1. Introduzione Metodi computazionali per la simulazione degli effetti di aberrazione cromatica DAVIDE M. SELMO DIPARTIMENTO DI INFORMATICA E COMUNICAZIONE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Via Comelico, 39-135 Milano, Tel. 53 16339 selmo@dico.unimi.it La quasi totalità degli algoritmi di generazione di immagini (rendering) (sia nel campo del rendering in real-time sia nel campo della sintesi fotorealistica delle immagini) utilizzano una metodologia per la formazione dell'immagine (FDI) basata sul paradigma del foro stenopeico. Tale approccio risulta molto adatto, soprattutto per quanto riguarda il rendering in real-time, dal momento che semplifica notevolmente la modellizzazione del processo di formazione dell'immagine attraverso strumenti matematici facilmente traducibili in istruzioni eseguite in maniera performante da un calcolatore. Tale modello dall'altra parte non è in grado di simulare effetti propri del meccanismo di formazione dell'immagine, che risultano di grande importanza nel rendere reale (almeno nel senso della percezione) la visualizzazione di un'immagine. Tra tali effetti possiamo citare, per esempio, la simulazione della profondità di campo che non viene del tutto simulata utilizzando tali modelli. Inoltre l'immagine generata con tali algoritmi è totalmente priva di ogni tipo di aberrazione sia di tipo geometrico che di tipo cromatico. Nel lavoro presentato si vogliono proporre dei modelli computazionali per la simulazione degli effetti di aberrazione cromatica nel contesto del rendering. In letteratura sono presenti solo alcuni lavori che trattano tale effetto come in [1,] dove il rendering viene effettuato utilizzando dati proveniente da misure effettuate sul sistema ottico umano tramite interferometro. Altri lavori, che vertono alla simulazione di sistemi di lenti reali [3,4] non tengono invece conto di tale effetto. In questo lavoro si è interessati ad integrare la simulazione degli effetti di aberrazione cromatica in un algoritmo che simuli il meccanismo di formazione dell'immagine tramite un sistema di lenti reale. A tale scopo il modello di FDI utilizzato prevede che gli oggetti costituenti la scena tridimensionale da renderizzare vengano proiettati sul piano immagine simulando il passaggio della luce attraverso un sistema di lenti. Tale modellizzazione può essere effettuata modificando la normale pipeline di rendering in modo da simulare un meccanismo realistico di formazione dell immagine.
. Aberrazione cromatica L indice di rifrazione η di un mezzo M è dato dal rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e quella nel mezzo [5]: c η M = (1) v In generale il valore di η non è costante, ma dipende della lunghezza d onda λ della luce incidente: η Se consideriamo una lente di un sistema ottico, questo significa che i raggi di luce incidenti saranno propagati con direzioni differenti a seconda della lunghezza d onda associata a ciascun raggio. Un singolo raggio entrante nel sistema ottico sarà rifratto di un angolo θ r, legato alla direzione incidente θ i, dalla legge di Snell: M η (λ) M = M () η sinθ η sinθ i = M r (3) Supponendo che l indice di rifrazione η sia pari a 1, otteniamo che ogni raggio avrà un angolo di rifrazione, dipendente dalla lunghezza d onda, pari a: sinθ i θr ( λ) = arcsin (4) ηm ( λ) Questo fa si che le proiezioni di ogni singolo raggio sul piano immagine avranno posizioni differenti a seconda della lunghezza d onda associata. Questo fenomeno prende il nome aberrazione cromatica. Al fine di simulare tale effetto, siamo quindi interessati a descrivere la variazione dell indice di rifrazione in funzione di λ con un modello che possa essere reso computabile e inserito in una pipeline di rendering tradizionale. A questo scopo introduciamo la dispersione come una misura del cambiamento dell indice di rifrazione con la lunghezza d onda; tale effetto può essere spiegato applicando la teoria elettromagnetica alla struttura molecolare della materia. Tipicamente, per caratterizzare un materiale, soprattutto per quanto riguarda le lenti, viene fornito l indice di rifrazione η d nel valore centrale dello spettro del visibile λ d = 587.56. In Tabella 1 sono mostrate le tipiche lunghezze d onda considerate nella caratterizzazione dei vetri e delle lenti.
Tabella 1 Lunghezze d onda, e corrispondenti linee spettrali, (nello spettro del visibile) usate frequentemente per la caratterizzazione di vetri e lenti Lunghezza d onda [nm] Simbolo Linea spettrale Elemento 76.5 r rosso elio He 656.7 C rosso idrogeno H 643.85 C' rosso cadmio Cd 63.8 neon-gas-laser elio He-Ne 589.9 D giallo sodio Na 587.56 d giallo elio He 546.7 e verde mercurio Hg 486.13 F blu idrogeno H 479.99 F' blu cadmio Cd 435.83 g blu mercurio Hg 44.66 h viola mercurio Hg La differenza (η F η C ) è detta dispersione principale. η F e η C sono gli indici di rifrazione rispettivamente alle lunghezze d onda 486.13 nm e 656.7 nm. La quantità comunemente utilizzata per la caratterizzazione della dispersione nelle lenti è il numero di Abbe definito come: A partire dalle quantità introdotte, e dai dati numerici che caratterizzano i materiali che vogliamo simulare, è possibile ricavare il valore dell indice di rifrazione di un mezzo per ogni lunghezza d onda nello spettro del visibile..1 L equazione di Sellmeier d ν d = (5) nf nc Una buona approssimazione della curva di variazione dell'indice di rifrazione in funzione della lunghezza d'onda ci è dato dall'equazione di Sellmeier: n 1 η λ = 1+ λ A λ (6) λ dove λ è la lunghezza della luce con frequenza ν (frequenza di risonanza associata al materiale) e A è una costante dipendente dal materiale. Dal momento che i valori di A e λ non sono solitamente noti è necessario trovare un metodo per ricavarli. Come mostrato in [6], λ e A possono essere ricavati a partire da lunghezze d'onda per cui sia noto l'indice di rifrazione, utilizzando la stessa (6).
Fig. 1 Schema semplificato della pipeline di rendering Notiamo che dal punto di vista computazionale l'equazione (6) richiede un'estrazione a radice quadrata il che può risultare computazionalmente svantaggioso. Dal momento che i valori di λ utilizzati nella simulazioni sono però noti a priori, è comunque possibile, una volta definiti i materiali che compongono il sistema ottico, precalcolare i valori di η in una lookup-table per velocizzare la computazione.. La formula di Cauchy Un'alternativa all'equazione di Sellmeier è la formula di Cauchy. Tale equazione risulta accurata solo nelle regioni di dispersione normale (dipendenza monotona dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda). Fortunatamente la maggior parte dei materiali non hanno regioni di dispersione anomala nella banda del visibile (e nelle immediate vicinanze). L'equazione proposta da Cauchy è la seguente: η( λ) B C A + + 4 λ λ = (7) L'equazione di Cauchy è in pratica una semplificazione dell'equazione di Sellmeier ricavata dall'ipotesi di andamento regolare delle curve di η nel visibile. I coefficienti A, B e C possono essere ricavati, risolvendo un sistema lineare di equazioni [6], a partire da tre lunghezze d'onda λ 1, λ e λ 3 per le quali siano noti i rispettivi indici di rifrazione η(λ 1 ) = η 1, η(λ ) = η e η(λ 3 ) = η 3. Notiamo che dal punto di vista computazionale la formula di Cauchy risulta più semplice dell'equazione di Sellmeier.
3. Modello computazionale Al fine di simulare l effetto di aberrazione cromatica vediamo come la tradizionale pipeline di rendering possa essere modificata. Consideriamo la schematizzazione presentata in figura 1. Si nota come il calcolo delle aberrazioni, geometriche e cromatiche possa essere introdotta nella fase di proiezione dei punti sul piano immagine, prima della rasterizzazione. In particolare la posizione di ogni punto sul piano immagine dovrà essere valutata tenendo in considerazione l effetto della presenza di un sistema di lenti. Vediamo in dettaglio come calcolare il contributo di tali effetti. 3.1 Simulazione del sistema ottico aberrazioni geometriche Al fine di valutare il contributo delle aberrazioni geometriche nel calcolo della posizione dei punti sul piano immagine, utilizziamo l approssimazione del terzo ordine introdotta da Seidel [7]. Nota la posizione gaussiana (x, y ) di un punto sul piano immagine, possiamo ricavare lo scostamento (Δx, Δy ) della posizione aberrata (x 1, y 1 ) utilizzando la formula seguente: 3 Δx = Bρ sinθ Fy ρ sinθ cosθ + Dy 3 Δy = Bρ cosθ Fy ρ (1 + cos θ ) + (C + D) y ρ sinθ ρ cosθ Ey 3 (8) I valori costanti A, B, D, E e F sono detti coefficienti di aberrazione secondo Seidel e possono essere ricavati dalle proprietà geometrico-fisiche del sistema ottico. Ogni coefficiente tiene conto di un particolare effetto di aberrazione geometrica, per esempio il termine B rappresenta il contributo dell aberrazione sferica. Il calcolo della posizione aberrata di un punto sul piano immagine può essere facilmente integrata in una pipeline di rendering tradizionale. Infatti la posizione gaussiana può essere calcolata utilizzando l approssimazione parassiale del pirmo ordine oppure approssimata con un modello proiettivo tradizionale. Tale posizione viene può modificata utilizzando l equazione (8). 3.3 Simulazione delle aberrazioni cromatiche Il calcolo delle aberrazioni geometriche può essere esteso considerando anche il contributo delle aberrazioni cromatiche. In questo caso le posizioni dei punti sul piano immagine saranno differenti per ogni lunghezza d onda considerata. Nel seguito restringeremo lo studio al caso della rappresentazione del colore tramite terne RGB come avviene solitamente per gli algoritmi di rendering tradizionali.
Tabella Esempio di dati tabulari per la caratterizzazione di lenti [9]. Per ogni elemento sono dati gli indici di rifrazioni per le principali linee spettrali oltre alla dispersione principale n d v d n f -n c n e v e n r n c n g n h 1.48749 7.41.694 1.48914 7.3 1.4841 1.48535 1.49593 1.49894 1.48656 84.47.576 1.48794 84.7 1.48379 1.4848 1.49364 1.49618 1.4345 94.95.4573 1.43534 94.53 1.434 1.4385 1.43986 1.44185 1.5855 76.98.6867 1.5319 76.58 1.557 1.5646 1.5374 1.541 1.497 81.63.688 1.49846 81. 1.4949 1.49515 1.5451 1.571 1.553 63.46.874 1.5544 63.3 1.54811 1.54965 1.563 1.56688 1.614 63.48.9769 1.647 63.19 1.61547 1.61717 1.633 1.6366 Utilizzando la formula di Cauchy (7) è possibile ricavare l indice di rifrazione per ogni lunghezza d onda a partire da dati noti. Tali dati sono solitamente resi disponibili dai costruttori di lenti. In Tabella sono mostrate alcuni parametri tipici specificati in un catalogo per la caratterizzazione delle lenti. Considerando solo colori RGB possiamo calcolare gli effetti di aberrazione cromatica utilizzando come lunghezze d onda di riferimento i picchi delle curve di color matching introdotte dalla CIE sulla base sulla base di esperimenti di laboratorio. Seguendo [8] possiamo assumere che le lunghezze d onda necessarie per la computazione siano dunque: λ r = 57 nm Picco del rosso λ g = 55 nm Picco del verde λ b = 45 nm Picco del blu In questo modo la pipeline di rendering dovrà essere modificata calcolando immagini differenti per le tre bande RGB. In particolare è possibile ricavare per ogni coefficiente di aberrazione di Seidel la dipendenza dall indice di rifrazione. In questo caso l equazione (8) diviene un equazione vettoriale sulle tre bande colore. 4. Risultati e sviluppi futuri Il modello presentato è stato implementato sfruttando la possibilità di intervenire all interno della pipeline di rendering, messa a disposizione delle schede grafiche di ultima generazione. In particolare con il linguaggio GLSL è possibile agire sulla pipeline modificando il modo in cui gli oggetti vengono proiettati sul piano immagine.
Nelle figure (a-d) sono presentati alcuni risultati ottenuti. Si nota come le distorsione dovuti alle aberrazioni geometriche e l effetto di aberrazione cromatica sia molto più evidenti su zone posizionate fuori dall asse ottico in accordo con il modello matematico utilizzato. 4.1 Sviluppi futuri Il modello presentato è facilmente integrabile in una pipeline di rendering tradizionale basata su rasterizzazione. Tale modello può però essere anche esteso ad un approccio basato su ray-tracing. In questo caso la simulazione del sistema ottico può avvenire utilizzando anche un grado di precisione superiore all approssimazione del terzo ordine. Inoltre è facilmente implementabile un algoritmo spettrale che utilizzi un numero di campioni elevato (tipicamente 8) per la rappresentazione degli spettri. In questo caso, ogni punto dello spazio oggetto propagherà nel sistema 8 raggi rifratti con indici di rifrazione differenti secondo le approssimazioni mostrate in precedenza. Si sta attualmente lavorando alla definizione di un modello basato su ray-tracing per le simulazioni spettrali. Bibliografia 1. B.A. Barsky, D.D. Garcia, S.A. Klein, W.M. Yu, B.P. Chen, S.S. Dalal, RAYS (Render As You See): Vision-Realistic Rendering Using Hartmann- Shack Wavefront Aberrations, Internal report, Computer Science Division - University of California, Berkeley, 1. B.A. Barsly, S. A. Klein, Three-dimensional Computer Graphics Rendering Algorithm for Simulation of Vision from Sparse Shack-Hartmann Sensor Output Data, Mopane, 3 3. M. Potmesil, I. Chakravarty, Synthetic Image Generation with a Lens and Aperture Camera Model, ACM Trans. Graph., Volume 1-, 198 4. Craig Kolb, Don Mitchell, Pat Hanrahan, A realistic camera model for computer graphics, Proceedings of the nd annual conference on Computer graphics and interactive techniques, 1995 5. F.L. Pedrotti, L.S. Pedrotti, Introduction to Optics, Prentice-Hall, th edition, 1993 6. A.S. Glassner, Principle of Digital Image Synthesis, Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco - CA, 1995 7. M. Born, E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, 7th (expanded) edition, 1999 8. S. G. Yurov, Photopic, mesopic and scotopic vision, Applied Optics, Volume 6, Issue 11, 1877-1883, November 1967 9. Technical Information - TIE9: Refractive index and dispersion, SCHOTT AG - April 5
(a) (b) (c) (d) Fig. Risultati delle simulazioni. (a) modello geometrico posto sull asse ottico, le aberrazioni geometriche e cromatiche non sono visibili. (b,c,d) modello posizionato fuori dall asse ottico, sono evidenti le deformazioni geometriche dovute all aberrazione sferica (soprattutto nella figura (b) dove le gambe del modello vengono distorte) e la presenza di aberrazioni cromatiche (ben visibili per esempio in (c) sul bordo dell orecchio del modello dell elefante)