Analisi Matematica I Sommario degli argomenti svolti nel corso e programma d esame Giuliano Lazzaroni 3 dicembre 208 Il programma d esame consiste di tutti i risultati e gli esercizi proposti a lezione (e riportati in questo sommario) comprese le dimostrazioni se non diversamente indicato. Testi consigliati: (MS) P. Marcellini C. Sbordone: Analisi Matematica uno. Liguori (MSE) P. Marcellini C. Sbordone: Elementi di Analisi Matematica uno. Liguori (MSX) P. Marcellini C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica (I volume due parti). Liguori (BPS) M. Bramanti C.D. Pagani S. Salsa: Analisi matematica. Zanichelli (SSX) S. Salsa A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica. Zanichelli Per ogni lezione vengono indicati i riferimenti a (MSE); agli altri testi solo se necessario. I parte: Matematica di base 24 settembre: Naturali e induzione. Numeri naturali. Esempio di definizione ricorsiva: fattoriale. Principio di induzione. Sommatoria. (MSE 5 ) Dimostrare le seguenti identità: n n(n + ) n = = n n+ 2 (per ) 2 = n(n+) Altri esercizi: Dimostrare le seguenti identità: n ( )(+) = (n )n(n + )(n + 2) 4 n 2 = n(n + )(2n + ) 6 n n (2 ) = n 2 ( + ) = n n + 25 settembre: Insiemi e funzioni. Elementi di teoria degli insiemi. Numero di elementi dell insieme delle parti. Funzioni iniettive suriettive biiettive; funzione inversa. Funzioni monotone. Funzione composta. Successioni. Numeri interi e razionali. (MSE 4 7)
Trovare biiezioni tra N e i numeri pari dispari interi razionali. Provare che se una successione ν : N N è strettamente crescente allora ν(n) n. Altri esercizi: Provare che: se f g sono monotone g f è monotona (con che andamento?); se f g sono iniettive (risp. suriettive) g f è iniettiva (risp. suriettiva) ma non viceversa; se g f è iniettiva (risp. suriettiva) f è iniettiva (risp. g è suriettiva) ma non viceversa. 27 settembre: Numeri reali. Introduzione assiomatica ai numeri reali e applicazioni; assioma di completezza. Q non soddisfa l assioma di completezza ( 2 / Q). Massimo minimo maggioranti minoranti insiemi itati e ilitati estremo superiore e inferiore. Esistenza dell estremo superiore e inferiore. (MSE 2 3 5 2) Provare la regola di annullamento del prodotto e la proprietà transitiva dell ordine. Trovare estremo superiore e inferiore di {0.9 0.99 0.999... 0.9999999... }. Altri esercizi: Trovare estremo superiore e inferiore di {/n: n N n > 0}. Dimostrare la proprietà di Archimede per i numeri reali. ottobre: Funzioni modulo e potenza. Funzione modulo: proprietà fondamentali e disuguaglianza triangolare. Potenze e radici ennesime: proprietà fondamentali monotonia iniettività suriettività. Potenza a esponente razionale e reale (senza la dimostrazione dell esistenza delle potenze a esponente reale). Disuguaglianza di Bernoulli. (MSE 8 9 ) Esercizio svolto: Provare che ( + ) n /( n) per n e < < /n. Altro esercizio: Provare che + 2 2 per ogni 2 R. 2 ottobre: Esercitazione. Funzione modulo potenze e radici polinomio di secondo grado equazioni e disequazioni. Risolvere le (dis)equazioni provando a disegnare i grafici delle funzioni relative: + + 3 = + + 3 2 + = 2 a = b (a b R) m + p = m + q (m p q R) + 3 3 + 3 3 2 3 + 2 > 0 2 3 + 2 4 a( )( 2 )( 3 ) > 0 (a R < 2 < 3 ) + 2 > 2 + 2 2 < 2 2 < 2 3 2 > 0 2 2 2 ( ) 2 3 + 2 > 0 2 4 + 2 + 2 3 > 0. 2
4 ottobre: Funzioni esponenziali e logaritmiche. Monotonia e itatezza della successione n ( + /n) n. Numero di Nepero. Funzioni esponenziali e logaritmiche e proprietà principali. (MSE 9 25) Esercizio svolto: Provare che ( + ) n /( n) per n e < < /n. Altro esercizio: Dire se è più grande n n+ o (n + ) n al variare di n N. 9 ottobre ( ora): Esercitazione. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Dire per quali è definita l espressione log ( 2 3). Risolvere le (dis)equazioni: ( ) 2 3 ( ) + + log 3 0 ( ) + 3 < 0 log 2 2 > log 2 + 2 < log 2 ( + ) log ( + ) log 2 ( 2 5 + 3) < 0 3 2 4 4 3 2 + 3 > 0. 2 5 ottobre: Funzioni trigonometriche. Radiante. Seno coseno tangente e loro funzioni inverse. Principali formule e proprietà. (MSE ) Trovare sup e inf di { > 0: cos = 0}. Risolvere le disequazioni: tan arccos(cos ) < π 4 2 3 4 sin < 0 2 3 sin sin + cos sin + cos sin cos 0 < 0 2 cos + sin 2 < 2 3 sin + 3 3 cos < 0 cos(3 2) cos(2 ) > 0. II parte: La nozione di ite 9 ottobre (2 ore): Limite di successioni. Definizione di ite di una successione numerica (caso convergente). Esistenza del ite di una successione monotona e itata. (MSE 7 24) Verificare la definizione di ite per le seguenti successioni: a n := { n per n dispari + n per n pari n n + n Altri esercizi: Dimostrare che la successione n b n := { n per n dispari n non converge a. per n pari. ottobre: Limite di successioni. Sottosuccessioni. Unicità del ite. Definizione di ite di una successione numerica (caso divergente). Limitatezza delle successioni convergenti. Operazioni coi iti. (MSE 7 20) 3
Esercizi svolti: Dimostrare che una successione (a n ) n N e un numero a R soddisfano n N: ε > 0 n > n a n a < ε se e solo se (a n ) n N è definitivamente costante e uguale ad a. Dimostrare che una successione (a n ) n N e un numero a R soddisfano ε > 0 n N n > n: a n a < ε se e solo se (a n ) n N ha una sottosuccessione convergente ad a. 6 ottobre (3 ore): Esercitazione. Limite di successioni operazioni coi iti. Verificare con la definizione: ( 3 )n 0 log 2 n 0 2 n+ + n sin n +. Vedere quali successioni sono itate monotone convergenti divergenti: (n )/n ( ) n 2 n /n! sin n. Trovare esempi di forme indeterminate del tipo e / che divergono a ± convergono a un certo l R o non hanno ite. Calcolare i iti delle seguenti successioni: n + n 2 + n 2 + 7 3n 3 + n 5n 2 + 3n + 2n 2 + 3 ( + n 2 ) n. 8 ottobre: Teoremi di confronto per successioni. Teoremi della permanenza del segno e dei carabinieri. Limite del modulo di una successione convergente. Limite del prodotto di una successione infinitesima e una itata. (MSE 2 22) Trovare il ite delle successioni ( ) n n + n 2 + sin n n. Data una successione convergente t.c. a n > 0 e a n+ /a n q < per ogni n N mostrare che a n 0. Mostrare che la stessa conclusione vale anche senza assumere la convergenza. 22 ottobre: Limiti notevoli. Calcolo dei iti di successioni. Limite di (a n ) n e di (sin n/n) n. (MSE 23) Esercizio svolto: Provare che l area del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio converge a π. Altri esercizi: Calcolare il ite di log 3 (n 2 + 4n + ) e di / 2 n + 3n per n. 4
23 ottobre: Confronto di successioni divergenti. Criterio del rapporto per successioni. Dimostrazione del fatto che n n n! a n n p log n per n con a > e p > 0 (dove a n b n significa: b n /a n 0). Limite di n p n p > 0. (MSE 26) Esercizi svolti: Calcolare i iti delle seguenti successioni: n + 2 3 n log n 2 n log ( + e n ) n. Trovare l errore nel seguente ragionamento e calcolare il ite se esiste: n 2 + n/n dunque n 2 + n n 0. si ha Altri esercizi: Calcolare i iti delle seguenti successioni: e n + 5 log n + 7 2 n n 3 + n n 2 log 3 n 3 n n 2 + 4 4 log n n 3 n + 7 n 2 + 3 2 n + 3n + 2 + + n 2n 2 + 5n n 2 + 3n 2 5n 2n 2 + 5n 3n 5 2n 2 + 5n 3n 3 5n. Trovare l errore nel seguente ragionamento e calcolare il ite se esiste: sin(2n) non ha ite nemmeno /(3 + sin(2n)) n ha ite. poiché 25 ottobre: Limite di funzioni. Definizione di ite di una funzione (tramite successioni); unicità. Operazioni coi iti alcuni iti notevoli. (MSE 29 30 32) Vedere se i seguenti iti esistono e in tal caso calcolarli: + 0 e tan ( π )± 2 + a (con a > 0) 0 + sin(2π) + sin 0 0 ± sin(2π) sin 0 0 ( + ) cos 2 0 2 log + sin(2π) 0 log 0 + cos. 0 29 ottobre: Limite di funzioni. Definizioni equivalenti per il ite di una funzione (con ε e δ). (MSE 3) Esercizi svolti: Calcolare il ite di log a n se a n 0 +. Limiti delle successioni ( + /n) n e ( /n) n. Definire per ricorrenza la successione s n = 2 + s n a partire da s 0 =. Vedere che è crescente e maggiorata da 2; dedurne che converge a 2. Altri esercizi: Mostrare che /( + ) è dispari crescente itata calcolare i iti a ± e l inversa. 5
5 novembre: Continuità. Funzioni continue esempi di discontinuità. Teorema della permanenza del segno teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione). (MSE 33 36) Vedere se le funzioni sin sin sin / possono essere estese a 0 per continuità. Cercare controesempi al teorema di Weierstrass in assenza di ciascuna delle ipotesi di continuità e compattezza. 6 novembre (2 ore): Continuità. Teoremi dei valori intermedi. Continuità delle funzioni monotone (senza dimostrazione). Continuità delle funzioni elementari. (MSE 35 38) 6 novembre ( ora): Esercitazione. Limite di funzioni. Verificare usando le definizioni: 0 2 = + 2 + + 2 + + log = 2 = 0 0 + 0 + e = 0. Verificare che non esiste il ite di / per 0. Calcolare i seguenti iti se esistono: ( log + ) log( + ) e ± 0 0 + log + log + 0 0 +(log )2 0 + 0 + 0 arctan 4 e2 log( 3 + ) + + ( + b ± ) ( ) 2 + 3 2 log( 3 + ) 0 ( ) +. III parte: Calcolo differenziale 8 novembre: Derivate. Definizione di derivata interpretazione geometrica; operazioni con le derivate derivate di funzioni composte e inverse. (MSE 39 42 44) Esempi ed esercizi: Calcolare le derivate delle funzioni f() c R f() = m + q f() = 2 f() = 4 f() = f() = 4. 2 novembre: Esercitazione. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di de l Hôpital (senza dimostrazione). (MSE 43 45 50) Calcolare 0 e sin(2) 2 log 0 + 0 ( + sin ) 6 d e d sin(2) d d 2 cos(2). e
3 novembre (2 ore): Esercitazione. Limiti e derivate Calcolare (con e senza il Teorema di de l Hôpital dove possibile) + 2 2 log + sin + sin + + 2 cos sin + 3 + + cos log(2) 0 + log(3) sin(3) 0 sin(2) sin(4) 0 tan 0 log + log( + ) + log( ) 0 2 cos 0 sin 2 tan 2 0 cos. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni di e dire se e dove esistono le derivate (di tutti gli ordini): 3 3 3 3. 3 novembre ( ora): I teoremi classici del calcolo differenziale. Punti di estremo locale e assoluto; condizione necessaria per i punti di estremo di una funzione derivabile. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Criterio per la monotonia. (MSE 46 48) Trovare esempi di funzioni con estremi al bordo del dominio o in punti di non derivabilità o con punti sella. Altro esercizio: Provare che ( + ) 2 / > 2 per ogni > 0. 5 novembre (3 ore): Studio di funzioni. Funzioni convesse e concave condizioni sulla derivata seconda (senza dimostrazioni). Asintoti orizzontali verticali obliqui. Studio di funzione. (MSE 49 5) Esercizio svolto: Studiare la funzione e /. Altri esercizi: Studiare le seguenti funzioni di : 2 sin + tan. + 9 novembre: Formula di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano. Notazione di o piccolo. (MSE 52 77 78) Esercizi svolti: Calcolare le formule di Taylor delle funzioni ep sin cos log( + /) attorno a 0. Altri esercizi: Calcolare le formule di Taylor delle funzioni sin( 2 ) sin( 3 ) sin(3) attorno a 0. 20 novembre: Esercitazione. Uso della formula di Taylor nel calcolo di iti. Resto in forma di Lagrange (senza dimostrazione). Stima del resto e approssimazione di funzioni. (MSE 80 8) Calcolare i seguenti iti: 0 ( 2 ) ( sin 0 cos 3 + 7 ) sin 3 3 4.
Calcolare approssimativamente sin e stimare l errore. Studiare dominio asintoti monotonia estremi e grafico di ( + /). 22 novembre: Numeri complessi. Insieme dei numeri complessi. Operazioni con i complessi: somma prodotto coniugio reciproco e quoziente modulo. Rappresentazione sul piano coordinate polari. Potenze e radici. Radici dell unità. (MSE 5) Esempi ed esercizi: Calcolare e rappresentare graficamente le radici seconde terze e quarte di ± e ±i. Esercizio svolto (ancora sulle funzioni reali): Un fabbricante di pentole vuole progettare pentole cilindriche di una certa capacità in modo da risparmiare sul materiale utilizzato: che forma deve scegliere? Si devono calcolare le dimensioni del cilindro che minimizza la superficie (base inferiore e superiore e superficie laterale) tra tutti i cilindri di volume assegnato V > 0. Scrivere la superficie totale in funzione del raggio e studiare la funzione trovata. Ripetere l esercizio per cilindri senza base superiore. Analogamente determinare il cilindro che massimizza il volume tra tutti i cilindri di superficie assegnata S > 0 (con e senza base superiore). 27 novembre ( ora): Esercitazione. Studio di funzioni. Un bagnino partendo dalla spiaggia a una certa distanza dalla costa deve soccorrere un bagnante in acqua a una certa distanza dalla costa. Supponendo che la costa sia rettilinea e supponendo note le (diverse) velocità di corsa e di nuoto del bagnino che percorso deve seguire il bagnino per minimizzare il tempo di percorso? Dimostrare che c è un minimo e caratterizzare il punto di minimo in funzione dell angolo di incidenza del percorso con la costa. La relazione che si ottiene è nota in ottica geometrica come legge di Snell per la rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso. Studiare le funzioni f() = 2 /( + log 2 ) g(y) = e 2y /( + y 2 ). IV parte: Integrazione e serie numeriche 26 novembre: Integrali definiti. Funzioni integrabili su intervalli chiusi e itati; somme inferiori e superiori (senza dimostrazioni). Additività rispetto all intervallo linearità (senza dimostrazioni). Proprietà del confronto stima dell integrale con l integrale del modulo. Integrabilità delle funzioni continue (senza dimostrazione). Teorema della media (con dimostrazione). (MSE 62 64) 27 novembre (2 ore): Integrali indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo. Caratterizzazione delle primitive. Integrali indefiniti integrali immediati. (MSE 67 69) Calcolare integrali definiti e indefiniti delle seguenti funzioni di : b (b R) e sin cos tan / cos 2 / 2 /( + 2 ) [f()] b f () (f funzione positiva e derivabile b ). 8
29 novembre: Esercitazione. Integrazione per parti per sostituzione per decomposizione in somma. (MSE 70 72 73) Calcolare con diversi metodi i seguenti integrali indefiniti ed applicare i risultati a integrali definiti: cos d sin d 2 cos d 2 sin d log d e d 3 d cos 2 d 2 d sin 2 d + d e cos d tan 2 d 3 dicembre: Esercitazione. Integrazione delle funzioni razionali. (MSE 7) Calcolare con diversi metodi i seguenti integrali: 5 3 4 + + 3 + 7 2 d 2 2 d 2 + 2 + d 2 + + d 5 + + 2 4 + 2 d 2 d 0 e sin d sin cos d. 2 2 + 2 + 5 d arcsin d. 4 dicembre: Serie numeriche. Serie numeriche ridotte resto convergenza. Tendenza a zero del termine generale e del resto di una serie convergente. Serie a termini nonnegativi; criterio del confronto. Divergenza della serie armonica; convergenza della serie armonica generalizzata di esponente p > (la dimostrazione per < p < 2 non è richiesta; per p 2 vedere l esercizio sotto). (MSE 82 86) Studiare la convergenza delle seguenti serie e calcolarne la somma se esiste: 9 0 ( R) ( ) ( + ) + + +. Mostrare la convergenza della serie armonica di esponente 2 per confronto 2 con la serie di Mengoli (+) ; mostrare la convergenza della serie armonica di esponente p > 2. p 6 dicembre: Criteri di convergenza per le serie. Criteri degli infinitesimi del rapporto della radice di Leibniz. (MSE 86 87) Studiare la convergenza delle seguenti serie: 2 + 5 + 4 + 3 ( cos ) ( R).! 9
Vedere che i criteri del rapporto e della radice applicati alle serie armoniche non permettono di concludere. Dimostrare che la serie ( ) converge e stimare il resto n-esimo. dicembre (4 ore): Esercitazione. Serie e integrali. Convergenza assoluta. (MSE 88) Studiare la convergenza delle seguenti serie e calcolarne la somma: (2 )(2 + ) 2 2 log. Mostrare per induzione che n (+)2 log (+2) e calcolare la somma della serie. Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando i criteri di convergenza: ( sin ) Dire se la serie ( 2 sin q + ) Dire se la serie Calcolare i seguenti integrali: sin d 2 log d 2 e d 3 0 d 2 log d converge al variare di q R. converge al variare di R. 3 0 + d 5 e 2 d 3 2 2! sin d log( 2 ) d 0 8 2! 2 5. + d + d. 3 dicembre: Esercitazione. Serie e integrali. Cenno agli integrali impropri. (MSE 75 fuori programma) Studiare la convergenza delle seguenti serie: ( ) sin sin sin sin 2 2 2 a con a 2m+ = 2m+ 3 m+ a 2m = 2m+ 3 m. Studiare la convergenza di ( )! e stimare l errore commesso approssimando la serie con la somma dei primi quattro termini ( = 0... 3). Esempio di serie convergente tale che un suo riordinamento converge verso una somma diversa. (MSX esercizio 6.57) Calcolare i seguenti integrali: + e d + e d Calcolare a 0 + a p d e b b + + tan d + sin d sin d. d al variare di p > 0; significato geometrico. p 0