La relatività enerale Mattia Villa V scientifico
Indice: Premessa.3 Punti di partenza per la relatività Generale 3 Esperimenti ideali..4 Relatività Generale e sue applicazioni...4 1. Effetti dello spazio-tempo curvo sulla luce...6 2. Il Redshift ravitazionale...8 3. Le onde ravitazionali...8 2
Premessa Dopo la formulazione della teoria della relatività ristretta, Einstein si trovò di fronte a due problemi: se fosse possibile introdurre la ravitazione all interno di questa teoria e se il primo deli assiomi della relatività ristretta, secondo il quale le lei fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, potesse essere ampliato a tutti i sistemi di riferimento. Questi due interroativi si fusero in uno solo e costituirono l ossatura della teoria della relatività enerale, che supera e completa quella della relatività ristretta. Albert Einstein Punti di partenza per la relatività Generale Per formulare li assiomi che stanno alla base della relatività enerale, Einstein si basò sull analisi di alcuni esperimenti ideali che avevano come fondamento il fatto che l accelerazione di ravità dipende solo dalla distanza a cui ci troviamo da un pianeta e dalla sua massa ravitazionale. Infatti il modulo F della forza di interazione ravitazionale tra un pianeta e un punto materiale, di massa ravitazionale m e massa inerziale m i, posto a distanza r dal centro del pianeta, è F = GM r 2 m dove M è la massa ravitazionale del pianeta e G è la costante di ravitazione universale. Il secondo principio della dinamica permette di calcolare l accelerazione del punto materiale dovuta alla forza ravitazionale razie all equazione F = m i a 3
In cui compare la massa inerziale del punto stesso. Sostituendo la prima formula nella seconda e ricavando l accelerazione da quest ultima, si ottiene a = M G 2 r m m i Poiché sulla base di accurate misure sperimentali il rapporto m /m i vale 1, sulla base di quest ultima espressione si ricava che a = M G r 2 che dimostra come per un valore di r fissato l accelerazione di ravità a dipende soltanto dalle costanti G e M, per cui risulta essa stessa una costante (indicata con la lettera ) uuale per tutti i corpi. Esperimenti ideali Immainando di trovarsi in un ascensore in caduta libera, dal momento che tutti i corpi interessati cadono con la stessa accelerazione si subiscono alcuni effetti particolari: infatti un osservatore posto al suo interno non percepirebbe più la pressione sulle piante dei piedi dovuta al proprio peso e non avvertirebbe più neanche il peso di un eventuale oetto nelle sue mani; lasciandolo andare esso si librerebbe a mezz aria senza spostarsi rispetto a lui. La situazione risulterebbe del tutto simile a quella che si vive a bordo di una navicella in orbita intorno alla terra, dove la situazione è simile (tutti i corpi si muovono con la medesima velocità), oppure su di un astronave che viai nello spazio profondo, a distanza enorme da oni corpo massivo, in modo tale che si possano considerare trascurabili le attrazioni ravitazionali che aiscono su di essa, sebbene in questo caso la situazione fisica sia molto diversa. Esiste anche un fenomeno complementare a quello appena descritto: se l astronave lontano da oni corpo massivo inizia ad accelerare sotto la spinta dei propri motori, tutti i corpi presenti al suo interno (che tendono a conservare il proprio moto rettilineo uniforme per il principio di inerzia) si troveranno spinti verso il fondo. Risulta quindi possibile, se l accelerazione dell astronave è costante, creare al suo interno una forza-peso fittizia che permetta ali astronauti di poiare i piedi sul pavimento. Nessuno deli esperimenti precedenti, se compiuto in un locale chiuso, permette allo sperimentatore di capire se si trova in presenza di un campo ravitazionale o all interno di un mezzo di trasporto che sta accelerando in modo costante. Relatività Generale e sue applicazioni Partendo dall analisi di esperimenti ideali come quelli appena presentati, Einstein formulò il principio di equivalenza che stabilisce che, in una zona delimitata dello spazio-tempo, è sempre possibile sceliere un opportuno sistema di riferimento, in modo da simulare l esistenza di un dato campo ravitazionale uniforme o, reciprocamente, in modo da eliminare l effetto della forza di ravità costante. Esso sta alla base del raionamento che permise di estendere il principio di relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento; infatti ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale avviene, in modo indistinuibile, in un sistema di riferimento che è in caduta libera all interno di un campo ravitazionale. Allo stesso modo, ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale in presenza della ravità è identico a ciò che avviene in un sistema di riferimento accelerato. 4
Tutto ciò portò Einstein a porre alla base della sua teoria della ravitazione il principio di relatività enerale, secondo il quale le lei della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento. Con questo principio Einstein non solo superò il primo assioma della relatività ristretta, ma anche quello sulla costanza della velocità della luce. Infatti in un sistema di riferimento inerziale la luce che proviene da una stella si propaa in linea retta, mantenendo la propria velocità costante in direzione, verso e modulo. Invece in un sistema di riferimento accelerato bisona comporre il moto della luce visto nel sistema inerziale con quello aiuntivo (e accelerato) del primo riferimento rispetto al secondo. Di conseuenza la velocità della luce cambia in direzione, e la sua traiettoria appare incurvata. Il principio di equivalenza ed il principio di relatività enerale furono solo i punti di partenza per la teoria della relatività enerale di Einstein, che venne completata solo nel 1916, dopo anni di lavoro. Essa si basa su due idee fondamentali: La presenza di masse incurva lo spazio-tempo I corpi soetti alla forza di ravità devono essere considerati come particelle libere, che si muovono seuendo le eodetiche* dello spazio-tempo *In oni spazio è possibile determinare le curve di minima lunhezza che uniscono i vari punti. Esse si chiamano curve eodetiche (o più brevemente eodetiche). Per millenni nessuno ha avuto dubbi sul fatto che la eometria euclidea fosse l unico spazio esistente e concepibile. In esso si considera valido il quinto postulato di Euclide secondo il quale esiste ed è unica la parallela condotta da un punto esterno a una retta. Ma nei primi decenni del secolo scorso diversi matematici scoprirono che è possibile ottenere nuove teorie eometriche modificando questo quinto postulato, come per esempio nelle eometrie iperboliche (introdotte da Lobacevskij e da Bolyai) nelle quali per un punto esterno a una retta è possibile condurre infinite rette parallele a quella data; inoltre la somma deli anoli interni di un trianolo è sempre minore a un anolo piatto; o nella eometria ellittica (introdotta da Rienmann). Tutto ciò è dimostrato e sistemato in maniera riorosa nella teoria eometrica enerale di Rienmann. In particolare, per oni spazio si può definire una proprietà intrinseca che si chiama curvatura. Gli spazi con eometria ellittica hanno curvatura positiva, mentre quelli con eometria iperbolica hanno curvatura neativa. Nel complesso tali spazi si dicono curvi, mentre spazi come quello di Euclide o lo spazio-tempo di Minkowski hanno curvatura nulla e si dicono piatti. Poiché la teoria della relatività ristretta non prende in considerazione l attrazione ravitazionale tra le masse il suo spazio-tempo è piatto; nella relatività enerale, invece, è importante conoscere la distribuzione delle masse nello spazio perché attraverso l equazione di campo di Einstein si può calcolare qual è la eometria dello spazio. In enerale tale eometria varia da zona a zona: le parti di spazio-tempo più vicine alle masse hanno curvature più accentuate di quelle che si trovano lontane da esse. 5
Una celebre illustrazione divulativa della curvatura dello spazio-tempo dovuta alla presenza di massa, rappresentata in questo caso dalla Terra. La concezione di ravità secondo Einstein risulta quindi del tutto nuova: la presenza di masse incurva la eometria dello spazio-tempo. In esso, le masse stesse si muovono come particelle libere, seuendone le linee di minima lunhezza (eodetiche). Oni massa risente soltanto della eometria della zona di spazio-tempo in cui si trova, anche se l effetto lobale può dare l impressione che esista una forza che aisce su di essa. Se i punti materiali sono soetti ad altre forze (per esempio di natura elettrica) le loro traiettorie ne risentono: esse non sono più eodetiche ma possono essere calcolate a partire dalla conoscenza delle forze applicate. Gli effetti della relatività enerale si manifestano compiutamente quando sono in ioco randi masse, oppure quando si è in presenza di randi densità di massa. Partendo dall equazione di campo di Einstein è possibile dimostrare che in un universo quasi piatto (come quello nelle vicinanze della Terra, che non ha una massa molto rande) l effetto della curvatura dello spazio-tempo è sperimentalmente indistinuibile da quella della forza di Newton. Effetti dello spazio-tempo curvo sulla luce Come precedentemente notato, la luce, in un sistema di riferimento accelerato, seue una traiettoria curvilinea. Dato che, per il principio di equivalenza, l effetto di un sistema di riferimento accelerato è indistinuibile da quello di un campo ravitazionale, possiamo chiederci se la luce possa essere deviata dalla curvatura dello spazio-tempo. Esiste un altra raione per porsi tale problema: la luce trasporta eneria e, secondo la relatività ristretta, non vi è una vera differenza tra una quantità E di eneria e una massa m = E. Anche seuendo questa idea, è naturale chiedersi se la ravità, cioè c 2 la curvatura dello spazio-tempo, ha effetti sulla propaazione della luce così come ha effetto sulle masse. Dal momento che, nelle condizioni sperimentali che sono normali sulla terra, non si è mai osservata la deviazione ravitazionale di un fascio di luce, si deve dedurre che tale fenomeno è difficile da rilevare e si può quindi sperare di metterlo in evidenza soltanto disponendo di un campo ravitazionale particolarmente intenso e nelle vicinanze della terra, l unica scelta possibile è quindi di fare ricorso al campo ravitazionale del Sole. Nell ambito della teoria della relatività enerale è possibile calcolare la deviazione anolare subita da un raio di luce che passa rasente alla superficie del Sole. Tale valore è molto piccolo (1,75 6
secondi d arco, cioè 1,75 tremilaseicentesimi di rado), ma poteva ià essere misurato con le tecnoloie che erano a disposizione neli anni intorno al 1920. La verifica sperimentale di questa ipotesi può essere effettuata in questo modo: in una notte qualunque si può osservare la posizione apparente nel cielo di una stella S rispetto ad altre stelle di riferimento. La stessa stella sarà poi osservata durante una eclissi, quando il Sole è oscurato dalla massa della Luna. La deflessione del Sole è attrattiva; perciò sembrerà che la luce della stella provena da un punto S 1 spostato, rispetto a S, dalla parte opposta rispetto a quella in cui si trova il sole. Illustrazione dell'effetto lente ravitazionale: la sorente "vera" è nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce è rappresentato dalle frecce bianche, mentre quelle arancioni permettono di ricostruire la posizione apparente della sorente ovvero la posizione delle sue immaini. Tale verifica sperimentale fu realizzata per la prima volta nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddinton durante un'eclisse di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà avrebbero dovuto essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, essa risultò poi impropria perchè le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di randezza dell'effetto considerato. Neativo della lastra di Sir Arthur Eddinton raffiurante l'eclisse solare del 1919, utilizzata per mettere alla prova la previsione di deviazione ravitazionale della luce. 7
Il Redshift ravitazionale Sempre secondo i raionamenti illustrati in precedenza, se il campo ravitazionale aisce su una massa che risale al suo interno, rallentandola, deve aire in qualche modo anche sulla sua luce, visto che essa trasporta eneria. In effetti, la teoria della relatività enerale prevede che la luce proveniente da una stella (e che, quindi, è partita dalla superficie della stella ed è iunta fino alla Terra risalendo il campo ravitazionale) abbia una frequenza minore di quella con cui era stata emessa. Visto che, nell ambito della luce visibile, il rosso è il colore a cui corrisponde la frequenza minore, tale fenomeno prende il nome di spostamento verso il rosso (o redshift) ravitazionale. Le onde ravitazionali Tra le previsioni teoriche della relatività enerale ve ne è una di particolare interesse: se la eometria dello spazio-tempo è determinata dalla distribuzione delle masse presenti in esso, quando tale distribuzione viene modificata (per esempio perché una di tali masse si sposta molto rapidamente) la eometria dello spazio-tempo cambia di conseuenza. Questa variazione nella eometria non è istantanea in tutto l Universo, ma si propaa alla velocità della luce c. La propaazione della variazione della eometria dello spazio-tempo prende il nome di onda ravitazionale. Le onde ravitazionali interaiscono molto debolmente con la materia; per fare un esempio, un onda ravitazionale che attraversasse il Sole perderebbe soltanto una parte su 10 16 della sua eneria. Per questo la rilevazione di tali onde pone problemi fisici e tecnoloici eccezionali. D altronde, proprio questa debole interazione con la materia rende le onde ravitazionali strumenti di rande importanza per la ricerca astronomica e cosmoloica: per esempio, un onda ravitazionale che passasse attraverso il Sole e che fosse rilevata sulla Terra potrebbe fornire una specie di radiorafia dell interno del sole. Lo strumento più importante utilizzato per la misurazione di tali onde è l antenna ravitazionale, cioè un cilindro di rande massa che può essere messo in oscillazione dal passaio di un onda di ravità. Purtroppo nessun apparato sperimentale è riuscito a individuare un senale che sia sicuramente interpretabile come il passaio di un onda ravitazionale. Forse la tecnoloia non è ancora in rado di effettuare con successo esperimenti di questo tipo. La raione, però, potrebbe essere un altra: onde ravitazionali di intensità relativamente elevata sono enerate da eventi molto eneretici, come l esplosione di una supernova. La probabilità che uno di tali eventi avvena nella zona di universo in cui si trova la Terra è piuttosto bassa. Pertanto li scienziati sono obbliati ad attendere, affinando, nel frattempo, le proprio conoscenze e la propria tecnoloia. 8