Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia f : R R una funzione derivabile in 0 tale che f(0) = 1, f (0) = 3, e sia g(x) = xf(x) + f( x). Allora, necessariamente (a) g è derivabile in 0 e g (0) = 2 (b) g è derivabile in 0 e g (0) = 2 (c) g non è derivabile in 0 (d) g è derivabile in 0 e g (0) = 0 3. La funzione f(x) = sin(πx) (a) ha periodo 2π (b) ha tre intersezioni con la retta y = x (c) ha immagine [ π, π] (d) ha come tangente in 0 la retta y = x
1 0 1 Analisi Matematica I 4. La seguente curva è parte del grafico della funzione: (a) f(x) = ln(1 4 x ) (b) f(x) = 1 + 1 x 2 1 (c) f(x) = x x 2 1 (d) f(x) = x e x 5. La funzione f(x) = 3 x(1 + e x ) (a) è dispari (b) è derivabile su R (c) è limitata (d) ha un punto a tangente verticale 6. Sia f : R R una funzione strettamente crescente, che ammette la retta y = 10 come asintoto orizzontale destro. Allora necessariamente (a) il numero degli zeri di f è uguale a 1 (b) il numero degli zeri di f è maggiore di 1 (c) se f( 2) > 0, allora non ci sono zeri (d) f può avere al più uno zero
7. Sia f : R R una funzione derivabile in x = 0 e tale che f(0) = 0, f (0) = 0. Allora, necessariamente (a) f(x) ammette un minimo locale in x = 0 (b) f è costante su R (c) f(x) = o(x) per x 0 (d) f(x) x per x 0 8. In x = 0 la funzione f(x) = sin x cosx (a) è continua ma non derivabile (b) è derivabile (c) non è né continua né derivabile (d) ha un punto angoloso 9. Sia f una funzione derivabile e con derivata prima strettamente positiva in tutti i punti interni al suo dominio. Allora (a) f non ha punti di massimo o di minimo (b) f è strettamente crescente nel suo dominio (c) f è suriettiva (d) f non ammette punti di flesso a tangente orizzontale 10. Sia data la funzione f(x) = x 2 e x. Allora (a) non ha asintoti (b) ha minimo assoluto (c) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle nell intervallo [ 1, 1] (d) è invertibile 11. Sia data la funzione f(x) = ex x 1. Allora (a) ha un punto di minimo relativo (b) non ha punti a tangente orizzontale (c) ha un punto di max relativo in x 0 = 1 (d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [ 1 2, 1 3 ]
12. Sia data la funzione { x 2 + 1 per x 2, f(x) = 0 per x = 2. Allora (a) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [0, 2] (b) è derivabile su R (c) non è continua in x = 0 (d) ha un punto di minimo assoluto
1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 RISPOSTA ESATTA: (b) Se f(x 0 ) = y 0 e f (x 0 ) 0, si ha (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Pertanto, poiché f(1) = 3 e f (1) = 2, se ne deduce che (f 1 ) (3) = 1 2, e quindi (b) è vera mentre (a) è falsa. Le risposte (c) e (d) non sono deducibili dai dati del quesito, perché non si conosce per quale valore di x 0 si ha f(x 0 ) = 1.
2. Sia f : R R una funzione derivabile in 0 tale che f(0) = 1, f (0) = 3, e sia g(x) = xf(x) + f( x). Allora, necessariamente (a) g è derivabile in 0 e g (0) = 2 (b) g è derivabile in 0 e g (0) = 2 (c) g non è derivabile in 0 (d) g è derivabile in 0 e g (0) = 0 RISPOSTA ESATTA: (a) Applicando le regole di derivazione del prodotto e di composizione di funzioni, si ha che g(x) è derivabile in un intorno di x = 0 e Pertanto si ha g (x) = f(x) + xf (x) f ( x). g (0) = f(0) + 0f (0) f (0) = 1 3 = 2.
3. La funzione f(x) = sin(πx) (a) ha periodo 2π (b) ha tre intersezioni con la retta y = x (c) ha immagine [ π, π] (d) ha come tangente in 0 la retta y = x RISPOSTA ESATTA: (b) La funzione f(x) = sin(πx) ha periodo (minimo) T = 2π π immagine [ 1, 1]. Dunque (a) e (c) sono false. = 2, e ha per Poiché, per x 0, si ha sin(πx) πx, la funzione f(x) ha come tangente in x = 0 la retta y = πx, e dunque la (d) è falsa. La funzione f(x) ha sicuramente un intersezione in x 0 = 0 con la retta y = x. Inoltre ne ha un altra x 1, con x 1 ( 1, 1) : infatti f ( ) 1 2 2 = 1 > 1, mentre 2 f(1) = 0 < 1. Poiché f è dispari, per simmetria esiste una terza intersezione x 2, con x 2 ( 1, 1 2). Non possono esistere altre intersezioni, perché, per x > 1, la retta y = x assume valori maggiori di 1, mentre la funzione f(x) è sempre minore di 1.
1 0 1 Analisi Matematica I 4. La seguente curva è parte del grafico della funzione: (a) f(x) = ln(1 4 x ) (b) f(x) = 1 + 1 x 2 1 (c) f(x) = x x 2 1 (d) f(x) = x e x RISPOSTA ESATTA: (a) Dal grafico assegnato si osserva che f(x) è pari; dunque le risposte (c) e (d) sono da scartare (la f(x) della (c) è dispari, mentre quella della (d) non ha simmetrie). Si osserva inoltre che f(x) in x = 0 ha un punto angoloso, e quindi f(x) non è derivabile in x = 0; pertanto la risposta (b) è errata, in quanto f(x) = 1 + 1 è derivabile in x = 0. x 2 1 Invece f(x) = ln(1 x ) non è derivabile in x = 0: infatti mentre f f(x) f(0) ln(1 + x) (0) = lim = lim x 0 x 0 x 0 x f + f(x) f(0) ln(1 x) (0) = lim = lim x 0 + x 0 x 0 x = 1, = 1. Dunque il grafico della funzione (a) coincide con quello assegnato.
5. La funzione f(x) = 3 x(1 + e x ) (a) è dispari (b) è derivabile su R (c) è limitata (d) ha un punto a tangente verticale RISPOSTA ESATTA: (d) La funzione non è dispari perché f( x) = 3 x(1 + e x ) f(x). La funzione non è limitata perché lim f(x) = +. x + La funzione non è derivabile in x = 0 e quindi su R. Infatti: f (x) = 1 3 3 x 2(1 + ex ) + 3 xe x ; poiché lim x 0 f (x) = +, f(x) non è derivabile in x = 0, che è un punto a tangente verticale.
6. Sia f : R R una funzione strettamente crescente, che ammette la retta y = 10 come asintoto orizzontale destro. Allora necessariamente (a) il numero degli zeri di f è uguale a 1 (b) il numero degli zeri di f è maggiore di 1 (c) se f( 2) > 0, allora non ci sono zeri (d) f può avere al più uno zero RISPOSTA ESATTA: (d) Essendo f(x) strettamente monotona, se è continua può avere al massimo uno zero (ne ha esattamente uno se assume anche valori negativi). Anche se non è continua vale un ragionamento analogo, a caura della monotonia della funzione. Dunque le risposte (a) e (b) sono false, mentre la risposta (d) è vera. La risposta (c) è falsa: la funzione f(x) potrebbe avere uno zero in un punto x 0 < 2.
7. Sia f : R R una funzione derivabile in x = 0 e tale che f(0) = 0, f (0) = 0. Allora, necessariamente (a) f(x) ammette un minimo locale in x = 0 (b) f è costante su R (c) f(x) = o(x) per x 0 (d) f(x) x per x 0 RISPOSTA ESATTA: (c) La funzione f(x) = x 3 fornisce un controesempio che mostra la falsità delle risposte (a) e (b). f(x) Per controllare le risposte (c) e (d), calcoliamo lim x 0 x = f (0) = 0 (si ricordi la definizione di derivata di f(x) nel punto x = 0); quindi (c) è vera mentre (d) è falsa.
8. In x = 0 la funzione f(x) = sin x cosx (a) è continua ma non derivabile (b) è derivabile (c) non è né continua né derivabile (d) ha un punto angoloso RISPOSTA ESATTA: (b) In x = 0, la funzione cosx è derivabile: infatti, per x [ π, π ], la funzione 2 2 cosx coincide con la funzione cos x; pertanto f(x) è derivabile in x = 0, in quanto prodotto di due funzioni derivabili in x = 0.
9. Sia f una funzione derivabile e con derivata prima strettamente positiva in tutti i punti interni al suo dominio. Allora (a) f non ha punti di massimo o di minimo (b) f è strettamente crescente nel suo dominio (c) f è suriettiva (d) f non ammette punti di flesso a tangente orizzontale RISPOSTA ESATTA: (d) Infatti, se f (x) > 0, necessariamente f (x) 0 e dunque non esistono punti a tangente orizzontale (e quindi neppure flessi a tangente orizzontale). Per il Teorema di Fermat, la funzione f non ha punti di massimo o minimo interni al suo dominio, ma potrebbe averli agli estremi (si pensi, ad esempio alla funzione f(x) = arcsin x). Dunque (a) è falsa. Il fatto che f sia strettamente positiva, non implica che f sia strettamente crescente, se il dominio di f non è un intervallo. Si pensi ad esempio alla funzione f(x) = 1. Pertanto (b) è falsa. x La suriettività di una funzione non è legata al segno della sua derivata. Si consideri come controesempio la funzione f : [ 1, 1] R definita da f(x) = arcsin x. Dunque (c) è falsa.
10. Sia data la funzione f(x) = x 2 e x. Allora (a) non ha asintoti (b) ha minimo assoluto (c) ad essa si può applicare il Teorema di Rolle nell intervallo [ 1, 1] (d) è invertibile RISPOSTA ESATTA: (b) Infatti si ha f(x) 0 e f(x) = 0 se e solo se x = 0; dunque il punto x = 0 è un punto di minimo assoluto. La risposta (a) è errata, perché lim f(x) = 0 e quindi f ha un asintoto x orizzontale sinistro. La risposta (c) è falsa, perché f( 1) f(1). Poiché f è continua, f è invertibile se e solo se è strettamente monotona. Dallo studio del segno di f (x) = xe x (x + 2), si ricava che esistono due intervalli in cui f è strettamente crescente e un intervallo in cui è strettamente decrescente. Dunque la risposta (d) è errata.
11. Sia data la funzione f(x) = ex x 1. Allora (a) ha un punto di minimo relativo (b) non ha punti a tangente orizzontale (c) ha un punto di max relativo in x 0 = 1 (d) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [ 1 2, 1 3 ] RISPOSTA ESATTA: (a) Calcoliamo la derivata di f, tenendo conto che e x, se x < 0, x 1, x 1 f(x) = e x, se x 0, x 1, x 1 e pertanto f (x) = xe x (x + 1) 2, se x < 0, x 1, e x (x 2), se x > 0, x 1. (x 1) 2 Dunque f (x) < 0 se 1 < x < 2, mentre f (x) > 0 se x > 2. Pertanto f è monotona decrescente nell intervallo (1, 2) mentre è crescente in (2, + ). Poiché f (2) = 0, il punto x = 2 risulta un punto di minimo relativo a tangente orizzontale. Dunque la risposta (a) è esatta mentre la risposta (b) è errata. Il punto x 0 = 1 non fa parte del dominio di f (la retta x = 1 è un asintoto verticale), dunque la risposta (c) è errata. Il Teorema di Lagrange non si può applicare a f nell intervallo [ 1 2, 1 3] in quanto f non è derivabile in x 0 = 0.
12. Sia data la funzione Allora f(x) = { x 2 + 1 per x 2, 0 per x = 2. (a) ad essa si può applicare il Teorema di Lagrange in [0, 2] (b) è derivabile su R (c) non è continua in x = 0 (d) ha un punto di minimo assoluto RISPOSTA ESATTA: (d) La funzione f(x) in x = 2 non è continua (ha un punto di discontinuità eliminabile), pertanto non è derivabile; dunque la risposta (b) è errata. La funzione è continua in x = 0, perché x 2 + 1 è continua. Non si può applicare ad f il Teorema di Lagrange in [0, 2] perché f non è continua nel punto x = 2; si può vedere tracciando il grafico di f che non esiste nessun punto x 0 (0, 2) in cui la tangente al grafico di f sia parallela alla congiungente i punti A = (0, 1), B = (2, 0). Il punto x = 2 è un punto di minimo assoluto per f: x R, f(x) f(2) = 0.