CAPITOLO Le equazioni. LE EQUAZIONI CON DERIVE Per far risovere un'equazione a Derive basta scriverne i testo nea finestra di Agebra e poi usare i comando Risovi/Espressione oppure usare 'icona corrispondente. Inserisci dunque i testo dea seguente equazione x 4 x ˆ5x 4 x Quando attivi i comando di risouzione si apre a finestra a ato: nea prima casea si deve indicare qua eá a variabie de'equazione; ne nostro caso eá giaá evidenziata a x che eá 'unica ettera che compare ne'equazione, ma in un'equazione etterae dove, otre aa x ci sono anche atre ettere, si dovraá indicare quae considerare come variabie. Nea seconda casea bisogna fare a sceta de metodo di risouzione; per i momento dobbiamo seezionare i metodo Agebrico (gi atri metodi si usano per a risouzione approssimata che saraá argomento di studi degi utimi anni di corso). Nea terza casea bisogna indicare i dominio dea souzione che per noi eá 'insieme dei numeri reai. La quarta casea per i momento non eá attiva percheá riguarda a risouzione approssimata dee equazioni. Ciccando su pusante Risovi a souzione de'equazione viene scritta nea finestra di Agebra nea forma x ˆ 6. Quando un'equazione non eá determinata, i comando Risovi/Espressione restituisce true se 'equazione eá indeterminata fase se 'equazione eá impossibie. Questo percheá un'equazione indeterminata in una soa incognita eá un'uguagianza sempre vera, mentre un'equazione impossibie eá un'uguagianza sempre fasa. Prova per esempio a risovere queste due equazioni x 4x 5 ˆ x 4 e x x ˆ 5 x 5 Per a prima, che eá impossibie, Derive restituisce fase; per a seconda, che eá indeterminata, restituisce true. Le souzioni di un'equazione frazionaria vengono scritte di soito come quee di un'equazione intera; per esempio x ˆ restituisce x ˆ 5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE EQUAZIONI
Derive sa poi riconoscere quando a souzione di un'equazione frazionaria non eá accettabie; per esempio, se risovi su tuo quaderno 'equazione x x x 5x 6 ˆ x x trovi x ˆ, ma questo vaore non eá accettabie e Derive restituisce aora x ˆ. Un atro caso "strano" nea scrittura dee souzioni si ha con equazioni de tipo dea seguente Le souzioni vengono scritte in questa forma x ˆ _ x ˆ 5 4. 4x x ˆ 5 x In sostanza viene scritto anche x ˆpercheÁ, una vota fatto i denominatore comune, a numeratore si ha iniziamente un poinomio di secondo grado che poi, riducendo i termini simii, diventa di primo grado; Derive interpreta questa situazione come se si fosse persa una souzione e evidenzia questo fatto scrivendo x ˆ. Da utimo vediamo a risouzione di un'equazione etterae, per esempio: a x a ˆ x a Questa vota nea prima coonna dea finestra de comando Risovi/Espressione ci sono sia a ettera x che a ettera a, maax eá giaá evidenziata; normamente viene data precedenza aa x come sceta di incognita ma si puoá cambiare deseezionando x e seezionando successivamente un'atra ettera. La souzione proposta eá x ˆ a a Derive non eá in grado di discutere 'equazione; tuttavia, portando tutti i termini a primo membro, scrivendo quindi a x a x a ˆ 0 e usando 'icona Visuaizza passaggi, si puoá trasformare 'equazione nea sua forma normae e da questa eá poi sempice condurre a discussione: per a 6ˆ troviamo a souzione precedente x a a ˆ 0 per vedere che cosa succede ne caso a ˆ basta usare i comando Sempifica/Sostituisci variabii che apre a finestra a ato. Dopo aver indicato a ettera a come variabie di sostituzione, nea riga Nuovo vaore inserisci e cicca su pusante Sempifica; poicheá ottieni ˆ 0 puoi dedurre che per a ˆ 'equazione eá impossibie.. LA RISOLUZIONE GRAFICA DI UN'EQUAZIONE Usiamo Derive Abbiamo giaá visto che i grafico di una funzione si puoá tracciare con Derive scrivendo a sua equazione nea finestra di agebra; ricordiamo a procedura: si scrive 'equazione dea funzione nea finestra di Agebra si apre a finestra grafica da menu Finestra scegiendo Nuova finestra grafica D da menu Finestra si cicca poi sua voce Disponi verticamente in modo da avere a possibiitaá di vedere entrambe e finestre di agebra e grafica facendo attenzione che nea finestra grafica sia attiva a riga con 'equazione dea funzione, si cicca su'icona Traccia i grafico. Tema - Cap. : LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
I grafico dea funzione viene disegnato; nea figura seguente abbiamo rappresentato i grafico dea funzione y ˆ x che eá rappresentato da una retta. Consideriamo adesso 'equazione in forma normae x ˆ 0 e associamo ad essa a funzione y ˆ x di cui abbiamo appena costruito i grafico. Possiamo interpretare 'equazione come a ricerca de punto dea funzione a cui ordinata, cioeá a y, eá uguae a zero. Tenendo presente che i soi punti che hanno ordinata uguae a zero si trovano su'asse x, a souzione de'equazione eá rappresentata graficamente da punto in cui a retta incontra tae asse, ne nostro caso i punto di ascissa. Per evidenziare graficamente i punto a cui ascissa rappresenta a souzione de'equazione, bisogna prima inserire e sue coordinate nea finestra di agebra racchiudendoe in una coppia di parentesi quadre; scriviamo quindi:,0 Passiamo poi aa finestra grafica e cicchiamo su'icona di tracciamento de grafico. Usiamo GeoGebra Abbiamo giaá visto come si costruisce i grafico di una funzione con questo software. Una vota aperto i programma, asciamo aperta a finestra con i riferimento cartesiano e nea riga di inserimento scriviamo 'equazione dea funzione, per esempio y ˆ x Aa conferma de'inserimento con i tasto Invio, subito viene disegnato i grafico dea retta ad essa corrispondente. Per disegnare i punto che rappresenta a souzione de'equazione x ˆ 0 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE EQUAZIONI
cioeá i punto de'asse x di ascissa 6, dobbiamo scriverne e coordinate e dare ad esso un nome, per esempio P; in GeoGebra si scrive: P ˆ 6, 0 Nea finestra grafica viene disegnato i punto souzione.. LE EQUAZIONI CON EXCEL Possiamo risovere un'equazione anche con Exce, se questa eá data nea forma ax ˆ b Imposta dunque i fogio di avoro come indicato nea figura a termine de'esercitazione, inserendo i vaori de coefficiente a e de termine noto b rispettivamente nee cee Be B4. Per trovare a souzione de'equazione occorre distinguere i caso in cui a cea Bha vaore 0 percheâ sappiamo che, in questo caso, 'equazione non eá determinata. Conviene quindi usare a funzione di seezione SE in questo modo (riferisciti ao schema a ato): se B eá diverso da zero, aora cacoa B4/B atrimenti, se B4 eá diverso da zero, scrivi che 'equazione eá impossibie, atrimenti scrivi che 'equazione eá indeterminata. La funzione SE usa quindi a suo interno un'atra funzione SE; a formua da inserire nea cea B6 eá a seguente: B6 : ˆ SE B <> 0; B4=B; SE B4 <> 0; "equazione impossibie"; "equazione indeterminata" 4 Tema - Cap. : LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
Modifica adesso i contenuti dee cee Be B4 in modo da verificare in tutti i casi possibii a correttezza dea formua. A B C D E F G RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA FORMA ax=b Vaore di a 5 4 Vaore di b -4 5 6 Souzione -0,8 ESERCIZI. Risovi con Derive e seguenti equazioni e procedi poi aa verifica dee souzioni mediante sostituzione. a. x x x ˆ x b. c. x 6 x 4 ˆ x 4 x d. x 4 x x x ˆ x 6 x ˆ x x e. x 4 x ˆ x 6 x x 4 f. 5x 6 x 7 6 ˆ x. Risovi con Derive e seguenti equazioni etterai; verifica poi se a souzione trovata eá accettabie per i vaori assegnati dei parametri. a. ax a ˆ x a a ˆ 0 a ˆ a ˆ a ˆ b. c. d. x a ˆ x a x a ˆ x a x a x ˆ a x x a ˆ 0 a ˆ 6 a ˆ a ˆ a ˆ 0 a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a ˆ 0 a ˆ a ˆ. Risovi graficamente e seguenti equazioni ineari usando Derive oppure Geogebra: a. x ˆ 0 b. 4 5x ˆ 0 c. x 4 ˆ 0 d. x 5 ˆ 0 e. 6 x ˆ 0 f. x ˆ 0 g. 4 x ˆ 0 h. x ˆ 0 4. Usando i fogio di avoro di Exce preparato ne'esercitazione, risovi 'equazione ax ˆ b per i seguenti vaori di a edib. a. a ˆ 5 b ˆ 4 b. a ˆ 0 b ˆ c. a ˆ 0 b ˆ 0 d. a ˆ b ˆ 0 e. a ˆ b ˆ f. a ˆ 6 b ˆ 9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE EQUAZIONI 5
Matematica e storia Le equazioni ed i metodo dea fasa posizione Abbiamo accennato atrove ae abiitaá raggiunte in campo matematico dagi antichi Egiziani. Ne papiro di Ahmesed anche in queo di Rhind vi sono acuni probemi che richiedono di trovare 'equivaente di souzioni di equazioni ineari nea forma che noi oggi scriveremmo cosõá: x ax ˆ b, dove a e b sono noti mentre x non o eá. In quei testi 'incognita viene indicata con i termine «aha», che vuo dire «mucchio». I probema 4 de papiro di Ahmeschiede ad esempio qua eá i vaore de mucchio se i mucchio ed de mucchio sono 7 uguai a 9. Tradotto ne formaismo agebrico che siamo soiti usare oggi: x 7 x ˆ 9. Naturamente per noi oggi eá moto sempice risovere questa equazione, ma gi antichi non conoscevano 'agebra e e sue regoe; gi Egiziani peroá avevano inventato un metodo di risouzione che oggi eá noto come i metodo dea "fasa posizione". Con questo procedimento si attribuisce a mucchio (a nostra x) un vaore specifico che, moto probabimente, non eá queo esatto; su questo vaore si eseguono poi e operazioni indicate aa sinistra de segno di uguagianza e si confronta i risutato ottenuto con queo desiderato. Ne papiro di Ahmesi numero sceto eá i 7, cosõá, attribuendo ad x questo vaore, 'espressione a sinistra de'uguae diventa 7 7, cioeá 8, che non 7 eá sicuramente uguae a 9. I metodo degi egiziani prosegue con un cacoo anaogo a quea che per noi oggi eá a risouzione di una proporzione; essi si chiedevano: se quando i mucchio vae 7 i risutato eá 8, che vaore ha i mucchio se i risutato eá 9? CioeÁ 7 : 8 ˆ x : 9, ovvero x ˆ 9 7 che 8 eá proprio a souzione de'equazione. Usando i metodo dea fasa posizione prova adesso a risovere questi probemi: Un pao eá infisso ne terreno per i dea sua unghezza, cioeá per 50cm; quanto eá ungo i 5 pao? 7 Un numero sommato ai suoi daá 5; qua eá i 6 numero? Se ad un segmento si aggiungono i deo stesso segmento si ottiene un segmento ungo cm; 5 quanto eá ungo i primo segmento? I probemi di Tartagia Nea scheda suo sviuppo storico de'agebra abbiamo parato di Tartagia e dei cartei di matematica disfida; fra i probemi trattati da Tartagia te ne proponiamo uno che Tartagia stesso risose con i metodo dea fasa posizione. Uno mercante compra 6 pezze di panni fetrini, e 8 pezze di panni di Boogna, e pezze di panni scaratini per ducati 50. Li panni di Boogna gi costano a pezza tre vote di queo che gi costoá a pezza di panni fetrini, e a pezza di panni scaratini gi costarono un tanto e mezzo di queo che gi costoá a pezza di panni di Boogna. Si dimanda quanto gi costoá a pezza di panni fetrini e di ciascuna dee atre due sorte. Ecco come Tartagia risose i probema. Pone che a pezza di panni fetrini costa queo che ti pare: 4 ducati... cioeá, proseguendo ne inguaggio dei nostri giorni, se poniamo che i costo di una pezza di fetro sia una somma a caso, per esempio 4 ducati, tenendo presente che i panno di Boogna eá tre vote queo de fetro e i panno scaratto costa ˆ de costo de panno di Boogna, aora: 6 pezze di fetro costerebbero 4 6 ˆ 44 ducati una pezza di panni di Boogna costerebbe 4 ˆ 7 ducati e 8 pezze ne costerebbero 7 8 ˆ 576 6 Tema - Cap. : LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
una pezza di panno scaratto costerebbe 7 ˆ 08 ducati e pezze ne costerebbero 08 ˆ 96 e in totae a spesa sarebbe di 06 ducati. Aora i costo x di una pezza di fetro deve soddisfare a proporzione x : 4 ˆ 50 : 06 da cui x ˆ 0 ducati. I seguenti due probemi di Tartagia sono spesso presentati sotto forma di gioco anche su moti ibri. Sono tre bei gioveni freschi e gagiardi, i quai hanno tre bee damigee per mogiere, e sono geosi tutti, cosõáe mogiere dei mariti, come i mariti dee mogiere. Accadde che costoro si parteno da casa di brigata per esser vicini per voer andar a una certa perdonanza, onde accadette che nea via gi trovorno un fiume moto argo da passar, e non vi era ne ponte, ne porto, ma per sua ventura gi trovorno un navetto piccoo, che non gi poteva star dentro piuá che due persone, dimando, come faranno a passare senza acun sospetto di geosia. Questo stesso probema eá oggi conosciuto come queo de savare capra e cavoi e racconta di un traghettatore che deve trasportare da una sponda a'atra tre capre e tre cavoi in modo che una capra non resti mai da soa con un cavoo. Sono duoi che hanno robbato una ampoetta di basamo a uno signor, nea quae era dentro oncie 8 di basamo a ponto accadette che costoro ne suo partire trovorno uno vedriaro, che haveva soamente due ampoette 'una dee quai teneva oncie 5, 'atra oncie e cosõáper a pressa che oro havevano gi comprorno queste due e camminorno di ongo fin che furono a sicuro, poi si missero a voer partir questo basamo, dimando come fecero non havendo ne peso, ne atra misura certa. Questo probema de 550 eá stato addirittura messo in una scena di un famoso fim con Bruce Wiis, Die Hard, ne quae i due protagonisti, i tenente John McLaine ed i suo partner per caso Zeus Carver, dovevano porre esattamente 4 itri d'acqua presi da una fontana per evitare o scoppio di una bomba, avendo a disposizione due taniche rispettivamente da itri e da 5 itri; naturamente i due eroi sono stati in grado di risovere i probema in men che non si dica e di evitare o scoppio dea bomba. Vuoi provare a trovare a souzione di questi due probemi? Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE EQUAZIONI 7
Quanto vae 6a se a ˆ b? a. 4b b. 4b c. 4b d. 4b 4 e. nessuna dee precedenti b:š Sia x ˆ, y ˆ, z ˆ.Con a seguente serie di passaggi agebrici si arriva daa premessa corretta x ˆ y z aa concusione erronea x ˆ y.in quae passaggio si commette 'errore? a. x x y ˆ y z x y motipicando per x y b. x xy ˆ xy xz y yz svogendo i prodotti c. x xy xz ˆ xy y yz portando xz a primo membro d. x x y z ˆy x y z raccogiendo a fattor comune e. x ˆ y sempificando e:š Se a ˆ b ˆ c ˆ d 4, qua eá i piuá piccoo dei numeri a, b, c, d? a. a b. b c. c d. d e. non si puoá stabiire in base ai dati de probema e:š 4 La souzione dea seguente equazione x x x :::: x 00 00 ˆ 00 eá: a. quasiasi numero x b. 00 c. 0 d. e. nessuna dee precedenti e:š 5 Ai tempi dea ira, un incaito giocatore paga 5000 per entrare in una casa da gioco dove raddoppia i suoi sodi.uscito paga 5000 per i parcheggio de'auto, ma, visto che a fortuna gi eá propizia, entra in una seconda casa da gioco ad ingresso gratuito, ove nuovamente raddoppia i suo danaro.dopo aver nuovamente pagato i parcheggio de'auto con 6000, si accorge che non gi rimane nua ne portafogio.quanti sodi aveva iniziamente i giocatore? a. 0000 b. 000 c. 5000 d. i dati sono insufficienti e. e risposte precedenti sono tutte errate e:š 6 Un giornae costa E 0,90; a chi o acquista viene offerto un suppemento facotativo de costo di E,50. A fine giornata sono state vendute copie de giornae e 'incasso compessivo dea vendita de giornae e dei reativi suppementi eá stato di E 59,70.Quanti suppementi sono stati acquistati? a. meno di 66 b. piuá di 67 e meno di c. piuá di e meno di 00 d. piuá di 0 e meno di 66 e. piuá di 66 c:š 7 Data una funzione reae tae che f x a. 0 b. ˆf x c. d. e tae che f ˆ, quanto vae f? e. d:š 8 Tema - Cap. : LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
Quae banca per i conto corrente? Per Natae Antonio ha ricevuto in regao dee somme di denaro e ha deciso di aprire un conto corrente in una Banca. Non vuoe peroá agire di fretta e decide di informarsi presso e banche dea sua cittaá in modo da avere e condizioni piuá favorevoi. Suo padre gi suggerisce di stare attento non soo a tasso di interesse che a banca propone (i tasso creditore), ma anche a tasso di interesse sugi eventuai scoperti (i tasso debitore), ae spese di gestione de conto, aa gratuitaá o meno dea carta bancomat e cosõá via. Antonio chiama a sua amica Laura e e chiede di accompagnaro nee tre banche che ha sceto dea sua cittaá. Insieme parano con i funzionari di ciascuna banca e aa fine si ritrovano con un certo numero di opuscoi che spiegano tutte e caratteristiche dee diverse tipoogie di conto. "Perfetto" commenta Antonio "adesso dobbiamo cercare di chiarirci e idee; quando e informazioni sono troppe, eá megio seezionare quee che servono." Antonio si mette a eggere e caratteristiche di ogni tipo di conto e Laura annota tutto in una tabea. Ecco che cosa dice Antonio. "La Puscredit ci offre un conto con un numero massimo di 80 operazioni a'anno gratuite e un tasso di interesse de,5%; e operazioni otre e 80 e paghiamo 50 centesimi 'una e se andiamo in rosso paghiamo interessi de,75%. La carta Bancomat eá gratuita, non ci sono spese di apertura de conto ma costa E 0 se decidiamo di chiudero. Possiamo anche gestire i conto via Internet senza spese aggiunte. La Midcredit ci daá un interesse moto piuá basso percheá eá deo 0,5%, ma ci daá un numero iimitato di operazioni a un costo fisso annuo di E 60, carta Bancomat gratuita e non costa nua neá aprire neá chiudere i conto. I tasso debitore peroá eá de 5%. Anche qui a gestione via Internet eá gratuita. La Minicredit ci fa pagare ogni operazione 0 centesimi e non ne abbiamo di gratuite; peroá i tasso eá piuttosto ato, eá de 4%, mentre i tasso debitore eá de %. Bancomat gratuito, possibiitaá di gestione via Internet de conto come per e atre due banche e si pagano E 0 per e spese di chiusura". Quea che segue eá a tabea che Laura ha preparato; competaa inserendo e informazioni. tasso creditore tasso debitore spese di gestione fisse spese variabii spese di chiusura Puscredit Midcredit Minicredit Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema - Cap. : LE EQUAZIONI 9
Rispondi adesso ae domande. Antonio prevede di fare mediamente 0 operazioni a mese e di non andare mai in rosso.considerando soamente e spese, qua eá a banca che offre e condizioni migiori? Cambia a risposta aa precedente domanda se e operazioni sono mediamente 0 a mese? Sempre considerando soo e spese, con quante operazioni a'anno a Puscredit eá equivaente aa Midcredit o aa Minicredit? Con quante operazioni sono invece equivaenti a Midcredit e a Minicredit? 4 Se Antonio pensa di poter mantenere una somma di E 000 su conto e di eseguire circa 90 operazioni a'anno, quae banca conviene scegiere? 5 Qua eá a somma che Antonio deve tenere su conto affincheâ e condizioni dea Minicredit, supponendo un numero di operazioni a'anno pari a 60, equivagano a quee dea Puscredit? 6 Supposto che Antonio riesca ad avere E 0000 per i primi otto mesi e i numero di operazioni in un anno sia pari a 50, qua eá 'importo massimo che puoá preevare dopo questo periodo per arrivare a fine anno chiudendo in pareggio (cioeá con un sado uguae a zero) in ciascuna dee tre banche? Puscredit Midcredit 00, circa, 00 4 Minicredit 5 E 800 6 con a Puscredit: E 059,87; con a Midcredit: non eá possibie; con a Minicredit: E 046,79 0 Tema - Cap. : LE EQUAZIONI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA