... 175 7.4.8 Iperbole... 179 7.4.9 Eccentricità dell iperbole... 179 7.4.10 Asintoti di una iperbole... 179 7.4.11 Iperbole equilatera... 180 7.5 Metodo pratico per il riconoscimento di una conica... 182 7.6 Proporzionalità diretta e inversa fra grandezze... 182 Test di verifica... 185 8 FUNZIONI 189 8.1 Definizione di funzione... 189 8.1.1 Funzioni suriettive, iniettive e biettive... 190 8.1.2 Campo di esistenza... 190 8.1.3 Funzioni crescenti e decrescenti... 193 8.1.4 Funzioni pari e dispari... 193 8.2 Rappresentazione grafica delle funzioni... 194 8.2.1 Condizione di appartenenza... 195 8.2.2 Intersezione tra curve... 195 8.2.3 Intersezioni con gli assi... 195 8.2.4 Segno di una funzione... 196 8.2.5 Grafici di alcune funzioni notevoli... 197 8.2.6 Funzione inversa... 198 8.2.7 Curva esponenziale... 198 8.2.8 Curva logaritmica... 199 Test di verifica... 202 9 TRIGONOMETRIA 207 9.1 Angoli e loro misura... 207 9.2 Definizione delle funzioni goniometriche... 207 9.2.1 Circonferenza goniometrica... 207 9.2.2 Seno, coseno e tangente... 208 9.2.3 Valore delle funzioni goniometriche per angoli particolari... 208 9.2.4 Archi associati... 209 9.2.5 Rappresentazione grafica di seno, coseno e tangente... 209 9.3 Teorema fondamentale della trigonometria... 210 9.4 Formule trigonometriche principali... 210 9.5 Equazioni goniometriche... 214 9.6 Disequazioni goniometriche... 215 Test di verifica... 216 ALPHA TEST INDICE 9
10 PROBABILITÀ E STATISTICA 219 10.1 Calcolo delle probabilità... 219 10.1.1 Il concetto di evento... 219 10.1.2 Probabilità di un evento... 220 10.1.3 Teorema delle probabilità totali... 221 10.1.4 Teorema delle probabilità composte... 221 10.1.5 Probabilità e coefficiente binomiale... 222 10.2 Statistica... 226 10.2.1 Distribuzioni statistiche... 226 10.2.2 Moda, mediana e media aritmetica... 227 10.3 Calcolo combinatorio... 230 10.3.1 Disposizioni... 230 10.3.2 Permutazioni... 230 10.3.3 Combinazioni... 231 Test di verifica... 233 11 GEOMETRIA ELEMENTARE 239 11.1 Geometria piana... 239 11.1.1 Angoli e rette... 239 11.1.2 Triangoli... 240 11.1.3 Criteri di congruenza fra triangoli... 241 11.1.4 Perimetro e area dei triangoli... 241 11.1.5 Triangoli equilateri... 242 11.1.6 Triangoli isosceli... 242 11.1.7 Triangoli rettangoli... 243 11.1.8 Perimetro e area dei poligoni... 246 11.1.9 Poligoni regolari... 247 11.1.10 Circonferenza e cerchio... 250 11.2 Geometria solida... 253 11.2.1 Parallelepipedi... 253 11.2.2 Piramide e tronco di piramide... 253 11.2.3 Poliedri regolari... 254 11.2.4 Cilindro... 255 11.2.5 Sfera... 255 11.2.6 Cono e tronco di cono... 255 Test di verifica... 258 APPENDICE A SIMBOLI MATEMATICI 265 APPENDICE B ALFABETO GRECO 265 10 INDICE ALPHA TEST
APPENDICE C APPROFONDIMENTI 266 C.1 Progressioni... 266 C.1.1 Progressioni aritmetiche... 266 C.1.2 Calcolo dell n-esimo termine... 266 C.1.3 Calcolo della somma dei primi n termini... 267 C.1.4 Progressioni geometriche... 267 C.1.5 Calcolo dell n-esimo termine... 267 C.1.6 Calcolo della somma dei primi n termini... 267 C.2 Sistemi di numerazione in base diversa da 10... 268 C.2.1 Passaggio dal sistema numerico in base n al sistema decimale. 268 C.2.2 Passaggio dal sistema decimale al sistema numerico in base n. 268 C.2.3 Operazioni con numeri in base n... 269 C.3 Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali e logaritmiche... 270 C.3.1 Equazioni irrazionali... 270 C.3.2 Disequazioni irrazionali... 270 C.3.3 Equazioni esponenziali... 270 C.3.4 Equazioni logaritmiche... 271 C.3.5 Disequazioni esponenziali... 271 C.3.6 Disequazioni logaritmiche... 272 C.4 Cenni sui numeri complessi... 273 C.4.1 Numeri immaginari... 273 C.4.2 Numeri complessi e loro operazioni... 273 C.4.3 Numeri complessi coniugati... 273 ALLEGATO A LEGGI E DECRETI SUL NUMERO PROGRAMMATO 275 ALLEGATO B PROGRAMMI D ESAME 280 ALPHA TEST INDICE 11