LICEO DELLA COMUNICAZIONE G. TONIOLO BOLZANO APPUNTI DI FISICA DEL VOLO un approccio didattico alla fluidodinamica a ccurra deelllla prroff..ssssa Pattrriizziia Daniieellee Per il Progetto Lauree Scientifiche attivato nell ambito del Piano Nazionale Lauree Scientifiche dall Università di Trento per il biennio 2010-12 A.S. 2010-2011
Fonti materiale Le pagine 6, 7 11, 15 22, 26 29, 34, 36 39, 44, 50 52, 63 65, così come anche le immagini contenute nelle pagine 31 32, 42, 46 49, 55 56, 59 61, fanno parte del materiale didattico messo a disposizione dalla dott.ssa Teresa Lopez-Arias nel corso del laboratorio didattico di fisica del volo attivato nell a.s. 2010-2011 dall Università degli Studi di Trento. http://fisicavolo.wordpress.com/materiali/materiali-modulo/ parte dei contenuti presenti nella dispensa sono stati presi anche dai seguenti siti: http://dida.fauser.edu/aero/ http://utenti.quipo.it/volare/ http://simonenavazio.spaces.live.com/ Argomenti affrontati propedeuticamente: pressione densità e peso specifico legge di Pascal legge di Stevino (nella forma valida per fluidi incomprimibili) vasi comunicanti spinta di Archimede e galleggiamento barometro di Torricelli e pressione atmosferica portata corrente stazionaria equazione di continuità trinomio di Bernoulli teorema di Torricelli effetto Venturi viscosità legge di Stokes e velocità limite
ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI LA VISCOSITÀ LINEA DI FLUSSO LA PRESSIONE DEL FLUIDO LA PRESSIONE STATICA PRESSIONE DINAMICA A VELOCITA COSTANTE ESPERIMENTO CON SACCO PIENO D ARIA TUBO DI PITOT TARATURA DEL PITOT. SFORZI TANGENZIALI LO SFORZO DI TAGLIO NEI FLUIDI LO SFORZO DI TAGLIO NEI FLUIDI IL NUMERO DI MACH MOTO LAMINARE E TURBOLENTO IL NUMERO DI REYNOLDS INTERAZIONE TRA FLUIDO E SUPERFICI SOLIDE FLUIDO VISCOSO E FLUIDO NON VISCOSO FORZE CHE AGISCONO SUL CORPO SOLIDO IN MOVIMENTO NEL FLUIDO: GETTI E FLUSSI EFFETTO COANDA ENTRAINMENT NO SLIP CONDITION LO STRATO LIMITE RESISTENZA DI FORMA (O DI PRESSIONE) RESISTENZA DI ATTRITO (O DEL MEZZO) GENERAZIONE DELLA PORTANZA FORZE FONDAMENTALI CHE AGISCONO SUL PROFILO ALARE FORME DELL ALA ELEMENTI DELL ALA L ANGOLO DI ATTACCO LA PORTANZA COME INTEGRALE DELLA PRESSIONE LE VARIABILI GEOMETRICHE LE VARIABILI FISICHE QUANTO COSTA VOLARE 2
LA VISCOSITÀ La viscosità è una proprietà dei fluidi che indica la resistenza allo scorrimento. Dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura e si indica con la lettera greca eta η. La viscosità è la misura dell attrito interno dei fluidi e la sua unità di misura è il Pa s (o in unità di misura fondamentali del S.I. in kg/(m s) ) I fliuidi si possono classificare in: fluidi ideali η=0 e ρ= cost al variare di P (fluidi inviscidi e incomprimibili) superfluidi η=0 fluidi inviscidi o non viscosi η 0 fluidi viscosi η 0 Se schematizziamo il movimento di un fluido a contatto di una superficie piana come lo slittamento delle lamine fluide notiamo che in prossimità del fondo, a causa dell attrito viscoso, il fluido ha macroscopicamente velocità nulla e la velocità con cui si muovono via via le lamine superiori cresce con la distanza dal fondo. Sperimentalmente si trova che la forza necessaria per mantenere in moto uno strato di fluido ad una velocità v costante è: F Sv = η d dove S è la superficie, v è la velocità e d la distanza dal fondo. 3
LINEA DI FLUSSO Le linee di flusso sono le linee immaginarie lungo le quali il fluido scorre. Una linea di flusso rappresenta quella linea che è sempre tangente al vettore velocità di una particella elementare di fluido. LA PRESSIONE DEL FLUIDO La pressione è il rapporto tra la forza che agisce perpendicolarmente alla superficie e la superficie stessa e si misura in Pa (N/m 2 ) F P = S LA PRESSIONE STATICA Agisce uniformemente su tutta la superficie del corpo a contatto con il fluido. Il palloncino con superficie elastica è soggetto ad un aumento di pressione esterna, quindi la pressione interna è minore di quella esterna e la conseguenza è una deformazione omogenea dello F stesso. P st = S La pressione statica (o termodinamica) è definita quindi come la forza per unità di superficie prodotta dagli urti delle molecole causati dal moto di agitazione termica, nel caso in cui il moto relativo medio tra la massa di gas e la parete solida sia nullo. Quando si va in bici si sente la pressione del vento sulla faccia o quando si va in auto col finestrino aperto e si mette una mano fuori si sente la pressione del vento sulla mano. Allo stesso modo il ciclista che va a ruota di un altro o i camion incolonnati in autostrada fanno meno fatica perché sono a pressione atmosferica.
Esiste quindi una pressione che è strettamente legata al lavoro che bisogna fare contro le forze viscose per spostarsi in avanti in bicicletta o per muoversi sott acqua. Tale pressione è detta pressione dinamica. Per poter osservare la pressione dinamica P d dobbiamo utilizzare un palloncino con superficie non elastica in modo da poter osservare una deformazione non omogenea. PRESSIONE DINAMICA A VELOCITÀ COSTANTE La pressione dinamica P d è la componente dinamica della pressione di un fluido in moto. La pressione dinamica rappresenta l aumento di pressione derivante dalla energia cinetica del fluido in movimento. Questa pressione è data da Pd = 1 ρ v 2 2 dove P d è la pressione dinamica, ρ è la densità e v la velocità del fluido. Per determinare la pressione totale in un punto del fluido, questa deve essere sommata alla pressione statica. ESPERIMENTO CON SACCO PIENO D ARIA. Le pressioni interna ed esterna del sacco sono uguali alla pressione atmosferica. Se si inizia a camminare in linea retta col sacco pieno d aria in mano, nel primo istante si applica una forza che genera un'accelerazione poi si raggiunge una velocità costante e quindi ci si muove di moto rettilineo uniforme. Si può osservare nella parte anteriore del sacco in movimento a v costante una deformazione, ossia il sacco si schiaccia anteriormente mentre in coda la forma subisce un leggero rigonfiamento. Quindi la deformazione è giustificabile con una variazione di pressione : pressione maggiore anteriormente minore nella zona posteriore del sacco. Nella parte anteriore del sacco quindi la pressione statica è aumentata di una certa quantità da un altra pressione dovuta al movimento del sacco: la pressione dinamica Inoltre l aria si sposta dalla zona ad alta pressione alla zona a bassa pressione e tale movimento si percepisce come vento. Lungo una linea di flusso, potendo trascurare la differenza di quota il trinomio di Bernoulli diventa: P tot = P st + P d = 1 P + ρ v 2 2 5
Pressione di un fluido in movimento Statica (movimento aleatorio delle molecole d aria) Dinamica Totale = Statica + Dinamica si misura portando il fluido a v = 0 P tot P S P D P S 1 v 2 2 6
TUBO DI PITOT Il tubo di Pitot è uno strumento che serve per misurare la pressione totale e la pressione statica e da queste ricavare la pressione dinamica e quindi la velocità di un fluido in moto stazionario in un punto dello spazio o la velocità di un corpo in moto rispetto a un fluido. Esso è utilizzato sui velivoli o in automobilismo come sensore per determinare la velocità rispetto all aria e nelle gallerie del vento per misurare la velocità della corrente di fluido. È utilizzato anche nelle bonifiche ambientali per misurare le portate dei gas nel sottosuolo. È dotato di un foro nella parte anteriore, presa frontale, perpendicolare alle linee di flusso e che portando a zero la velocità del fluido, punto di ristagno, misura la pressione totale, e di un foro posto parallelamente alle linee di flusso, presa laterale, che invece misura la pressione statica. P P tot tot ( ) st( ) d( ) x, y, z, t = P x, y, z, t + P x, y, z, t 1 P ( ) st v ( ) ( x, y, z, t ) x, y, z, t = 2 x, y, z, t + ρ 2 da cui v = 2 ( ) P tot P st ρ x, y, z, t dove stanno ad indicare che il valore misurato si riferisce ad un determinato punto (x,y,z) dello spazio in un determinato istante di tempo t. 7
Ciò mette in luce un incongruenza, le due prese sono in due posizioni diverse quindi il punto nello spazio e l istante di tempo non sono gli stessi per i due valori di pressione misurati. Tuttavia la particolare forma aerodinamica dello strumento di misura che consente una perturbazione irrilevante del campo di moto e la scelta accurata della distanza dei fori permette di trascurare tale incongruenza. Inoltre, prima del suo utilizzo il tubo di Pitot va tarato per far sì che i valori restituiti dallo strumento siano corrispondenti alla situazione reale di esercizio. Taratura del Pitot. Si mette il tubo in una corrente di fluido di cui siano perfettamente note le proprietà del fluido (essenzialmente la densità e il numero di Reynolds) e la velocità. Si fa variare la velocità un certo numero di volte misurando ogni volta i valori di P tot e P st e calcolando quindi la P, cioè la P d. Mettendo i valori misurati in un grafico v- P si otterrà quindi una successione di punti che interpolati forniranno la cosiddetta curva di taratura la cui equazione è detta funzione di 1 2 trasferimento che si utilizzerà al posto della P = P d = ρ v per determinare i valori esatti di 2 velocità avendo cura però di usare il tubo di Pitot in una corrente di fluido simile a quella per la quale si è ottenuta la funzione di trasferimento (stesso fluido, stessa densità e stesso numero di Reynolds) e per il range di valori di velocità all interno del quale lo strumento è stato tarato. 8
SFORZI TANGENZIALI Se la forza è perpendicolare alla superficie produce una pressione. (forza normale alla superficie) Se invece è parallela alla superficie produce uno sforzo di taglio. (forza tangente alla superficie) Lo sforzo di taglio (o tangenziale) è dato dal rapporto tra la forza tangente alla superficie e la superficie stessa, la sua unità di misura è il N/m 2. LO SFORZO DI TAGLIO NEI FLUIDI Per calcolare sforzi tangenziali all'interno di un fluido si fa riferimento a due straterelli piani paralleli di fluido, uno fisso ed uno mobile. 9
F τ = // S È quindi la forza di atttrito viscoso che nei fluidi in movimento genera sulle superfici a contatto con Sv il fluido lo sforzo di taglio, quindi ricordando che la forza di attrito viscoso è F v = η e che d F // τ =, lo sforzo tangenziale τ in un fluido è pari a: S v τ = η y con v la variazione della velocità lungo la verticale. y 10
PRESSIONE SFORZO DI TAGLIO 11
GRUPPI ADIMENSIONALI In ambito scientifico, un gruppo adimensionale (o numero adimensionale o numero caratteristico o numero puro) è una quantità che descrive un determinato sistema fisico, ed è un numero senza alcuna unità fisica. Tale gruppo viene generalmente definito come prodotto o rapporto di quantità 'dimensionali' di riferimento, in modo tale che il risultato sia privo di dimensione; la scelta delle grandezze di riferimento è fondamentale, giacché una scelta arbitraria porterebbe ad un risultato puramente formale. Operando opportunamente, si ottengono numeri adimensionali aventi ordine di grandezza unitario e tali che, rapportando due numeri adimensionali qualsiasi, è possibile ottenere una misura dell'importanza relativa dei fenomeni cui i numeri fanno riferimento. Un gruppo adimensionale esprime, quindi, l importanza relativa di un fenomeno rispetto all altro. Dal valore assunto dal numero caratteristico si può dedurre quale dei due fenomeni è trascurabile rispetto all altro. Indicando genericamente con il numero caratteristico e con e due distinti fenomeni fisici, in base alla sua definizione: Analizzando la relazione appena scritta, si può affermare che: se assume un valore piccolo, il fenomeno fisico rappresentato da è meno rilevante rispetto a quello rappresentato da e tanto più piccolo è il valore di tanto più irrilevante è rispetto a.dovendo, quindi, trascurare uno dei due fenomeni fisici, per la semplificazione matematica, è logico non considerare, piuttosto che. se assume un valore grande, il fenomeno fisico rappresentato da è meno rilevante rispetto a quello rappresentato da e tanto più grande è il valore di tanto più irrilevante è rispetto a. Dovendo, quindi, trascurare uno dei due fenomeni fisici, è logico ritenere ininfluente che., piuttosto Es: densità relativa, coefficiente di attrito, numero di Avogadro, peso atomico, peso molecolare, radiante, numero di Mach, numero di Reynolds. 12
IL NUMERO DI MACH Nella sua interpretazione dinamica il numero di Mach è il rapporto tra le forze d inerzia e quelle elastiche, secondo la relazione: Esso fornisce un indice dell importanza delle forze d inerzia rispetto a quelle elastiche. Ciò vuol dire che, per valori elevati del numero di Mach, si possono trascurare le forze elastiche perché molto piccole rispetto a quelle d inerzia; il fluido si comporta da compressibile. Viceversa, per bassi valori del numero di Mach, sono le forze d inerzia ad essere trascurabili rispetto a quelle elastiche ed il fluido si comporta da incompressibile. Al numero di Mach può essere data anche un interpretazione cinematica. Se, infatti, nella formula si sostituiscono alle forze le relative espressioni, in funzione delle velocità, si ottiene: M=v/v 0 Cioè il numero di Mach esprime il rapporto tra la velocità del fluido v, o di un mobile che si muove nello stesso, e la v 0 del suono nel fluido in cui avviene il moto. Esso è molto utile in quanto permette di esprimere la velocità del fluido o del corpo in termini del numero di Mach, cioè in modo adimensionale, nonché di suddividere l intero campo di moto in: subsonico, se ; sonico, se ; supersonico, se ; ipersonico, se Il campo subsonico, nel caso dell aria, può ulteriormente essere suddiviso, in merito all effetto della compressibilità, in: subsonico incompressibile, se ; subsonico compressibile Da quanto esposto si intuisce che gli effetti della compressibilità dell aria possono essere trascurabili se matematico e fisico., oltre tale valore considerare la compressibilità è un imperativo Il numero di Mach è calcolato come il rapporto tra la velocità dell aereo rispetto al fluido e la velocità del suono nel fluido nelle stesse condizioni (True air speed, TAS) Il valore di Mach espresso dagli strumenti di bordo, fa riferimento ai dati che tali strumenti hanno a disposizione, cioè la IAS (Indicated Air Speed), che è la velocità misurata dall'anemometro a bordo, 13
a meno di correzioni successive, che è assimiliabile alla TAS solo nelle condizioni per cui la sonda di velocità è tarata. Poichè velocità del suono varia con la densità e quindi con la quota, è vero che a parità di numero di Mach la velocità vera scende all'aumentare della quota perché scende la velocità del suono (a 40000 ft è di 295 m/s rispetto a 340 m/s di quota 0), ma anche gli effetti aerodinamici risentono della stessa variazione di densità, perciò il campo aerodinamico e le forze in gioco sono costanti. Per questo motivo per i velivoli che volano alti e veloci il numero di Mach è più significativo come valore rispetto alla pura velocità. Gli aeromobili che operano prevalentemente ad alta quota utilizzano il numero di Mach (rapporto tra la velocità dell aeromobile e quella del suono alla quota a cui avviene il volo), invece della velocità relativa, come riferimento per le prestazioni dell'aeromobile e per la navigazione. Ciò perché l'anemometro è soggetto a errori eccessivi quando viene esposto all'aria non sufficientemente densa dell'atmosfera superiore. Il numero di Mach viene calcolato da un computer e visualizzato dal Machmetro (o talvolta sullo stesso quadrante dell anemometro). 14
Subsonic (350-750 MPH) = 560 1200 km/h 15
Supersonic (760-3500 MPH - Mach 1 - Mach 5) = 1200-5600 km/h 16
launches like a rocket, maneuvers in orbit like a spacecraft, and lands like a glider Hypersonic (3500-7000 MPH - Mach 5 to 10) = 5600-11200 km/h 17
1783 1892 1936 18
FORZE IN GIOCO Portanza Propulsione Resistenza Peso 19
Chi genera cosa? La propulsione? Il motore, l elica La resistenza? La viscosità dell aria Il peso? Il campo gravitazionale terrestre La portanza? 20
PRESSIONE VISCOSITA PRINCIPIO DI AZIONE-REAZIONE FORZA E RESISTENZA DELL ARIA (E DEI FLUIDI IN GENERALE) 21
CONCETTI CHIAVE DELLA DINAMICA Forze: portanza, resistenza, propulsione, peso III Principio della Dinamica 22
MOTO LAMINARE E TURBOLENTO Il moto laminare è un moto ordinato in cui i vettori velocità delle particelle sono paralleli; il moto turbolento è, invece, caratterizzato da estremo disordine in cui si verifica un persistente mescolamento delle particelle a livello macroscopico con continua variazione del vettore velocità. IL NUMERO DI REYNOLDS Il numero di Re è un gruppo adimensionale. Fino alla prima metà del XIX secolo gli studiosi di idrodinamica impostavano le loro teorie supponendo che l acqua fosse un fluido perfetto: inviscido e incomprimibile. Nel 1884 un medico e fisico francese, Poiseuille, dimostrò invece che il moto di un fluido viscoso in uno stesso condotto poteva avere due regimi: regime laminare: in cui le molecole hanno velocità crescente da zero, per lo strato aderente alle pareti del tubo, al valore massimo in corrispondenza dell asse regime vorticoso o turbolento, in cui gli strati liquidi acquistano velocità quasi uguale alla massima, a breve distanza dalle pareti e inoltre si formano all'interno del liquido vortici visibili. Nel 1883 il fisico ed ingegnere inglese Osborne Reynolds (1842-1912) fu il primo ad avviare degli studi per capire in quali condizioni si potesse passare dal regime laminare a quello turbolento attraverso una serie di esperimenti, rimasti classici nella storia dell'idrodinamica anche per la semplicità dell'attrezzatura: in un tubo di vetro si fa fluire acqua con velocità regolabile e contemporaneamente, con un dispositivo, si fa giungere in corrispondenza dell'asse del tubo un filo d'acqua colorata di cui si può visualizzarne agevolmente il percorso. 23
A basse velocità, il filetto colorato si stende rettilineamente lungo il tubo; al graduale aumento di velocità, prima si attenua la colorazione del filetto, poi cominciano a comparire nel liquido vortici visibili e a una certa velocità critica il filetto colorato scompare mescolandosi con il resto della massa liquida assumendo così un moto turbolento. Reynolds ricavò che combinando la velocità media U, con il diametro del tubo D, la densità ρ e la viscosità η in un gruppo adimensionale detto n di Reynolds ρdu Re = η si poteva descrivere la dinamica del flusso. Nella sua interpretazione dinamica il numero di Reynolds è il rapporto tra le forze d inerzia e quelle viscose, secondo la relazione: Re = F F i v Esso fornisce un indice dell importanza delle forze d inerzia rispetto a quelle viscose. Ciò vuol dire che, per valori elevati del numero di Reynolds, si possono trascurare le forze viscose perché molto piccole rispetto a quelle d inerzia; il fluido si comporta da perfetto. Viceversa, per 24
bassi valori del numero di Reynolds ( 1.000 ), sono le forze d inerzia ad essere trascurabili rispetto a quelle viscose per cui non è possibile considerare il comportamento del fluido come quello di un fluido perfetto. Tali studi portarono Reynolds a stabilire che quando il legame tra velocità media, densità, viscosità ed il raggio del tubo, raggiungeva un certo limite, il moto del fluido da laminare diventava turbolento. L importanza del numero di Reynolds è fondamentale per i seguenti motivi: determinazione della natura del flusso che lambisce un corpo, laminare piuttosto che turbolento correlazione dei risultati di test condotti su modelli di aereo in galleria del vento con quelli ottenuti facendo misurazioni sull aereo nelle normali condizioni di volo. 25
NUMERO DI REYNOLDS VARIABILI RILEVANTI IN UN FLUSSO: DENSITA VISCOSITA VELOCITA DIMENSIONI 26
IN ACQUA Re (balena)= (ρ U L /η) = = 10 3 (kg/m 3 ) 10 (km/h) 30 m / (10-3 Pa s) 10 8 Re (paramecio)= (ρ U L /η) = = 10 3 (kg/m 3 ) 10-5 (m/s) 10-4 m / (10-3 Pa s) 10-3 Anche se si muovono nello stesso mezzo, la loro situazione fluidodinamica è completamente diversa 27
Per la balena, la viscosità dell acqua è trascurabile Per il paramecio è invece molto importante! I regimi ad alto numero di Reynolds ( > 10 5 ) sono dominati dagli effetti inerziali, e la viscosità è trascurabile fuori dallo strato limite. In generale questi regimi sono turbolenti I regimi a basso numero di Reynolds ( < 1) sono dominati dagli effetti viscosi, e quindi la viscosità non è trascurabile. In generale questi regimi sono laminari 28
Re (Airbus)= (ρ U L /μ) = = 1 (kg/m 3 ) 900 (km/h) 80 m / (2 X 10-5 Pa s) ~ 10 8 IN ARIA Re (ape)= (ρ U L /μ) = = 1 (kg/m 3 ) 1 (m/s) 10-2 m / (2 X 10-5 Pa s)~ 500 29
INTERAZIONE TRA FLUIDO E SUPERFICI SOLIDE FLUIDO VISCOSO E FLUIDO NON VISCOSO FLUIDO VISCOSO PERDITE DI ENERGIA FLUIDO NON VISCOSO NON C È RESISTENZA Per un aereo posso considerare l aria non viscosa (Re grande 10 5 10 6 ) tranne che in prossimità dell ala in uno spessore (strato limite) molto sottile rispetto allo spessore dell ala in cui l aria ha comportamento viscoso (Re 10). FORZE CHE AGISCONO SUL CORPO SOLIDO IN MOVIMENTO NEL FLUIDO: forze perpendicolari al corpo PRESSIONI (STATICA E DINAMICA) forze parallele al corpo SFORZI DI TAGLIO O TANGENZIALI La causa principale delle forze tangenziali che agiscono sul corpo immerso nel fluido è l attrito viscoso. 30
GETTI E FLUSSI. GETTO il corpo immerso nel fluido è di dimensioni maggiori della sorgente del fluido (solo una parte circoscritta del fluido è in movimento) e la velocità del getto di fluido è maggiore della velocità del fluido circostante (fluido esterno in quiete). FLUSSO ESTESO il corpo immerso nel fluido è di dimensioni minori rispetto a quelle della sorgente del fluido e tutto il fluido è in movimento. EFFETTO COANDA L effetto COANDA descrive l interazione tra getti di fluido e superfici solide. Quando un fluido viscoso scorre su un corpo solido curvo, per effetto della viscosità le linee di flusso curvano seguendo il profilo del corpo, affinché ciò accada occorre che esista una forza che le fa curvare e che agisce sul fluido, allora per il terzo principio della dinamica (principio di azione e reazione) esiste una forza uguale ed opposta che agisce sul corpo. NB: l effetto Coanda non spiega perché vola un aeroplano, in quanto un aeroplano NON VOLA IN UN GETTO D ARIA MA IN UN FLUSSO ESTESO e quindi la portanza non è una conseguenza dell effetto Coanda. Anche se sulle ali dell aereo viene in alcuni casi sfruttato l effetto Coanda come ad esempio nell utilizzo degli ipersostentatori di bordo d'attacco (slats) che modificano il bordo d attacco dell ala per incrementare la portanza tipicamente alle basse velocità, nelle fasi decollo e di atterraggio. L aria che passa attraverso lo slat estratto investe il bordo d attacco dell ala comportandosi come un getto e per effetto Coanda permette al fluido di aderire al dorso dell ala aumentando la portanza. 1: slat esteso; 2: slat retratto; 3: superficie alare; 4: meccanismo di estrazione 31
ENTRAINMENT L entrainment è il trascinamento di una parte del fluido circostante da parte del getto nell effetto Coanda. Esso spiega il perché non è possibile giustificare con Bernoulli gli esperimenti nei getti. Per via del trascinamento si creano vortici e condizioni di instabilità e ciò che si verifica per una pallina di un certo diametro non si verifica per una pallina di diametro minore, se valesse Bernoulli esso dovrebbe valere sempre. Teoria sbagliata: il pallone resta fermo perché c è una differenza di velocità tra sopra e sotto e quindi una differenza di pressione (applicazione errata di Bernoulli) v> sotto P< sotto v< sopra P > sopra non si può applicare Bernoulli perché le linee di flusso sopra risentono dell entrainment e quindi non partendo dalla stessa origine non hanno la stessa costante energetica. 32
Teoria esatta: per la viscosità il fluido aderisce alle pareti e curva e per il II principio della dinamica quindi esiste una forza F=ma che le fa curvare, per il III principio della dinamica esiste una forza uguale ed opposta, e quindi per tale motivo il palloncino resta in equilibrio. La forza è rilevabile se si aggancia un dinamometro al palloncino. Infatti se uso una pallina di piccole dimensioni questa dopo un po scappa via dal getto Nell esperimento con due palline sospese a 2 fili in mezzo alle quali si va passare un getto d aria che sui libri è erroneamente spiegato con Bernoulli, se hanno un certo diametro le palline si avvicinano se sono molto piccole tendono ad allontanarsi invece che avvicinarsi, se fosse vero Bernoulli allora dovrebbero sempre avvicinarsi (v> all interno e P> all esterno) ma a causa dell entrainment ciò non si verifica. Il fenomeno si spiega invece usando le leggi della dinamica, e quindi l effetto Coanda, come esposto sopra. 33
Ma allora Bernoulli.. va bene o no? Sì, se le ipotesi di lavoro del teorema valgono No, se si usa sempre e dappertutto come spiegazione semplice di qualunque fenomeno fluidodinamico elementare Fluido inviscido Fluido incomprimibile Flusso stazionario Flusso irrotazionale THE PHYSICS TEACHER Vol. 41, January 2003 H. Cohen, D. Horvath http://media.efluids.com/galleries/all?medium=640 http://media.efluids.com/galleries/all?medium=658 34
NO SLIP CONDITION La no slip condition (condizione di non slittamento) è valida per le interazioni fluido-fluido, fluidosolido e gas-solido. Ed è la condizione per la quale, per effetto della viscosità, il fluido piega sulla superficie generando il cosiddetto strato limite. Dal punto di vista macroscopico le molecole di fluido sono in continuo movimento aleatorio, mentre se considero una particella di fluido, ossia un insieme di molecole per le quali è possibile definire una velocità media, trovo che per effetto della viscosità, a contatto con la superficie le particelle di fluido hanno una velocità media nulla rispetto alla superficie. Macroscopicamente le particelle di fluido sembrano non muoversi mentre microscopicamente le molecole si muovono ma la componente della velocità parallela alla superficie è mediamente nulla. Infatti se si va a misurare in corrispondenza della superficie il valore di velocità con un anemometro a filo caldo si registra un valore nullo. Esperimenti sulla no slip condition: esperimento con cilindro impolverato e getto d aria esperimento con cilindro in pvc, glicerina e filetto d inchiostro 35
ESPERIMENTO N.3: Dimostrazione della condizione di no slittamento (no-slip condition) Materiale: - Polvere da gesso - Cilindro (lattina d olio ricoperta di lamina adesiva) - Ventola Scopo: Dimostrazione del fatto che le particelle di fluido (non le molecole di cui il fluido è composto!) nello strato a contatto con la superficie solida sulla quale il fluido scorre sono ferme. Ovvero: quando un fluido scorre ad una certa velocità su una superficie solida, la velocità relativa tra la superficie e lo strato di fluido a contatto con essa è nulla. Esperimento: Si butta un po di polvere da gesso su una superficie lucida. Si può appoggiare la mano e lasciare l impronta. Si mette il cilindro sotto la ventola e si osserva che la polvere non va via completamente anche se il flusso d aria è di 60-70 km/h: l impronta della mano rimane. Difatti, le macchine non si puliscono mentre si viaggia, non è nemmeno sufficiente spruzzarle con acqua (anche qui vale la no-slip condition ): bisogna strofinarle con un panno per eliminare tutte le tracce di polvere. 3 36
ESPERIMENTO N.4: Dimostrazione della condizione di no slittamento (no-slip condition) e della formazione dello strato limite Materiale: - Cilindro di PVC (in alternativa un bicchiere capovolto) - Glicerina (in alternativa miele) - Inchiostro nero o blu - Siringa intradermica - Contenitore di vetro piatto (in alternativa un piatto) Scopo: Ulteriore dimostrazione della condizione di non slittamento (vedi Esperimento 3). In questo caso con un liquido vediamo che la parte di fluido a contatto con la superficie solida viene da questa trascinata alla stessa velocità (quindi la loro velocità relativa è nulla). Inoltre, visualizziamo la formazione dello strato limite: uno strato di spessore dipendente dal tempo e nel quale la velocità passa da zero (al confine con la superficie solida) fino al valore della corrente esterna. Vediamo anche che gli strati di fluido lontani dalla superficie solida che si muove vengono gradualmente coinvolti nel moto da questa generato tramite gli sforzi di taglio (e quindi per mezzo della viscosità del fluido) che agiscono tangenzialmente alla superficie ma si propagano perpendicolarmente alla direzione del flusso. Esperimento: Riempire il piattino di vetro con glicerina, posizionare il cilindro nel centro e disegnare con la siringa una sottile riga di inchiostro che colleghi la superficie del cilindro con il bordo del vetro. Girare lentamente il cilindro e osservare la condizione di no slittamento e la formazione dello strato limite. 4 37
Perché un fluido aderisce ad una superficie solida? Per la sua viscosità Come si trasmette questa condizione al resto del fluido? Tramite gli sforzi di taglio Condizione di non slittamento (fluido fermo nel punto di contatto con la superficie solida) strato limite 38
La viscosità del fluido è la prima responsabile di cosa avviene realmente tra l aria e l ala 1) La viscosità serve per generare un aggancio dell ala alla superficie (condizione di non slittamento) 2) Ma (per fortuna!) conta in uno strato molto sottile (strato limite) Fuori dallo strato limite la viscosità (per il caso dell aeroplano) è trascurabile e possiamo ragionare in termini di pressioni: difatti, la portanza (forza netta verso l alto che sostiene l aeroplano) è l integrale della pressione su tutto il profilo alare (http://www.diam.unige.it/~irro/lecture.html) 39
LO STRATO LIMITE Un flusso che lambisce un veicolo vi aderisce, tant è vero che se si misurasse la velocità dell aria a diretto contatto con la sua superficie si troverebbe nulla; si è mai fatto caso che la polvere non viene soffiata via dalla carrozzeria della macchina per quanto veloci si cerchi di andare? In realtà le molecole dell aria non aderiscono fisicamente; esse si muovono in maniera caotica, ma la componente della loro velocità parallelamente alla superficie è mediamente nulla. Tale velocità aumenta rapidamente allontanandoci dalla superficie fino a raggiungere la velocità della corrente indisturbata U. Dovrà quindi esistere uno strato sottile in cui l aria è rallentata per la presenza della vettura. Tale strato è quello che viene chiamato strato limite. Parlando delle quantità di fluido aderenti alle superfici si fa riferimento alle particelle di fluido cioè all insieme delle molecole per le quali è possibile stabilire una velocità media. La particela di fluido a contatto con la superficie è mediamente ferma mentre la molecola di fluido è in continuo movimento. Lo spessore dello strato limite cresce con la distanza dall anteriore dell ala e pur avendo solo dimensioni di pochi millimetri esso governa il modo in cui l aria fluisce attorno all ala. Lo strato limite è quindi all origine della generazione delle forze di portanza e di resistenza. Dal momento che il tipo di strato limite e il suo spessore influenzano la resistenza di attrito superficiale e che la separazione di flusso influenza la resistenza di forma, è importante conoscere quali fattori controllano la crescita e la forma dello strato limite. Abbiamo detto che il comportamento dello strato limite è influenzato dalla variazione di pressione nella direzione del flusso; altri fattori importanti sono la velocità, la densità e viscosità dell aria; inoltre, data una determinata forma geometrica, la dimensione del veicolo è anch essa importante. Il numero di Reynolds è un coefficiente che permette di legare tra loro tutti questi fattori: ρlu Re = η dove ρ è la densità dell aria (espressa in kg/m 3 ), U è la velocità del flusso (espressa in m/s), L è una lunghezza caratteristica, tipicamente la corda nel caso di un profilo alare, oppure la lunghezza nel caso del corpo vettura (espressa in m) ed infine η è il coefficiente di viscosità (espressa in Pa s). 40
Lo strato limite ha sempre una transizione naturale da lineare a turbolento. La forma del gradiente di velocità nello strato limite varia a seconda del tipo di moto. Nello strato limite laminare il gradiente di velocità ha una forma più ripida cioè i valori di velocità crescono molto gradualmente lungo la verticale raggiungendo il valore di velocità indisturbata U più tardi rispetto allo strato limite turbolento quindi rendendo più rilevante l azione delle forze viscose ( a sfavore del moto), ossia i valori di velocità si tengono più bassi a causa della viscosità per uno spessore maggiore. Nello strato limite turbolento invece il gradiente di velocità ha una forma più spanciata, cioè il valore di velocità indisturbata U si raggiunge molto rapidamente, ciò fa sì che all interno dello strato limite turbolento l azione delle forze viscose risulti più attenuata (ridotta resistenza al moto). Se il valore di U si raggiunge prima significa che diminuisce prima l attrito viscoso allora per diminuire la resistenza di attrito occorre creare turbolenza nello strato limite cioè energizzare il fluido ossia introdurre delle rugosità che però devono essere delle dimensioni dello strato limite. 41
Le figure sottostanti sono esempi di strato limite laminare: il fluido si stacca prima e crea dei vortici in cui il fluido tende a tornare indietro e quindi il moto non è favorito. Es: palline da ping pong. Nella figura seguente è riportato invece un esempio di strato limite turbolento: viene introdotta una rugosità dello spessore dello strato limite (un anello) per cui il fluido viene energizzato e si stacca più indietro favorendo il moto del corpo 42
Il fluido si stacca dopo perché l anello che è delle dimensioni dello strato limite (in spessore) energizza il fluido che procede più avanti e si stacca dopo, minimizzando le turbolenze e i vortici posteriori che si oppongono al moto. Es: palline da golf, pelle di squalo per nuotatori, palline da baseball. 43
Lo strato limite sull ala di un aeroplano subisce, in modo naturale, una transizione dal regime laminare a quello turbolento La turbolenza all interno dello strato limite aiuta a mantenerlo incollato alla superficie dell ala ritardando la separazione(stallo) 44
Perché il numero di Reynolds è fondamentale per gli studi aerodinamici condotti nelle gallerie del vento. Si è già analizzato il meccanismo che lega il numero di Reynolds alla densità, viscosità e velocità, resta ora da capire perché esso debba anche essere correlato alla dimensione del corpo. Quando si parla di test in galleria del vento appare logico pensare che, perché i risultati siano correlabili con quelli reali, il modello debba essere una copia geometrica in scala ridotta della macchina reale; un po meno intuitivo è capire perché il numero di Reynolds debba essere uguale per il modello e per la macchina in scala 1:1, ovvero perché anche il flusso debba risultare scalato. Ricordando la definizione del numero di Reynolds, appare evidente che perché ciò avvenga occorre che: ρ11: U11: L11: ρmod U mod Lmod Re = = η η 11: Dal momento che la totalità delle gallerie aerodinamiche utilizzate per lo sviluppo delle auto da corsa, dette comunemente gallerie del vento, utilizzano l aria come fluido per i propri test, si capisce come tale similitudine venga soddisfatta qualora il prodotto della velocità, per la dimensione caratteristica della vettura, risulti costante. Tradotto in soldoni vuol dire che se si utilizzasse un modello al 50% della vettura reale (scala 1:2) e si volessero misurare i carichi aerodinamici che si hanno sulla vettura in pista a velocità di 250 km/h, allora la velocità di prova durante i test dovrebbe essere doppia e quindi 500 km/h! Un possibile modo per ridurre le velocità necessarie ad avere gli stessi numeri di Re, potrebbe essere quello di pressurizzare la galleria del vento per aumentare la densità, ma talune gallerie diventerebbero degli enormi, costosi e pericolosi tubi pressurizzati. Un altra alternativa potrebbe essere quella di alterare la viscosità mediante un raffreddamento criogenico della galleria, ma questo sarebbe un sistema ancora più costoso. Per comprendere un po meglio quanto affermato, si consideri un modello di un veicolo accanto a quello reale. Dal momento che la transizione del flusso da laminare a turbolento è legata alla distanza dalla zona frontale, è chiaro che a parità di velocità, ci sarà una percentuale maggiore di flusso laminare sul modello rispetto a quello reale. Ancora più importante, è notare come lo strato limite sia ancora laminare quando si raggiunge la zona di gradiente di pressione sfavorevole, per cui sul modello tenderà a separarsi prima di quanto accada sul veicolo reale, dove invece lo strato limite si è già trasformato in turbolento. Come si può allora correlare un test condotto a numeri di Reynolds più bassi con le performance di un veicolo reale? La risposta, in linea generale, è che se il flusso è attaccato nel caso di Re bassi, allora lo sarà anche nel caso di numeri di Re più alti e l effetto sull aerodinamica della vettura sarà comunque basso (resistenza principalmente dovuta all attrito nello strato limite). Viceversa se il flusso è separato a causa della complessità delle forme geometriche della vettura (presenza di ruote, ali e quant altro) già a bassi numeri di Re, allora a causa della possibile presenza di zone di riattacco, potranno verificarsi notevoli discrepanze qualora si facesse il confronto con situazioni a più elevati numeri di Reynolds. mod 45
RESISTENZA DI FORMA (O DI PRESSIONE) La resistenza di forma (o di pressione perché dovuta a pressioni avverse che si generano in coda) si minimizza attraverso l uso di profili aerodinamici ed energizzando il fluido ossia introducendo rugosità dello spessore dello strato limite che fanno sì che il fluido si stacchi più avanti. 46
RESISTENZA DI ATTRITO (O DEL MEZZO) La resistenza di attrito (o del mezzo) si minimizza energizzando il fluido ossia introducendo rugosità dello spessore dello strato limite che fanno sì che lo strato limite sia turbolento quindi raggiunga più velocemente la velocità del flusso indisturbato e quindi risenta meno della resistenza dovuta all attrito viscoso: es: la pelle di squalo per i nuotatori fa sì che lo strato limite sia turbolento e quindi minimizza l attrito del mezzo; la pallina da golf bucherellata ha una superficie rugosa dello spessore dell ordine dello strato limite e ha meno resistenza di attrito e quindi arriva più lontano al contrario di una pallina da ping pong che essendo liscia si ferma prima, infatti si gioca entro piccole distanze nel ping pong a differenza del golf. 47
GENERAZIONE DELLA PORTANZA La no slip condition è la condizione fondamentale per generare la portanza, infatti, finché lo strato limite rimane attaccato all ala si ha la portanza L, appena l aria si stacca l aereo va in stallo. La figura sopra mostra l andamento delle linee di flusso intorno all ala all aumentare dell angolo di attacco, nel terzo caso si ha lo stallo. Occorre mettere in evidenza come l aria avverte la presenza dell ala ancor prima di toccarla, cioè già a monte del bordo d attacco l ala comincia a cambiare direzione, ciò può avvenire essenzialmente perché il numero di Mach che caratterizza il volo è minore di 1 cioè si è in regime subsonico quindi l aria ha il tempo di accorgersi del corpo in arrivo, cosa che non accade in regime supersonico. Perché si crea la portanza L: l aria, in quanto esiste l attrito viscoso, per la condizione di non slittamento (no slip condition), quando incontra l ala che ha un certo angolo d attacco rispetto alla direzione del vento, aderisce all ala e sale (upwash). Si genera un gradiente trasverso di pressione che va come v 2 /r dove r è il raggio di curvatura, cioè si ha una pressione minore in superficie che man mano cresce allontanandosi da essa. Gli strati sopra quelli che aderiscono alla superficie dell ala sentono sotto una pressione minore e quindi si piegano verso di essa. 48
L aria quindi piega, cioè cambia direzione, allora accelera, cioè il vettore velocità cambia in direzione e verso e quindi esiste un accelerazione centripeta e quindi esiste una forza (v varia esiste a esiste F=ma (II principio della dinamica), tale forza piega l aria verso l ala e quindi per il III principio della dinamica esiste una forza uguale e contraria che agisce dal basso verso l alto: la portanza L, che è data dalla somma vettoriale delle forze elementari (F i =P sti S i ) esercitate dalla corrente del fluido su ogni punto del profilo alare. La risultante L è verticale e diretta perpendicolarmente al moto. Da notare che vengono sommati anche i vettori delle forze elementari che agiscono sul ventre dell ala, cioè anche ciò che succede sotto l ala ha il suo ruolo nella determinazione della portanza. L aria accelera perché sotto lo strato limite la frena allora l aria piega, curva e quindi accelera, la viscosità serve solo quel poco per far frenare l aria sotto e quindi curvare e quindi accelerare l aria sopra. Dal bordo di attacco al primo quarto dell ala e oltre l aria trova una pressione minore lungo la direzione del flusso perché nel punto di ristagno la pressione è massima (P tot ) (nell impatto con l ala tutta l energia che il fluido ha a monte viene trasferita interamente all ala stessa), mentre verso la fine dell ala la pressione torna ai valori essenzialmente indisturbati (circa a pressione atmosferica), di conseguenza l aria esterna allo strato limite accelera, cioè la velocità tangenziale cambia anche in modulo nel primo quarto poiché c è una differenza di pressione tra monte (punto di ristagno) e valle (primo quarto) e quindi una differenza di forza nella direzione del flusso che accelera l aria tangenzialmente al profilo.
Il primo quarto del dorso dell ala presenta dunque una pressione minore rispetto a quella misurata sul ventre, ciò che si verifica è quindi un asimmetria tra l andamento delle linee di flusso sopra e sotto l ala, e una differenza di pressione statica tra la parte superiore e quella inferiore dell ala (sul ventre maggiore che sul dorso) che genera, in termini di forze, una spinta dal basso verso l alto: la portanza. Tale asimmetria nel moto del fluido nasce naturalmente in profili antisimmetrici anche ad angoli di attacco nulli mentre in quelli simmetrici gioca un ruolo determinante l angolo di attacco dell ala, come si vedrà in seguito. In tutto ciò finora detto lo strato limite gioca un ruolo fondamentale perché da una parte l aria all interno dello strato limite è ferma in superficie e rallenta gli strati superiori e in soli 0,5 cm 1 cm la velocità dell aria passa da zero (no slip condition) a 900 km/h. Gli sforzi di taglio v τ = η sono enormi! y L aria fuori dallo strato limite, più veloce perché non risente della presenza della superficie dell ala, si accorge però che sotto è tutto rallentato e gli strati sovrastanti tendono a riempire di aria più veloce gli spazi lasciati liberi dall aria che resta indietro: la conseguenza è proprio la curvatura dell aria verso l ala e quindi il cosiddetto downwash. Se lo strato limite è aderente, il passaggio dalla pressione massima al punto di ristagno a quella a valle è rapido e dolce (strato limite attaccato) e lo strato limite "comanda" il comportamento di metri e metri (per decine nel caso di un airbus, per esempio) sopra l'ala. Se l'angolo di attacco aumenta troppo, l'aria incontra una pressione avversa (maggiore) a valle, che la rallenta e la scolla: l'aria sopra spinge (al posto di aiutarlo ad andare avanti) lo strato limite contro corrente e questo si stacca: condizione di stallo. 50
Quindi, per riassumere: 1. c'è un cambiamento di velocità sia in direzione (perché curva), sia in modulo (favorito dalla pressione minore nel primo quarto). 2. il massimo della portanza (minimo di pressione) corrisponde al primo quarto della corda dell ala 3. il massimo della pressione corrisponde al punto di ristagno (dove la velocità del flusso va a zero e si misura la pressione totale) come mostra la figura seguente con il campo di depressioni in blu e il campo di sovrapressioni in rosso. 4. il punto di ristagno si trova: a. nel bordo di attacco dell ala se il profilo è simmetrico e ad angolo di attacco nullo (portanza nulla) o se è asimmetrico ad angolo di attacco nullo (portanza positiva) b. sotto il bordo di attacco dell ala se il profilo e simmetrico o asimmetrico e ad angolo di attacco positivo (portanza positiva) c. sopra il bordo di attacco dell ala se il profilo e simmetrico o asimmetrico e ad angolo di attacco negativo (portanza negativa o deportanza) 5. La pressione sopra l ala passa da un massimo (al punto di ristagno), per un minimo (primo quarto della corda dell ala) fino ad una pressione di nuovo maggiore (verso il bordo di uscita dell ala) e sempre più vicina alla pressione atmosferica. Sotto l ala la pressione varia molto meno ed è comunque molto più vicina alla pressione atmosferica. C è una differenza netta tra il campo di pressione sotto e sopra l ala 51
6. Il campo di pressione cambia lungo il profilo dell ala e questo spiega perché l aria accelera nel primo quarto dell ala (dove la pressione è minore) e decelera verso il bordo di uscita (dove la pressione aumenta), perche l aria accelera se trova una pressione minore a valle, e decelera se viaggia contro una pressione avversa (maggiore) come avviene verso il bordo di uscita dell ala. 7. Se l angolo di attacco aumenta oltre un certo limite, osserviamo che la portanza crolla mentre la pressione nel primo quarto dell ala aumenta (diventa vicina alla atmosferica); questo mostra lo stallo (distacco dello strato limite) e si può spiegare dopo aver fatto le considerazioni elencate sopra. Aumentando l angolo di attacco aumenta la pressione verso il bordo di uscita: di conseguenza l aria, trovando a valle una pressione maggiore torna indietro (verso la zona di pressione minore) e questo provoca il suo distacco dalla superficie e quindi lo stallo (perdita di portanza). Il bilancio tra accelerazione al primo quarto e decelerazione alla fine, è positivo o negativo quindi a seconda dell'adesione dello strato limite. In un profilo affusolato, ad angoli di attacco piccoli, vince l'accelerazione e l'aria rimane incollata: l'aria ce la fa ad arrivare alla fine nonostante la pressione aumenti verso il bordo di uscita. Se, invece, il profilo non è affusolato (sfera) o l'angolo di attacco del profilo affusolato è troppo grande (stallo), vince la decelerazione legata alla pressione avversa che l'aria trova in coda e l'aria non ce la fa ad arrivare alla fine senza staccarsi. È proprio la forma del profilo che detta questo comportamento dell'aria. I profili affusolati creano gradienti di pressione (nella direzione del flusso) favorevoli per l'aria, cioè, minore attrito di pressione che implica meno perdita di velocità per l'aria. Circa la forma dell ala si osserva quindi che, in realtà, ai fini della generazione della portanza ciò che conta è solo il primo quarto dell ala, da lì in poi la superficie in più grava principalmente in termini di resistenza d attrito e poco contribuisce ad aumentare la portanza, e la scelta della forma di un ala non tronca al primo quarto ma avente un profilo aerodinamico trova la sua spiegazione, come detto sopra, nella necessità di minimizzare quel tipo di turbolenza che genera quella che viene detta resistenza di forma o di pressione che si è già definita. 52
Occorre ribadire che se la turbolenza invece rimane nello strato limite è positivo perché diminuisce la resistenza d attrito o del mezzo favorendo il moto e anche la resistenza di forma o di pressione energizzando il fluido perché si stacchi lungo corpo il più avanti possibile. Se la turbolenza è fuori dallo strato limite è negativo perché aumenta la resistenza di pressione o di forma che dà origine a gradienti di pressione avversi e al distacco precoce dello strato limite e quindi alla perdita di portanza. 53
Forze fondamentali che agiscono sul profilo alare. L (lift) agisce trasversalmente alla direzione del flusso, fondamentalmente nella direzione normale all ala (forze di pressione) (ma non sempre necessariamente a 90 ) D (drag) (resistenza)agisce parallelamente alla direzione del flusso, fondamentalmente nella direzione parallela all ala (sforzi di taglio) La portanza si calcola con la formula generale: dove "ρ" è la densità dell'aria, "V" è la velocità di volo; "S" è la superficie di riferimento (nel caso di velivoli si tratta di superficie alare). C L è un coefficiente adimensionale detto coefficiente di portanza. Esso varia in funzione della forma geometrica dell'ala, dell'angolo d'attacco, del Numero di Reynolds e del Numero di Mach. In particolare per angoli d'attacco inferiori all'angolo di stallo è possibile esprimere il coefficiente di portanza come: C L = C Lα α dove con α si è indicato l angolo di attacco (angolo formato dalla corda del profilo con la direzione del vento indisturbato che lo investe). Oltre l'angolo di stallo tale relazione lineare non è più valida e si nota un brusco decremento del coefficiente di portanza. Per un ala simmetrica il grafico seguente riporta in ascissa gli angoli di attacco e in ordinata il coefficiente di portanza C L e mostra che per angoli di attacco nulli si ha L nulla, per angoli di attacco negativi si ha deportanza e per angoli di attacco elevati (<16) si ha lo stallo. 54
La resistenza è: dove ρ è la densità dell'aria, V è la velocità di volo, S è la superficie di riferimento (nel caso di velivoli si tratta di superficie alare, nel caso di autovetture si usa la superficie frontale del mezzo). C D (indicato anche con C X nell'ambito automobilistico) è un coefficiente adimensionale detto coefficiente di resistenza. Esso varia in funzione della forma geometrica dell'ala, dell'angolo d'attacco, del numero di Reynolds e del numero di Mach. I progressi compiuti nella fluidodinamica computazionale, unitamente alle prestazioni sempre più elevate dei calcolatori elettronici, consentono oggi di fare una stima molto precisa dei vari coefficienti aerodinamici (C L, C D ed altri ancora). Tuttavia, dato il notevole costo computazionale (teoria della complessità computazionale) di questo tipo di simulazioni, la complessità matematica dei problemi aerodinamici e la non completa conoscenza di fenomeni fisici che li governano, tali coefficienti vengono tuttora spesso determinati empiricamente, misurando (all'interno della galleria del vento o mediante le prove in volo) le forze che agiscono su aerei o sui modelli in scala ridotta o naturale. Per virare ho bisogno che esista portanza, un errore cinematografico comune nei film di fantascienza è la possibilità di virare delle astronavi nel vuoto, se non esiste aria non c è portanza! 55