ANNO SCOLASTICO 2014/2015 PROGETTO: AREE A RISCHIO CORSO: MANI ABILI MATEMATICA DOCENTE PROF. ROBERTO TOMA
ARGOMENTI DEL CORSO SISTEMA METRICO DECIMALE SCALA DELLE LUNGHEZZE SCALA DELLE AREE SCALA DEI VOLUMI SCALA DEI PESI SCALA DELLE CAPACITA' LE EQUIVALENZE LE PROPORZIONI LE PERCENTUALI LE PROPORZIONI E LE PERCENTUALI IN CUCINA ESERCIZI
IL SISTEMA METRICO DECIMALE Quando vogliamo misurare una grandezza dobbiamo utilizzare una UNITA' DI MISURA. Così se vogliamo misurare la lunghezza di un pezzo di stoffa possiamo usare come unità di misura il metro, ma potremmo utilizzare anche il decimetro o il centimetro o anche, potremmo esprimere la lunghezza della stoffa confrontandola col nostro palmo della mano. Cosa significa tutto questo? Che l'unita' DI MISURA da usare può essere SCELTA A PIACERE. In passato accadeva spesso che in ogni nazione, ma anche nelle varie regioni di uno stesso Stato, si usavano unità di misure diverse. Chiaramente questa consuetudine rendeva più difficoltosi gli scambi commerciali e i calcoli da effettuare nelle compravendite. Per queste ragioni si è cercato di adottare delle unità di misura uniche nei differenti paesi del mondo. In Francia, nel 1775, fu costituita una commissione di scienziati presieduta da Luigi Lagrange con l'obiettivo di unificare le unità di misura in modo da creare un insieme di unità da usare per le misure di lunghezza, di peso, di capacità, e così via. Il nuovo sistema fu chiamato SISTEMA METRICO DECIMALE, e viene spesso abbreviato con la sigla S.M.D.. Esso fu adottato dalla maggior parte dei paesi del mondo, con esclusione dell'inghilterra e dell'america che hanno continuato ad impiegare, rispettivamente, il sistema di misura inglese e quello americano. L'Inghilterra ha adottato il sistema metrico decimale solamente da alcuni anni. La rapida diffusione del sistema metrico decimale è stata determinata soprattutto dalla sua estrema semplicità, infatti esso si fonda su unità di misura legate ai propri multipli e sottomultipli dal rapporto di uno a dieci, uno a cento, uno a mille: i MULTIPLI di una unità di misura sono 10, 100, 1.000 volte più grandi di essa; i SOTTOMULTIPLI di una unità di misura sono 10, 100, 1.000 volte minori di essa. Questo rende estremamente agevole convertire una unità di misura in un suo multiplo o in un suo sottomultiplo. Il SISTEMA METRICO DECIMALE deve il suo nome:
al fatto di essere un sistema DECIMALE, cioè in BASE 10. Come abbiamo detto, infatti, il rapporto fra ogni unità di misura e i suoi multipli e sottomultipli è sempre dieci o multiplo di dieci; ad una unità di misura in particolare, ovvero il METRO che ha una lunghezza pari alla quarantamilionesima parte del meridiano terreste. Il prototipo del metro è depositato a Parigi, presso il Museo dei pesi e delle misure a Sèvres. Esso è costituito da una lega inalterabile formata da 90 parti di platino e 10 parti di iridio e viene conservata alla temperatura costante di zero gradi. Dal metro derivano tutte le altre unità di misura che formano il sistema metrico decimale: le misure di peso, di superficie, di capacità, ecc.. Spesso il SISTEMA METRICO DECIMALE viene chiamato anche SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITA' DI MISURA che viene abbreviato con la sigla S.I.
LA SCALA DELLE LUNGHEZZE L'UNITA' DI MISURA delle LUNGHEZZE è il METRO che viene indicato con la sigla m. Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del METRO con le rispettive sigle. MULTIPLI UNITA' DI MISURA SOTTOMULTIPLI chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro km hm dam m dm cm mm 1.000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Come si trasforma una misura di lunghezza in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che: per trasformare una unità di lunghezza in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura; 43,25 m = 4,325 dam 258,12 m = 2,5812 hm 4327,1 m = 4,3271 km 512 mm = 51,2 cm
per trasformare una unità di lunghezza in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura. 4,15 m = 41,5 dm 40,318 m = 40.318 mm 1,3275 hm = 1.327,5 dm. Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle cifre non è sufficiente. 4 m = 0,004 km 0,5 m = 50 cm.
LA SCALA DELLE AREE La MISURA DI UNA SUPERFICIE si dice AREA. L'UNITA' DI MISURA principale di SUPERFICIE è il METRO QUADRATO che viene indicato con la sigla mq oppure con m 2. Il METRO QUADRATO corrisponde ad un quadrato il cui lato è lungo 1 metro. Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del METRO QUADRATO con le rispettive sigle. chilometro quadrato ettometro quadrato MULTIPLI decametro quadrato UNITA' DI MISURA metro quadrato decimetro quadrato SOTTOMULTIPLI centimetro quadrato millimetro quadrato km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1.000.000 m 2 10.000 m 2 100 m 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0,000001 m 2 Come si trasforma una misura di superficie in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che: per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante COPPIE di cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura; 513,8 m 2 = 5,1380 dam 2 71831,7 m 2 = 7,183170 hm 2
3218,15 mm 2 = 32,1815 cm 2 per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE INFERIORE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tantecoppie di cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura. 5,12 m 2 = 512 dm 2 2,726 hm 2 = 272,60 dam 2 435,30 cm 2 = 43.530 mm 2. Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle cifre non è sufficiente. 6 m 2 = 0,06 dam 2 0,04 dam 2 = 400 dm 2.
LA SCALA DEI VOLUMI La MISURA DI UN SOLIDO prende in nome di VOLUME. L'UNITA' DI MISURA di VOLUME principale è il METRO CUBO che viene indicato con la sigla m 3. Il METRO CUBO corrisponde ad un cubo il cui spigolo è lungo 1 metro. Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del METRO CUBO con le rispettive sigle. MULTIPLI UNITA' DI MISURA SOTTOMULTIPLI decametro cubo metro cubo decimetro cubo centimetro cubo millimetro cubo dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1.000 m 3 0,001 m 3 0,000001 m 3 0,000000001 m 3 Come si può notare dalla tabella precedente, i multipli del metro cubo sono poco utilizzati e si è soliti impiegare solamente il decametro cubo. Come si trasforma una misura di volume in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
per trasformare una unità di volume in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tantigruppi DI TRE CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura; 1.508,8 m 3 = 1,5088 dam 3 13.850,7 dm 3 = 13,8507 m 3 3.125.360,7 mm 3 = 3,1253607 dm 3 per trasformare una unità di superficie in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tanti GRUPPI DI TRE CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura. 512,321 m 3 = 512.321 dm 3 2,7261 cm 3 = 2726,1 mm 3 4,353022 m 3 = 4353022 cm 3. Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle cifre non è sufficiente. 5 m 3 = 0,005 dam 3 0,08 dam 3 = 80 m 3.
LA SCALA DEI PESI L'UNITA' DI MISURA principale di PESO è il CHILOGRAMMO che viene indicato con la sigla kg. Un CHILOGRAMMO è all'incirca pari al peso di un decimetro cubo di acqua distillata alla temperatura di 4 gradi centigradi. Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del CHILOGRAMMO con le rispettive sigle. megagrammo MULTIPLI centinaia di chilogrammi decine di chilogrammi UNITA' DI MISURA SOTTOMULTIPLI chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo Mg kg hg dag g 1.000 kg 100 kg 10 kg 0,1 kg 0,01 kg 0,001 kg Come possiamo notare non esiste nessuna sigla per indicare le centinaia di chilogrammi e le decine di chilogrammi. Spesso si parla di: miriagrammo (abbreviato con la sigla Mg esattamente come il megagrammo) per indicare 10 chilogrammi; quintale (abbreviato con la sigla q) per indicare 100 chilogrammi; tonnellata (abbreviata con la sigla t) per indicare 1.000 chilogrammi. Queste unità di misura non sono riconosciute dal Sistema Internazionale di Unità di Misura. Ciò nonostante, soprattutto i quintali e le tonnellate, continuano ad essere diffuse come unità di misure. Per indicare delle grandezze molto piccole, si impiegano i SOTTOMULTIPLI DEL GRAMMO. Eccoli riportati nella tabella che segue. SOTTOMULTIPLI DEL GRAMMO
grammo decigrammo centigrammo milligrammo g dg cg mg 0,1 g 0,01 g 0,001 g Il GRAMMO corrisponde al peso di un centimetro cubo di acqua distillata. Come si trasforma una misura di peso in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente le tabelle che abbiamo appena visto e ricordare che: per trasformare una unità di peso in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura; 51,8 dg = 5,18 g 1.327,15 kg = 1,32715 Mg 70 g = 7 dag per trasformare una unità di peso in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura. 5,14 kg = 51,4 hg 20,78 hg = 207,8 dag 4,21 g = 421 cg. Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle cifre non è sufficiente. 600 kg = 0,6 Mg 4 g = 400 cg.
LA SCALA DELLE CAPACITA L'UNITA' DI MISURA principale delle CAPACITA' è il LITRO che viene indicato con la sigla l. Il LITRO rappresenta la CAPACITA' equivalente al VOLUME DI 1 DECIMETRO CUBO. Riportiamo, nella tabella che segue, i MULTIPLI e i SOTTOMULTIPLI del LITRO con le rispettive sigle. MULTIPLI UNITA' DI MISURA SOTTOMULTIPLI ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro hl dal l dl cl ml 100 l 10 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l Come si trasforma una misura di capacità in un'altra? Per farlo dobbiamo tenere presente la tabella che abbiamo appena visto e ricordare che:
per trasformare una unità di capacità in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura; 31,8 l = 3,18 dal 300,25 l = 3,0025 hl 70 cl = 7 dl per trasformare una unità di capacità in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura. 5,12 l = 51,2 dl 2,7 hl = 27 dal 4,35 cl = 43,5 ml. Nel caso in cui dovesse essere necessario, si aggiungono degli zeri, se il numero delle cifre non è sufficiente. 6 l = 0,06 hl 0,4 dal = 40 dl.
LE EQUIVALENZE Quali sono le regole da applicare per eseguire correttamente le EQUIVALENZE? Cerchiamo di rispondere a questa domanda. Iniziamo col dire che il rapporto tra ogni misura e quella che la segue o la precede è di: DIECI per le misure di lunghezza, peso e capacità ; CENTO per le misure di superficie; MILLE per le misure di volume. Quindi, per trasformare una unità di misura, in un altra dello stesso tipo (ad esempio, metri in centimetri, centimetri in decametri, litri in decilitri, ecc..) si applicano le regole che seguono. MISURE DI LUNGHEZZA - PESO - CAPACITA' per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per DIECI, per CENTO o per MILLE per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 1,5 m = 0,15 dam da m a dam 1 gradino della scala dividiamo per 10 1,5 : 10 = 0,15 730,1 g = 7,301 hg da g ad hg 2 gradini della scala dividiamo per 100 730,1 : 100 = 7,301 1,7 cl = 0,0017 dal da cl a dal 3 gradini della scala dividiamo per 1000 1,7 : 1.000 = 0,0017
per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per DIE- CI, per CENTO o per MILLE per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 18 l = 180 dl da l a dl 1 gradino della scala moltiplichiamo per 10 1,3 dag = 130 dg da dag a dg 2 gradini della scala 7,5 m = 7.500 mm da m a mm 3 gradini della scala 18 x 10 = 180 moltiplichiamo per 100 1,3 x 100 = 130 moltiplichiamo per 1000 7,5 x 1.000 = 7.500
MISURE DI SUPERFICIE per trasformare una unità di misura di superficie in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tante COPPIE di cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per 100 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 70 m 2 = 0,7 dam 2 da m 2 a dam 2 1 gradino della scala 531,11 mm 2 = 0,053111 dm 2 da mm 2 a dm 2 2 gradini della scala dividiamo per 100 70 : 100 = 0,7 dividiamo per 10.000 531,11 : 10.000 = 0,053111 per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tante COPPIE di cifre quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per 100 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 7 m 2 = 700 dm 2 da m 2 a dm 2 1 gradino della scala 3,5 m 2 =35.000 cm 2 da m 2 a cm 2 2 gradini della scala moltiplichiamo per 100 7 x 100 = 700 moltiplichiamo per 10.000 3,5 x 10.000 = 35.000
MISURE DI VOLUME per trasformare una unità di misura di volume in un'altra di ORDINE SUPERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso SINISTRA di tanti GRUPPI DI TRE CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, DIVIDENDO per 1.000 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 132,7 m 3 = 0,1327 dam 3 da m 3 a dam 3 1 gradino della scala 7 mm 3 = 0,000007 dm 3 da mm 3 a dm 3 2 gradini della scala dividiamo per 1.000 132,7 : 1.000 = 0,1327 dividiamo per 1.000.000 7 : 1.000.000 = 0,000007 per trasformare una unità di misura in un'altra di ORDINE INFERIO- RE dobbiamo SPOSTARE LA VIRGOLA verso DESTRA di tanti GRUPPI DI TRE CIFRE quanti sono i POSTI che INTERCEDONO tra le due unità di misura, MOLTIPLICANDO per 1.000 per ogni gradino della scala di misure e aggiungendo degli zeri se necessario. 2 m 3 = 2.000 dm 3 da m 3 a dm 3 1 gradino della scala moltiplichiamo per 1.000 2 x 1.000 = 2.000
0,5 m 3 =500.000 cm 3 da m 3 a cm 3 2 gradini della scala moltiplichiamo per 1.000.000 0,5 x 1.000.000 = 500.000 LE PROPORZIONI CHE cos'è una proporzione? Spesso sentiamo parlare di grandezze e quantità proporzionali tra loro, o che sono in proporzione a qualcos'altro. In questa lezione spiegheremo qual è il significato aritmetico delle proporzioni, come si svolgono gli esercizi e come si usano nella pratica e nella vita di tutti i giorni. Una proporzione non è nient'altro che un'uguaglianza tra due rapporti. Se abbiamo quattro numeri, o quantità, o grandezze a, b,c,d e scriviamo = stiamo considerando un'uguaglianza tra il rapporto (divisione) tra a e b e il rapporto tra c e d. Un modo alternativo di scrivere la precedente uguaglianza è a : b = c : d A CHE COSA SERVONO LE PROPORZIONI? Non c'è nessun significato nascosto, non c'è nulla di difficile: una proporzione serve solamente a dire che due coppie di numeri, nel caso precedente (a,b) e (c,d), stanno nello stesso rapporto tra loro. Non è importante quali siano, separatamente, i numeri a,b,c,d. Ciò che conta è il risultato delle divisioni a:b e c:d. Una proporzione esprime cioè una particolare relazione tra due numeri: le due coppie di numeri devono avere lo stesso rapporto. Esempio 80 sta a 40 come 2 sta a 1. Infatti 80 : 40 = 2 e 2 : 1 = 2, quindi 80 : 40 = 2 : 1 Se è la prima volta che hai a che fare con le proporzioni, probabilmente ti starai chiedendo "ma che me ne faccio di questa roba?!". Ti proponiamo un esempio che ti farà capire subito in che modo le proporzioni sono utili nella vita di tutti i giorni......ieri sono andato al bar e ho mangiato 150g di sfoglia al prosciutto e formaggio pagando 4,50 euro. Oggi ho tanta fame, e voglio mangiarmi 250g della stessa sfoglia. Il problema è che non so se i soldi che ho in tasca saranno sufficienti per pagare il
conto. Se il barista non ha cambiato i prezzi, dovrò pagare un totale proporzionale al peso della sfoglia ordinata. Ieri 150g per 4,50 euro, oggi 250g per...? 4,50:150 = x:250 Dato che i due rapporti devono coincidere: 4,50 : 150 = 0.03 e x : 250 = 0.03, da cui x= 0,03 250 = 7,50 Dovrò quindi pagare 7,50 euro per 250g di sfoglia: molto meglio stare a dieta... PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI Prima di tutto, un paio di nomi: chiamiamo estremi proporzionali i due numeri più esterni rispetto all'uguale, e chiamiamo medi proporzionali i due numeri più vicini all'uguale. Nella precedente scrittura i due medi proporzionali sarebbero b e c, mentre gli estremi sarebbero a e d. Proprietà delle proporzioni: Proprietà fondamentale: a d = b c Proprietà dell'invertire: b : a = d : c Permutare i medi: Permutare gli estremi: a : c = b : d d : b = c : a Proprietà del comporre: (a+b) : b = (c+d) : d e (a+b) : a = (c+d) : c Proprietà dello scomporre: se a>b (a-b) : a = (c-d) : c e (a-b) : b = (c-d) : d
COME RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE PROPORZIONI CON L'INCOGNITA X Immaginiamo di dover risolvere un esercizio in cui vogliamo determinare una quantità incognita x, legata in una qualche proporzione ad altre tre grandezze (come e quali dipenderà dal testo dell'esercizio). Un esempio è proprio quello del bar visto prima! Se ad esempio abbiamo a,b,c,x e conosciamo solo a,b,c e il testo ci porta ad avere una proporzione del tipo a : x = b : c Se l incognita x è un medio della proporzione, come nel nostro esempio, essa sarà uguale al prodotto degli estremi diviso l altro medio, cioè: x = Se l incognita x è un estremo della proporzione allora essa sarà uguale al prodotto dei medi diviso l altro estremo. Esempi: 4 : x = 3 : 12 x = = 16 4 : 16 = 3 : x x = = 12 Ritornando all esempio della sfoglia al prosciutto e formaggio: 4,50 : 150 = x : 250
x =, = 7,50 euro LE PERCENTUALI Niente paura: le percentuali ed il calcolo percentuale sembrano cose strane, ma non sono nulla di complicato. Una percentuale - si indica con %, e si legge "per cento" - esprime una frazione di una determinata quantità. Nella vita di tutti i giorni sentiamo spesso parlare di percentuali, e siamo abituati a sentire frasi del tipo "il 60% delle persone è castana", "l'iva è al 21%", "i prezzi sono aumentati del 2%", e così via... Vediamo quindi di capire cosa sono, come si calcolano le percentuali e di applicare il tutto a qualche esempio. COSA SONO LE PERCENTUALI E COME SI EFFETTUA IL CALCOLO PERCENTUALE? Come abbiamo accennato all'inizio, una percentuale esprime una frazione di una determinata quantità. Prendiamo un qualsiasi numero con la virgola o senza, in pratica un qualsiasi numero reale, chiamiamolo x e scriviamo x % Si legge "x per cento" ed il termine x si dice tasso percentuale. Tale percentuale si riferisce ad una qualche quantità, una quantità totale, di cui vogliamo prendere l'x per cento. Ad esempio, potremmo parlare del 20 per cento degli abitanti d'italia. Com'è definito l'x%, o x per cento, di una determinata quantità? In questo modo x% = Dire "x% per cento di qualcosa"
Sta semplicemente ad indicare la quantità pari a di qualcosa. Esempio Il 30% degli italiani beve bibite gassate. Ok, ma in termini quantitativi cosa significa? In Italia ci sono 60.000.000 di persone, il 30% di 60.000.000 a quanto ammonta? x 60.000.000= 30x600.000 = 18.000.000 DALLA PERCENTUALE ALLA FRAZIONE Lo abbiamo appena visto. Prendiamo il numero espresso in termini percentuali, e dividiamolo per cento: la frazione che otteniamo fornisce una rappresentazione alternativa della stessa quantità x% = COME SI CALCOLA LA PERCENTUALE? Se invece conosciamo una parte di una quantità Q espressa in termini di frazione, e vogliamo scriverla sotto forma di percentuale, come ad esempio Q =? % di Q è sufficiente esprimere la frazione come numero decimale e moltiplicarla per cento: 100 % Per chi fosse interessato, il motivo del precedente passaggio è semplice. Se vogliamo trovare il numero x che esprime la frazione come percentuale, basta ricordare che
x% quindi per far sì che x% basta scrivere e quindi Esempio = = 100 I quattro quinti, cioè i 4/5, di 60 ragazzi ascolta musica. A quale percentuale di ragazzi corrisponde la precedente frazione? I 4/5 di 60 è uguale a 48, quindi 48 ragazzi su 60 ascoltano musica, ma a quanto corrisponde in percentuale? Grazie alla formula che abbiamo appena visto, ci basta calcolare e quindi l'80% dei ragazzi ascolta musica. 4 100 = 4 20 = 80 5
LA PERCENTUALE COME PROPORZIONE In una scuola 75 alunni su 300 portano gli occhiali. Qual è la percentuale degli alunni con gli occhiali? Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricorrere alle proporzioni. Vediamo come. Il rapporto degli alunni con gli occhiali è 75:300; per esprimerlo sotto forma di percentuale dobbiamo considerare il totale non più come 300 ma come 100. Si deve cioè trasformare il rapporto 75:300 nel rapporto x:100. Imposteremo allora la proporzione: 75 : 300 = x :100 la quale, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, ci fornirà il valore della x = 75 100 300 = 25 Ovvero ogni 100 alunni 25 portano gli occhiali, cioè esattamente il 25%
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE PERCENTUALI Le percentuali si rappresentano graficamente per mezzo degli areogrammi; vediamo come utilizzarli per rappresentare le percentuali tramite il seguente esempio. In Italia il 62% delle famiglie ha un cane, il 22% un gatto ed il 16% un criceto. Per disegnare l' areogramma calcoliamo i valori dell'ampiezza degli angoli che corrispondono alle percentuali. Poiché un diagramma a torta altro non è se non un angolo giro e misurerà quindi 360 per trovare l'ampiezza degli angoli basta impostare le seguenti proporzioni: x : 360 = 62 : 100 x = 62 360 100 y : 360 = 22 : 100 y = z : 360 = 16 : 100 z = 16 360 100 = 223 = 79 = 58 Armati di goniometro possiamo quindi rappresentare le nostre percentuali:
PROBLEMI ED ESERCIZI ESERCIZI: 389,7 dag = dg 0,26 cm 2 = mm 2 4.5 hm = m 56,60 m 2 = dam 2 0,056 kg = dg 23 dm 3 = m 3 2,07 dal = l 0,45 m 3 = cm 3 957 ml = dl 2,25 m 2 = dm 2 3,8 dm = dam 0,005 hm 2 = m 2 1035 mm=dam 45 cm 3 = dm 3 95 hl=l 1 hm 2 = m 2 PROBLEMA DEL MISURINO La ricetta di una torta richiede 6 dl di latte. Ho a disposizione un misurino della capacità di 5 cl. Quante volte lo devo riempire per arrivare alla quantità richiesta? Soluzione: Equivalenza: 6 dl = 60 cl Divisione: 60 cl/5 cl = 12 Risposta: 12 volte ESERCIZI: 1. Un bicchiere ha il volume di 50 ml. Quante volte dovrò riempirlo per arrivare ad 1 l? 2. Quante lattine di coca cola da 33 cl dovrò riempire per arrivare a circa 1 l? 3. Quante tazze da 250 ml dovrò riempire per arrivare ad 1 l?
PROBLEMA: La ricetta di un risotto prevede per 8 persone i seguenti ingredienti: 600 g di riso 32 code di gambero 4 zucchine 5 cucchiai di olio 10 cl di vino bianco 1 l di brodo vegetale Sale e pepe q.b. Se il risotto lo dovessimo preparare per 14 persone come dovremmo modificare le quantità degli ingredienti? Risultati: 1050g; 56; 7; circa 9; 17,5 cl; 1,75 l. PROBLEMA: In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto: 4 pizze: 20 euro. Bibite: 5 euro. 2 dessert: 4 euro. Servizio 15% (del totale). Quanto dovete pagare in tutto? Risultato: 33,35 euro.