Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del 06.07.06 Esercizio Una piastra rigida P giace nel piano Oxy di una terna di riferimento cartesiana ortogonale Oxyz = Oê ê ê 3 ad essa solidale, come mostrato in figura. P, omogenea e di massa m, è stata ottenuta rimuovendo da una lastra circolare S di raggio a e centro O una porzione T, anch essa circolare, con raggio a e centro Ca, 0) vedi figura. Si chiede di determinare della piastra P: a) il baricentro G, verificando che G convp); b) la matrice d inerzia relativa a Oxyz, ricavando i momenti principali d inerzia in O; c) i momenti d inerzia relativi alla retta r di equazione y x = 0, z = 0 e alla retta Ay, passante per A e parallela all asse Oy; d) se la retta s di equazione y = x, z = 0 è un asse principale d inerzia in O; e) il momento angolare in O e l energia cinetica rispetto al riferimento dove O è fisso e la velocità angolare di P è ω = ωê ωê 3, con ω > 0 costante. Stabilire se in tale riferimento il moto di P è rotatorio uniforme, motivando la risposta.
Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz un sistema rigido ruota attorno all asse Oz. Il sistema è composto da una piastra quadrata omogenea P = ABCD, di lato a e massa m, e da una asta rettilinea omogenea OP, di lunghezza a e massa m, saldate ortogonalmente nel punto medio O del lato AB indicato con M il punto medio del lato CD, i punti P, O e M sono dunque allineati). La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale non mostrato in figura. Una molla ideale di stiffness k è tesa fra l estremo P e la proiezione ortogonale P di questo sull asse Ox. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Usando l angolo ϕ R illustrato in figura come parametro lagrangiano, determinare del sistema, rispetto alla terna Oxyz: a) l espressione dell energia cinetica; b) le configurazioni di equilibrio; c) le proprietà di stabilità degli equilibri; d) le equazioni di Lagrange del moto; e) gli equilibri di confine nel caso fosse ϕ [ π/4, π/3].
Soluzione dell esercizio a) Baricentro La densità areale della piastra omogenea P si ottiene dividendo la massa m del corpo per la sua area: m σ = πa) πa = m 3πa. Da questo valore della densità è facile risalire alla massa della piastra originale S, di raggio a: m S = σπa) = 4πa σ = 4πa m 3πa = 4 3 m ed a quella della porzione T rimossa, di raggio a: m T = σπa = πa m 3πa = m 3. I baricentri delle piastre omogenee S e T coincidono con i rispettivi centri geometrici e di simmetria: G S O = 0 G T O = aê. D altra parte, poichè P e T si intersecano lungo la curva T, che rappresenta un insieme di misura nulla nel calcolo degli integrali di superficie, è possibile applicare il teorema distributivo e scrivere la relazione: G S O = m PG O) + m T G T O) m S dalla quale si ricava il vettore posizione del baricentro di P: G O = m SG S O) m T G T O) = 4 m P m 3 m 0 m ) 3 aê = a 3 ê. Appare evidente che G P convp). In effetti, l inviluppo convesso convp) non è altro che il cerchio chiuso di centro O e raggio a nel piano coordinato Oxy. b) Matrice d inerzia Matrice d inerzia di S rispetto a Oxyz La matrice d inerzia di un disco circolare omogeneo di massa m S = 4/3)m, raggio a e centro O, posto nel piano coordinato Oxy, è data da: [L S O] = m Sa) /4 0 0 0 m S a) /4 0 0 0 m S a) / = ma 4/3 0 0 0 4/3 0 0 0 8/3 avendosi: m S a) = 4 3 ma) = 6 3 ma. 3
Matrice d inerzia di T rispetto a Oxyz Rispetto alla terna baricentrale Cxyz, con origine in C e gli assi rispettivamente paralleli a quelli del riferimento Oxyz, la matrice d inerzia della piastra T ha un espressione analoga alla precedente: [L T C] = m Ta /4 0 0 0 m T a /4 0 0 0 m T a / = ma / 0 0 0 / 0 0 0 /6 in quanto m T a = ma /3. Il baricentro G T = C di T rispetto alla terna Oxyz è individuato dal vettore posizione: 3 G T O = aê = d α ê α e quindi dalle coordinate: α= d = a d = 0 d 3 = 0. Per la matrice d inerzia di T relativa a Oxyz il teorema di Huygens-Steiner generalizzato porge allora l espressione: [L T O] = [L T C] + m T [D] = [L T C] + m 3 [D] dove: [D] = d + d 3 d d d d 3 d d d + d 3 d d 3 d d 3 d d 3 d + d = 0 0 0 0 a 0 0 0 a, per cui: [L T O] = ma / 0 0 0 / 0 0 0 /6 + ma 0 0 0 0 /3 0 0 0 /3 = ma / 0 0 0 5/ 0 0 0 / Matrice d inerzia della piastra P rispetto a Oxyz La matrice d inerzia relativa a Oxyz della piastra P si può calcolare per differenza, a partire dalle matrici d inerzia già calcolate per la piastra completa S e per la porzione da essa rimossa T. L operazione è lecita in quanto l intersezione P T consiste di una curva la circonferenza T che non dà alcun contributo agli integrali di superficie su P e su T necessari a calcolare gli elementi delle relative matrici d inerzia. Si ha pertanto: [L P O] = [L S O] [L T O] = ma 4/3 0 0 0 4/3 0 0 0 8/3 4 ma / 0 0 0 5/ 0 0 0 / =.
= ma 5/4 0 0 0 / 0. 0 0 3/6 La matrice è diagonale, per cui gli elementi diagonali sono i momenti principali d inerzia in O del sistema: A = 5 4 ma A = ma A 3 = 3 6 ma. Che la terna Oxyz fosse principale d inerzia in O era a priori evidente, data la presenza del piano di simmetria Oxy e dell asse di simmetria Ox: il primo implica che Oz sia asse principale d inerzia in O, mentre il secondo lo è banalmente; che anche Oy debba esserlo segue infine dal teorema spettrale. c) Momenti d inerzia relativi alle rette r ed Ay Momento d inerzia relativo alla retta r La retta r ha equazione parametrica: x = ξ y = ξ z = 0 ξ R per cui passa chiaramente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn = ê + ê ê + ê = 5 ê + ê ). Il momento d inerzia della piastra relativo a r si può quindi scrivere nella forma: Ir P = IOˆn P = ˆn L P Oˆn) = 0 ) [L P O] = 5 5 0 = 5 L P xx + L P yy + L P ) xy = 4L P 5 xx + L P yy + 4L P ) xy = = 4 5 5 4 ma + ) ma + 0 = 5 + ) ma = 7 5 60 ma. Momento d inerzia relativo alla retta Ay La retta Ay è parallela all asse Oy, ma non contiene il baricentro G della piastra. Si considerano allora le rette parallele Ay, Oy e Gy, applicando due volte il teorema di Huygens-Steiner, prima fra Oy e Gy: e poi fra Gy e Ay: I P Oy = I P Gy + m P x P I P Ay = I Gy + m P x A x P ), dove le ascisse del baricentro G e del punto A sono date rispettivamente da: x P = a 3 x A = a. 5
Sottratta membro a membro la prima equazione dalla seconda, si ottiene: e dunque: I P Ay I P Oy = m P x A x P ) m P x P IAy P = IOy P + m P x A x A x P ) = IOy P + m P x A x A x P ) = = ma + m a a + a ) = 3 + 6 ) ma = 75 3 ma = 5 4 ma. d) Verifica della retta s come asse principale d inerzia in O La retta s di equazione y = x, z = 0 passa per l origine O ed è generata dal vettore direttore: d = ê + ê, che però non è autovettore di L P O in quanto: [L P O] = ma 5/4 0 0 0 / 0 = ma 5/4 / λ 0 0 0 3/6 0 0 0 per qualsivoglia λ R. La retta s, pertanto, non costituisce un asse principale d inerzia in O per la piastra. e) Momento angolare in O ed energia cinetica Momento angolare in O La velocità angolare istantanea della piastra si scrive: ω = 3 ω α ê α = ωê ωê 3 α= e il momento angolare in O è espresso nella stessa base ê ê ê 3 come: K O = 3 K α ê α. α= Si ha dunque: K K = [L P O] ω ω = ma 5/4 0 0 0 / 0 ω 0 = ma ω 5/4 0 K 3 ω 3 0 0 3/6 ω 3/6 e il momento angolare richiesto risulta: 5 K O = ma ω 3 ) 4ê 6 ê3. 6
Energia cinetica Per l energia cinetica della piastra si ha l espressione: T = ω K O = ωê ωê 3 ) ma ω 5 4ê 3 6 ê3 ) = ma ω 5 4 + 3 ) = 4 6 4 ma ω. Moto rotatorio uniforme nel riferimento assoluto Il moto di P nel riferimento assoluto dove O è fisso e ω costante risulta rotatorio uniforme. Se infatti ω = ωê ωê 3, con ω > 0 costante, allora la velocità angolare della piastra risulta costante rispetto alla terna solidale Oê ê ê 3. Questa circostanza è equivalente ad affermare che la velocità angolare istantanea sia costante anche rispetto alla terna assoluta, per via della nota relazione fra derivata assoluta e relativa: d A ω dt = d R ω dt + ω ω = d R ω dt L essere O punto fisso del sistema rigido comporta che la retta O ω sia fissa nel riferimento assoluto; preso un punto P dello spazio solidale a P su di essa, la velocità istantanea del punto risulta: P = Ȯ + ω P O) = ω P O) = 0 in quanto i vettori ω e P O sono paralleli. Tutti i punti dello spazio solidale situati lungo la retta fissata O ω sono fissi nel sistema di riferimento assoluto: il moto è rotatorio con asse fisso O ω. La costanza di ω implica infine, come ben noto, l uniformità di tale moto rotatorio. Soluzione dell esercizio a) Energia cinetica Energia cinetica dell asta OP L asta omogenea, di massa m e lunghezza a, ruota attorno all asse fisso Oz di un angolo ϕ, crescente per rotazioni antiorarie attorno a tale asse ê 3 è uscente dal piano del foglio, per una terna ortogonale destra). L energia cinetica è quindi data dalla relazione: T OP = IOP Oz ω OP = ma 3 ϕê 3 = ma 6 Energia cinetica della piastra P La piastra quadrata omogenea, di lato a e massa m P = m, ruota dello stesso angolo ϕ attorno all asse fisso Oz, essendo O il punto medio del lato AB. Per l energia cinetica della piastra si ha quindi l espressione: T P = IP Oz ω P. ϕ. con ω P = ϕê 3 e, per Huygens-Steiner: I P Oz = I P Gz + m P G O = ma 6 a ) ma + m = 3 7 + ma = 5 6 ma,
in modo che risulta: T P = 5 6 ma ϕ = 5 ma ϕ. Energia cinetica del sistema La somma delle energie cinetiche di asta e piastra definisce l energia cinetica dell intero sistema additività dell energia cinetica: T = T OP + T P = ma 6 ϕ + 5 ma ϕ = 7 ma ϕ. b) Equilibri Il sistema è soggetto, di fatto, soltanto a sollecitazioni posizionali conservative, che sono costituite dall interazione elastica fra i punti P e P, dalle forze peso e dalle forze centrifughe. In linea di principio la terna non inerziale Oxyz è anche sede di forze di Coriolis, le quali tuttavia risultano costantemente ortogonali al piano vincolare Oxy e presentano perciò componente generalizzata nulla, non producendo nessun effetto, né dinamico né statico sul sistema. Si tratta allora di determinare i potenziali che caratterizzano le diverse tipologie di forze conservative. Potenziale elastico Dall esame della figura si deduce immediatamente che: P P = a cos ϕ ê, per cui il potenziale associato alla molla ideale di stiffness k, che collega P alla sua proiezione ortogonale P sull asse Ox, è dato da: U el = k P P = k a cos ϕ ê = ka cos ϕ. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso è la somma dei contributi dell asta e della piastra: U g = Ug OP + Ug P = mgê P O mgê M O con: P O = a sin ϕ ê + cos ϕ ê ) M O = asin ϕ ê cos ϕ ê ) e dunque: U g = mga cos ϕ mg a cos ϕ) = mga cos ϕ. Potenziale centrifugo Anche il potenziale centrifugo si ottiene sommando i contributi dell asta e della piastra: U cf = U OP cf + U P cf. 8
Il primo viene ricavato calcolando il momento d inerzia di OP rispetto all asse Oy mediante una integrazione diretta sull ascissa curvilinea s [0, a]: U OP cf = ω IOP Oy = ω = ω m a sin ϕ a 0 a 0 s sin ϕ) m a ds = s ds = mω a sin ϕ a3 3 = ma ω 6 sin ϕ; il secondo segue invece da una semplice applicazione del teorema di Huygens-Steiner: [ Ucf P = ω IP Oy = ω IGy P + m[g O) ê ] ] = [ = ω a ) ] IGy P + m sin ϕ = ma ω sin ϕ + costante, 4 notando che il momento d inerzia del quadrato omogeneo rispetto all asse baricentrale Gy risulta indipendente dall angolo di rotazione ϕ i momenti centrali d inerzia relativi agli assi paralleli ai lati sono uguali: il loro comune valore è pari a ma / = ma /6. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è la somma dei potenziali parziali, elastico, gravitazionale e centrifugo: Uϕ) = U el + U g + U cf = ka cos ϕ + mga cos ϕ + 5 ma ω sin ϕ = ka = + 5 ma ω ) sin ϕ + mga cos ϕ + costante, nella quale la costante additiva può essere ovviamente ignorata. Equilibri Poichè ϕ R il sistema scleronomo è a vincoli bilaterali ideali, oltre che posizionale conservativo. Gli equilibri sono tutti ordinari e vanno identificati con i punti critici del potenziale U. Si ricavano dunque annullando la derivata prima del potenziale: U ϕ) = ka + 5 6 ma ω ) sin ϕ cos ϕ mga sin ϕ ossia risolvendo l equazione trigonometrica: k + 5 6 mω) a sin ϕ cos ϕ mga sin ϕ = 0 che si fattorizza nella forma: k + 5 6 mω) a sin ϕ cos ϕ mga k + 5 = 0. 6 mω) a 9
Posto per brevità: λ = mga k + 5 6 mω) a = 3mg 6k + 5mω )a > 0, l equazione di equilibrio precedente diventa: ed ammette: sin ϕ cos ϕ λ) = 0 i) due equilibri definiti incondizionatamente per sin ϕ = 0: ii) altri due equilibri per cos ϕ λ = 0: ϕ = 0 ϕ = π ; ϕ = arccos λ = ϕ ϕ = arccos λ = ϕ, ma definiti e distinti dai precedenti se e solo se λ <. Si osservi che ϕ 0, π/). c) Stabilità degli equilibri Dato il carattere posizionale conservativo del sistema scleronomo, le proprietà di stabilità degli equilibri possono essere analizzate ricorrendo ai teoremi classici di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. A questo scopo si rende necessario calcolare la derivata seconda del potenziale: U ϕ) = k + 5 6 mω) a cos ϕ sin ϕ) mga cos ϕ e discuterne il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. Equilibrio ϕ = 0 In questo caso la derivata seconda del potenziale si riduce a: U 0) = k + 5 6 mω) a mga = k + 5 6 mω) a λ) e non avendo segno definito obbliga a considerare tre diverse eventualità: i) se λ >, si ha U 0) < 0 e l equilibrio viene riconosciuto come massimo relativo proprio del potenziale, stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet; ii) per λ < è invece U 0) > 0 e l instabilità dell equilibrio segue dal teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; iii) qualora sia infine λ =, la derivata seconda del potenziale si annulla e lo studio della stabilità richiede un analisi più accurata. Mentre infatti il ricorso al teorema 0
di inversione parziale risulta escluso, è ancora aperta la possibilità che l equilibrio costituisca un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. In effetti, nel caso critico il potenziale adimensionalizzato ha derivata seconda: u ϕ) = k + 5 6 mω) a U ϕ) = cos ϕ sin ϕ cos ϕ = cos ϕ cos ϕ e derivate terza e quarta: u 3) ϕ) = sin ϕ + sin ϕ u 4) ϕ) = 4 cos ϕ + cos ϕ, per cui: u 3) 0) = 0 u 4) 0) = 3 e lo sviluppo di Taylor al quarto ordine di uϕ) nell intorno di ϕ = 0 diventa: uϕ) = u0) + 4! u4) 0)ϕ 4 + oϕ 4 ) = u0) ϕ4 8 + oϕ4 ). L equilibrio costituisce pertanto un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità è assicurata dal teorema di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio ϕ = π La derivata seconda del potenziale per questa configurazione ha sempre segno positivo: U π) = k + 5 6 mω) a + mga = k + 5 6 mω) a + λ) > 0 ed implica l instabilità dell equilibrio in virtù del teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio ϕ = ϕ, con cos ϕ = λ e ϕ 0, π/) Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale presenta sempre segno negativo: U ϕ ) = k + 5 6 mω) a cos ϕ sin ϕ ) mga cos ϕ = = k + 5 6 mω) a cos ϕ sin ϕ λ cos ϕ ) = = k + 5 6 mω) a cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ ) = = k + 5 6 mω) a sin ϕ < 0, e porta a concludere che questo equilibrio, quando definito, costituisce sempre un massimo relativo proprio del pontenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet.
Equilibrio ϕ = ϕ In questa configurazione la derivata seconda del potenziale è uguale a quella calcolata nella configurazione simmetrica precedente: U ϕ ) = U ϕ ), come peraltro segue dal carattere pari della funzione potenziale: U ϕ) = Uϕ) ϕ R. Quando definito, quindi, anche questo equilibrio è stabile per il teorema di Lagrange- Dirichlet. d) Equazioni di Lagrange Grazie all ipotesi dei vincoli ideali le equazioni pure del moto si riducono all unica equazione di Lagrange: con la lagrangiana: d dt L ) L ϕ ϕ = 0 L = T + U = 7 k ma ϕ + + 5 mω) a sin ϕ + mga cos ϕ dalla quale si deducono i termini parziali del binomio di Lagrange: d L ) = 7 dt ϕ 6 ma ϕ L equazione pura del moto è quindi: L ϕ = k + 5 6 mω) a sin ϕ cos ϕ mga sin ϕ. 7 6 ma ϕ k + 5 6 mω) a sin ϕ cos ϕ + mga sin ϕ = 0. e) Equilibri di confine per ϕ [ π/4, π/3] Nell ipotesi che sia ϕ [ π/4, π/3] il sistema scleronomo diventa a vincoli unilaterali ideali e presenta esattamente due configurazioni di confine, per ϕ = π/4 e per ϕ = π/3. La caratterizzazione degli eventuali equilibri può essere compiuta tramite il teorema di lavori virtuali, ricordando la componente generalizzata delle forze attive: Q ϕ ϕ) = U ϕ) = k+ 5 6 mω) a sin ϕ cos ϕ mga sin ϕ = k+ 5 6 mω) a sin ϕcos ϕ λ). Configurazione di confine ϕ = π/4 In questa configurazione la condizione di equilibrio espressa dal teorema dei lavori virtuali si scrive: Q ϕ π/4) δϕ 0 δϕ 0
ed equivale a: Q ϕ π/4) 0. Calcolando esplicitamente la forza generalizzata a primo membro si ottiene: k + 5 6 mω) a ) ) λ 0 ossia: λ 0. La configurazione ϕ = π/4 è dunque un equilibrio di confine per il sistema se e soltanto se λ /. Configurazione di confine ϕ = π/3 Nella fattispecie la condizione di equilibrio è data da: Q ϕ π/3) δϕ 0 δϕ 0, vale a dire: e scritta esplicitamente diventa: Q ϕ π/3) 0 k + 5 6 mω) a 3 λ ) 0 λ 0. La configurazione ϕ = π/3 costituisce pertanto un equilibrio di confine se e solo se λ /. Si osservi che in ambo i casi l equilibrio sussiste per λ sufficientemente piccolo, ossia se il contributo delle forze centrifughe ed elastiche k + mω )a prevale sul peso caratteristico mg le prime forzano il sistema a ruotare in modo che P si abbassi ed M si alzi, mentre il secondo, essendo il baricentro del sistema rigido spostato verso M, tende a spingere M verso il basso e P verso l alto. 3