Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Tutorato di Istituzioni di Matematica - A.A.06/07 Docente: Prof.ssa E. Scoppola Tutore: Gianclaudio Pietrazzini Soluzioni del Tutorato Esercizio Dalla teoria si ha che due rette r ed r scritte in forma esplicita sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare m = m ; invece sono perpendicolari se e solo se il prodotto tra i coefficienti angolari è. Quindi r : y = mx + q ed r : y = m x + q sono parallele m = m r : y = mx + q ed r : y = m x + q sono perpendicolari m m = y = 3 (a) x 53 y = x 3 7 7 Non hanno lo stesso coefficiente angolare e dunque non sono parallele, ma non sono nemmeno perpendicolari in quanto il prodotto dei coeffiecienti m m = 3 ( ) = 3 7 4 y = (b) x 3 0 y = x 3 8 Sono parallele poichè hanno lo stesso coefficiente angolare m = m =. y = 3 7 (c) x 7 77 y = 7x + 3 3 Sono perpendicolari in quanto il prodotto dei coeffiecienti è m m = 3 ( 7) = 7 3 y = (d) x 5 y = x Hanno lo stesso coefficiente angolare m = m = e dunque sono parallele. y = 5x (e) y = x 5 Sono perpendicolari in quanto il prodotto dei coeffiecienti è m m = 5 = 5
Esercizio Trovare l equazione della retta r passante per P = (4, ) e parallela alla retta s di equazione y 3x = 6. Poichè si richiede il parallelismo tra r ed s : y = 3 x + 3, allora r deve avere lo stesso coefficiente angolare di s e pertanto deve essere della forma y = 3 x + q; imponendo il passaggio per P = (4, ) si ricava q = 7 e dunque l equazione cercata è: y = 3x 7. Esercizio 3 Trovare l equazione della retta r passante per P = (8, ) e perpendicolare alla retta s di equazione y + 4x = 7. Poichè si richiede la perpendicolarità tra r ed s : y = x + 7, allora r deve avere coefficiente angolare pari a = e pertanto deve essere della m forma y = x + q; imponendo il passaggio per P = (8, ) si ricava q = e dunque l equazione cercata è: y = x.
Esercizio 4 A = 3 0 Il rango è in quanto è possibile estrarre almeno un minore non nullo di ordine (ovvero il cui determinante è diverso da zero) ed inoltre tutti i minori di ordine maggiore di sono nulli: ad esempio, scelgo la sottomatrice ( quadrata ) 3 B = 0 0 0 Analogamente al ragionamento seguito per la marice precedente, questa matrice ha rango 3: la sottomatrice quadrata che considero è 0 0 0 il cui ordine è appunto 3 ed inoltre i minori di ordine maggiore a 3 sono tutti nulli. 0 C = 0 0 0 Si osserva che la matrice ha le ultime due colonne uguali e quindi il suo rango non può essere 3. Ha, invece, rango considerando ( come ) minore la sottomatrice quadrata: 0 0 D = 0 3 Dalla teoria è noto che una matrice quadrata n n ha rango n se e solo se il suo determinante è diverso da zero. In particolare siamo in presenza di una matrice 3 3 il cui determinante è 9: pertanto ha rango 3. 3
Esercizio 5 Risolvere i seguenti sistemi lineari di equazioni: x 5x 3 + 7x 4 = 3 (a) 3x + x 3 = x 5x + x 3 x 4 = 0 La matrice incompleta 0 5 7 A = 0 3 0 5 e quella completa 0 5 7 3 Ab = 0 3 0 5 0 hanno rango 3. Il teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che il sitema ammette 3 cioè soluzioni; ottenute dall attribuire, ad esempio, a x 4 un valore arbitrario e risolvendo, con la regola di Cramer, il seguente sistema: x 5x 3 = 3 7x 4 3x + x 3 = x 5x + x 3 = x 4 la cui soluzione è: ( ) x = 8x 4+53, x 3 = 6x 4+, x 3 3 = 48x 4+, x 3 4 con x4 qualsiasi. x + x 3 = 4 (b) x + x = x + x 3 = Il determinante della matrice incompleta è e dunque possiede un unica soluzione data dal teorema di Cramer: (,, ). x + x 3 = 0 (c) x + x 3 = 3 x x = La matrice incompleta ha rango, mentre quella completa ha rango 3: per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è incompatibile. 4
x x + x 3 = (d) x x x 3 = 3 Piochè sia la matrice incompleta che quella completa hanno rango, il teorema di Rouchè-Capelli ci assicura che il sitema ammette 3 cioè soluzioni; ottenute dall attribuire, ad esempio, a x 3 un valore arbitrario e risolvendo, con la regola di Cramer, il seguente sistema: x x = x 3 x x = 3 + x 3 il determinante della matrice dei coefficienti di questo nuovo sistema è e le soluzioni sono: ((x 3 + ), 3x 3 +, x 3 ) con x 3 arbitrario. Esercizio 6 Discutere i seguenti sistemi al variare del paramentro reale λ: x + λx 3 = λ + (a) x + x + x 3 = λx + x = λ + Se λ 0, il sistema possiede l unica soluzione: ( λ,, λ λ λ λ) ; se λ = 0, possiede le soluzioni date da ( + t,, t), t R; se λ =, è incompatibile. x + λx + λx 3 = (b) λx + x + λx 3 = λx + λx + x 3 = Se λ = il sistema è incompatibile; se λ = possiede le soluzioni: ( s t, s, t), s, t R; se λ, il sistema possiede l unica soluzione: ( ),,. (λ+) (λ+) (λ+) x + x + x 3 = (c) x + x + 4x 3 = x + 3x + 6x 3 = λ Incompatibile se λ. Se λ = possiede le soluzioni: (, t, t), t R. 5
x x + λx 3 = 0 (d) λx x 3 = 0 x + x + x 3 = λ Il determinante della matrice dei coefficienti è λ + λ che si annulla per λ = 0,. Per ogni λ 0, la matrice dei coefficienti ha rango 3 e quindi il sitema è compatibile e possiede l unica soluzione ( ) λ,, λ. (λ+) λ+ Quando λ = 0 si ottiene il sistema omogeneo x x = 0 x 3 = 0 x + x + x 3 = 0 che possiede le infinite soluzioni: (t, t, 0), t R. Quando λ = si ottiene il sistema x x x 3 = x x 3 = x + x + x 3 = che è incompatibile. 6