PRIMA PROVA IN ITINERE - SCIENZE GEOLOGICHE - 24.11.2015 - TEMA A COGNOME... NOME... N.MATRICOLA... 1. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali, determinare se esistono gli asintoti verticali, orizzontali o obliqui della funzione x2 2 x 3 2. (PUNTI 1.5) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione ( x 3 ) 4x log A = x + 1 3. (PUNTI 2.5) a) Disegnare un grafico approssimativo della funzione log( x) 1 b) Trovare gli zeri di f
4. (PUNTI 2) Data la funzione (log x) 2 + 2 log x a) determinare l insieme di definizione A = b) calcolare la derivata f (x) = 5. (PUNTI 1) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione arccos(log x) A = 6. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione (e 2x 2e x 15 ) A = 7. (PUNTI 1) Calcolare i iti sin x x = sin x x + x = 8. (PUNTI 3) Disegnare un grafico approssimativo della funzione { x se x 0 e x se x < 0 a) La funzione f è itata superiormente su R VERO FALSO b) La funzione f è itata inferiormente su R VERO FALSO c) La funzione f è iniettiva su R VERO FALSO d) La funzione f è continua su R VERO FALSO
9. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali determinare le soluzioni della seguente disequazione 6 x > x soluzioni : 10. (PUNTI 2) Data la funzione arctan x 1 + x 4 a) calcolare la derivata f (x) = b) calcolare la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x 0 = 1 11. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali determinare le soluzioni della disequazione cos 2 x + 2 cos x 0 soluzioni : 12. (PUNTI 1) Calcolare i iti 2x 6 3x 4 + x 2 2x 6 3x 4 + x 2 x + 3x 4 5x 6 = 3x 4 5x 6 = 13. (PUNTI 1) Il ite vale: 3 non esiste e 3 0 14. (PUNTI 1) Il ite 3x 8 + e x + log x + 2 x x + x 8 + 3 x vale: 0 + non esiste 1/3 sin(x 3 ) log(1 + 3x 4 ) 15. (PUNTI 1) Il ite ( 1 + 2 ) x x + x vale: 1 e 2 + e 2
16. (PUNTI 2) Si consideri la funzione 2 sin x 4x 3x 2 se x 0 + log(1 + x) α se x = 0 a) calcolare b) f è continua in x = 0 per α = c) per tutti gli altri α, f ha in x = 0 una discontinuità: einabile di I specie o salto di II specie 17. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali, calcolare il tan(x 2 ) + 2 log(1 + x 3 ) sin(x 3 ) + x 4 + 1 cos x = 18. (PUNTI 2) Calcolare i iti + e 1 x = e 1 x = ISTRUZIONI 1) Scrivere sul frontespizio del foglio NOME, COGNOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA. 2) NON E PERMESSO L UTILIZZO DI APPUNTI, LIBRI, CALCOLATRICI. 3) Rispondere ai quesiti utilizzando ESCLUSIVAMENTE gli spazi bianchi. 4) Nei quesiti a risposta multipla UNA SOLA RISPOSTA E CORRETTA. 5) In caso di mancata risposta o risposta errata non viene attribuito alcun punteggio. 6) Per superare la prova è necessario ottenere almeno 16 PUNTI SU 34. 7) Al termine della prova (DURATA: 2 ore) verrà ritirato ESCLUSIVAMENTE il testo dell elaborato. sin x x log(1 + x) BUON LAVORO! = 1 sin x = x + o(x) per x 0 x = 1 log(1 + x) = x + o(x) per x 0 e x 1 = 1 x e x = 1 + x + o(x) per x 0 (1 + x) α 1 = α x (1 + x) α = 1 + αx + o(x) per x 0 arctan x = 1 x arctg x = x + o(x) per x 0 tan x = 1 x tgx = x + o(x) per x 0 cos x 1 1 = 1 cos x = 1 1 2 x2 2 x2 + o(x 2 ) per x 0 ( 1 + x) 1 x = e x +
PRIMA PROVA IN ITINERE - SCIENZE GEOLOGICHE - 24.11.2015 - TEMA B COGNOME... NOME... N.MATRICOLA... 1. (PUNTI 1.5) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione ( x 3 ) 4x log A = x + 1 2. (PUNTI 2.5) a) Disegnare un grafico approssimativo della funzione log( x) 1 b) Trovare gli zeri di f 3. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali, determinare se esistono gli asintoti verticali, orizzontali o obliqui della funzione x2 2 x 3
4. (PUNTI 1) Calcolare i iti sin x x = sin x x + x = 5. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione (e 2x 2e x 15 ) A = 6. (PUNTI 1) Indicando i passaggi essenziali, determinare l insieme di definizione A della funzione arccos(log x) A = 7. (PUNTI 3) Disegnare un grafico approssimativo della funzione { x se x 0 e x se x < 0 a) La funzione f è itata superiormente su R VERO FALSO b) La funzione f è itata inferiormente su R VERO FALSO c) La funzione f è iniettiva su R VERO FALSO d) La funzione f è continua su R VERO FALSO 8. (PUNTI 2) Data la funzione (log x) 2 + 2 log x a) determinare l insieme di definizione A = b) calcolare la derivata f (x) =
9. (PUNTI 1) Calcolare i iti 2x 6 3x 4 + x 2 2x 6 3x 4 + x 2 x + 3x 4 5x 6 = 3x 4 5x 6 = 10. (PUNTI 1) Il ite vale: 0 + non esiste 1/3 sin(x 3 ) log(1 + 3x 4 ) 11. (PUNTI 1) Il ite ( 1 + 2 ) x x + x vale: 1 e 2 + e 2 12. (PUNTI 1) Il ite vale: 3 non esiste e 3 0 3x 8 + e x + log x + 2 x x + x 8 + 3 x 13. (PUNTI 2) Data la funzione arctan x 1 + x 4 a) calcolare la derivata f (x) = b) calcolare la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x 0 = 1 14. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali determinare le soluzioni della seguente disequazione 6 x > x soluzioni : 15. (PUNTI 2) Indicando i passaggi essenziali determinare le soluzioni della disequazione cos 2 x + 2 cos x 0 soluzioni :
16. (PUNTI 2) Calcolare i iti e 1 x = + e 1 x = 17. (PUNTI 2) Si consideri la funzione 2 sin x 4x 3x 2 se x 0 + log(1 + x) α se x = 0 a) calcolare b) f è continua in x = 0 per α = c) per tutti gli altri α, f ha in x = 0 una discontinuità: einabile di I specie o salto di II specie 18. (PUNTI 3) Indicando i passaggi essenziali, calcolare il tan(x 2 ) + 2 log(1 + x 3 ) sin(x 3 ) + x 4 + 1 cos x = ISTRUZIONI 1) Scrivere sul frontespizio del foglio NOME, COGNOME, MATRICOLA, CORSO DI LAUREA. 2) NON E PERMESSO L UTILIZZO DI APPUNTI, LIBRI, CALCOLATRICI. 3) Rispondere ai quesiti utilizzando ESCLUSIVAMENTE gli spazi bianchi. 4) Nei quesiti a risposta multipla UNA SOLA RISPOSTA E CORRETTA. 5) In caso di mancata risposta o risposta errata non viene attribuito alcun punteggio. 6) Per superare la prova è necessario ottenere almeno 16 PUNTI SU 34. 7) Al termine della prova (DURATA: 2 ore) verrà ritirato ESCLUSIVAMENTE il testo dell elaborato. sin x x log(1 + x) BUON LAVORO! = 1 sin x = x + o(x) per x 0 x = 1 log(1 + x) = x + o(x) per x 0 e x 1 = 1 x e x = 1 + x + o(x) per x 0 (1 + x) α 1 = α x (1 + x) α = 1 + αx + o(x) per x 0 arctan x = 1 x arctg x = x + o(x) per x 0 tan x = 1 x tgx = x + o(x) per x 0 cos x 1 1 = 1 cos x = 1 1 2 x2 2 x2 + o(x 2 ) per x 0 ( 1 + x) 1 x = e x +