ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata la seguente equazione in : 3 5, con R. a) Dimostrare che ammette una e una sola soluzione. b) Determinare il numero intero z tale che risulti: z z. c) Scrivere un algoritmo idoneo a calcolare un valore approssimato di a meno di 4. d) Dopo aver riferito il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), determinare, se esistono, i valori del parametro reale k (k ) per cui la curva C k di equazione: y ( 3 5) k ( 3 75) ammette un massimo e un minimo relativi. e) Stabilire se esiste un valore k di k per cui la curva C k è simmetrica rispetto all origine O. PROBLEMA Un gruppo di persone è costituito da 3 uomini e dalle rispettive mogli. Ciascun uomo sceglie a caso una fra le 3 donne, con uguali possibilità di scelta, per un giro di ballo. a) Calcolare quante sono le possibili terne di coppie di ballerini. b) Calcolare la probabilità che: ) nessun uomo balli con la propria moglie; ) un solo uomo balli con la propria moglie; 3) tutti e tre gli uomini ballino con le rispettive mogli. c) Il gioco viene effettuato per n volte. Calcolare: ) per n 4, il numero medio di volte in cui tutti e tre gli uomini ballano con le rispettive mogli; ) per n 4, la probabilità che non più di volte capiti che nessun uomo balli con la propria moglie; 3) per n 6, la probabilità che esattamente 3 volte capiti che un solo uomo balli con la propria moglie; 4) per n 5, la probabilità che almeno 4 volte capiti che almeno un uomo balli con la propria moglie. N.B.: Per l uso che il candidato, se crede, ne può fare, si forniscono le formule della probabilità binomiale e della distribuzione normale: p k n p k q n k, y k ) e ( (e,78, 3,45). Zanichelli Editore, 6
3 4 5 QUESTIONARIO Nell insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione così definita: «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni». Dire se è vero o falso che gode della proprietà transitiva e fornire un esauriente spiegazione della risposta. In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione: 8 8y 4k 8y 3k, dove k è un parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da: ) un punto; ) due punti; 3) infiniti punti; 4) nessun punto. In un piano sono date due circonferenze non congruenti, l una esterna all altra. Di omotetie che trasformano la minore nella maggiore ve ne sono: A nessuna. B una sola. C due soltanto. D infinite. Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare in maniera esauriente la scelta operata. In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oy), è assegnata l affinità (A) di equazioni: X 3Y, y X Y. Calcolare l area della figura trasformata di un cerchio di raggio secondo l affinità (A). Considerata la successione di termine generale: a n n (n )(n ), 6 scriverla in forma ricorsiva. 6 7 8 Scrivere un algoritmo che generi i primi numeri della successione di cui al precedente quesito 5 e li comunichi sotto forma di matrice di 4 righe e 5 colonne. Considerata la successione di termine generale: sen a n 3 a n se n calcolare a n. n Considerata la funzione f () tale che: f () ( ln t) dt, con, determinare i suoi zeri e gli intervalli in cui cresce o decresce. Zanichelli Editore, 6
9 Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con r ed r i raggi delle due basi del segmento sferico e con h la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume V del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula: V 6 h(h 3r 3r ). Qualunque sia il metodo seguito per la dimostrazione, esplicitare ciò che si ammette. Calcolare il seguente limite: lim ( e t )dt sen essendo e la base dei logaritmi naturali. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema. 3 Zanichelli Editore, 6
SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria PROBLEMA a) Posto f () 3 5, la funzione f è continua in R, i limiti agli estremi del campo di esistenza valgono lim ( 3 5) e la derivata prima f () 3 è sempre positiva in R. Per il teorema di unicità dello zero, la funzione f ha uno e un solo punto in cui si annulla e quindi l equazione 3 5 ammette una e una sola soluzione reale. b) Si considera l immagine della funzione f () 3 5 per alcuni valori interi di : f () 38, f (3) 7, f (4). Si osserva che nell intervallo [3; 4] la funzione cambia di segno, pertanto lo zero della funzione è localizzato in tale intervallo, ovvero z z, con z 3. c) È noto che lo zero della funzione f () 3 5 è compreso nell intervallo [3; 4]. Si procede alla risoluzione approssimata dell equazione f () attraverso il metodo di bisezione. Si costruisce il seguente algoritmo, il quale chiede in ingresso l approssimazione ε voluta. Inizio Programma Equazione polinomiale Leggi ε Si legge il valore dell approssimazione g 3 Si assegna alla variabile g il grado dell equazione, A [,,, 5] al vettore A i coefficienti dell equazione polinomiale, 3 alla variabile l estremo sinistro dell intervallo, 4 alla variabile l estremo destro dell intervallo, P 7 alla variabile P il valore f (3) 7 Ripeti Si costruisce il ciclo basato sul metodo di bisezione M ( )/ Si calcola il punto medio dell intervallo [ ; ] i Si azzera il contatore i P M Si azzera la variabile P M Ripeti Si calcola il valore f ( M ) contenuto in P M i i P M P M M A i finché i g Se P P M Si effettua il controllo sulla posizione della radice ri- allora M, P P M, spetto al punto medio altrimenti M, finché ε Si effettua il controllo sull approssimazione voluta Scrivi M Si mostra la radice approssimata Fine In linguaggio Derive il programma corrispondente da scrivere nella riga di editazione delle espressioni è il seguente: Equaz(ε): PROG (g: 3, A: [,,, 5], : 3, : 4, P: 7, LOOP (M: ( )/, i:, PM:, LOOP (i: i, PM: PM M ASUBi, IF (i g, eit)), IF (P PM, PROG (: M, P: PM), : M), IF ( ε, eit)), RETURN [M]) 4 Zanichelli Editore, 6
Nella figura è riportato il programma come appare nella finestra algebrica. d) Considerata la funzione parametrica f k () ( 3 5) k ( 3 75), con k, si può scrivere: f k () (k ) 3 (k ) 5( 3k). Essa è continua e ha derivata prima: f k () 3(k ) (k ). Si studia il segno di quest ultima ponendo 3(k ) (k ) : se k, 3(k ) (k ) 3 R; se k, 3(k ) (k ) 3 R. Poiché per k si ha f k () R, la funzione f k () è crescente, mentre per k è f k () R e quindi la funzione f k () è decrescente. In conclusione non esistono valori di k per cui la funzione f k ammette un massimo e un minimo relativi. e) La funzione f k () (k ) 3 (k ) 5( 3k) è simmetrica rispetto all origine O se vale che f k ( ) f k (), ovvero se è verificata l uguaglianza: (k )( ) 3 (k )( ) 5( 3k) (k ) 3 (k ) 5( 3k), cioè (k ) 3 (k ) 5( 3k) (k ) 3 (k ) 5( 3k) Confrontando i due membri dell uguaglianza, deve essere: 5( 3k) 5( 3k) k 3. Pertanto la curva C k, con k, di equazione: 3 y Figura. y= 3 + 3 3 f 3 () 3 3 3, è simmetrica rispetto all origine del sistema di riferimento cartesiano. Il suo grafico è rappresentato nella figura. O PROBLEMA a) Si suppone di attribuire agli uomini del gruppo un numero da a 3, mentre alle rispettive mogli le lettere A, B, C. Le possibili terne di coppie di ballerini sono rappresentate per riga nel seguente schema. A B 3C A C 3B Figura. B A 3C B C 3A C A 3B C B 3A Le terne possibili sono pertanto 6. Il medesimo risultato può essere ottenuto considerando fissi i tre ballerini, nella successione,, 3, nella quale intercalare la terna variabile delle tre ballerine A, B, C: A B C 3 5 Zanichelli Editore, 6
Le possibili terne sono allora determinate dalle permutazioni dei tre elementi A, B, C, ovvero P 3 3! 6. b) Considerato l evento: E nessun uomo balla con la propria moglie, si calcola la probabilità P (E ) applicando la definizione classica di probabilità, intesa come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili. Osservando lo schema, i casi favorevoli sono (la quarta e la quinta terna), mentre i casi possibili sono 6. Pertanto vale: b) Posto: P (E ) 6 3. E un solo uomo balla con la propria moglie, i casi favorevoli sono forniti dalle terne (A, C, 3B), (B, A, 3C ), (C, B, 3A) e quindi risulta: b3) Preso: P (E ) 3 6. E 3 tutti e tre gli uomini ballano con le rispettive mogli, c è un solo caso favorevole e la probabilità vale: P (E 3 ) 6. c) Utilizzando lo schema delle prove ripetute, la probabilità che un evento E, di probabilità costante p, si verifichi volte su n prove, è data dalla distribuzione binomiale P (X ) n p ( p) n, dove la variabile X corrisponde al numero delle volte che l evento può verificarsi. Il valore medio di tale distribuzione è M (X ) np. Per l evento E 3 tutti e tre gli uomini ballano con le rispettive mogli, la probabilità p vale 6 e se n 4, risulta: M (X ) 4 6 4. c) Considerato l evento E nessun uomo balla con la propria moglie con probabilità p, si costruisce la corrispondente tabella della distribuzione binomiale con n 4 e la relativa funzione di ri- 3 partizione. X 3 4 P,9753,3956,9696,98765,346 F,9753,59593,888889,987654 La funzione di ripartizione per X vale,888889. Pertanto la probabilità che non più di volte capiti che nessun uomo balli con la propria moglie risulta essere,888889. c3) Poiché la probabilità che un solo uomo balli con la propria moglie è uguale a, si applica la distribuzione binomiale quando 3, p ed n 6: 6 P (X 3) 3 6 3,6, 3 6 Zanichelli Editore, 6
ovvero la probabilità che esattamente 3 volte capiti che un solo uomo balli con la propria moglie è circa,6. c4) Si considera l evento: E 4 almeno un uomo balla con la propria moglie. Osservando lo schema al punto a), i casi favorevoli sono 4 su 6 possibili, pertanto la probabilità dell evento E 4 vale: p 4 6 3. Se si compiono n 5 prove, con la probabilità p di verificarsi dell evento e si assume la distribuzione binomiale P (X ) 3 3 5, la probabilità che almeno 4 volte capiti 3 5 che almeno un uomo balli con la propria moglie risulta: P (X 4) P (X 4) P (X 5) 5 4 5 5 3 4 3 3 5 3,77,84,94. QUESTIONARIO La relazione «due rette si dicono parallele se sono complanari e non hanno punti comuni» gode della proprietà transitiva. Infatti, si considerano due rette r ed s parallele tra loro e appartenenti al piano (figura 3). Sia t una retta parallela ad s e sia il piano che le contiene. Si vuole dimostrare che le rette r e t sono tra loro parallele. Si consideri un generico punto P della retta s e si conduca da esso un piano perpendicolare alla retta stessa. Per un noto teorema della geometria euclidea nello spazio, se due rette sono parallele, ogni piano perpendicolare all una è perpendicolare pure all altra. Pertanto il piano è perpendicolare sia alla retta r che alla retta t. Ora, si può dimostrare che due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro. Infatti, siano A e B i piedi delle perpendicolari r e t sul piano e sia u la retta che congiunge A e B (figura 4). Si conduca su una retta v perpendicolare alla u in un punto H. Dato che r è perpendicolare a e la retta u è perpendicolare a v, allora la retta v è perpendicolare al piano determinato dalle rette r e u, per il teorema delle tre perpendicolari. Nella stessa maniera si dimostra che v è perpendicolare al piano individuato dalle rette t e u. Poiché di piani perpendicolari alla retta v ve ne è uno solo nel punto H, ne consegue che le rette r e t appartengono allo stesso piano. Essendo quest ultime complanari ed entrambe perpendicolari alla stessa retta u allora sono parallele. γ γ α u A r r A H s P v β t B Figura 3. δ t B Figura 4. 7 Zanichelli Editore, 6
Data l equazione 8 8y 4k 8y 3k, essa può essere scritta nella forma: y y k 3 8. Si tratta di una combinazione lineare tra l equazione y y, rappresentante la circonferenza di centro C ; e raggio r, e la retta 3 (figura 5). 4 Il luogo geometrico si riconduce a un fascio di circonferenze di k centro ; 4 e raggio r k k 6 4 3 8 k se vale la condizione di realtà 6 4 3 8 k. In particolare, si k trova: k 6 4 3 8 k k 6k 4 k 3 5 k 3 5. Per k 3 5 k 3 5, l equazione di partenza è un fascio di circonferenze con generatrici di equazione: y y e 3 (figura 5). 4 Poiché il sistema delle generatrici, y y 9, ha equazione risolvente y y con discrimi- 3 6 4 nante negativo, l asse radicale 3 è esterno alle circonferenze, le quali non possiedono punti base. 4 Si può concludere che il luogo geometrico è costituito da: ) un punto quando r k, ossia per k 3 5 ; ) da due punti per nessun valore di k; 3) da infiniti punti per k 3 5 k 3 5 ; 4) da nessun punto per 3 5 k 3 5. y = 3 4 O C +y +y= Figura 5. 3 Considerate in un piano due circonferenze non congruenti, l una esterna all altra, di raggio rispettivamente r ed r (r r ) e centro O e O, si ponga un sistema di riferimento cartesiano Oy con l origine nel centro della minore e con l asse passante per il centro della maggiore (figura 6). Le equazioni delle due circonferenze sono: y O C r O' r' C' : y r, : ( O ) y r, ovvero y O O r, dove O r r. Presa una generica omotetia di centro C ( C ; y C ), di equazioni: k p, k, p, q R, con p C ( k), y ky q q y C ( k) Figura 6. 8 Zanichelli Editore, 6
e le sue inverse, k p k, y k y q k si impone che sia la trasformata di secondo l omotetia. Perciò si trasforma la curva attraverso le equazioni inverse: y r k p k k y q k r y p qy p q r k. Tolti gli apici, si confronta l equazione trovata con l equazione y O O r. Per l identità dei polinomi vale: p p O O q q. k r r k r p q r k O r r Poiché il rapporto di omotetia k può assumere due valori, esistono due omotetie che trasformano la circonferenza nella circonferenza. La risposta esatta è quindi C. 4 5 È noto che un affinità X a by c trasforma una circonferenza in un ellisse e che il rapporto tra le Y a b y c aree S e S di due figure, una trasformata dell altra rispetto all affinità, si conserva e vale S S det a b a b. X 3Y X 3y Ora, data l affinità e la sua inversa,, la matrice associata alla trasformazio- y X Y Y y 3 ne inversa è. Considerato il cerchio di raggio e superficie S, per quanto detto esso viene trasformato in un ellisse di area S tale che: S 3 det 4 3 S. In conclusione il cerchio di raggio unitario è trasformato in un ellisse di uguale area. Data la successione di termine generale a n n (n )(n ), con n N, la sua rappresentazione per enumerazione è: 6,, 5, 4, 3, 55, 9, 4, 4,. Si nota che il termine n-esimo può essere ottenuto dalla somma del termine precedente con il quadrato di n stesso: a a a 5 a 3 4 5 3 a 4 3 4 4 a n a n n 9 Zanichelli Editore, 6
Pertanto la forma ricorsiva della successione è: a a n a n n se n 6 L algoritmo che genera i primi numeri della successione a n n (n )(n ) e li comunica sotto 6 forma di matrice di 4 righe e 5 colonne, può avere la seguente forma. Inizio Programma Successione Matrice Si n i Ripeti i i j Ripeti j j assegna alla variabile Matrice una matrice 4 5 Si azzera l indice della successione a n Si azzera il contatore delle righe della matrice Si costruiscono i due cicli annidati per i contatori i e j che realizzano la matrice richiesta Si incrementa il contatore i Si azzera il contatore delle colonne della matrice Si incrementa il contatore j Matrice i j n (n )(n ) 6 Si compie il calcolo del termine della successione a n n n finché j 5 finché i 4 Scrivi Matrice Fine Si incrementa l indice n Si comunica in uscita la matrice calcolata In linguaggio Derive il programma corrispondente da scrivere nella riga di editazione delle espressioni è il seguente: Succ_(fittizia): PROG(Matrice: VECTOR(VECTOR(, a,, 5), b,, 4), n:, i:, LOOP(i: i, j:, LOOP( j: j, MatriceSUBiSUBj: /6 n (n ) ( n ), n: n, IF( j 5, eit)), IF(i 4, eit)), RETURN Matrice) Zanichelli Editore, 6
Nella figura 7 è riportato il programma come appare nella finestra algebrica. Figura 7. 7 La successione in forma ricorsiva, a n sen 3 a n se n, è una successione geometrica di ragione q 3 e primo termine a. La somma S n dei primi n termini risulta: 3 n 3 n S n 3 3 n. 3 3 8 La serie a n è convergente se esiste il limite lim S n. Pertanto vale: n n a n lim S n lim 3 n n n 3 n 3. Si trova l espressione di f () calcolando l integrale ( ln t ) dt: ( ln t ) dt dt ln tdt ln tdt lim ln tdt h h applicando l integrazione per parti: lim h [t ln t ] h t h t dt ln lim h h ln h essendo lim h ln h per il teorema di De L Hospital, risulta: h ln. Si studia la funzione f () ln, con. Gli zeri si ottengono ponendo f () : ln ( ln ) ln, non accettabile, e e. Zanichelli Editore, 6
Lo zero di f () ( ln t) dt, con, è unico e vale e. Si determina la crescenza e decrescenza studiando il segno della derivata prima f (), che risulta essere, per il teorema fondamentale del calcolo integrale: Figura 8. f () ln,. Poiché ln è vera nel C.E. per e, si ha la seguente tabella dei segni della derivata prima (figura 8). La funzione f () è pertanto strettamente crescente per e, ha un massimo per e, è strettamente decrescente per e. f'() f() + e ma 9 L intento è di dimostrare la formula del volume di un segmento sferico a due basi attraverso il calcolo integrale. Si può diversamente seguire la via della geometria euclidea nello spazio, applicando il teorema di equivalenza tra un segmento sferico a una base e la somma di una particolare sfera e di un cilindro. Nella figura 9 si ottiene un segmento sferico a due basi attraverso la rotazione intorno all asse delle di un arco di circonferenza di raggio r, di equazione f () r, con. Per il calcolo integrale, il volume del solido di rotazione si trova tramite la formula V [ f ()] d. Nel caso in questione vale: V ( r ) d (r ) d V r 3 3 r ( ) 3 ( 3 3 ) y O r r y= r r r { h Figura 9. V 3 ( )[3r ( )]. Essendo h, elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene h, da cui si ricava ( h ). Sostituendo all espressione del volume si ottiene: V 3 h 3r ( h ) 3 h 3r 3 3 h 6 h (6r 3 3 h ). Per il teorema di Pitagora risulta r r e r r, pertanto, sostituendo si trova: V 6 h (6r 3r 3r 3r 3r h ) 6 h (3r 3r h ). Per, il limite ha forma indeterminata. Al numeratore vi è una funzione integrale ed esiste la sua ( e t ) dt e per il teorema fondamentale del derivata prima nell intervallo [; ] che vale D calcolo integrale. La funzione al denominatore, y sen è derivabile e diversa da zero in un intorno di escluso. Si può pertanto applicare il teorema di De L Hospital: lim ( e t ) dt e lim lim e. sen s en cos sen Zanichelli Editore, 6
Si tratta nuovamente di una forma indeterminata per la quale è utilizzabile ancora il teorema di De L Hospital: e lim c os. ( e t ) dt Concludendo, lim. sen Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema Quesito 5 pag. W 7 Test 5 pag. 7 Esercizio 6 pag. W 94 Esercizio 9 pag. W 94 Esercizio 36 pag. J 74 Esercizio 5 pag. 6 Problema Esercizio 4 pag. 7 Esercizio pag. 76 Esercizio 6 pag. 58 Esercizio 57 pag. 7 Problema 8 pag. 76 (punto a) Quesito Quesito 9 pag. W 65 Test pag. 95 Quesito 7 pag. 9 Quesito Test 3 pag. L 46 Quesito 6 pag. L 48 Quesito 8 pag. L 48 Quesito 3 Esercizio 45 pag. J 96 Esercizio 46 pag. J 97 Quesito 4 Esercizio 494 pag. J 8 Esercizio 5 pag. J 9 Esercizio 53 pag. J Quesito 5 Esercizio 3 pag. U 9 Esercizio 8 pag. S 59 Quesito 6 Esercizio pag. T 3 Quesito 7 Quesito 7 pag. U 4 Quesito 8 Esercizio 39 pag. W 5 Esercizio 88 pag. W 5 Esercizio 89 pag. W 5 Quesito 9 Esercizio 7 pag. W 4 Esercizio 75 pag. W 4 Quesito Esercizio 98 pag. W 5 Quesito pag. W 68 3 Zanichelli Editore, 6