INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: a b c d e / +5 d ; arctan + d ; 8+ 4 5/ +e + d ; 9 +8 + + d. d ;. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore: 4 d.. Calcolare d perilpiù piccolo valore di n IN per cui l integrale converge. + n 4. a Determinare tutti i valori di a, b IR per i quali b Calcolare 4+9 d. a 4+9 b+ d converge. 5. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri. a b 5 4 α d d 6. Determinare per quali α IR converge il seguente integrale improprio e calcolarlo per α = : sin ] α 4 d 7. a Dire per quali valori di a IR converge b Calcolare l integrale precedente per a = 6. a d.
8. Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio : sin + + d 9. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri: a b log + sin d + d. Data la funzione f = parte principale. cos log +, studiarne il comportamento nell origine e determinarne la Studiare quindi la convergenza dell integrale improprio : f d.
. a Per definizione di integrale improprio: CORREZIONE t d = lim +5 +5 d Svolgiamo l integrale indefinito: +5 d = +5 d = b Dunque: Pertanto: = +5 d = lim +5 +5 + c = +5 + c arctan + d = arctan arctan ] t = lim t +5 + = 6 6 d = arctan + c arctan t arctan + d = lim + d = lim arctan t = π 8 c Calcoliamo l integrale indefinito sfruttandone la linearità e la formula di integrazione per parti: 8+ 4 5 +e d = 8+ 4 5 d + e d = = 4 8+ 4 5 d + e d = 4 = 4 8+ 4 + e e d = 8 8+ 4 e e + c Calcoliamo ora l integrale improprio: 8+ 4 5 +e d = lim t 8+ 4 5 +e d = ] = lim 8 8+ t4 e t t ++ 8 4 + = t + Si ricordi che lim e t t + = lim e t superiore al numeratore. += 67. =, in quanto il denominatore ha ordine di infinito
d Per risolvere l integrale indefinito, effettuiamo la sostituzione = t, da cui = t, e infine d = t dt. Dunque: + d = tt + t dt = Passiamo ora al calcolo dell integrale improprio: / + d = t + dt = arctan t + c = arctan + c b lim b + / + d = = lim arctan ] b = lim arctan b arctan ] = π b + b + π 4 = π 4 e Per calcolare l integrale indefinito, dobbiamo risolvere un integrale di funzione razionale, il cui denominatore è già scomposto nel prodotto di fattori irriducibili. Ricorriamo alla decomposizione in fratti semplici. 9 +8 + + = A + + B + C + = = A ++B + C + + + = A + B +B + C + A +C + + Uguagliando i polinomi a numeratore della prima e dell ultima frazione, si ottiene il sistema: Pertanto: = + d + A + B = B + C = 9 A +C = 8 9 +8 + + d = +5 + d = A = B = C = 5 +5 + + + + d + d = + d + 5 + d = = log + + log + + 5 arctan + c = log + log + + 5 arctan + c Per il calcolo dell integrale improprio : 9 +8 + + = lim log + = lim t 9 +8 d = lim + + d = ] t + + 5 arctan log t + t + + 5 arctan t log 4 = log + 5 π + log 4 = log 4 + 5π. = ] =
. d = 4 d + 4 4 d. I due integrali impropri convergono entrambi, perché, per, 4 4 e i due integrali impropri d e d sono convergenti. Calcoliamo il primo integrale indefinito, con la sostituzione = t,dacui = t, d = t dt : d = 4 t t t dt = 4 t +4 dt = arctan t + c = arctan + c Calcoliamo il secondo integrale indefinito, con la sostituzione = t: d = 4 tt t dt = dt = 4 t t + t t + = log t t + + c = log + c + dt = Pertanto: 4 d = lim arctan a a = lim d a 4 a arctan + lim b + + lim d = b + b 4 log log b b + = log arctan.. Per + si ha + n n quindi l integrale converge se n >, cioè sen>. Pertanto il più piccolo valore di n IN per cui l integrale converge è n =. In tal caso: + d = + / d = + + c. Dunque: b + d = lim b + + d = lim b + b + 7 = 7.
4. a Per + si ha b a 4+9 b+ 4 b+ a quindi l integrale converge in un intorno destro di = sea <. Per + si ha a 4+9 b+ 9 b+ a+b+ quindi l integrale converge se a + b +>, cioè se b> a. Globalmente l integrale converge per a<eb> a. 4+9 d = = lim b arctan b + = π 6. t4+9t t dt = lim b + b ] b t dt = lim arctan = 4+9t b + 6 5. a b α d = L integrale α converge per α >. Pertanto l integrale 5 4 5 + d = 4 4 + Per 4, si ha: 4 anche l integrale di partenza diverge. α d + 4 6 d converge per α < mentre l integrale α α d converge per α ],. d. 44 5. Poiché l integrale improprio 4 4 d. 4 6 d α 4 d diverge, 6. Per + si ha sin ]α 4 α =, quindi l integrale α sin ] α 4 d converge se α>. Per α = dobbiamo calcolare: 4 d = lim t + t 4 ] d = lim 4 = lim 5 t 4 = 5. t + t t + 7. a Se a, l integrale diverge, data la presenza del fattore perché il fattore. Se a>, l integrale converge non dà problemi di integrazione impropria al finito, mentre all infinito la frazione integranda si comporta come e dunque converge. / b Per a = 6, mediante la sostituzione =t l integrale diventa: 6 d = = lim b + arctan b arctan = π. t + t t dt = dt = lim +t b + b +t dt =
8. Dobbiamo studiare la convergenza dell integrale improprio: sin + + d Utilizziamo il criterio del confronto. Osserviamo che sin + +, e che l integrale improprio + + + + d = + + + d + + + d è convergente. Infatti, il primo addendo non è un integrale improprio; quanto al secondo addendo, per +, + + e l integrale improprio d converge. Pertanto il nostro integrale sin + + d converge assolutamente. 9. a Nell intervallo, ] la funzione integranda f = log + presenta solo la singolarità in =. sin Per capire il comportamento di f in =, utilizziamo le seguenti equivalenze, valide per + : log + sin = log +. sin Poiché l integrale improprio d converge, per il criterio del confronto asintotico converge log + anche il nostro integrale d si osservi che, per, ], sin e dunque sin f e si può applicare il criterio del confronto asintotico. + b Nell intervallo, + la funzione integranda f = non presenta singolarità, ed è positiva. Pertanto conta solo il suo comportamento per +. Ora, per + : + =. Poiché l integrale improprio risulta divergente. + d diverge, anche l integrale di partenza + d
. Per, si ha: cos log + = cos log + / =. Dunque, per,f ha ordine di infinito, e la sua parte principale è la funzione g =. Prima di studiare la convergenza dell integrale improprio, osserviamo che, per IR +, f. Inoltre: β cos log + d = cos + log + d + β cos log + d, β IR +. In base allo studio fatto in precedenza, possiamo affermare che il primo addendo converge, perché, per, f g e l integrale improprio β g d è convergente. Per studiare la convergenza del secondo addendo confronto : cos log + log +, β cos log + d, utilizziamo il criterio del per β abbastanza grande deve essere β>e. Poiché l integrale improprio anche il secondo addendo converge. β d converge, Pertanto l integrale di partenza cos log + d è convergente.