La misura di Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@gmail.com Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 13
Outline La misura di 1 La 2 misura di 3 4 () Statistica 2 / 13
La La misura di In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, la è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la è massima se l intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione () Statistica 3 / 13
La La misura di In caso di caratteri trasferibili è interessante considerare il grado di vicinanza all equidistribuzione, situazione in cui tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere. La indica quanto il collettivo osservato sia lontano/vicino rispetto all equidistribuzione. Da cui, la è pari a 0 se tutte le unità detengono lo stesso ammontare del carattere la è massima se l intero ammontare del carattere à detenuto da una sola osservazione () Statistica 3 / 13
Indice di La misura di Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n q i = i j=1 x j n j=1 x j () Statistica 4 / 13
Indice di La misura di Si consideri un carattere trasferibile (reddito, risorsa) distribuito tra n modalità, si considerino poi p i e q i, rispettivamente: p i = i n i j=1 q i = x j n j=1 x j p i è la frazione cumulata dei primi i redditieri q i, ammontare del reddito detenuto dai primi i redditieri () Statistica 4 / 13
Indice di La misura di Le differenze (p i - q i ) 0, sono misure dirette della. La media aritmetica della versione normalizzata di tali differenze rappresenta il rapporto di di Gini. n 1 ( p i q i p i n 1 p i )p i = n 1 (p i q i ) n 1 p i () Statistica / 13
Esempio di calcolo La misura di Si considerino i fatturati in milioni di euro di un collettivo di otto aziende produttrici di componenti per auto. i x i x i,(ord.) i j=1 x j p i = i n q i = ij=1 x j nj=1 x j p i q i 1 14 8 8 0.12 0.018 0.107 2 14 12 20 0.20 0.046 0.204 3 16 14 34 0.37 0.078 0.297 4 8 16 0 0.00 0.11 0.38 164 20 70 0.62 0.161 0.464 6 12 46 116 0.70 0.267 0.483 7 20 14 270 0.87 0.622 0.23 8 46 164 434 1 1 0 434 NOTA: le modalità x i devono preventivamente essere ordinate in modo crescente n 1 (p i q i ) 0.107 + 0.204 + 0.297 + 0.38 + 0.464 + 0.483 + 0.23 n 1 p = = i 0.12 + 0.2 + 0.37 + 0. + 0.62 + 0.7 + 0.87 = 2.193 3. = 0.627 () Statistica 6 / 13
grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). La misura di () Statistica 7 / 13
grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). La misura di () Statistica 7 / 13
grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). La misura di () Statistica 7 / 13
grafica: la curva di Lorenz Partendo dai dati nell esempio precedente, la curva di Lorenz è la spezzata passante per i punti di coordinate (p i, q i ). La misura di () Statistica 7 / 13
per determinare il rapporto di La R = { }} { area di area del triangolo OAB = area del triangolo OAB somma dei trapezi area del triangolo OAB misura di () Statistica 8 / 13
per determinare il rapporto di La misura di R = area di { }} { area di area del triangolo OAB = area del triangolo OAB somma dei trapezi area del triangolo OAB OB BA area del triangolo OAB: = 1 1 = 1 2 2 2 area di un generico trapezio : (B+b) h 2 B = base maggiore = q i+1 b = base minore = q i h = altezza = p i+1 p i somma delle aree dei trapezi : n 1 h B b {}}{ {}}{ { }} { ( q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) 2 sostituendo quanto trovato, si ha area del triangolo OAB somma dei trapezi R = = area del triangolo OAB = 1 2 n 1 (q i+1 +q i ) (p i+1 p i ) 2 1 2 () Statistica 9 / 13
per determinare il rapporto di La misura di con qualche passaggio algebrico si ottiene area del triangolo OAB somma dei trapezi R = = area del triangolo OAB 1 2 = n 1 (q i+1 +q i ) (p i+1 p i ) 2 = 1 } 2 {{ } mettere 1/2 in evidenza ( 1 1 ) n 1 2 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) = = 1 2 = 1 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) () Statistica 10 / 13
per determinare il rapporto di La misura di con qualche altro passaggio algebrico si ottiene poichè: R = 1 (q i+1 + q i ) (p i+1 p i ) = = 1 (q i+1 p i+1 q i+1 p i + q i p i+1 q i p i ) } {{ } effettuando i prodotti ( n 1 ) = 1 q i+1 p i+1 q i+1 p i + q i p i+1 q i p i q i+1 p i+1 q i p i = q np n ed essendo q n = 1 e p n = 1 allora q np n = 1, da cui () Statistica 11 / 13
per determinare il rapporto di La misura di con qualche altro passaggio algebrico si ottiene q np n=1 { }} { n 1 R = 1 q i+1 p i+1 q i p i q i+1 p i + q i p i+1 ( ) = 1 1 q i+1 p i + q i p i+1 = 1 1 + q i+1 p i q i p i+1 = = p i q i+1 p i+1 q i = (p i q i+1 p i+1 q i ) () Statistica 12 / 13
La La misura di Si consideri di voler studiare la di addetti rispetto alle imprese avendo a disposizione informazioni riguardanti le classi di addetti per impresa, il numero di imprese per ciascuna classe n i, il numero di addetti impiegati x i n i. In questo caso si deve tenere conto delle fatto che i dati sono organizzati in frequenze. i.i n i ni x i n i xi p i q i a b a b 0-2 2043 2043 2718.3 2718.3 0.7177 0.2444 0.390 0.2300 0.1290 3-9 636 2679 284.6 63.9 0.9412 0.002 0.82 0.4889 0.0963 10-19 103.2 2782.2 132 691.9 0.9774 0.6217 0.7203 0.6172 0.1031 20-49 43.4 282.6 1281.2 8197.1 0.9927 0.7369 0.8037 0.7346 0.0691 0-99 11.8 2837.4 808.7 900.8 0.9968 0.8096 0.9494 0.8094 0.1400 100-499 8.3 284.7 188.3 1094.1 0.9997 0.924 0.9997 0.924 0.0473 00-999 0.8 2846. 29.4 11123. 1 1 a = p i q i+1 b = p i+1 q i Table: I dati sono espressi in migliaia. R = (p i q i+1 p i+1 q i ) = 0.848 () Statistica 13 / 13