Tesina Fisica Generale II

Tesina Fisica Generale II Corso di Laurea in Scienza ed Ingegneria dei materiali Coordinatore: Scotti di Uccio Umberto Gruppo V: Caiazzo Dimitri Capasso Giuseppe Nuzzo Giovanni N50000288 N50000296 N50000302

Introduzione In questa tesina verranno trattati i campi magnetici generati dalle correnti elettriche e i campi magnetici generati dalla materia. Capitolo 1 - Campo magnetico generato dal moto di cariche elettriche. 1.1 - Campo magnetico. Consideriamo un circuito percorso da una corrente i, diviso in piccoli tratti s. Prendiamo in esame un singolo tratto s, ed associamo ad esso un vettore posizione r, ed un versore r, avente la stessa direzione di r. Calcolo del campo nel punto P. È possibile definire una piccola quantità B associata a s. B avrà verso e direzione dipendente dal prodotto vettoriale s r e modulo s r r 2. Va inoltre definita una costante universale μ 0 4π, dove μ 0 prende il nome di permeabilità magnetica nel vuoto.

μ 0 = 4π 10 7 H m [μ 0 ] = H m = V s m A = Wb m A = m3 kg s 2 A 2 È possibile osservare che B è direttamente proporzionale alla corrente i, ed inversamente proporzionale ad r 2. Alla luce di quanto detto finora definiamo la prima formula elementare di Laplace: B = μ 0 4π i s r r 2. Considerando elementi s infinitesimi, ossia elementi ds, ai quali sono associati elementi infinitesimi db è possibile definire B come: B = μ 0 4π i ds r r 2 Γ Quest espressione prende il nome di formula di Biot Savart.

1.2 - - Campi magnetici generati da correnti che percorrono conduttori con geometria elementare. Prendiamo in analisi alcune geometrie elementari e osserviamo come le linee di campo cambino la loro conformazione a seconda della geometria del conduttore. Prenderemo in esame un filo rettilineo indefinito, una barra cilindrica, una spira, un solenoide ed un toroide. Filo rettilineo indefinito. Consideriamo un filo percorso da corrente e supponiamo di analizzarlo da una distanza r<< l (l è la lunghezza del filo), in questo modo è possibile assumere il filo come infinitamente lungo. In queste ipotesi si osserva che le linee di campo magnetico formano delle circonferenze concentriche attorno all asse del filo. Il verso di B si determina applicando la regola della mano destra. Il campo magnetico in questo caso è invariante per rotazione e traslazione verticale rispetto all asse del filo. Barra cilindrica. Analizziamo il caso di un conduttore cilindrico percorso da corrente con una certa densità j. Le linee di campo descrivono delle circonferenze concentriche attorno all asse del cilindro. Le linee di campo si trovano sia all esterno che all interno del conduttore, e giacciono in piani perpendicolari al vettore j.

Spira. Osserviamo ora il caso di una spira circolare percorsa da corrente. In questo caso le linee di campo che si sviluppano non assumono la forma di una circonferenza. Solenoide. Si definisce solenoide un corpo composto da una serie di spire sovrapposte. N = numero di spire costituenti il solenoide n = N h Distingueremo due casi nell analisi delle linee di campo generate da un solenoide percorso da corrente: il solenoide corto ed il solenoide lungo.

Solenoide corto a > h. Nel solenoide corto le linee di campo non descrivono un campo uniforme. Solenoide lungo a << h. In un solenoide avente h infinito, il campo all interno sarebbe formato da linee rette ed equi-spaziate fra loro, descriventi un campo uniforme. All esterno invece non sarebbero presenti linee di campo e pertanto il campo risulterebbe nullo. Nell ipotesi in cui a << h, si nota che il campo all interno del solenoide tende ad un campo uniforme, mentre quello all esterno tende a zero. Pertanto è possibile utilizzare l approssimazione di campo nullo all esterno e uniforme all interno. Toroide. Definiamo il toroide come un solenoide chiuso per le sue estremità. All interno del toroide il campo magnetico è uniforme, mentre all esterno è nullo. Le linee di campo descrivono delle circonferenze interne al corpo del toroide ed il verso è determinabile utilizzando la regola della mano destra.

1.3-1 legge di Maxwell. Partendo dall ipotesi che non esistano le cariche magnetiche, dette monopoli magnetici, possiamo considerare una superficie Σ attraversate da linee di campo chiuse su se stesse. Come mostrato nel disegno, essendo le linee di campo chiuse, per ogni linea uscente ce ne è una entrante. Se ne deduce che il flusso totale sulla superfice Σ sia nullo. Si può quindi scrivere: Φ Σ (B ) = 0 Quest espressione prende il nome di 1 legge di Maxwell. 1.4 - Legge di Ampere. Al fine di definire la legge di Ampere, necessitiamo di introdurre il concetto di corrente concatenata. La corrente concatenata i c è la corrente che attraversa Σ, dove Σ è la superficie che ha come orlo Γ. Il segno di i c dipende dal verso di i. Se i è concorde alla normale n di Σ si avrà i c > 0, viceversa i c < 0.

Se si considera una Σ piana, attraversata da una densità di corrente J uniforme i c sarà: i c = JΣ Se si considera una Σ non piana, attraversata da una densità di corrente J non uniforme i c sarà: i c = Φ Σ (J ) Riportiamo di seguito alcuni esempi di correnti concatenate.

Definiamo ora la legge di Ampere utile a descrivere la circuitazione del campo magnetico. B Γ ds = μ 0 i c Considero una curva Γ chiusa e orientata qualsiasi e una corrente concatenata i c alla curva Γ. Dividiamo la curva in piccoli tratti s, ai quali è associato un vettore B perpendicolare a s. Introduciamo inoltre un versore t tangente a Γ nel tratto s. Per definizione si ha che s // t. B s = B t s B t è la componente tangenziale di B. B ds = i B ti s i Nella circuitazione conta esclusivamente la Γ. componente tangenziale di B. 1.5 Applicazioni della legge di Ampere. Es. 1 Considero un filo rettilineo percorso da corrente e una curva Γ coincidente con una delle linee di campo. In questo modo si avrà che Γ è tangente a B in ogni punto, pertanto: B s = B t s = B s

B ds = Γ B ds = Γ B ds = B è stato portato fuori dal segno di integrale perché assume lo stesso Γ. valore in tutti i punti di Γ. 2πrB. i c= i in questo caso. Applichiamo la legge di Ampere. B ds = μ 0 i Γ 2πrB = μ 0 i B = μ 0i 2πr

Affrontiamo il problema del segno di B. B ds Γ = B t 2πr = μ 0 i c = μ 0 i Rappresentiamo su un grafico l andamento di B rispetto a r. B 1 r

Es. 2 Due fili rettilinei indefiniti. i 1, i 2, d, Δs B 1 = μ 0i 1 2πd F 2 = i 2 s 2 B 1 Forza sulla corrente i 2 F 2 = i 2 s 2 B 1 F 2 = μ 0i 1 i 2 2πd s 2 Verifichiamo se vale il principio di azione e reazione. Scambiamo i ruoli del circuito sorgente e del circuito di prova.

B 1 = μ 0i 1 2πd F 1 = i 1 s 1 B 2 I due vettori F 1 e F 2 sono uguali e opposti, pertanto in questo caso vale il principio di azione e reazione. È possibile dimostrare che in generale per l elettromagnetismo questo principio non è valido. Consideriamo un semplice esempio in cui vi sono due fili rettilinei percorsi da corrente non paralleli fra loro. È evidente che in questo caso i due vettori forza che si generano non sono uguali e opposti, pertanto il terzo principio della dinamica non è valido.

Es. 3 Γ curva orientata chiusa, divisa nei tratti 1, 2, 3, 4. N numero spire costituenti il solenoide. n = N/h l è la lunghezza della curva Γ. B ds = μ 0 i c Γ B ds = B ds + B ds + B ds + B ds Γ 1 2 3 4 B ds ; B s 1 1 B ds = B ds ; B s 2, s 4 B s = 0 2 4 B ds ; Essendo il tratto 3 all esterno di un solenoide lungo 3. B=0 B ds = B ds = B ds = B ds Γ 1 1 1 = Bl

Calcoliamo la corrente concatenata. Γ curva orientata chiusa. N numero spire costituenti il solenoide. n = N/h l è la lunghezza della curva Γ. ΔN = n l i c = i n l B ds = μ 0 i c Γ Bl = μ 0 nil B = μ 0 ni

Capitolo 2 Proprietà magnetiche dei materiali. 2.1 - Momento angolare, momento magnetico e momento di spin. Momento angolare. Si consideri una particella di massa m che si muove di velocità v di moto circolare uniforme. Scriviamo l espressione del momento angolare L : v m r L =r x p p = quantità di moto Ne determiniamo il modulo: O L = rpsenθ (θ=90 ) L= rp Sostituiamo p=mv : L=rmv (v=rω) L=mr 2 ω

Relazione tra momento angolare e momento magnetico. Nel suo moto orbitale, l elettrone possiede, oltre ad un momento angolare, un momento magnetico m =is i = corrente elettrica, S = superficie Considerando il moto di un elettrone attorno al nucleo possiamo ricavare il rapporto che sussiste tra m ed L : Quando l elettrone passa per la superficie Σ, la corrente i è : i= q e i= t T Da cui, conoscendo che la velocità angolare dell elettrone sarà ω= 2π T i= ωe 2π, si avrà : sostituendo la precedente espressione nell equazione del momento magnetico m=iσ si ottiene: m= ωe 2π πr2 m= ωe 2 r2 L elettrone inoltre presenterà un momento angolare L L= m e r 2 ω = r 2 ω pertanto si ha: m e m= e 2m e L m L per una K= e 2m e

Momento dello spin. Tuttavia, in meccanica quantistica, il momento dell elettrone non è legato solo al momento angolare L, ma è associato anche allo spin S : m = e m e S Alla luce di quanto detto si può parlare di momento magnetico totale dell elettrone che sarà dato dalla somma del momento angolare e del momento dello spin: m tot = e 2m e (L +2S ) Il momento magnetico dell elettrone è definito µ B : μ B = eħ 2m e MAGNETONE DI BOHR 2.2 Materiali ferromagnetici Principio di equivalenza di Ampere. Ampere propose un modello elementare per spiegare le cause delle proprietà magnetiche di alcuni materiali. Riportiamo un esempio utile a comprendere meglio il contenuto di tale modello. Si consideri una lamina sottile magnetizzata divisa idealmente in tante celle: Come si nota graficamente, i momenti(vettori) che scorrono lungo i lati interni hanno vero opposto, pertanto la corrente che attraversa tutta la lamina equivale a quella che scorre sul bordo della stessa. Considerando una barra magnetizzata divisa in diversi strati. Ogni strato è assimilabile ad una spira, pertanto, la barra può essere vista come un insieme di spire sovrapposte, ossia un solenoide percorso da corrente.

2.3 Proprietà magnetiche dei materiali. 2.3.1 - Materiali ferromagnetici. Proprietà microscopiche. Le proprietà magnetiche sono legate alle strutture elettroniche dei materiali. Tra le varie possibilità, citiamo 2 esempi: 1) Guscio esterno completo (shell completa) : m =0 2) Fe 4s 3d Nel ferro, e più in generale nei materiali ferromagnetici, la particolare configurazione elettronica dell atomo, da origine ad un momento di dipolo. All interno del materiale i vari dipoli sono orientati nella stessa direzione, a causa dei legami chimici formati fra i vari atomi, pertanto si ha una magnetizzazione totale pari alla somma dei dipoli. Proprietà macroscopiche. Considerando un solenoide percorso da corrente e definiamo la magnetizzazione M quando il materiale ferromagnetico è sottoposto ad un campo magnetico. N = numero di spire costituenti il solenoide n= N h m=is Introduciamo la magnetizzazionem : M = i m =N m V m =momento magnetico Considerando solo il modulo M, si nota che sussiste un rapporto di proporzionalità tra esso e il campo magnetico B, in particolare: M= N V m sostituendo V=Sh e m=is M= N is quindi Sh M= N h i M=ni Il campo magnetico nel solenoide sarà: B=µ 0 ni B=µ 0 M B M B è proporzionale ad M e la costante di proporzionalità è rappresentata da µ 0.

2.3.2 - Materiali paramagnetici Proprietà microscopiche. l paramagnetismo è una forma di magnetismo che alcuni materiali mostrano solo in presenza di campi magnetici, e si manifesta con una magnetizzazione avente stessa direzione e verso di quella associata al campo esterno applicato al materiale paramagnetico stesso. I materiali paramagnetici sono caratterizzati a livello atomico da dipoli magnetici che si allineano con il campo magnetico applicato. In questo caso, ad ogni momento di dipolo si associa un momento meccanico τ : τ = m x B Sperimentalmente è possibile allineare tutti i momenti di dipolo applicando un campo esterno H. Legge di Curie. La legge di Curie afferma che esiste una relazione tra la magnetizzazione del materiale paramagnetico sottoposto ad un campo magnetico e il campo magnetico esterno H: M χh χ = C T 10 3 SUSCETTIVITA' Proprietà macroscopiche. Alla luce di quanto detto, si può definire ora il campo magnetico totale di un materiale paramagnetico, come la somma del campo magnetico interno e di quello esterno: B tot =B 0 +B materiali B 0 =µ 0 He B materiali =µ 0 M B tot =µ 0 (H+M)

Ciclo d isteresi. L'isteresi è un fenomeno per cui il valore assunto da una grandezza dipendente da altre. È determinato, oltre che dai valori istantanei di queste ultime, anche dai valori che avevano assunto in precedenza ovvero, l'isteresi è la caratteristica di un sistema di reagire in ritardo alle sollecitazioni applicate e in dipendenza dello stato precedente. Immaginiamo di inserire un certo materiale all interno di un solenoide collegato a un generatore di corrente elettrica inizialmente spento. Se aumentiamo lentamente la corrente I che scorre nel solenoide, all interno del materiale verrà generato un campo magnetico B che diventa sempre più intenso man mano che I cresce. Spegnendo il generatore, il campo B all interno del materiale scompare. Ciclo d isteresi per materiali ferromagnetici. Per i materiali ferromagnetici occorrono fare delle distinzioni dal caso generale. Infatti, a parità di corrente, il campo magnetico prodotto è molto più grande Si arriva ad una soglia detta saturazione per cui il campo magnetico non aumenta più una volta che ha raggiunto un certo valore Quando la corrente viene spenta il campo magnetico non si annulla del tutto. Il materiale ferromagnetico rimane in uno stato di magnetizzazione residua(i materiali ferromagnetici si utilizzano anche per formare magneti permanenti).

Per riportarlo alla situazione iniziale (B=0) è necessario invertire il senso della corrente nel solenoide in modo da produrre un campo magnetico di segno opposto Se si aumenta ancora la corrente invertita si raggiunge la saturazione del campo magnetico nel verso opposto. A questo punto se si blocca la corrente si produce una magnetizzazione di segno negativo.

Aumentando ancora la corrente si torna nello stato di saturazione e il ciclo d isteresi si chiude. Riportiamo di seguito due cicli d isteresi per due diverse tipologie di materiali: soft e hard. HARD SOFT Come si nota graficamente, le sostanze hard hanno una curva d isteresi molto più accentuata, pertanto avranno una magnetizzazione maggiore, infatti, queste sostanze vengono utilizzate per la

costruzione di calamite. Nelle sostanze soft la curva è meno accentuata, di conseguenza la magnetizzazione sarà minore, da qui il loro utilizzo per la formazione di elettromagneti. Domini di Weiss. Proponiamo infine, come ultimo argomento da trattare i domini di Weiss, ovvero aree della struttura cristallina di un materiale ferromagnetico in cui i dipoli hanno la stessa orientazione magnetica. Nel ferro, e in generale, nei materiali ferromagnetici, in ogni dominio sono presenti dipoli con la stessa orientazione. Quando il materiale ferromagnetico viene sottoposto ad un campo magnetico, i domini con orientazione corretta prevalgono sugli altri, pertanto i domini si allineano tutti lungo la stessa direzione. Rappresentiamo graficamente, in conclusione, la situazione citata poc anzi :