7. Trigonometria Una prima definizione di seno, coseno, tangente di un angolo. Uso della calcolatrice scientifica. Risoluzione dei triangoli rettangoli. DIVAGAZIONE. APPROSSIMAZIONE DI π. DIVAGAZIONE. L'AREA DEL POLIGONO REGOLARE. Generalizzazione della definizione di seno, coseno, tangente di un angolo. Risoluzione di triangoli qualsiasi: i teoremi dei seni e del coseno La formula di Erone e altre formule per il calcolo dell'area dei triangoli.
Si fa solitamente risalire a Talete (VI sec. a.c.) la soluzione di un problema molto significativo: quanto è lontana dalla costa la nave nemica? Per saperlo è sufficiente considerare un ideale triangolo rettangolo che abbia per cateto maggiore la distanza TN di Talete dalla nave e per cateto minore un segmento perpendicolare di lunghezza arbitraria tracciato sulla sabbia (fig.). Con un sestante, o più semplicemente con un compasso, si misura l'ampiezza dell'angolo β TBN. Del triangolo TBN si conoscono di conseguenza i tre angoli ( N $ è complementare di β, T $ è retto). È possibile considerare allora un qualunque triangolo T'B'N' simile a TBN, per esempio fig.. uno che si possa tracciare comodamente su un foglio di carta: i rapporti tra i lati restano T N costanti e dunque, una volta misurato il rapporto k, che dipende T B esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo β, questo sarà uguale al rapporto TN ; nota la lunghezza di TB, che si può facilmente misurare, sarà TB TN k TB, e il problema è risolto. Riassumendo, abbiamo definito una applicazione che ad un angolo (β) associa un numero reale (k), sfruttando una proprietà fondamentale dei triangoli simili: il rapporto tra lati corrispondenti resta costante. Ci porremo il problema di calcolare tali rapporti per ogni angolo: per alcune ampiezze sarà facile, per altre dovremo accontentarci di una buona approssimazione; una volta noti questi rapporti potremo risolvere un qualunque triangolo (cioè determinarne le lunghezze di tutti i lati e le ampiezze di tutti gli angoli).
. UNA PRIMA DEFINIZIONE DI SENO, COSENO, TANGENTE fig.. AB OA OB OA Si consideri un punto O e due semirette r e s, di origine comune O, che formano tra loro un angolo acuto α. Consideriamo A, A', A"... punti qualsiasi su s e le loro proiezioni ortogonali B, B', B"... su r (fig.). I triangoli OAB, OA'B', OA"B",... sono tutti rettangoli e simili tra loro e, poiché il rapporto tra lati corrispondenti di triangoli simili è costante, segue che A B A B OA OA OB OB OA OA AB A B A B. OB OB OB Questi rapporti dipendono solo dall'angolo α tra le due semirette. DEFINIZIONE. Poniamo cateto opposto ad α AB sinα ipotenusa OA cateto adiacente ad α OB cosα ipotenusa OA cateto opposto ad α AB tanα cateto adiacente ad α OB e li chiamiamo rispettivamente seno di α, coseno di α, tangente di α. seno, coseno e tangente di un angolo α ESEMPIO. Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 45, quindi rettangolo e isoscele; esso è sempre la metà di un quadrato. Qualunque siano le misure dei lati (fig..), i loro rapporti sono facilmente calcolabili: AB o sin45 OA 45 l l fig.. 45 l OB OA AB OB cos 45 tan45 ESEMPIO. Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 0 (quindi l'altro di 60 ); esso è sempre la metà di un triangolo equilatero. Detta l la lunghezza dell'ipotenusa, sarà l/ il cateto minore, e ( )l il cateto maggiore (per il teorema di Pitagora) (fig..4). o o
l 60 AB OA OB OA AB OB sin0 cos0 tan0 o o o 0 l fig..4 e anche OB OA AB OA OB AB sin60 cos60 tan60 o o o Possiamo considerare, per completezza, anche i rapporti inversi di quelli visti precedentemente, esaurendo così le possibili disposizioni di tre elementi presi a due a due, che sono appunto 6: li chiameremo cosecante (l'inverso del seno), secante (l'inverso del coseno), e cotangente (l'inverso della tangente), e li indicheremo rispettivamente csc(α), sec(α), cot(α). DEFINIZIONE La cosecante, la secante, e la cotangente sono rispettivamente ipotenusa cscα sinα cateto opposto ipotenusa secα cosα cateto adiacente cateto adiacente cot α tanα cateto opposto cosecante, secante e cotangente di un angolo α Conseguenze immediate delle definizioni. a) le funzioni seno, coseno, tangente associano ad un angolo un numero reale risultante dal rapporto tra grandezze omogenee (due lunghezze), perciò questo è un numero puro, cioè privo di unità di misura; b) dal secondo esempio si osserva che sin 60 cos 0 e che sin 0 cos 60 ; questa proprietà è del tutto ovvia, e si può generalizzare. Se α è un angolo acuto in un triangolo rettangolo, l'altro angolo acuto, β, è il suo complementare: β 90 α; (fig..5) il cateto adiacente ad α è il cateto opposto a β, e dunque, per ogni angolo acuto α valgono le relazioni cos α sin(90 α) sin α cos(90 α) un legame tra seno e coseno cioè: il coseno di un angolo è uguale al seno dell'angolo complementare. Questa proprietà rende conto del termine "co-seno": il prefisso "co" sta ad indicare "del complementare"; c) per le definizioni poste, poiché un cateto è sempre minore dell'ipotenusa, il seno e il coseno di un angolo acuto assumono valori compresi tra 0 e : 4
0 < sinα < 0 < cosα < d) considerariamo triangoli rettangoli (fig..6), con l'ipotenusa di lunghezza (rispetto ad una certa unità di misura); AB allora, per le definizioni poste, sinα AB, e, all'aumentare di α, sinα è crescente; cos α OB, e, all'aumentare di α, cosα è decrescente; ad esempio fig..6 sin 0 o 0. 5, sin 45 o 0. 707, sin 60 o 0. 866, allora 0.5 < sin40 < 0.707. Queste osservazioni ci fanno capire che, per 0 < α < 90, le funzioni α a sinα, α a cosα sono iniettive, cioè, se sinα sinα, allora α α, e lo stesso vale per il coseno. Inoltre, se A sin B e A cos B, ove A {α R : 0 < α < 90 } e B {y R : 0 < y < }, le funzioni seno e coseno sono biunivoche: abbiamo già mostrato che sono iniettive; per la suriettività consideriamo un numero reale y B; l'angolo α individuato come nella figura.7 è tale che sinα y. Analoga costruzione per il coseno. fig..7 e) sia α un angolo acuto, a la misura del cateto opposto, b la misura del cateto adiacente e c la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo (fig..8); a b sinα cosα c c per il teorema di Pitagora a + b c ; dividendo per c si ha a b +, e per le definizioni poste c c fig..8 (sin α) + (cos α) per qualunque angolo α; f) cateto opposto cateto adiacente sinα e cosα : ne consegue che il ipotenusa ipotenusa rapporto tra il seno e il coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente di quell'angolo: sinα tanα cosα Per esempio, sin60, cos60, e infatti tan60. Per quanto detto nell'osservazione d), al crescere di α tanα è espressa da un rapporto con fig..9 denominatore decrescente e numeratore crescente, quindi per 0 < α < 90 la funzione tanα è crescente, iniettiva e assume tutti i valori reali positivi; infatti scelto un qualsiasi relazione pitagorica 5
numero t R +, consideriamo il triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettiavamente e t. L'angolo α opposto al cateto di misura t è l'angolo per il quale tanα t (fig..9). Dunque anche la funzione tangente A tan R + è biunivoca. g) le osservazioni e) e f) dicono in definitiva che i valori di seno, coseno, tangente di un dato angolo non sono indipendenti: noto il valore di uno di essi è possibile ricavare tutti gli altri. sin α tan α ( cosα) cosα ( sin α) sin α cosα ( sin α) ( cosα) e da queste espressioni di tan α, elevando al quadrato ambo i membri, si ottiene tan α sin α cosα + tan α + tan α ESERCIZI: ( ) ( ) A. Dimostrare le seguenti identità: cos 4 α - sin α(sin α - ); - sin α ( - cos α)cot α; (+ tan α)( - cos α) tan α; sin 4 α - (tan α - csc α)(csc α + tan α)cos 4 α; sinαcosα ( + tan α) cot α ; tanα tan β sinαsin β. ( + tan α) cos α( + tan β) B. Esprimere le seguenti scritture in funzione di sinα: (cos α + tan α); sinαcosαtanα; cotαsinα; cos α - cot α; sinα + cosα ; tanα cos α - tan α. C. Esprimere le seguenti scritture in funzione di cosα: (sin 4 α - ); sin αcot α; tan αcosαsinα; tanαcosαsinα; ( + sin α)tan α; sin α - cot α D. Costruire geometricamente un angolo di ampiezza α tale che sinα cosα. E. Trovare le funzioni trigonometriche dei tre angoli α, β, γ di un triangolo rettangolo di cateti a, b, c: a 6 cm b cm a cm b 6 cm a 5 cm b 7 cm a 4 cm b cm. F. Risolvere un triangolo OAB, rettangolo in B, con l'angolo in O di ampiezza 0 e con il lato OA di cm. G. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in B, con l'angolo in C di ampiezza 45 ed il cateto BC di cm. H. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in B, con l'angolo in C di ampiezza 60 ed il cateto BC di 4 cm.. USO DELLA CALCOLATRICE SCIENTIFICA 6
Abbiamo determinato i valori di seno, coseno, tangente per gli angoli di 0, 45, 60, sfruttando particolari proprietà geometriche. E per tutti gli altri angoli? Per esempio, come calcolare seno, coseno e tangente di 70? Potremmo operare in questo modo: tracciare con il goniometro un angolo di 70, e da un punto qualsiasi di un lato dell'angolo mandare la perpendicolare all'altro lato (fig..0); si misurano i lati del triangolo rettangolo così ottenuto, e si calcolano i rapporti; o 8. sin70 0. 9 8. 8 70 o cos70 0. 4 8. 8 o 8. fig..0 tan70. 7 Questo metodo, come è evidente, risulta alquanto approssimativo, i valori trovati non sono molto precisi, e sono approssimati, nella migliore delle ipotesi, alla seconda cifra decimale. Fino ad alcuni anni fa si utilizzavano le tavole trigonometriche, in cui sono tabulati i valori delle diverse funzioni trigonometriche, generalmente con l'approssimazione alla quinta cifra decimale. Oggi si preferisce l'uso della calcolatrice scientifica, che fornisce una approssimazione con almeno 8 cifre significative. Sulla calcolatrice ci sono tre tasti: SIN COS TAN Si controlla che la calcolatrice sia impostata per la misura degli angoli in gradi sessagesimali; sulle calcolatrici questo modo di operare con gli angoli è indicato con DEG, mentre con GRAD è indicata la misura centesimale degli angoli (l'angolo retto misura 00 e l'angolo giro 400 ), e con RAD si intende la misura degli angoli in radianti, che prenderemo in esame più avanti; per conoscere il seno di 70 è ora sufficiente digitare 70, e premere il tasto SIN : dovrebbe comparire sul visore il numero 0.99696, che è l'approssimazione alla 7 a cifra decimale di sin 70. (Altre calcolatrici consentono di introdurre i dati utilizzando la sintassi che usiamo comunemente, cioè premendo prima SIN, poi 70 e poi il tasto o ENTER.) In modo analogo si procede per le altre funzioni, coseno e tangente; per controllare che la calcolatrice sia predisposta in DEG è sufficiente impostare 0 e premere SIN : deve apparire sul visore il numero 0.5, cioè la scrittura decimale di (oppure si può verificare che tan45 ). Nel paragrafo precedente abbiamo osservato che per angoli acuti le corrispondenze αa sin α, αa cos α, αa tan α sono biunivoche; è naturale allora porsi il problema inverso: per esempio, qual è l'angolo che ha come seno il numero 0.5? Per risolvere questo problema sulle calcolatrici sono presenti i tasti SIN COS TAN Nel nostro esempio, si imposti sul visore 0.5, e si prema il tasto SIN : appare il numero 4.4775: si tratta dell'angolo misurato in gradi, il cui OSSERVAZIONE. sin - x, cos - x. tan - x indicano le funzioni inverse, e non sin,, x cos x tan x 7
seno vale 0.5. Naturalmente, poiché 0 < sinα < e 0 < cosα <, ha senso calcolare sin - e cos - solo per valori dell'argomento compresi tra 0 e, mentre per tan - ogni numero positivo va bene. Se vogliamo esprimere l'ampiezza dell'angolo anzichè in forma decimale (4.4775 4.5 ) in gradi, primi e secondi operiamo nel modo seguente: 4.4775 4 + 0.4775 4 + (0.4775 60)' 4 + (8.6507)' 4 8' + (0.6507 60)" 4 8'9". Attenzione: non tutte le calcolatrici sono dotate dei tasti SIN, COS, TAN : per alcune si utilizza il tasto INV seguito dal tasto della funzione voluta; per esempio vogliamo sapere per quale angolo α è tanα ; si imposta sul visore e si premono in successione i tasti INV e TAN Sul visore appare 7.565058, cioè circa 7 '54". ESERCIZI: A. Completare la seguente tabella che si riferisce ad ampiezze angolari espresse come gradi primi e secondi o in forma decimale, come indicato nella prima riga. 5 ' " 5. 45.5 70.5 0 0' 5" 60 " 80.45 45 5' 55.76 8 6'0" B. Completare la seguente tabella: α sinα cosα tanα secα cscα cotα 5 0. 0.7 60.5. RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Dai criteri di congruenza dei triangoli sappiamo che, fissati alcuni elementi di un triangolo (per esempio le misure di due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso) tutti i triangoli aventi quelle misure sono congruenti; ciò 8
significa che gli elementi fissati determinano univocamente tutti gli altri. Come calcolare gli elementi incogniti? Siamo già in grado di risolvere questo problema per i triangoli rettangoli. Un elemento (l'angolo retto γ) è sempre fissato; il triangolo è univocamente determinato (o meglio: è individuata la classe di equivalenza di tutti i triangoli congruenti) quando siano dati, oltre a γ: ) l'ipotenusa e un angolo; ) un cateto e un angolo; ) l'ipotenusa e un cateto; 4) i due cateti. Il triangolo non è invece determinato se si conoscono i tre angoli, o meglio: tre angoli determinano infiniti triangoli simili, non necessariamente congruenti. Indichiamo con A,B,C i vertici di un triangolo, rettangolo in C, di lati a, b, c e angoli α, β, γ (γ 90 ), (fig..). Esaminiamo i quattro casi: ) siano c e α gli elementi noti; β è ovviamente il complementare di α. Vogliamo determinare i cateti a e b: poiché per definizione a c sinα e b cosα, sarà: c a c sin α b c cos α ESEMPI: fig.. a) sia c cm e α 0 ; poiché sin0 0.5 e cos0 0. 87, risulta a 6 cm e b 6 cm 0.4 cm; b) sia c cm e α 40 ; usando la calcolatrice si trova sinα 0.64 e cosα 0.76 e quindi sarà a 7.7 cm e b 9. cm. ) è del tutto analogo al caso precedente: siano a e α gli elementi noti; sfruttando la definizione di seno di un angolo, sinα a, si ottiene c a c sinα Per l'altro cateto è sufficiente applicare il teorema di Pitagora, oppure, ricordando la definizione di tangente, tanα a b e quindi b a tanα. ) conoscendo l'ipotenusa c e il cateto a, l'altro cateto si ottiene con il teorema di Pitagora; per determinare un angolo acuto si calcola dapprima il valore del seno dell'angolo: a sinα e poi si determina c l'angolo α che ha come seno quel numero. 9
ESEMPI: a) sia c 8 cm, e a 4 cm; allora a c 4 cm 0.5 sin α e, per 8 cm quanto sappiamo, α 0 (e β 60 ); b) sia c 8 cm, a cm; a c sin α cm 0. 5; per quale 8 cm angolo α vale la relazione sinα 0.5? Le osservazioni svolte sulla biunivocità delle funzioni trigonometriche ci assicurano che esiste un solo angolo α compreso tra 0 e 90 per cui sinα 0.5. Abbiamo visto nel paragrafo precedente come determinare quest'angolo: con la calcolatrice si trova il numero 7.8075578, cioè circa 7 0'5". Naturalmente β sarà il complementare di α: β 90 α 8 49'9". 4) conoscendo i due cateti si può applicare il teorema di Pitagora per determinare l'ipotenusa; per gli angoli possiamo applicare la definizione di tangente di un angolo. Sia per esempio a e b 4, da cui c 5. Allora tanα /4 0.75. Poiché non è uno dei valori noti, usiamo la calcolatrice: otteniamo α 6.9. Per determinare β basta ricordarsi che è il complementare di α; oppure osservare che tanβ 4/.; con la calcolatrice si ottiene β 5.. Per concludere: le relazioni ESEMPIO. Un parallelogrammo OPQR hai lati consecutivi OP e PQ rispettivamente di 8 cm e 5 cm. L'angolo compreso tra tali due lati ha ampiezza 60. Determinare la diagonale OQ e l'angolo compreso tra OP e OQ. (fig..) Consideriamo innanzi tutto il triangolo rettangolo PHQ (rettangolo in H). Per tale triangolo risulta QPH ^ 60 e fig.. 60 OQ OH + QH a + b c β 90 α sinα a cosα b tanα a c c b sono sufficienti a risolvere qualunque triangolo rettangolo di cui siano dati (oltre all'angolo retto) due lati oppure un lato e un angolo. QP OR 5; pertanto 5 QH QP sin60 5 PH QP cos60 Da cui si deduce che 5 OH OP + PH 8 +, 5 + Inoltre, indicato con α l'angolo POQ HOQ, risulta 44 + 4 75 4 9 risoluzione dei triangoli rettangoli 0
QH 5 sin α 0. 8464, OQ 9 da cui segue che α.4. ESERCIZI: A. Risolvere, utilizzando, se necessario, la calcolatrice, il triangolo rettangolo ABC di cui siano noti: c 5 cm, α 45 ; c 6 cm, β 70 ; b 0 dm, α 0 ; b 0 dm, β 5 ; a cm, α 60 ; a 7 cm, β 75 ; c 0 mm, a 5 cm; c dm, b 7 dm; a 7 dm, b 9 dm; a 5 dm, b 0 dm; c 75 dm, α 0 ; c 50 mm, β 45 ; b 0 dm, α 7 ; b 5 cm, β 80 ; a m, α 60 ; a cm, β 7 ; c 0 cm, a 8 cm; c 0 dm, b 5 dm; a 6 dm, b 0 dm; a 9 dm, b 4 dm. B. Dimostrare che in un triangolo rettangolo, i cui angoli abbiano ampiezza 90, α, β, vale la seguente uguaglianza: sinα + cosβ cot β. cosα + sinβ (poiché siamo in un triangolo rettangolo α + β 90...) C. Da una nave si vede un faro, alto 60 m, sotto un angolo di elevazione di ampiezza 5. Quanto è distante l'osservatore dalla base del faro? D. Un sottomarino parte da un punto A e percorre.5 km procedendo lungo una linea retta inclinata di 0 rispetto al pelo dell'acqua. A quale profondità giungerà? E. A che distanza ci si deve porre per osservare un campanile alto 40 m sotto un angolo di elevazione di 5? F. Le due diagonali di un rettangolo ABCD abbiano lunghezza 4 dm. Uno degli angoli da esse formato con uno dei lati sia di 4. Calcolare il perimetro del rettangolo. G. Sia ABC un triangolo, rettangolo in A, con l'ipotenusa a cm e di cui sia nota l'ampiezza dell'angolo in B β 7. Risolvere il triangolo. H. Sia ABC un triangolo rettangolo in A con i cateti di 4 e 0 cm. Risolvere il triangolo. I. Determinare i raggi dei cerchi ex-inscritti ad un triangolo ABC noto, cioè dei tre cerchi tangenti ad un lato del triangolo ed ai prolungamenti degli altri due lati.
(Sia I il centro del cerchio tangente a BC, AC ed AB in D', E'ed F'. E' noto che il punto I è intersezione delle bisettrici degli angoli BAC, CBF ' e BCE '. Risulta: BD' BF' e D'C CE', perché... p F'A + AE' e AF' AE', perché... quindi AF' AE' p BF' BD' p - c (c sia la misura di AB, nota), CD' CE' p - b (b sia la misura di AC, nota ) Si possono ora considerare i triangoli rettangoli IF'B, ICE', IAE', IF'A giungendo in tal modo alla determinazione del raggio richiesto. L. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in A di cui è noto il cateto AB di 5 cm e l'altezza relativa all'ipotenusa di 4 cm. M. Trovare l'altezza di una torre la cui base è situata al di sotto del livello del terreno su cui si trova l'osservatore di 5 m, sapendo che l'osservatore vede la cima della torre con un angolo di elevazione di ampiezza α45 e la base con un angolo β0. N. Considerare un poligono regolare di n lati (n, 4, 5, 6, 0, ). Trovare il numero per cui deve essere moltiplicata la misura del lato per avere l'apotema (nei testi elementari tale numero viene indicato come numero fisso del poligono). O. Quale distanza deve percorrere una funivia per portarsi ad una quota maggiore di 600 metri rispetto a quella di partenza percorrendo in linea retta un tratto inclinato di 0? Divagazione: L'AREA DI UN POLIGONO REGOLARE Quanto misura l'area di un pentagono regolare di lato cm? Si tratta di un problema apparentemente semplice, ma in realtà non è risolubile in forma generale con gli strumenti della geometria elementare. Ricordiamo che un poligono regolare è un poligono avente i lati congruenti tra loro e gli angoli congruenti tra loro. Osserviamo anzitutto che un poligono regolare di n lati è univocamente determinato (a meno di congruenze) dalla misura del lato l. Quindi la sua area A è una funzione della coppia n, l (n, n >, l ). È noto che un poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza il cui centro O si chiama centro del poligono. Congiungendo O con i vertici del poligono, lo si divide in n triangoli fig.. isosceli congruenti (fig.., in cui n 5), aventi per base l, e l'angolo al vertice di ampiezza 60 n. L'altezza h di uno di questi triangoli (detta apotema del poligono regolare) lo divide in due triangoli rettangoli congruenti (fig,.4), che possiamo risolvere. l fig..4
l Infatti conosciamo un cateto AH e l'ampiezza di un angolo acuto α AOH ˆ 80. n Sappiamo che tanα l h, dunque h l l. L'area T di ciascun triangolo vale tanα 80 tan n dunque l T l l 80 80 tan 4tan n n L'area di un poligono regolare di n lati di lato l vale perciò nl A 80 4tan n ESEMPIO. Per il quadrato ( n 4, α 45 ), poiché tan 45, si ritrova la ben nota formula Al. 5 44 ESEMPIO. Un pentagono regolare di lato cm ha area A cm. Poiché 4tan6 tan 6 0. 765, allora A 47.8 cm. ESEMPIO. Per un triangolo equilatero (n ) di lato l, 80 60 o, e tan60 o, si ottiene, n quindi, facilmente la formula A l. 4 ESEMPIO 4. Per un esagono regolare (n 6) di lato l si ottiene facilmente A l. Divagazione: APPROSSIMAZIONE DI π Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro: circonferenza C diametro r è costante per ogni circonferenza e viene indicato con il simbolo π; di conseguenza C πr. Inoltre la lunghezza di una circonferenza è compresa tra i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti. Sia data dunque una circonferenza di raggio r e quindi di lunghezza πr; sia p n il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto e P n il perimetro del corrispondente poligono regolare circoscritto. Congiungendo il centro O della circonferenza con i vertici del poligono inscritto lo si divide in n triangoli isosceli congruenti e il fig..5 misura r sinα, dunque cui angolo al vertice è un angolo al centro di ampiezza θ 60o n ; ciascuno di questi triangoli (fig..5) è diviso dall'altezza in due triangoli rettangoli di ipotenusa r e angolo acuto α θ 80 o n. Per quanto abbiamo visto sulla risoluzione dei triangoli rettangoli il cateto opposto ad α (che è la metà della base del poligono regolare)
o 80 p n nr sin α nr sin. n Con analoghe considerazioni si determina il perimetro del poligono regolare circoscritto: o 80 P n nr tan. n Valgono perciò le disuguaglianze: o o 80 80 nr sin < π < r nr tan n n e, dividendo per r, o 80 o 80 nsin < π < tan n. n n Archimede riuscì a calcolare il perimetro dei poligoni regolari inscritti e circoscritti di 96 lati: per n 96 ottenne l'approssimazione + 0 7 < π < +, 7 mentre per n 0 6 si ottiene l'approssimazione alla decima cifra decimale:.4596556 < π <.4596560. 4. GENERALIZZAZIONE DELLA DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI UN ANGOLO Nel primo paragrafo abbiamo parlato di angoli, dando per scontata una loro definizione. In effetti spesso si confonde l'angolo inteso come ente geometrico, per esempio definito come coppia di semirette (i lati dell'angolo) aventi la stessa origine, con la sua misura; per tale motivo abbiamo indicato (com'è consuetudine) con α sia l'angolo che la sua misura in gradi. Vogliamo ora adottare una terminologia più precisa. Come è noto dalla geometria, due semirette a,b di origine comune O separano il piano in due regioni, come indicato in figura.6. In altre parole la coppia a,b individua due angoli e, se le due semirette non sono una l'opposta dell'altra, uno dei due angoli è concavo (cioè la corrispondente fig..6 regione contiene il prolungamento dei lati) e l'altro convesso (cioè la corrispondente regione non contiene il prolungamento dei lati). Pertanto se tracciamo due semirette come in figura.7, senza fornire alcuna altra indicazione, non sappiamo a quale dei due angoli facciamo riferimento. Occorre dunque qualche ulteriore informazione per poter distinguere un angolo dall'altro. Quando indichiamo un angolo con (a,b) intendiamo la regione descritta dalla rotazione (in verso convenzionalmente antiorario) che fig..7 porta la semiretta a a sovrapporsi alla semiretta b (fig..8). 4
una coppia di semirette con la stessa origine individua due angoli fig..8 Con questa convenzione possimo introdurre la seguente DEFINIZIONE. Sia O un punto del piano; chiamiamo angolo di vertice O ogni coppia ordinata di semirette (a,b) avente O come origine comune. angolo (a,b) Si pone ora il problema di estendere le definizioni delle funzioni trigonometriche, introdotte per angoli acuti, a un qualsiasi angolo α, α [0,60 ). Cominciamo con l'osservare che, dato un angolo qualsiasi α individuato dalla coppia ordinata di semirette (a,b), è sempre possibile costruire un riferimento cartesiano ortogonale in modo tale che a coincida con il semiasse positivo delle ascisse (e quindi il vertice dell'angolo coincida con l'origine degli assi); con questa convenzione, l'angolo (a,b) risulta univocamente determinato dalla semiretta b. Poiché, a sua volta, una semiretta di data origine O è univocamente determinata da un suo punto P O, si deduce che per individuare un angolo α, con 0 α < 60, è sufficiente dare le coordinate di un punto P O, cioè una coppia ordinate di numeri reali (non contemporaneamente nulli). Vediamo ora come sia possibile mettere in relazione le coordinate di un punto P O con le funzioni trigonometriche introdotte precedentemente. Con abuso di notazione si usa indicare con la stessa lettera, ad es. α, sia un angolo che la sua ampiezza. Dato un triangolo rettangolo OAB, è sempre possibile disporlo in un sistema di assi cartesiani ortogonali come indicato in figura.9. Dette x A e y A le coordinate del punto A (che determina univocamente l'angolo α) si deduce dalla figura che OB x A, AB y A e OA xa + y A. Quindi, in base alle definizioni fig..9 delle funzioni trigonometriche date precedentemente, risulta AB ya OB xa AB sinα cosα tanα OA x + y OA x + y OB A A A A y x A A e anche xa + ya cscα secα sinα y cosα + y A A A x x A cosα cot α sinα x y A A. 5
Queste relazioni ci permettono di generalizzare la definizione delle funzioni trigonometriche al caso in cui l'argomento sia un angolo compreso tra 0 e 60. fig..0 Precisamente, (vedi figura.0): DEFINIZIONE. Sia α (a,b) un angolo avente a coincidente col semiasse positivo delle ascisse, P (x,y) un punto diverso dall'origine degli assi appartenente a b ed r x + y la distanza di P dall'origine. Le sei funzioni trigonometriche dell'angolo α vengono definite nel modo seguente: y r sinα csc α ( y 0) r y x r cosα sec α ( x 0) r x y x tan α ( x 0) cot α ( y 0) x y OSSERVAZIONE. I rapporti presenti in questa definizione non dipendono dalla scelta del punto P sul lato termine. La figura. mostra che, se si sceglie un punto P diverso da P, i triangoli così formati sono simili e i rapporti dei lati corrispondenti sono uguali. Dalla precedente definizione si deduce che, mentre le funzioni seno e coseno sono definite per qualsiasi valore dell'argomento fig.. (cioè per qualsiasi valore di α [0, 60 )), le funzioni tangente e secante sono definite per α 90, e α 70 e le funzioni cotangente e cosecante sono definite per α 0 e α 80. Inoltre tali funzioni possono assumere anche valori negativi o nulli; in particolare cosα è negativo per α (90, 70 ) [cioè quando il punto che determina l'angolo α appartiene al II o al III quadrante] e sinα è negativo per α (80, 60 ) [cioè se P è nel III o nel IV quadrante]. Quindi, nel caso di angoli convessi, cioè compresi tra 0 e 80, il seno è sempre positivo, mentre il coseno è positivo per angoli acuti, negativo per angoli ottusi e nullo per l'angolo retto. Ne consegue che, mentre la corrispondenza α a cos α resta biunivoca se 0 α 80, questo non è più vero per la corrispondenza α a sinα: infatti è immediato verificare che agli angoli α e 80 α corrisponde lo stesso valore del seno sinα sin( 80 o α), mentre agli stessi angoli corrispondono valori opposti del coseno cosα cos( 80 o α). OSSERVAZIONE. Da queste relazioni si deduce in particolare che: 6
sin( 90 + α) sin 80 ( 90 + α) sin( 90 α) cosα cos( 90 + α) cos 80 ( 90 + α) cos( 90 α) sinα. Osserviamo infine che, essendo x x + y e y x + y, cosα e sinα non possono essere, in valore assoluto, maggiori di, cioè per ogni α sinα cosα. Inoltre, come per gli angoli acuti, qualunque sia l'angolo α, risulta y x r (sin α) + (cos α) +. r r r OSSERVAZIONE: È uso comune scrivere sin α al posto di (sin α), e analogamente per le altre funzioni. Tale notazione è certamente più concisa, ma è ambigua, potrebbe infatti indicare sia il prodotto di sin α per se stesso, sia la composizione della finzione seno per se stessa, cioè sin(sin α). In effetti, per indicare la funzione inversa della funzione seno, molte calcolatrici usano sin -. Poiché l'uso della notazione sin α al posto di (sin α ) è abituale e consolidato, la relazione precedente si scriverà sin α + cos α. CURIOSITÀ. Il seno e il coseno degli angoli notevoli: si possono ricordare facilmente con la seguente regola mnemonica: sinα α cosα 0 4 0 0 45 60 90 ESEMPIO. Determinare i valori delle sei funzioni trigonometriche dell'angolo α determinato dal punto P (,) (fig..). Applichiamo la definizione precedente con x, y e r +. Otteniamo fig.. 4 0 sinα cosα tanα cscα secα cot α Poniamoci ora il problema di calcolare l'ampiezza di tale angolo α. 7
Osserviamo preliminarmente che il punto rappresentativo dell'angolo α appartiene al primo quadrante e quindi α è acuto. Pertanto possiamo applicare lo stesso procedimento visto nel secondo paragrafo; cioè, a meno di un centesimo α tan (.5) 56.. fig.. Consideriamo la figura.. I quattro punti P, P, P, P 4 hanno ascisse e ordinate uguali in valore assoluto, dunque i triangoli rettangoli,,, 4 sono congruenti. Pertanto, per determinare l'angolo individuato da un punto P qualsiasi del piano è sufficiente determinare l'angolo individuato dal corrispondente punto nel primo quadrante; nell'esempio in figura., chiamato α i l'angolo individuato da P i, risulta α 80 α, α 80 + α, α 4 60 α. Alla luce delle precednti osservazioni si giustifica la seguente tabella: x sinx cosx tanx 0 0 0 0 / / / 45 / / 60 / / 90 0 non definita 0 / / 5 / / 50 / / / 80 0 0 0 / / / 5 / / 40 / / 70 0 non definita 00 / / 5 / / 0 / / / 60 0 0 ESEMPIO. Determinare i valori delle sei funzioni trigonometriche dell'angolo α determinato dal punto P (,). Calcolare poi l'ampiezza di α. Essendo r ( ) +, risulta 8
sinα cscα cosα secα tanα cot α L'ampiezza dell'angolo α è chiaramente compresa tra 90 e 80 e per il corrispondente angolo α' risulta α' tan (.5) 56.. Quindi α 80 α' 80 56..69. ESERCIZI: A. Rivedere gli esercizi B. e C. presentati nel primo paragrafo di questo capitolo e stabilire per quali dei casi presentati è possibile una rappresentazione senza ambiguità. B. Rivedere l'esercizio D. del primo paragrafo di questo capitolo. E' l'unico l'angolo con le caratteristiche richieste? C. Rivedere la tabella dell'esercizio B. presentato nel secondo paragrafo di questo capitolo: completarla di nuovo tenendo conto di tutti i casi possibili. α sinα cosα tanα secα cscα cotα 5 0. 0.7 60.5 D. Determinare il valore delle sei funzioni trigonometriche dell'angolo di ampiezza α determinato dal punto P. Calcolare poi l'ampiezza di α ed individuare, in ogni caso, un altro punto che determini lo stesso angolo: P(-,); P(,-); P(-,-); P(,); P(0,); P(5,7); P(-,-); P(-,); P(,-6); P(-,0); E. Essendo noto sinα, cosa si può dire di cosα, tanα, secα, cscα, cotα? F. Determinare l'ampiezza dell'angolo il cui coseno è l'opposto del coseno dell'angolo di ampiezza 45. G. Calcolare l'ampiezza degli angoli ottusi il cui seno è:,, 0.5, 0.7. H. Calcolare l'ampiezza degli angoli la cui tangente è:, 7,, 9. I. Siano α, β, γ le ampiezze degli angoli di un triangolo. Si può avere una delle tre funzioni trigonometriche (sin, cos, tan) di tali angoli negativa? E due di esse? E tutte e tre? Motivare le risposte portando degli esempi. 9
L. Sia α un angolo acuto. Per quali valori di α si ha sinα cosα? Ripetere l'esercizio nel caso in cui 90 <α<80. 5. LA RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALSIASI Il teorema dei seni Abbiamo visto come procedere per la risoluzione dei triangoli rettangoli. (Ricordiamo che "risolvere " un triangolo comporta la determinazione delle lunghezze dei suoi lati e delle ampiezze dei suoi angoli.) Ci proponiamo ora di risolvere triangoli che non abbiano necessariamente un angolo retto, tenendo presente che un triangolo non rettangolo può essere acutangolo (se ha tre angoli acuti) o ottusangolo (se ha un angolo ottuso). Un primo teorema che mette in relazione le misure dei lati con le ampiezze degli angoli opposti è il cosiddetto teorema dei seni, la cui dimostrazione, in una forma equivalente a quella attuale, è già presente nella matematica araba. TEOREMA (dei seni). In un triangolo qualunque è costante il rapporto tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto. In simboli a b c sinα sinβ sin γ. teorema dei seni In altre parole, le misure dei lati di un triangolo qualunque sono direttamente proporzionali ai seni degli angoli opposti. Dimostrazione. Come primo caso consideriamo un triangolo acutangolo ABC, conduciamo dal vertice C l'altezza CH realtiva al lato AB e indichiamo con h c la sua misura. Tale altezza CH determina due triangoli rettangoli CHA e CHB, retti in H. (fig..4) Tenendo presenti le relazioni che intercorrono tra gli elementi di un triangolo rettangolo possiamo scrivere h c bsinα e h c bsinβ fig..4 da cui segue che bsinα asinβ. Poiché α e β non sono angoli nulli, risulta sinα 0 e sinβ 0. Pertanto, dividendo ambo i membri della precedente uguaglianza per sinα sinβ, otteniamo b a sinβ sin α. Poiché la scelta dei vertici da cui tracciare l'altezza è del tutto arbitraria, risulta anche b c a c sinβ sin γ, sinα sin γ. Come secondo caso consideriamo un fig..5 triangolo ottusangolo ABC (con α > 90 ) 0
e operiamo come in precedenza (vedi figura.5), otteniamo ancora due triangoli rettangoli CHA e CHB, retti in H, per i quali possiamo scrivere h c bsin(80 α) bsinα e h c asinβ e, quindi, ancora bsinα asinβ. Arriviamo, dunque, allo stesso risultato precedente b a sinβ sin α. Se ora tracciamo l'altezza AK relativa al lato BC e procediamo come in precedenza, otteniamo b c sinβ sin γ e, quindi, tenendo conto della precedente uguaglianza, possiamo scrivere a b c. sinα sinβ sin γ Osserviamo, infine, che, se α 90 (cioè, il triangolo è rettangolo e a è la misura dell'ipotenusa), dalla precedente catena di uguaglianze, otteniamo a b c sinβ sin γ o, equivalentemente b asinβ e c asinγ, cioè, le note relazioni del triangolo rettangolo. Possiamo, dunque, concludere che il teorema dei seni è valido per qualsiasi triangolo. OSSERVAZIONE. Come è noto dalla geometria piana, in un triangolo "a lato maggiore è opposto angolo maggiore"; il teorema dei seni precisa in modo quantitativo tale relazione. La risoluzione di un triangolo noti due angoli e un lato. Se si conoscono le ampiezze di due angoli di un triangolo, si può immediatamente determinare l'ampiezza del terzo angolo. Se si conosce anche la lunghezza di uno dei lati, si può utilizzare il teorema dei seni per determinare la lunghezza degli altri due lati, come mostra l'esempio seguente. ESEMPIO. Risolvere il triangolo ABC, sapendo che α 6, β 8 e a 8. Dobbiamo determinare b, c e γ (vedi figura.6). Risulta γ 80 (6 + 48 ) 96. Per il teorema dei seni si ha a b sinα sinβ e a c sinα sin γ ; fig..6 cioè 8 sin6 b 8 e sin48 sin6 c. sin96 Da cui si ottiene 8sin48 8sin96 b e c, sin6 sin6 cioè, a meno di un centesimo b 0. e c.54. Si noti che il metodo impiegato nell'esempio è valido comunque vengano date le ampiezze dei due angoli (purché la loro somma sia minore di 80 ) e Risulta quindi anche sinα sinβ sin γ. a b c risoluzione di un triangolo, noti un lato e due angoli
la lunghezza del lato. In altre parole: due angoli e un lato determinano univocamente un triangolo. [Questo risultato è, ovviamente, in accordo con un ben noto criterio di congruenza dei triangoli.] La risoluzione di un triangolo, noti due lati e un angolo Il prossimo esempio è simile all'esempio, con la differenza che ora si conoscono le misure di due lati e l'ampiezza di un angolo. ESEMPIO. Risolvere il triangolo ABC, sapendo che β 0, a 6 e b 7. Consideriamo la figura.7 Come abbiamo visto nell'esempio, se si deve determinare la lunghezza di un lato applicando il teorema dei seni, occorre conoscere l'ampiezza dell'angolo opposto. Quindi, prima di determinare c, occorre conoscere γ. Poiché α + β + γ 80, γ si può determinare una volta che si conosca α. Sfruttiamo dunque il teorema dei seni per determinare α (poiché in questo caso dobbiamo determinare l'ampezza di un angolo, usiamo il teorema dei seni nella forma fig..7 sin α sin β sin γ ). Risulta a b c sinα sin0 6 7 e quindi 6sin0 sinα 7 7. Esistono due valori di α nell'intervallo 0 < α < 80 che soddisfano l'uguaglianza sinα ; cioè (a meno di un centesimo) α sin 7 5. 8 o 7 e α 80 5.8 54.6. Tuttavia, se α 54.6, allora α + β 84.6, il che è impossibile. Pertanto α 5.8 e γ 80 (5.8 + 0 ) 4.6. Utilizziamo ancora il teorema dei seni per determinare c. Risulta sinβ sin γ ; b c cioè 7 sin0 c, sin 4. 6 da cui 7sin 4. 6 c. 5. sin0 L'esempio mette in evidenza due aspetti importanti. Prima di tutto osserviamo che si è potuto applicare il teorema dei seni in quanto l'angolo dato era opposto a uno dei lati conosciuti; se l'angolo fosse stato quello compreso (tra i due lati di lunghezza data), allora il teorema dei seni non si sarebbe potuto applicare. Secondariamente, il fatto di aver ottenuto un unico triangolo è legato ai dati forniti nell'esempio, cioè β 0, a 6 e b 7. In generale, quando, di un triangolo, si conoscono due lati e un angolo non compreso (tra i due lati) si risoluzione di un triangolo, noti due lati e un angolo
possono presentare diverse eventualità. La figura.8 illustra le diverse possibilità. fig..8 Caso. Se il lato che misura a è "troppo corto", cioè a < bsinα, non si può formare alcun triangolo. Caso. Se il lato che misura a coincide con l'altezza relativa al lato AB, cioè a bsinα, allora si forma un triangolo rettangolo. Caso. Se risulta bsinα < a < b, allora sono possibili due triangoli. Caso 4. Se a b, si forma un solo triangolo. ESEMPIO. In un triangolo ABC si ha α 0 e b 6. Risolvere il triangolo nei seguenti casi: () a ; () a ; () a 5; (4) a 7. () Poiché a < 6sin0 bsinα, non esiste alcun triangolo che soddisfa i dati del problema. Se si applica il teorema dei seni senza esaminare i dati del problema, si ottiene da cui si ricava sin β 6 sin 0 sinβ. Poiché non esiste alcun angolo il cui seno sia maggiore di, si deduce che in questo caso il problema non ha soluzione. () Poiché a 6sin0 bsinα, si forma un unico triangolo rettangolo [se si applica il teorema dei seni si ottiene sinβ ]. Quindi β 90 e γ 90 0 60. Infine, applicando il teorema di Pitagora, si ottiene c 6 6 9. () Poiché a 5 e 6sin0 < 5 < 6 b, si possono formare due triangoli. Applicando una prima volta il teorema dei seni otteniamo sinβ sin0, 6 5 da cui, 6sin0 sinβ 5 I due angoli che soddisfano questa relazione sono β sin 6.87 5 e β 80 6.87 4.. Se β 6.87, allora γ 80 (6.87 + 0 ). e c si può determinare applicando nuovamente il teorema dei seni. da cui 5. c 5 sin. sin0, 5sin. c 9. 0. sin0
Una soluzione è, quindi, β 6.87, γ. e c 9.0 (vedi figura.9). Se β 4., allora γ 80 (4. + 0 ) 6.87 e per c risulta c 5 sin 6. 87 sin0, da cui 5sin 6. 87 c. 0. sin0 La seconda soluzione è dunque β 4., γ 6.87 e c.0 (vedi figura.0). (4) Poiché a 7 > 6 b, si forma un unico triangolo. Applicando una prima volta il teorema dei seni otteniamo sinβ sin0, 6 7 da cui 6sin0 sinβ 7 7. Poiché b < a, deve essere β < α, quindi β < 0 ; segue che β sin 5.8. Quindi γ 80 (0 + 5.8 ) 4.6 e, 7 sempre per il teorema dei seni c 7 sin 4. 6 sin0, da cui 7sin 4. 6 c. 5. sin0 Nell'esempio l'angolo α era acuto. Che cosa succede se α è un angolo ottuso? Cominciamo con l'osservare che dev'essere necessariamente a > b, in quanto, essendo ovviamente α l'angolo maggiore, a è la misura del lato maggiore. Se la condizione a > b non è soddisfatta, non si può formare alcun triangolo; se la condizione è verificata, allora, come mostra fig.. la figura., si forma un solo triangolo. ESERCIZI: fig.9 fig..0 A. Risolvere (utilizzando, se necessario, la calcolatrice) il triangolo ABC nei seguenti casi: α 0, β 45, c 0 dm; α 60, β 45, a 5 dm; α 50, β 0, b 0 dm; 4
α 0, γ 65, c 0 dm; α 0, γ 0, a 0 cm; α 60, γ 80, b 0 dm; β 60, γ 40, a dm; β 70, γ 40, b dm; α 60, β 5, a dm; β 70, γ 0, c 50 m. B. Risolvere, se possibile, il triangolo ABC (utilizzando, se necessario, la calcolatrice), esplicitando i casi in cui il triangolo richiesto non esiste o non è univocamente determinato: a 5 cm, b 0 cm, α 0 ; a 0 dm, b 5 dm, β 45 ; a cm, b 0 cm, α 0 ; a 0 dm, b 0 dm, β 45 ; a 7 cm, b 0 cm, α 0 ; a cm, b cm, β 60 ; a cm, b 0 cm, α 0 ; a 0 cm, b 9 cm, β 60 ; a 0 dm, b 5 dm, β 70 ; b 5dm, c 0 dm, γ 0 ; a 5 dm, c 0 dm, α 60 ; c dm, b 0 dm, γ 0 ; c 7 dm, b 0 dm, γ 0 ; c 5 dm, b 0dm, γ 0. C. Per misurare l'altezza h di una torre due osservatori A e B, distanti fra loro d ed allineati con la base della torre, misurano le ampiezze α e β degli angoli di elevazione della torre. Quale relazione lega h, d, α e β (sia nel caso in cui A e B siano dalla stessa parte che da parti opposte rispetto alla torre)? D. Una torre pende verso sud di un angolo θ: spostandosi verso nord due osservatori, in due punti A e B, le cui distanze dal piede della torre sono rispettivamente a e b, misurano le ampiezze α e β degli angoli d'elevazione sotto cui vedono la cima della torre. Determinare come sono legate l'altezza della torre e la sua inclinazione θ alle grandezze note. E. In un parallelogrammo le diagonali sono lunghe 0 dm e 50 dm. Uno degli angoli da esse formato è di 45. Trovare il perimetro del parallelogrammo. F. Dimostrare che in un triangolo ABC, di lati a, b, e c ed angoli α, β e γ la distanza di A dall'ortocentro è data da csin( 90 α ). sin( α + β) G. Sia γ una circonferenza di centro C e raggio r 40 cm. Sia γ' una circonferenza di centro C', con C' γ e raggio 0 cm. Siano P e P i due punti di intersezione di γ e di γ'. Trovare l'ampiezza di C' PC C' P C. H. Calcolare la larghezza di un fiume sapendo che da due punti A e B distanti tra loro 5 m due osservatori vedono un punto C, situato sull'altra sponda, alla loro destra e sotto gli angoli α 70 e β 45 (rispetto alla sponda). I. Una nave, situata in una posizione D, si sta dirigendo verso nord ed osserva due fari posti ad est (in posizione A e B). Dopo ora di navigazione la nave si trova in C ed i due fari sono l'uno a sud-est ( ACD 45 ) e l'altro a sud-sud-est (BCD 45 ) rispetto alla nave. Se A e B distano 8 km tra loro, a che velocità si sta muovendo la nave? Il teorema della corda a b c In un dato triangolo i tre rapporti sin, sin, sono uguali. Il valore α β sin γ numerico di questi rapporti ha un significato geometrico? La risposta è affermativa: tale rapporto rappresenta la lunghezza del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. Per dimostrarlo indichiamo con O il 5
centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC e con r il relativo raggio. Possono presentarsi tre casi, a seconda che il triangolo ABC sia acutangolo, rettangolo o ottusangolo (fig. i, ii, iii). al vertice A del triangolo, mandiamo il diametro AD. Il triangolo ADB è rettangolo in D, in quanto iscritto in una semicirconferenza. Inoltre fig. i fig. ii fig. iii ACB ADB γ, perché sono angoli che insistono sulla stessa corda AB. Pertanto per il triangolo ABD risulta c rsinγ, cioè c r sin γ. Risulta quindi a b c r sinα sinβ sin γ Conseguenza immediata di questa catena di uguaglianze è il seguente teorema, noto col nome di teorema della corda. D TEOREMA. La misura della corda di una circonferenza è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di un qualunque angolo alla circonferenza che insiste sulla corda stessa. teorema della corda Dimostrazione. Sia AB una corda di una circonferenza di centro O e raggio r. Indichiamo con C un punto qualunque della circonferenza. Applicando la precedente relazione al triangolo ABC, possiamo scrivere c r sin γ, da cui segue immediatamente c rsinγ. ESEMPIO 4. Dato il triangolo ABC, siano noti gli angoli α 40, β 0 e il lato di misura b 0. Calcolare il perimetro del triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta. Sapendo che γ 80 (40 + 0 ) 0, per il teorema dei seni possiamo scrivere c b sin γ sinβ, cioè c 0 sin0 sin0, da cui 6
0sin0 c 8. 79. sin 0 Sempre per il teorema dei seni possiamo scrivere a b sinα sinβ, cioè a 0 sin40 sin0, da cui 0sin40 a. 86. sin0 Pertanto, indicato con p il perimetro, risulta p a + b + c.86 + 8.79 + 0 4.65. Per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta applichiamo il teorema della corda b rsinβ, da cui b 0 r 0 0. sinβ sin ESERCIZI: A. Calcolare il perimetro del triangolo ABC, qualora esso sia determinato, ed il raggio della circonferenza circoscritta in ciascuno dei seguenti casi: a 5 cm, α 60, β 45 ; b 0 dm, α 65, β 0 ; c 5 cm, α 65, β 0 ; β 80, γ 60, a 0 cm; β 70, γ 5, b 0 dm; β 5, γ 00, c 7 dm; a 0 cm, b 0 dm, α 0 ; a 5 dm, b 0 dm, α 0 ; a 0.7 dm, b 0 cm, α 0 ; a 7 cm, b 7 cm, α 0 ; a 0 dm, b 9 dm, α 60 ; a 50 mm, β 0, γ 45. B. Determinare l'ampiezza dell'angolo al centro di una circonferenza, a cui corrisponde una corda pari a del raggio. 5 C. Determinare la lunghezza della corda che in una circonferenza di raggio r cm corrisponde ad un angolo al centro di ampiezza 6 50'. D. Trovare la lunghezza dell'arco che sottende una corda di 5 cm corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza 70. E. Trovare la lunghezza di una corda sottesa da un arco lungo 4 cm in una circonferenza il cui raggio misura 0 cm. F. Gli archi sottesi dai lati di un quadrilatero inscritto in una circonferenza di raggio 0 dm stanno fra loro come,,, 4. Trovare il perimetro del quadrilatero. 7
Divagazione. Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo. Abbiamo visto che il diametro della circonferenza circoscritta a un triangolo è uguale rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto ad esso; è possibile determinare una relazione analoga anche per il raggio della circonferenza inscritta? Ricordiamo che la circonferenza inscritta in un triangolo è la circonferenza che risulta tangente a ciascun lato, e che il centro di tale circonferenza (detto incentro del triangolo) è il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (questo perché la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo stesso). TEOREMA. La lunghezza del raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo è uguale al rapporto tra l'area A del triangolo e il suo semiperimetro s: r A s. da cui la tesi. fig.. Dimostrazione. Sia I l'incentro del triangolo ABC, H, K, L le proiezioni di I sui lati. L'area del triangolo ABC è uguale alla somma delle aree dei triangoli AIB, BIC, CIA; poiché i segmenti IH, IK, IL sono perpendicolari rispettivamente ai segmenti BC, CA, AB, ciascuno di tali triangoli ha per base un lato del triangolo ABC, e per altezza il raggio della circonferenza inscritta: ( AB +BC +CA) r sr, A AB r + BC r + CA r Il teorema del coseno Come abbiamo visto precedentemente, si può utilizzare il teorema dei seni per determinare gli elementi incogniti di un triangolo se si conoscono le ampiezze di due angoli e la misura di un lato o se si conoscono le misure di due lati e l'ampiezza di uno degli angoli non inclusi (tra i due lati). Tuttavia, se sono noti due lati e l'angolo compreso, l'applicazione del teorema dei seni non porta alla soluzione. Per determinare la misura del lato opposto si applica, invece, il teorema seguente, noto col nome di teorema del coseno. TEOREMA (del coseno). In ogni triangolo risulta a b + c bc cos α b a + c ac cos β c a + b ab cos γ teorema del coseno Dimostrazione. Consideriamo un triangolo acutangolo ABC e conduciamo dal vertice C l'altezza CH relativa al lato AB (fig..4). Tale altezza CH determina due triangoli rettangoli CHA e CHB, retti in H. Tenendo presenti le relazioni che intercorrono tra fig..4 8
gli elementi di un triangolo rettangolo, possiamo scrivere CH bsinα e AH bcosα quindi HB c bcos α. Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB, possiamo determinare CB a. Risulta CB CH + HB cioè a b sin α + ( c bcos α) b sin α + c bccosα + b cos α b (sin α + cos α) + c bccos α. Poiché sin α + cos α, otteniamo infine a b + c bccosα. Se consideriamo, invece, un triangolo ottusangolo ABC (con α > 90 ) e operiamo come in precedenza (fig..5), otteniamo ancora due triangoli rettangoli CHA e CHB, retti in H, per i quali possiamo scrivere CH bsin( 80 α) b sinα e fig.5 AH b cos( 80 α) bcosα, da cui HB AB + HA c b cosα come per il triangolo acutangolo. Arriviamo dunque, anche in questo caso, alla relazione a b + c bccosα. Infine, se α 90, la precedente uguaglianza si riduce a a b + c, cioè al teorema di Pitagora. Possiamo dunque concludere che, per ogni triangolo, risulta a b + c bccosα Permutando ciclicamemte le lettere secondo lo schema seguente si ottengono le altre due relazioni b a + c accosβ c a + b abcosγ OSSERVAZIONE. Il teorema del coseno è conosciuto anche come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot (75-8). In verità, in una forma equivalente a quella attuale, tale teorema fu dimostrato già da Euclide (III secolo a.c.). OSSERVAZIONE. Il teorema del coseno è chiamato anche teorema di Pitagora generalizzato: esso afferma che il quadrato costruito su un lato (a) di un triangolo qualunque è equivalente alla somma dei 9 fig..6
quadrati costruiti sugli altri due lati (b e c), diminuita del doppio del rettangolo avente per dimensioni c e bcosα (cioè la"proiezione di b su c") [questa è la forma in cui il teorema venne dimostrato da Euclide]. Inoltre, come abbiamo già visto, se α 90 la relazione a b + c bccosα si riduce al teorema di Pitagora. (fig..6) OSSERVAZIONE. Le formule che traducono il teorema del coseno consentono di trovare un lato (o, meglio, il suo quadrato) in funzione degli altri due lati e dell'angolo tra essi compreso. Le stesse formule consentono di determinare il coseno di un angolo in funzione delle lunghezze dei tre lati: b + c a a + c b a + b c cos α, cos β, cosγ bc ac ab Divagazione. Il Teorema di Pitagora generalizzato. Il teorema del coseno, enunciato in forma trigonometrica da Lazare Carnot, era già stato dimostrato, in forma geometrica, da Euclide nel III secolo a. C., nelle proposizioni e del libro II degli Elementi.(edizione a cura di A.Frajese) PROPOSIZIONE. Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso è maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo ottuso (in figura AC) e dalla proiezione dell'altro su di esso (DA). figura.7 Come mostra la figura.7, poiché DA c cos(80 α) c cosα l'enunciato della proposizione euclidea coincide con l'enunciato del teorema del coseno: a b +c bccosα. PROPOSIZIONE. Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all'angolo acuto è minore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo acuto, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che contengono l'angolo acuto (in figura AC) e dalla proiezione dell'altro su di esso (AD). Anche in questo caso (fig..8), poiché AD b cosα l'enunciato della proposizione euclidea coincide con l'enunciato del teorema del coseno: a b +c bccosα. fig..8 La dimostrazione di Euclide è del tutto analoga, anche se in forma geometrica, a quella riportata. La risoluzione di un triangolo, noti due lati e l'angolo compreso Se di un triangolo si conoscono due lati e l'angolo compreso allora, come assicura uno dei criteri di congruenza dei triangoli, il triangolo è univocamente determinato. Il prossimo esempio mostra come si può utilizzare il teorema del coseno per determinare gli elementi mancanti. ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo ABC sapendo che a 4, b 7 e γ 4. Utilizziamo innanzi tutto il teorema del coseno per determinare la misura del terzo lato: risoluzione di un triangolo, noti due lati e l'angolo compreso 0