1 Esercizio di Riepilogo

1 Esercizio di Riepilogo 1. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di 50000 euro da restituire con due rate R 1 = 11000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 45000 euro al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 400 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 100 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Calcolare il TAN e TAEG dell operazione finanziaria. Calcolo del TAN: da cui si ottiene +50000 11000v 45000v 2 = 0 45000v 2 +11000v 50000 = 0 le cui soluzione sono v 1 = 0.9389; v 2 = 1.18. Consideriamo solo la soluzione finanziariamente valida, ossia v 1 poichè è tra 0 e 1. Possiamo quindi determinare il TAN: Calcolo del TAEG: TAN = 1 v 1 = 1 1 = 0.0650 = 6.50% 0.9389 (+50000 400) (11000+100)v (45000 100)v 2 = 0 45100v 2 +11100v 49600 = 0 le cui soluzioni sono: v 1 = 0.9328; v 2 = 1.1789. Considerando quella positiva abbiamo: TAEG = 1 1 = 0.072 = 7.20% 0.9328 2. Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due finanziamenti: 1

F 1 : Ottenere la somma di euro 200000 al tempo t = 0 e restituire in cambio le somme di euro 20000 al tempo t = 1, 60000 al tempo t = 2, 180000 al tempo t = 3. F 2 Ottenere la somma di euro 200000 al tempo t = 0 e restituire in cambio le somme di euro 160000 al tempo t = 1, 40000 al tempo t = 2, 20000 al tempo t = 3. Dire per quali tassi di valutazione è più conveniente il finanziamento F 1 secondo il criterio del REA. REA F1 = 200000 20000v 60000v 2 180000v 3 REA F2 = 200000 160000v 40000v 2 20000v 3 Possiamo affermare che: F 1 F 2 REA F1 > REA F2 ossia F 1 è preferibile a F 2 se il REA `di F 1 è maggiore di F 2. Quindi: 200000 20000v 60000v 2 180000v 3 > 200000 160000v 40000v 2 20000v 3 ossia: 160000v 3 +20000v 2 140000v < 0 v(8v 2 +v 7) < 0 v ]0,0.875[ (come al solito a noi interessa cosa succede nell intervallo[0, 1].) Quindi: v < 0.875 1 1+i < 0.875 i > 0.1428 3. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di 40000 euro da restituire con due rate R 1 al tempo t = 1 e R 2 = 2R 1 al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 140 euro al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; 50 euro al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 2

30 euro per spese di chiusura pratica. Sapendo che il TAEG è del 15%, calcolare R 1 ed R 2 e il TAN dell operazione finanziaria. Calcoliamo R 1 sapendo che il TAEG è del 15%: (40000 140) (R 1 +50)(1.15) 1 (2R 1 +80)(1.15) 2 = 0 da cui si ottiene: Calcolo del TAN: e quindi: 2.3817R 1 = 39756.04 R 1 = 16691.59 40000 16691.59v 33383.18v 2 = 0 33383.18v 2 +16691.59v 40000 = 0 v 1 = 0.8728 TAN = 1 1 = 0.1457 0.8728 4. Determinare il tasso di valutazione j che rende il REA della seguente operazione finanziaria pari a +3000 euro: R 0 = 10000 al tempo t = 0, R 1 = +7000 al tempo t = 1 e R 2 = +7000 al tempo t = 2 (tempo espresso in anni). L operazione finanziaria è: ossia: R = { 10000,+7000,+7000}; t = {0,1,2} 10000+7000v+7000v 2 = +3000 7v 2 +7v 13 = 0 v 1 = 0.9514 j = 1 1 = 0.0510 0.9514 3

5. Un individuo dispone di due opportunitá per la quali deve investire la somma di 60000 e al tempo t = 0 e che conferiscono le seguenti entrate annue: (a) A 1 = 30000 e al tempo t = 1, A 2 = 40000 e al tempo t = 2 e A 3 = 25000e al tempo t = 4; (b) B 1 = 23000 e al tempo t = 1, B 2 = 50000 e al tempo t = 2 e B 3 al tempo t = 4. Determinare per quali valori B 3 l opportunitá 1 sia preferibile alla 2 in base al criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso annuo j = 15%. Calcoliamo i REA delle due operazioni: REA 1 = 60000+30000(1.15) 1 +40000(1.15) 2 +25000(1.15) 4 = 10626.53 REA 2 = 60000+23000(1.15) 1 +50000(1.15) 2 +B 3 (1.15) 4 = 2192.81+0.5717B 3 Quinid: 1 2 REA 1 > REA 2 10626.53 > 2192.81+0.5717B 3 e quindi B 3 < 21786.49 6. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di 100000 euro da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagamento di due rate R 1 = 110000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 50000 euro al tempo t = 2; (b) pagamento di due rate R 1 = 30000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 150000 euro al tempo t = 2. Dire: quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR); 4

quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del rendimento economico attualizzato (REA) al tasso di valutazione del 40%. Calcoliamo i due TIR: +100000 110000v 50000v 2 = 0 v a = 0.6916 TIR a = 0.4452; +100000 30000v 150000v 2 = 0 v b = 0.7225 TIR b = 0.3840; Poichè si tratta di un operazione di finanziamento si sceglie l operazione con il TIR minore e quindi l operazione (b). Calcoliamo i due REA al tasso j = 0.40: REA a = +100000 110000(1.40) 1 50000(1.40) 2 = 4081.63 REA b = +100000 30000(1.40) 1 150000(1.40) 2 = 2040.81 Poichè REA b > REA a allora è preferibile l operazione (b). 7. Un operazione di investimento prevede un uscita di 2000 e in t = 0 ed entrate di 1000 e in t = 1 e R in t = 2. Determinare R tale per cui il TIR dell operazione sia del 5%. Occorre impostare che l operazione di investimento abbia un TIR pari al 5%: 2000+1000(1.05) 1 +R(1.05) 2 = 0 R = 1047.61 0.9070 = 1155.02 8. Un individuo deve effettuare una scelta tra i seguenti due investimenti: I 1 Investire la somma di euro 100000 al tempo t = 0 e incassare in cambio la somma di euro 250000 al tempo t = 3. 5

I 2 Investire la somma di euro 100000al tempo t = 0 e incassare in cambio le somme di euro 80000 al tempo t = 1, 100000 al tempo t = 2, 10000 al tempo t = 3. Dire per quali tassi di valutazione le due alternative sono indifferenti secondo il criterio del REA. Calcolo dei due REA: REA I1 = 100000+250000v 3 ; REA I1 = 100000+80000v+100000v 2 +10000v 3 Affinchè i due REA siano indifferenti occorre porre la condizione che REA I1 = REA I2 e quindi: 100000+250000v 3 = 100000+80000v+100000v 2 +10000v 3 da cui si ottiene: 240000v 3 100000v 2 80000v = 0 ossia: v(12v 2 5v 4) = 0 da cui le tre soluzione sono: v 1 = 0; v 2 = 0.8221;v 3 = 0.4054 Ovviamente v = 0 i = + e questa soluzione la scartiamo. L altra implica che: TIR = 1 1 = 0.2163 0.8221 9. Un individuo riceve al tempo t = 0 (tempo espresso in anni) un finanziamento di 150 000 e da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagare R 1 = 100000 e al tempo t = 1 e R 2 = 80000 e al tempo t = 2; 6

(b) pagare R 1 = 80000 e al tempo t = 1 e R 2 = 110000 e al tempo t = 2. Dire quale delle due modalità è preferibile sia secondo il criterio del TIR e sia secondo il criterio del REA sapendo che il tasso di interesse annuo i = 5,75%. Soluzione Calcoliamo il TIR delle due operazioni: TIR a 150000 100000v 80000v 2 = 0 8v 2 +10v 15 = 0 v = 0.8801 TIR a = 1 1 = 0.1362 0.8801 TIR b 150000 80000v 110000v 2 = 0 11v 2 +8v 15 = 0 v = 0.8594 TIR a = 1 1 = 0.1636 0.8594 Trattandosi di un operazione di finanziamento si sceglie quella con il TIR minore e quindi è preferibile l opportunità (a). Calcoliamo i due REA al tasso i = 0.0575. REA a = +150000 100000(1.0575) 1 80000(1.0575) 2 = 16099.40 REA b = +150000 80000(1.0575) 1 110000(1.0575) 2 = 24013.15 Tra le due operazione scegliamo sempre quella con il REA maggiore, e quindi l opportunità (a) è preferibile a (b). 10. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di 120000 euro da restituire con una delle seguenti modalità: (a) pagamento di due rate R 1 = 100000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 60000 euro al tempo t = 2; (b) pagamento di due rate R 1 = 20000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 160000 euro al tempo t = 2. 7

Dire: quale delle due modalità di restituzione del prestito è preferibile utilizzando il criterio del tasso interno di rendimento (TIR); a quale tasso di valutazione le due modalità di restituzione sono indifferenti secondo il criterio del (REA). Calcoliamo il TIR delle due operazioni: TIR a 120000 100000v 60000v 2 = 0 3v 2 +5v 6 = 0 v = 0.8081 TIR a = 1 1 = 0.2374 0.8081 TIR b 120000 20000v 160000v 2 = 0 8v 2 +v 6 = 0 v = 0.8057 TIR a = 1 1 = 0.2411 0.8057 Trattandosi di un operazione di finanziamento si sceglie quella con il TIR minore e quindi è preferibile l opportunità (a). Calcoliamo il REA della due operazioni: REA a = 120000 100000v 60000v 2 REA b = 120000 20000v 160000v 2 Per determinare il tasso che rende indifferenti le due alternative poniamo: REA a = REA b 120000 100000v 60000v 2 = 120000 20000v 160000v 2 che dopo alcuni passaggi otteniamo la soluzione significativa da un punto di vista finanziario: 10v 2 8v = 0 v(10v 8) = 0 v = 0.80 i = 1 1 = 0.25 0.80 8

11. Un individuo riceve al tempo t = 0 un finanziamento di 50000 euro da restituire con due rate R 1 = 20000 euro al tempo t = 1 e R 2 = 35000 euro al tempo t = 2. Inoltre egli deve pagare i seguenti importi: 4z al tempo t = 0 per spese di apertura pratica; z al tempo t = 1 e t = 2 per spese di riscossione rate. Inoltre, al tempo t = 2 egli deve pagare l importo di 3z euro per spese di chiusura pratica. Sapendo che il TAEG è pari ai 5 del TAN, calcore z. 4 Calcolo del TAN: +50000 20000v 35000v 2 = 0 35v 2 +20v 50 = 0 v 1 = 0.9431 TAN = 1 1 = 0.0603 0.9431 Calcolo del TAEG: Calcolo di z: TAEG = 5 TAN = 0.0753 4 (+50000 4z) (20000+z)(1.0753) 1 (35000+z +3z)(1.0753) 2 = 0 da cui si ottiene: 1130.8 8.3892z = 0 z = 134.79 9