Cenn sulle macchne seuenzal CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI 4.) La macchna seuenzale. Una macchna seuenzale o macchna a stat fnt M e' un automatsmo deale a n ngress e m uscte defnto da: ) Un nseme fnto Q =,,..., s d stat ntern. ) Un nseme fnto I =,,..., e d valor degl ngress x, x,...,x n. ) Un nseme fnto W = w, w,..., w k d valor delle uscte z, z,..., z m. 4) Un nseme d regole detto mappa d transzone τ che specfca lo stato ' raggunto dalla macchna a partre dallo stato per effetto dell'ngresso. 5) Un nseme d regole detto mappa delle uscte U che specfca l valore w' assunto dalle uscte z,...,z m per effetto dell'ngresso applcato allo stato. La macchna seuenzale e' pertanto defnta da cnue nsem ctat. M = ( Q, I, W, τ, U) S dcono complete, o completamente specfcate, le macchne che a partre da ogn stato ammettono ualsas valore d ngresso, specfcando per ognuno d ess valor ' e w'; ncomplete n caso contraro. S dce seuenza degl ngress, delle uscte o degl stat ualsas successone ordnata d element d I,W o Q. Una macchna seuenzale vene d solto rappresentata con un grafo, detto dagramma degl stat, che puo' essere assegnato n due forme dverse, dette rspettvamente modello d Moore o modello d Mealy. Nel prmo le uscte della macchna dpendono uncamente dallo stato. Ogn stato e' rappresentato da un nodo del grafo; nod sono a loro volta collegat da segment orentat secondo uanto stablto dalla mappa d transzone. In fg. 4.. e' rportato l dagramma secondo l modello d Moore d una macchna ncompleta a tre stat. / 0 / / fgura 4.. Nel modello d Mealy le uscte dpendono nvece sa dagl stat che dagl ngress; segment orentat che unscono nod rappresentatv degl stat realzzano und sa la mappa d transzone che la mappa delle uscte. In fg. 4.. e' rportato l dagramma degl stat secondo l modello d Mealy della stessa macchna d fg. 4... 9
Cenn sulle macchne seuenzal /0 / / /0 / fgura 4.. Una terza rappresentazone molto usata e' la tavola d flusso d Huffman, coe' una rappresentazone tabellare con tante rghe uant sono gl stat e tante colonne uant sono gl ngress. La generca casella, d coordnate e contene lo stato ' e l'uscta w' ottenuta applcando l'ngresso allo stato. In fg. 4.. e' rportata la tavola d flusso della macchna d fg. 4.. e 4... ngresso Stato / 0 / / 0 / / - / - fgura 4.. Le due rappresentazon d Moore e Mealy sono perfettamente euvalent. Per passare dal dagramma degl stat secondo Moore a uello secondo Mealy e' suffcente elmnare l'uscta da ogn nodo rportandola su segment orentat entrant nel nodo stesso. Un esempo e' llustrato n fg. 4..4. /0 / / / / /- 4 / 0 4 / - / / - / - fgura 4..4 Non altrettanto semplce e' l passaggo dal dagramma secondo Mealy a uello secondo Moore essendo n uest'ultmo l'uscta legata allo stato. E' nfatt necessaro costrure un grafo con tant nod uant sono gl stat raggunt con dverso valore dell'uscta da segment orentat, realzzandolo n modo che conserv le relazon τ e U del grafo orgnaro. 94
Cenn sulle macchne seuenzal S abba ad esempo la macchna seuenzale rappresentata con l modello d Mealy d fg. 4..5. Mentre lo stato vene raggunto da due segment orentat, cascuno con uscta par a, lo stato 4 e' raggunto da due segment orentat cascuno relatvo a un dverso valore dell'uscta. Esso va und sdoppato, nella rappresentazone secondo Moore,n due stat dvers 4 e 40 come llustrato n fg. 4..6. Stato 4 / 4 /0 4 /0 /0 / - - / fgura 4..5 E' mmedato verfcare che la stessa seuenza d ngress applcata alle due macchne produce la stessa seuenza d uscte. Stato /0 4 /0 - / 40-40 /0 4 / fgura 4..6 E' da notare che dagramm d stato possono essere costrut a partre da una descrzone verbale del comportamento voluto per la macchna. S vogla ad esempo costrure l dagramma d stato della macchna avente come ngress bt d ordne j d due numer bnar A e B da sommare; la macchna possa esstere solamente n due stat 0 e che rappresentano l valore assunto dal rporto della somma al rango j-. 00\0 /0 / 0/ 0 00/ 0/ fgura 4..7 0/0 0/0 Il dagramma secondo Mealy s rcava n modo banale ed e' llustrato n fg. 4..7. mentre l dagramma secondo Moore, notevolmente pu' complesso e' rportato n fg. 4..8. 95
Cenn sulle macchne seuenzal 00 0 00 0 /0 /0 0 0 0 00 00 0 0 0 00 / / 0 0 fgura 4..8 Quale ulterore esempo s vogla determnare l dagramma d stato d una macchna M ad un ngresso e tre uscte Z, Z, Z una sola delle ual ha valore. Se Z j e' l'uscta a, al varare dell'ngresso da 0 a Z j s annulla, mentre passa a Z j+. S ntusce mmedatamente che l'uscta dpende uncamente dallo stato; e' semplce und rcavare l dagramma secondo l modello d Moore, come llustrato n fg. 4..9 (a), mentre n fg. 4..9 (b) e' rportato l dagramma degl stat della stessa macchna secondo Mealy. 0 /00 /00 0 /00 0 (a) 0/00 /00 0/00 /00 /00 0/00 (b) fgura 4..9 96
Cenn sulle macchne seuenzal 4.) Alcune defnzon relatve alle macchne seuenzal. ) Uno stato j d una macchna M s dce stable se ogn ngresso che porta a j lasca la macchna n j. In fg. 4.. (a) e' llustrato un esempo d stato stable. ) Uno stato j d una macchna M s dce nstable se esste almeno un ngresso che porta a j e successvamente fa evolvere la macchna verso uno stato k dverso da j. Un esempo e' rportato n fg. 4.. (b) j j (a) fgura 4.. (b) ) Una macchna seuenzale e' detta asncrona se ogn suo stato e' stable, sncrona se esste almeno uno stato nstable. Ne derva che una macchna asncrona puo' cambare d stato solo n conseguenza d una varazone degl ngress; n defntva una seuenza d ngress j, j, k, k, k, m, m ha lo stesso effetto della seuenza j, k, m e produce la stessa seuenza d'uscta. 4) Una seuenza d ngresso,,..., p s dce applcable alla macchna M nello stato, se per ogn j su j ( < j < p-) esste lo stato j+ e se e' defnta l'uscta fnale w( p, p ). 5) Una macchna seuenzale M' s dce euvalente a una macchna seuenzale M se tutte le seuenze d ngresso σ applcabl ad uno stato d M sono applcabl ad uno stato ' d M' e producono la stessa uscta fnale w' = w, ualsas sa σ. In altre parole ogn seuenza d ngresso produce n M' una seuenza d uscte concdente con la σ w d M almeno n tutt valor specfcat d uest'ultma.s not che, secondo uanto appena defnto, l'euvalenza tra due macchne seuenzal non gode della propreta' d smmetra. Infatt, se una macchna M' a partre dallo stato generco ' sotto la seuenza,..., n produce le uscte w, w, -,..., w n e la macchna M sotto la stessa seuenza produce a partre da la seuenza w, w, w,..., w n allora la macchna M e' euvalente a M', mentre non e' vero l contraro. 0/ / /0 0/ 0/ / ' 0/ ' /0 fgura 4.. In fg. 4.. e' rportata una macchna M' euvalente a una macchna M. Infatt n M' le seuenze d uscta ottenbl a partre dagl stat ' e ' sono ugual a uelle ottenbl applcando le stesse seuenze d ngresso alla coppa d stat - e d M rspettvamente. 97
Cenn sulle macchne seuenzal 6) S dce macchna mnma euvalente a una macchna M uella tra le macchne M' con l mnmo numero d stat. Il procedmento d rcerca della macchna mnma prende l nome d mnmzzazone degl stat d M. 4.) Mnmzzazone degl stat d una macchna seuenzale. E' bene notare che una macchna seuenzale e' caratterzzata non tanto dalla forma del suo dagramma d stato o dal numero degl stat, uanto dalla corrspondenza tra l'nseme delle seuenze d ngresso e l'nseme delle seuenze d uscta. S supponga ora che esstano due stat j e k tal che: ) Qualsas seuenza d ngresso σ =,,..., p applcable a j sa anche applcable a k. ) L'uscta fnale w( pk, p ) sa sempre uguale a w( pj, p ), ualunue sa σ, avendo ndcato con pj lo stato fnale raggunto a partre da j per effetto d σ. Se le condzon enuncate sono realzzate, allora la macchna M, una volta gunta nello stato j, generera' per ogn seuenza d ngresso una seuenza d uscta cu element, se specfcat, concdono con uell generat da σ a partre da k. S dce allora che l'evoluzone d M a partre da k e' non n contrasto con l'evoluzone a partre da j. S tenga ora presente che per le macchne complete ogn seuenza e' applcable e genera seuenze d'uscta completamente specfcate. Per ueste macchne und, se le condzon e sussstono per k n relazone a j, esse devono sussstere anche per j ne confront d k. Dal punto d vsta delle uscte perco' l' evoluzone d M a partre da j e k sono ndstngubl e gl stat j e k s dcono euvalent. ( j = k ) E' possble allora consderare j e k un unco stato e, fusone de due stat orgnal, se s fa n modo che tutt gl ngress che portavano M n j e/o k la portno ora nel nuovo stato e. In pratca co' s puo' fare cancellando nella tavola d flusso la rga k e sosttuendo ovunue j a k. Il dscorso vale ovvamente per ualunue numero d stat. S puo' dmostrare che l procedmento d fusone degl stat e' unvoco e porta ad una partzone degl stat stess n class d stat euvalent. Per le macchne ncomplete l'esstenza d condzon non specfcate n ualche seuenza d uscta fa s' che le condzon e possano essere valde per j ne confront d k, ma non vceversa. Possono nfatt esstere seuenze d ngresso applcabl a k ma non a j. S parla allora d stat compatbl ( j σ k ) e non d stat euvalent. Tuttava, anche se l'evoluzone d M a partre da j e' dversa da uella che parte da k, tal stat possono ancora essere fus allo stesso modo llustrato n precedenza, assegnando alle uscte non specfcate della σ w ( j ) valor specfcat della σ w ( k ). S not nfne che se per una macchna j = k e j = e allora k = e e tre stat j, k, e possono comunue essere fus n un unco stato. 98
Cenn sulle macchne seuenzal Se vceversa j σ k e j σ e allora non e' detto che sa: k σ e Se k non e' compatble con e tre stat non possono essere fus n un unco stato, ma j va fuso con k e/o e. La mnmzzazone delle macchne ncomplete non porta und ad un'unca soluzone, ma da' d solto la possblta' d scelta tra un certo numero d rsultat dvers. 4.4) Mnmzzazone degl stat con l metodo d Gnsburg. Il procedmento d mnmzzazone degl stat proposto da Gnsburg e' uno de pu' semplc tra tant propost allo scopo e s applca alla tavola d flusso della macchna da mnmzzare. E' un procedmento esaustvo e fornsce tutte e sole le coppe d stat compatbl (o eventualmente euvalent) della macchna M. Prma d applcare l metodo e' comunue convenente elmnare dalla tavola d flusso gl stat dopp. Sono cos' defnt uegl stat che hanno ugual valore d prossmo stato e d uscta n corrspondenza a cascun ngresso. Se esste und uno stato ' doppo d, esso puo' venr elmnato dalla tavola d flusso cancellando la rga ' e sosttuendo ovunue ' con. Un esempo d elmnazone d uno stato doppo e' rportato n fg. 4.4.. stato stato / /0 / /0 /0 4/ /0 / / /0 / /0 4 / /0 fgura 4.4. Una volta che gl stat dopp sano stat elmnat nza la vera e propra rcerca degl stat compatbl (o euvalent), che vengono ndvduat a coppe per esclusone d uelle formate da stat non compatbl. S nza nfatt escludendo le coppe m, p che hanno uscte dverse per almeno un ngresso. Infatt le coppe d stat euvalent, se esstono, saranno un sottonseme delle coppe h, m per cu s ha: w( h,) = w( m,) ualunue sa. Le coppe d stat per le ual vale la relazone appena scrtta vengono dette compatbl rspetto all'uscta ( h α m ). Indvduate tal coppe s costrusce una tabella con tante rghe uante sono le coppe compatbl rspetto all'uscta e tante colonne uant sono gl ngress. In ogn casella vengono 99
Cenn sulle macchne seuenzal rportate le coppe d stat verso cu evolve M per effetto del rspettvo ngresso a partre dalla coppa d stat che dentfca la rga. S esamna successvamente tale tabella. Se n una casella d coordnate generche j, k, s rscontra la presenza d una coppa d stat non compatble rspetto all'uscta, allora la coppa j, k non e' formata da stat euvalent poche' per lo stesso ngresso ess evolvono verso stat con uscta dversa. la rga j, k va allora cancellata dalla tabella asseme a tutte le coppe l, m che evolvono verso j, k. S contnua n tal modo fnche' non e' pu' possble cancellare alcuna coppa. A uesto punto le coppe che rmangono sono formate da stat compatbl (euvalent). Infatt ognuna d tal coppe, evolvendo verso coppe d stat a loro volta compatbl rspetto all'uscta, realzza seuenze d uscta compatbl per ualsas seuenza d ngress applcata. Quale ultmo passo s cerca d mettere n evdenza relazon d mutua compatblta' tra le coppe, formando grupp d n.(n-)/ coppe da un nseme d n stat, con n massmo, n modo che n cascuno d tal grupp ogn stato sa legato n coppa con rmanent n-. Co' fatto s possono dstrbure gl stat d M n s sottonsem S, S,...,S s con s mnmo, n modo che ) Ogn S contenga solo stat compatbl. ) Ogn stato j d M sa contenuto n almeno un sottonseme S. Se M e' una macchna completa j comparra' n uno solo degl S. ) Per ogn ngresso e ogn sottonseme S j essta un S k tale che l'ngresso facca evolvere tutt gl stat d S j n stat d S k. I sottonsem S defnscono una partzone sull'nseme degl stat d M e cascuno d ess puo' essere sosttuto da un unco stato, gungendo n tal modo alla macchna mnma M'. Nel seguto sono rportat alcun esemp d mnmzzazone del numero degl stat. ESEMPIO Sa assegnata la seguente macchna seuenzale: Stato 4/00 4/ 4/ 5/0 4/0 /0 4/00 5/00 6/00 4 5/0 6/0 /0 5 6/00 6/ 6/ 6 /0 6/0 /0 La macchna e' completa e non esstono stat dopp. Il dagramma d stato d tale macchna e' rportato n fg. 4.4.. Le coppe d stat α-compatbl, coe' compatbl rspetto all'uscta, sono le coppe,5,4,6 e 4,6. La tabella d evoluzone delle coppe e' la seguente: 00
Cenn sulle macchne seuenzal Stato,5 4,6 4,6 4,6,4 5,5 4,6,,6 5, 4,6, 4,6 5, 6,6, Nessuna rga della tabella va cancellata n uanto cascuna coppa per ualsas ngresso evolve verso una coppa a sua volta a-compatble. /0 /0 / / /0 /00 /0 /0 /0 /00 /0 /00 / /00 / 4 5 6 /0 /0 /00 fgura 4.4. Tutte le coppe della tabella sono und coppe d stat euvalent. Esste peraltro una relazone d mutua compatblta' tra le coppe:,4,6 4,6 e und tre stat,4,6 possono essere fus n un unco stato. Nell'esempo consderato und gl stat della macchna M d partenza possono essere dstrbut ne tre sottonsem: S = {,5} S = {,4,6} S = {} Fondendo ora gl stat d cascun sottonseme n un unco stato, s ottene la macchna mnma M', la cu tavola d flusso e': Stat euvalent Stat d M',5 ' '/00 '/ '/,4,6 ' '/0 '/0 '/0 ' '/00 '/00 '/00 0
Cenn sulle macchne seuenzal Il dagramma degl stat d M' e' rportato n fg. 4.4.. / /00 ' ' / /0 /0 /0 /00 /00 /00 ' fgura 4.4. ESEMPIO Mnmzzare gl stat della macchna completa, la cu tavola d flusso e': Stato 4 /4 4/ 6/ 6/4 6/ 4/ / 7/4 / 6/ 4/4 8/ 4 6/ 4/ 5/ /4 5 /4 4/ 6/ 6/4 6 / 5/ 6/ / 7 7/ 6/ /4 8/ 8 / 8/ 4/4 6/ Lo stato 5 e' doppo dello stato e pertanto puo' venr elmnato. Le coppe d stat α- compatbl sono:,4,7,8 7,8 La tabella d evoluzone delle coppe d stat e' rportata n fg. 4.4.4. Coppe d stat 4,4 6,6 4,4,,7,7,7 6,6 4, 8,8,8, 6,8 4,4 8,6 7,8 7, 6,8,4 8,6 fgura 4.4.4 0
Dall'esame d tale tabella s rcava che: Cenn sulle macchne seuenzal a) La coppa d stat,8 evolve verso le coppe non α-compatbl, e 6,8 e va pertanto elmnata. b) La coppa 7,8 evolve verso le coppe non α-compatbl 7, e 6,8 e und va anch'essa elmnata. Rmangono allora le coppe d stat euvalent,4 e,7. La partzone eseguble sull'nseme degl stat della macchna M d partenza e' allora: La macchna euvalente mnma M' e' : {} {,4} {,7} {6} {8} Stat d M Stat d M' 4 ' '/4 '/ 4'/ 4'/4,4 ' 4'/ '/ '/ '/4,7 ' '/ 4'/ '/4 5'/ 6 4' '/ '/ 4'/ '/ 8 5' '/ 5'/ '/4 4'/ ESEMPIO S mnmzz la seguente macchna ncompleta. Stat /- / / / /0 / Non v e' alcun stato doppo, mentre le coppe α-compatbl sono la, e la,. S ha: Coppe d stat,,,,,, Ambedue le coppe d tabella sono coppe d stat compatbl. L'unco modo per avere una macchna mnma M' a due stat e' uello d formare sottonsem non dsgunt: e la macchna mnma e': {,} {,} 0
Cenn sulle macchne seuenzal Stat d M Stat d M', ' '/ '/, ' '/0 '/ S not che, mentre la macchna d partenza e' una macchna ncompleta, la macchna mnma M' rsulta completamente specfcata. ESEMPIO 4 S vogla mnmzzare la seguente macchna seuenzale: Stat 4 -/- 5/0 4/ / /- / 4/- /0 6/ 5/ / /0 4 -/- 6/0 -/- 6/ 5 5/ /0 -/- / 6 5/ -/- 4/ -/- Non v e' alcun stato doppo, mentre le coppe compatbl rspetto all'uscta s possono ndvduare n:,4,5,6,,6,6 4,5 4,6 5,6 La tabella d evoluzone delle coppe d stat e' rportata n fg. 4.4.5. Coppe d stat 4,4 -,- 5,6 4,-,6,5 -,5 5, 4,-,,6 -,5 5,- 4,4,-,,6,5 4,,,6,5,- 4,4,-,6 6,5 5,-,4,- 4,5 -,5 6, -/- 6, 4,6 -,5 6,- -,4 6,- 5,6 5,5,- -,4,- fgura 4.4.5 La coppa, va elmnata n uanto evolve verso le coppe,5 e,, formate da stat non compatbl rspetto all'uscta. La coppa,6 evolve verso la coppa,5 formata da stat non compatbl e va und anch'essa elmnata. 04
Cenn sulle macchne seuenzal Tra le coppe:,4,5,6 4,5 4,6 5,6 puo' essere messa n luce una relazone d mutua compatblta'. Gl stat,4,5,6 possono pertanto essere fus n un unco stato. La macchna mnma che s rcava e' und una macchna a tre stat con la seguente tavola d flusso: Stat d M Stat d M' 4,4,5,6 ' '/ '/0 '/ '/ ' '/- '/ '/- '/0,6 ' '/ '/ '/ '/0 S not che n uesto caso la macchna mnma che s rcava e' ancora una macchna ncompleta. 05