. Sistemi Lineari a Tempo Discreto
.5 y(t), y(kt) 4 y(t), y(kt).5.5.5.5.5 4 5 4 5 Campionamento di un segnale continuo Fig. (a) Segnale discreto Fig. (b) Esprimono relazioni fra variabili campionate ad intervalli T : x(kt), u(kt), y(kt), k =,,..., Il segnale è x(kt) è mantenuto costante durante l intervallo di campionamento [kt, (k +)T ). Il segnale può rappresentare il campionamento di un segnale continuo nel tempo (Fig. a), oppure essere intrinsecamente discreto nel tempo (Fig. b). Fondamentali per il progetto di controllori digitali A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Considera l equazione alle differenze del primo ordine x(k +) = ax(k) x() = x Esiste una e una sola soluzione: x(k) =a k x.5 a> x(k).5 a=.5 <a< 4 6 k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Considera l equazione alle differenze del primo ordine con ingresso x(k +) = ax(k)+bu(k) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(k) = a k x z} + risposta libera k X a i bu(k i) i= z } risposta forzata Esempio: accumulo di capitale in un deposito bancario ρ: tasso di interesse (fisso) praticato dalla banca x(k): capitale accumulato all inizio dell anno k < : u(k): capitale versato alla fine dell anno k x : capitale iniziale x(k +) = (+ρ)x(k)+u(k) x() = x 5 45 4 Capitale accumulato (k$) Esempio numerico: x k$ u(k) 5 k$ x(k) = 6(.) k 5 ρ % x(k) 5 5 5 5 4 5 k (anni) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Sistema di equazioni alle differenze di ordine n con ingresso >< >: x (k +) = a x (k)+... + a n x n (k) +b u(k) x (k +) = a x (k)+... + a n x n (k) +b u(k)... x n (k +) = a n x (k)+... + a nn x n (k) +b n u(k) x () = x,... x n () = x n Forma matriciale equivalente < : x(k +) = Ax(k)+Bu(k) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(k) = A k x z } + risposta libera k X A i Bu(k i) i= z } risposta forzata Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= 6 4 λ... λ.............. λ n 7 5 A k = T 6 4 λ k... λ k.............. λ k n 7 5 T A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -4
Risposta modale Sia l ingresso u(k) =, k, e supponiamo che A sia diagonalizzabile La traiettoria di stato (risposta libera) è x(k) =A k x = T Λ k Tx = nx i= α i λ k i v i dove v i =autovettori di A, λ i =autovalori di A, α i =coefficienti che dipendono dalla condizione iniziale x() (il vettore α = Tx(), T =[v...v n ]). Del tutto analogo al caso tempo continuo: il modo di evolvere del sistema dipende dagli autovalori di A (detti ancora modi del sistema), un modo si dice eccitato se il relativo α i A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -5
Esempio > < >< >: x (k +) = x (k) + x (k) x (k +) = x (k) +u(k) >: x () = x () = " # " # x(k +) = x(k) + u(k) Λ x() = Autovalori di A: λ =, λ = Soluzione: x(k) = = = " # k " k k " k # z } risposta libera k Λ X + # + i= k X " # i " # u(k i) k Λ X " # + i u(k i) i= " # i u(k i) i= z } risposta forzata Soluzione numerica per u(k) (risposta libera):.5 x (k),x (k).5.5.5 4 6 passo k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -6
Equazioni alle differenze di ordine n con ingresso a n y(k n)+a n y(k n +)+ + a y(k ) + y(k) = b n u(k n)+ + b u(k ) + b u(k) >< >: Equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: x (k +) = x (k) x (k +) = x (k).. x n (k +) = a n x (k)+... a x n (k)+u(k) y(k) = (b n b a n )x (k)+ +(b b a )x n (k)+b u(k) >< >: Equivale alla forma matriciale x(k +) = y(k) = 6 4 h............ a n a n a n... a (b n b a n )... (b b a ) i x(k)+ 7 5 6 4 x(k)+b u(k). u(t) 7 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -7
Esempio: >< >: y(k ) + y(k) =u(k ) x(k +) = y(k) = 4 h i 5 x(k)+ 4 5 u(k) x(k) Soluzione numerica per x() = Λ, u( ) =, u( ) =, u(k) per k (risposta forzata): y(k).9..7.6.5.4... 4 5 6 7 passo k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Sistema lineare tempo-discreto, tempo-invariante: { x(k +) = Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) x() = x Dato lo stato iniziale x() e un segnale di ingresso u(k), k =,,... è possibile predire tutta l evoluzione dello stato x(k) e dell uscita y(k) del sistema, per ogni k =,,... Nota che lo stato x() sintetizza tutta la storia passata del sistema. La dimensione n dello stato x(t) R n è detta ordine del sistema. Il sistema si dice proprio se D =. (cfr. sistemi lineari a tempo continuo) In generale x(k) R n, u(k) R m, y(k) R p, A R n n, B R n m, C R p n, D R p m A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -9
Soluzione di regime stazionario Ipotesi: A ha tutti autovalori in modulo < Quale sarà il valore asintotico dell uscita corrispondente ad un dato ingresso costante u(k) u r, k =,,...? Imponiamo x r (k +)=x r (k) x r = Ax r + Bu r Esempio: >< >: y r =(C(I A) B + D) u r }{{} guadagno in continua x(k +) = y(k) = Guadagno in continua: h i @ 4 4 h 5 x(k)+ i x(k) 5 4 5A 4 5 u(k) 4 5 = y(k).5.5.5.5.5 u(k).5.5.5.5.5.5 5 k.5 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / - k
Esempio: Dinamica studenti in un corso di laurea Ipotesi: Durata del corso di laurea: anni Percentuali di studenti promossi, ripetenti e abbandoni: costanti per ogni anno Non è possibile iscriversi direttamente al II e III anno Non sono ammessi studenti fuori corso Notazione: k Anno accademico x i (k) numero di studenti iscritti all i-esimo anno di corso nell anno k, i =,, u(k) numero di matricole nell anno k y(k) numero di laureati nell anno k α i tasso di promossi nell anno di corso i-esimo, α i β i tasso di ripetenti nell anno di corso i-esimo, β i tasso di abbandoni nell anno di corso i-esimo: α i β i Sistema di equazioni alle differenze di ordine : >< >: x (k +) = β x (k)+u(k) x (k +) = α x (k)+β x (k) x (k +) = α x (k)+β x (k) y(k) = α x (k) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
In forma matriciale: >< >: x(k +) = y(k) = 6 4 h i α β α β α β 7 5 x(k)+ 6 4 x(k) 7 5 u(k) Esempio: α =.6 β =. α =. β =.5 α =.9 β =. 5 u(k) 5, k =,,... y(k) 5 5 5 valore di regime: 4 5 6 7 9 passo k h i h. i h i [.9 ].6.5.. z } guadagno in continua 5.695 5 = 4.569 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Definizione generale di equilibrio: Dato il sistema (tempo discreto, non lineare, tempo variante) x(k +) = f(k, x(k),u(k)) y(k) = g(k, x(k),u(k)) Lo stato costante x r e l ingresso costante u r sono un equilibrio del sistema se per x(t )=x r e u(t) u r, k k,sihax(k) x r, k k. Definizione equivalente: x(k) =f(k, x(k),u(k)), k k x r è detto stato di equilibrio u r è detto ingresso di equilibrio A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
. Campionamento di sistemi a tempo continuo Campionamento esatto: Dato il sistema a tempo continuo < : ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x() = x vogliamo esprimerne l evoluzione agli istanti di campionamento t =,T,T,..., kt,..., supponendo che l ingresso u(t) sia costante durante ogni intervallo di campionamento: u(t) ũ(k), kt t<(k +)T Siano x(k), x(kt) e ỹ(k), y(kt) i campioni dello stato e dell uscita, rispettivamente, all istante di campionamento k-esimo. y(t), y(kt) u(t), u(kt).5.5.5.5.5.5.5 5 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -4
. Campionamento di sistemi a tempo continuo Applichiamo la formula risolutiva x(t) =e A(t t ) x(t )+ Z t t e A(t t τ) Bu(τ)dτ per t =(k +)T, t = kt, x = x(kt), e ingresso u(τ) ũ(k), kt τ<(k +)T : x((k +)T )=e AT x(kt)+ ottenendo quindi x(k +)=e AT x(k)+ Z T ( T e A(T τ) dτ Bũ(k) e A(T τ) dτ ) Bũ(k) Il sistema tempo-discreto a segnali campionati x(k +) = à x(k)+ Bũ(k) ỹ(k) = C x(k)+ Dũ(k) è legato al sistema tempo continuo dalle relazioni à e AT ( ) T B ea(t τ) dτ B C C D D A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -5
. Campionamento di sistemi a tempo continuo.4 y(t), y(kt).4 y(t), y(kt).....4 4 6 u(t), u(kt).5.5 4 6.4 4 6 u(t), u(kt).5.5 4 6 Nota: in generale, affinchè il sistema a tempo discreto (Ã, B, C, D) e il sistema a tempo continuo (A, B, C, D) coincidano agli istanti di campionamento t = kt occorre che l ingresso u(t) sia costante durante l intervallo di campionamento. Questo normalmente avviene nei sistemi di controllo digitale, dove il segnale di ingresso viene generato a frequenze regolari da un unità di calcolo (microcontrollore/pc/dsp) e mantenuto costante. In ogni caso, (Ã, B, C, D) è una approssimazione del modello tempo continuo (A, B, C, D). A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -6
. Campionamento di sistemi a tempo continuo Come scegliere il tempo di campionamento T per discretizzare un dato sistema? Buona scelta (per sistemi lineari): T tempo di salita per ingresso u(t) =, x() = y(t), y(kt)..6.4. 4 5 u(t), u(kt).5.5 4 5 Tempo di salita tempo necessario per passare dal % al 9% del valore di regime.9..7.6.5.4... tempo di salita 9% % 4 5 6 7 9 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -7
. Campionamento di sistemi a tempo continuo Campionamento con metodo di Eulero: x((k+)t ) x(t) x((k+)t ) x(kt ) T x(kt ) kt T (k+)t _x(t) t (77-7) Idea: approssimare ẋ(t) con x((k+)t ) x(kt ) T Approssimazione per sistema lineare: x((k +)T )=(I + TA)x(kT)+TBu(kT) Il sistema tempo-discreto a segnali campionati < : x(k +) = Ã x(k)+ Bũ(k) ỹ(k) = C x(k)+ Dũ(k) è legato al sistema tempo continuo dalle relazioni Ã, I + AT C, C B, TB D, D Nota: e TA = I + TA+ + T n A n +... n! il metodo di Eulero approssima il metodo esatto. Coincidono per T. Il metodo di Eulero è applicabile anche a sistemi non lineari ẋ(t) =f(x(t),u(t)). A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -
Esempio: Serbatoio Modello matematico del serbatoio (tempo continuo): p d h(t) = a g dt A h(t)+ u(t) A < : q(t) = a g p h(t) Modello matematico del serbatoio (tempo discreto): T q h(k)+ ũ(k) A < : h(k +) = h(k) Ta g A q(k) = a gq h(k) u 7 6 Altezza h(t) (m) 5 4 h q 5 5 5 Tempo (s) Minore il tempo di campionamento, migliore l approssimazione (ma maggiore il numero di calcoli) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / -9