Cenni di meccanica dei fluidi 1
Indice 1.Equazioni della dinamica dei fluidi 2.Metodi computazionali 3.Modelli di trasporto in aria 4.Modelli di trasporto in acqua 2
Parte I. Equazioni della fluidodinamica Approccio molecolare ed approccio macroscopico Derivata materiale / Volumi di controllo Principi di conservazione Massa Momento Energia Equazioni costitutive Viscosità Equazioni di Navier-Stokes Equazione dell energia Fluidi newtoniani Fluidi incomprimibili 3
m nm
Descrizione molecolare e metodi del continuo La descrizione dei fluidi secondo un approccio macroscopico si basa sull idea di descrivere la variazione nel tempo e nello spazio di variabili di campo densità velocità di flusso energia m i v i mi i x, t lim Vv V x 3 1/n v L u vim i i ux, t lim Vv m i i 5
Derivata materiale La derivata materiale di a(x,t) rappresenta la variazione complessiva della variabile di campo a all interno di un volume di controllo v Da a a a a u u u Dt t x x x a uˆ a t 1 2 3 1 2 3 La derivata materiale rappresenta il cambiamento totale della variabile di campo all interno del volume come, viene visto da un osservatore che si muove insieme al fluido v v 6
Principi di conservazione Teorema del trasporto di Reynolds D Dt v t a adv ˆ a dv t u v t u(t+δt) S(t) u(t) S(t+δt) v(t+δt) v(t) 7
Conservazione della massa Se in un dato volume di fluido non avvengono processi che portano alla formazione di massa, la quantità di materia deve restare costante N.B. La forma del volume (superficie, estensione etc.) cambia nel tempo ma non la massa in essa contenuta dm dv D dm 0 ˆ dv 0 Dt u t vt vt Ma il volume di fluido viene scelto in modo arbitrario, quindi ˆ u 0 t equazione di continuità 8
Fluidi incomprimibili In molti casi (acqua!) la variazione di densità si può trascurare, ed il fluido si dice incomprimibile; si ottiene quindi costante ˆ 0 ˆ u u 0 t Se questa relazione risulta valida, si parla di fluidi incomprimibili 9
Conservazione del momento (1) Secondo la seconda legge di Newton, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa dp dt i F i somma di tutte le forze agenti sul punto Consideriamo ora il momento contenuto in un volume v; questo sarà dato dalla somma di tutti i momenti delle molecole contenute nel volume, e quindi dell integrale momento per unità di volume u dv v 10
Conservazione del momento (2) La velocità di variazione del momento di un volume di fluido si ottiene quindi in base alla II legge di Newton dal seguente bilancio D Dt u dv v somma di tutte le forze agenti sul fluido in Le forze possono essere di tipo superficiale (pressione e stress viscoso) ed esterne (p.es. gravità) v D Dt udv Pds fdv v s v forze di superficie per unità di area / surface forces forze esterne unità di massa / body forces 11
Tensore di stress (1) Le forze di superficie possono essere messe in relazione al tensore di stress σ 32 e 2 σ 31 σ 33 e 3 e 1 12
Tensore di stress (2) La forza di complessiva di superficie si scrive come P tr P n n n 1 11 1 21 2 31 3 σ n P n n n 2 12 1 22 2 32 3 P n n n 3 13 1 23 2 33 3 1 Quindi il principio di conservazione del momento si scrive D Dt u dv n ds f dv dv f dv ji j ji i j j v i s v i x v i v teorema di Gauss 13
Equazione di conservazione del momento Combinando la precedente eguaglianza con il teorema di Reynolds otteniamo l equazione di conservazione del momento u u u dv dv f ji j j k j t k x v k i x v i v t j j k ji u u u f j k xk i xi u u u f t j j ji k k xk i xi j tensore di stress dv accelerazione di convezione (ostacoli etc.) forze interne forze esterne (gravità etc.) accelerazione totale forze totali 14
Conservazione dell energia Procedendo in modo analogo, possiamo considerare l energia totale per unità di massa per unità di volume ; la variazione all interno di un volume si ottiene come D Dt densità di energia INTERNA D U w Q Dt 1 2 2 e u dv upds ufdv qfds v s v s variazione dell energia totale per unità di massa per unità di volume lavoro delle forze interne lavoro delle forze esterne calore scambiato 15
Equazione di conservazione dell energia Applicando il teorema di Reynolds e procedendo in modo analogo a quanto fatto in precedenza per il momento otteniamo e e uj qj uk ji t k xk j xi j xi velocità totale di variazione dell energia interna variazione dovuta a variazione dovuta a energia meccanica flussi di calore convertita in energia termica La velocità di variazione totale di energia è dovuta alla somma di lavoro, cioè trasformazione di energia meccanica in energia termica (sia in modo non-dissipativopressione che dissipativoviscosità) e flussi di calore, che possono essere dati in funzione del gradiente della temperatura conducibilità termica q j T k x j 16
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Tensore di deformazione Il tensore di deformazione misura il cambiamento di un volume di fluido soggetto ad un flusso, che avviene come conseguenza sia di una rotazione che di una deformazione di taglio (shear) 18 1 2 1 2 i ij j j j j j i i i u i u x u u u x x x e x
Fluidi newtoniani e non-newtoniani La maggior parte dei fludi possono essere considerati newtoniani (isotropi) Quando il fluido è a riposo, lo stress è idrostatico, cioè dovuto alla sola pressione termodinamica Lo stress dipende solo dal tensore di deformazione Le proprietà meccaniche del fluido sono le stesse in tutte le direzioni Aria ed acqua sono fluidi newtoniani; tra gli esempi di fluidi non-newtoniani abbiamo le vernici, il sangue, l asfalto, il dentrificio, e più in generale i fluidi ottenuti da molecole polimeriche (plastica) e un insieme molto grande di esseri umani In pratica, mentre un fluido normale (newtoniano) reagisce in modo che la velocità di deformazione è proporzionale allo sforzo di taglio (shear), un fluido nonnewtoniano reagisce in modo non lineare (per esempio comportandosi temporaneamente come un solido) 19
Relazioni constitutive dei fluidi newtoniani Lo stress di un fluido newtoniano è In forma estesa lo stress si scrive come p è la pressione μ è la viscosità dinamica o primo coefficiente della viscosità (Unità SI: Pa s = N s/m 2 ; unità cgs: poise, 1 P=0.1 Pa S) λ è il secondo coefficiente viscosità uk ui ui ij p ij ij k x k x j x j u1 u2 u 3 u 1 u1 u 2 u1 u 3 p 2 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x1 11 12 13 u u u u u u u u p 2 2 1 1 2 3 2 2 3 21 22 23 x1 x2 x1 x2 x3 x2 x3 x2 31 32 33 u3 u u u u 1 3 u 2 u1 u 2 3 3 p 2 x x x x x x x x 1 3 2 3 1 2 3 3 Spesso si usa anche la viscosità cinematica ν=μ/ρ (Unità SI: m 2 /s; unità cgs: stokes, 1 St=0.1 m 2 /s) L acqua a 20 C ha una viscosità (dinamica) di 0.001002 Pa s oppure 1.020 cp; l olio di motore 0.250 Pa s 20
Equazioni di Navier-Stokes Se ora sostituiamo le relazioni costitutive (che definiscono il fluido in termini delle sue proprietà, come i coefficienti di viscosità) nelle equazioni di conservazione del momento, si trovano le equazioni di Navier-Stokes: uj uj p u k ui u i uk f t k xk x j x j k xk x j x j x j Nei casi più comuni (e.g. acqua) 1. Il fluido è incomprimibile (densità costante) quindi j k uk u u u x x x x k 1 2 3 u 1 2 3 ˆ 0 2. La viscosità dinamica è costante 21
Fluidodinamica di un fluido incomprimibile Riassumendo, scriviamo per esteso le 4 equazioni che descrivono il flusso di un fluido a densità costante (trascuriamo per ora il trasporto di energia): ˆ u 0 Du 1 1 2 u u1 u1 f1 Dt t x1 Du Dt 2 Du Dt 3 u u t 2 u u ˆ ˆ u ˆ u 3 u t Parametri: densità ρ, viscosità μ, forze esterne f. Se per esempio consideriamo solo la forza di gravità, f=g. 2 p p 2 u2 f2 x2 2 3 3 x3 ˆ ˆ p ˆ u f 3 22
Parte II. Metodi computazionali Equazioni del moto: Continuità Momento Energia Moti turbolenti Discretizzazione: Differenze finite Equazione di Laplace Volumi finiti Soluzioni numeriche Schemi di propagazione Considereremo solo il caso di fluidi isotermi, non turbolenti, monofasici; esempi saranno forniti solo per fluidi incomprimibili (densità costante) CFD - cenni 23
densità D Dt Du Dt i i g velocità di flusso u x i i i i forza j 0 Equazioni Df f f ui Dt t x tensore di stress x i ij j Conservazione della massa II legge di Newton Derivata materiale: velocità di variazione di f per un elemento di fluido in moto ur,t r,t 24
pressione Fluidi newtoniani 2 u u u p i i j ij ij 3 x x x i j i D ˆ u 0 Dt viscosità Du p ˆ 1 i 2 g u ˆ i u i Dt x 3 x i i Equazioni di Navier-Stokes 25
Fluidi incomprimibili ˆ u 0 Du ˆp g ˆ Dt 2 u,0 u x u x r init, t, t u x u x r bound 26
Il problema numerico Conversione delle equazioni del moto in un sistema di equazioni algebriche mediante discretizzazione Tre tecniche di discretizzazione popolari nel campo CFD: Differenze finite Volumi finiti Elementi finiti La soluzione numerica si basa sulla discretizzazione del campo vettoriale delle velocità di flusso in una griglia di punti (differenze finite) o entro volumi (volumi finiti); le derivate spaziali e temporali sono espresse in modo approssimato in funzione dei valori discreti; il sistema di equazioni algebriche è poi risolto usando algoritmi iterativi 27
Esempio di schema alle differenze finite u x 2 u 2 x u u 2 x 2x ui 1, j 2ui, j ui 1, j O 2 x x i1, j i1, j O u n1 n u u i, j i, j O x t t 2 Sono possibili schemi di discretizzazione molto più sofisticati, che includono stencil più grandi Le espressioni che discretizzano le derivate devono essere modificate ai bordi, per tenere conto delle condizioni al contorno 28
Five-point finite difference stencil 29
CFD come funziona Definizione delle equazioni del moto. Scelta dei parametri (tensore di stress, etc.) Approssimazioni: flussi isotermi, stazionari (steady-state), incomprimibili, inviscidi (viscosità nulla acqua secca ), bidimensionali Selezione di condizioni al contorno ed iniziali. Bottle Filling Nozzle Domain for bottle filling problem. 30
CFD come funziona (2) Discretizzazione delle PDE Definizione delle corrispondenti equazioni algebriche Le equazioni algebriche sono definite su una GRIGLIA di punti (elementi, volumi di controllo) Il sistema di equazioni non-lineari viene risolto con approcci iterativi etc. L output viene di solito sottoposto a varie forme di post-processing per estrarre quantità di interesse (velocità di flusso, variazione di pressione etc.) 31
Griglie 32
Esempio 33
Flusso 34
Modulo del flusso 35
Pressione 36
I limiti della CFD Modelli fisici semplificati che devono tenere conto del fatto che nel mondo reale sono spesso presenti Fenomeni di turbolenza Sistemi multifasici Reazioni chimiche Fenomeni di interfaccia Errori numerici Errore numerico dovuto alla discretizzazione (si puo minimizzare con il mesh refinement) Instabilità nella propagazione temporale Cattiva descrizione delle condizioni al contorno 37
Software commerciale Fluent (UK, US). CFX (UK, Canada) Fidap (US). Polyflow (Belgio) Phoenix (UK) Star CD (UK) Flow 3d (US) ESI/CFDRC (US) SCRYU (Giappone) Gambit KIVA3v MATLAB COMSOL E molto di più, vedi http:/www.cfdreview.com 38
MATLAB Costo limitato, diffuso in molti ambienti di ricerca Ottimo interfaccia grafica Performance non elevate 39
Software open-source Overture COOLFluid Dolfyn OpenFOAM Elmer FEATFLOW FreeFem++ Gerric ISAAC Nek5000 NewTun OpenFlower Typhon LifeV Etc. OpenFOAM Open Field Operation And Manipulation Pacchetto intergrato per la soluzione di problemi CFD, reattività, turbolenza trasferimento di calore Sorgente disponibile (GNU General Public License) Versatile e con la capacità di importare formati di software commerciali Seriale e parallelo Preprocessing (parafoam) e postprocessing (ParaView) 40
OpenFOAM - preprocessing 41
OpenFOAM postprocessing 42
Name Language Applications Mesh Overture C++, oo COOLFluiD C++ (?) dolfyn OpenFOAM Fortran95, Fortran77 C++, oo Solver of differential equations CFD, chemical reacting mixtures (?), magnetohydrodynamics CFD, heat and mass transport CFD, molecular dynamics, electromagnetism, etc. Postprocessi ng Documentatio n Notes Yes Yes Extended Big, complex, modular - 2009 Yes (?) Yes (?) Not available (?) Large library of applications (claimed) - difficult to get No No Not available Relatively compact Web site https://computation.llnl.gov/casc/overture / https://coolfluidsrv.vki.ac.be/trac/coolfluid / http://www.dolfyn.net/dolfyn/index_en.ht ml Yes Yes Plenty Big, complex, modular - 2010 http://www.openfoam.com/ Elmer Fortran90, C++ CFD, diffusion, convection reaction (!), electromagnetism Yes (simple structured ) Yes Extended Big, complex, modular - 2010 Suspicion: only 2D examples NOT parallel http://www.csc.fi/english/pages/elmer FEATFLOW Fortran90, Fortran77 CFD Yes Yes Medium, perhaps outdated, robust http://www.featflow.de/ FreeFem+ + Gerris ISAAC C++, high level language C, oo (claimed) Fortran90, C (?) Solver of differential equations Yes Yes Medium, simple to use as it is http://www.freefem.org/ CFD Yes Yes Agile, simple to use (claimed) http://gfs.sourceforge.net/wiki/index.php/ Main_Page CFD, turbulence? Yes Well known, robust http://isaac-cfd.sourceforge.net/ Nek5000 Fortran77, C CFD Yes Yes Large package, clear http://nek5000.mcs.anl.gov/index.php/mai n_page NuWTun Fortran77, C Compressible NS Yes Yes Based on ISAAC http://nuwtun.berlios.de/ OpenFlowe r C++ CFD, turbulence, LES Yes Yes Agile, simple to use http://openflower.sourceforge.net/index2. html OpenFVM C (?) CFD Yes Yes Large, perhaps outdated http://openfvm.sourceforge.net/ PETSc-FEM C++, oo CFD Yes (?) Yes Minimal Large, complex http://www.cimec.org.ar/twiki/bin/view/ci mec/petscfem#scope SLFCFD C CFD Yes (?) Yes Small, clear http://slfcfd.sourceforge.net/index.html TOCHNOG C++ CFD Yes Yes Large, robust http://tochnog.sourceforge.net/examples.h tml Typhon C++ Multi-solver platform, CFD Yes Yes Large, modular http://typhon.sourceforge.net/spip/ LifeV C++, oo Multi-solver library Yes? Good Large, modular http://www.lifev.org/ Free_cfd C++, oo CFD Yes Yes Large, clear http://www.freecfd.com/ 43