I SOLIDI DI ROTAZIONE

GEOMETRIA PREREQUISITI l l l l l conoscere gli enti fondamentali della geometria iana e le loro rorietaá conoscere gli enti fondamentali della geometria solida e le loro rorietaá conoscere le formule er il calcolo delle aree dei oligoni conoscere il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide conoscere circonferenza, cerchio, le loro arti e le loro formule CONOSCENZE 1. le suerfici di rotazione 2. il cilindro e il calcolo dell'area della suerficie laterale e totale. il volume del cilindro 4. il cono e il calcolo dell'area della suerficie laterale e totale 5. il volume del cono 6. la sfera e il calcolo dell'area della suerficie sferica e del volume 7. gli altri solidi di rotazione e il calcolo dell'area della suerficie laterale e totale 8. il volume degli altri solidi di rotazione ABILITAÁ A. raresentare su un iano una suerficie di rotazione B. calcolare l'area della suerficie laterale e totale e il volume del cilindro C. calcolare l'area della suerficie laterale e totale e il volume del cono D. calcolare l'area della suerficie sferica e il volume della sfera E. calcolare l'area della suerficie laterale e totale e il volume degli altri solidi di rotazione PER RICORDARE Il cilindro: 1. il cilindro eá il solido generato dalla rotazione comleta di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati; 2. il cilindro equilatero ha diametro di base ed altezza congruenti;. l'area della suerficie laterale del cilindro eá uguale al rodotto della lunghezza della circonferenza di base er la misura dell'altezza; formula diretta: A l ˆ 2 r h; formule inverse: r ˆ A l : 2 h ; h ˆ A l : 2 r ; 4. l'area della suerficie totale di un cilindro eá uguale alla somma dell'area della suerficie laterale con le aree delle basi; formula diretta: A t ˆ A l 2 A b ; formule inverse: A l ˆ A t 2 A b ; A b ˆ A t A l : 2; 5. il volume del cilindro eá uguale al rodotto dell'area del cerchio di base er la misura dell'altezza; formula diretta: ˆ r 2 h; formule inverse: r ˆ : h ; h ˆ : r 2 ; 6. le formule delle aree delle suerfici e del volume del cilindro equilatero sono risettivamente: A l ˆ 4 r 2 ; A t ˆ 6 r 2 ; ˆ 2 r. Il cono: 7. il cono eá il solido generato dalla rotazione comleta di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti; 8. il cono equilatero ha il diametro di base e l'aotema congruenti;

2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9. l'area della suerficie laterale di un cono eá uguale al rodotto della lunghezza della semicirconferenza di base er la misura dell'aotema; formula diretta: A l ˆ r a; formule inverse: r ˆ A l : a ; a ˆ A l : r ; 10. l'area della suerficie totale di un cono eá uguale alla somma dell'area della suerficie laterale e dell'area di base: A t ˆ A l A b oure A t ˆ r a r ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l ; 11. il cono eá equivalente ad un terzo di un cilindro avente le misure del raggio di base e dell'altezza uguali; formula diretta: ˆ r 2 h : ; formule inverse: r ˆ : h ; h ˆ : r 2 ; 12. le formule er il calcolo dell'area delle suerfici e del volume del cono equilatero sono risettivamente: A l ˆ 2 r 2 ; A t ˆ r 2 ; ˆ r :. La sfera: 1. la sfera eá il solido generato dalla rotazione comleta di un semicerchio attorno al suo diametro; 14. la suerficie sferica eá l'insieme di tutti i unti dello sazio che hanno la stessa distanza da un unto detto centro; 15. l'area della suerficie sferica eá equivalente alla suerficie laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto ed eá uguale a quattro volte l'area di un suo cerchio massimo; formula diretta: A ˆ 4 r 2 ; formula inversa: r ˆ A : 4 ; 16. il volume della sfera eá uguale al rodotto dei 4 di er il cubo della misura del raggio; formula diretta: ˆ 4 r ; formula inversa: r ˆ : 4. Gli altri solidi di rotazione: 17. La rotazione di un: a. triangolo rettangolo attorno all'iotenusa genera due coni sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ A l1 A l2 ; solido ˆ 1 2 ; b. triangolo isoscele attorno alla base genera due coni congruenti sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ 2 A l1 ; solido ˆ 2 1 ; c. triangolo ottusangolo attorno al rolungamento del suo lato genera un cono con una cavitaá a forma conica; formule: A solido ˆ A l1 A l2 ; solido ˆ 1 2 ; d. traezio rettangolo attorno alla base maggiore genera un cilindro e un cono sovraosto con la base in comune; formule: A solido ˆ A l cilindro A l cono A b cilindro ; solido ˆ cilindro cono ; e. traezio rettangolo attorno alla base minore genera un cilindro e un cono in esso cavo; formule: A solido ˆ A l cilindro A l cono A b cilindro ; solido ˆ cilindro cono ; f. traezio isoscele attorno alla base maggiore genera un cilindro e due coni sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ A l cilindro 2 A l cono ; solido ˆ cilindro 2 cono ; g. traezio isoscele attorno alla base minore genera un cilindro e due coni in esso cavi; formule: A solido ˆ A l cilindro 2 A l cono ; solido ˆ cilindro 2 cono. ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 Risondi alle seguenti domande: a. che cosa determina un unto che ruota attorno a un asse? b. Che cosa determinano una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse? 2 Comleta la seguente definizione: si dice cilindro il solido generato dalla... di un... attorno ad uno dei suoi lati.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Disegna lo sviluo della suerficie totale di un cilindro. 4 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie laterale di un cilindro? Come si esrime in simboli? 5 Quale delle seguenti formule ermette di determinare l'area della suerficie totale di un cilindro? a. A t ˆ A b A l ; b. A t ˆ 2 A b A l ; c. A t ˆ A b A l 2. 6 Quando un cilindro si dice equilatero? Come si trasformano le formule er determinare l'area della suerficie laterale e totale? 7 Qual eá la regola che ermette di calcolare il volume di un cilindro? Come si esrime in simboli? 8 Comleta la seguente definizione: si dice cono il solido generato dalla... di un... attorno ad uno dei suoi cateti. 9 Aiutandoti con la figura a lato definisci i seguenti elementi del cono: O : ::::::::::::::::::::::::: OA : ::::::::::::::::::::::::: A : :::::::::::::::::::::::::: 10 Raresenta lo sviluo della suerficie totale di un cono. 11 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie laterale di un cono? Come si esrime in simboli? 12 Quale delle seguenti formule ermette di determinare l'area della suerficie totale di un cono? a. A t ˆ A b A l ; b. A t ˆ A b A l ; c. A t ˆ 2 A b A l ; d. A t ˆ A l A b. 1 Quando un cono si dice equilatero? Come si trasformano le formule er determinare l'area della suerficie laterale e totale? 14 Qual eá la regola che ermette di calcolare il volume di un cono? Come si esrime in simboli? 15 Comleta la seguente definizione: si dice sfera il solido generato dalla... di un... attorno al suo... 16 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a. un iano eá esterno ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá uguale al raggio; b. un iano eá esterno ad una sfera se non hanno alcun unto in comune con essa; c. un iano eá tangente ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá uguale al raggio; d. un iano eá tangente ad una sfera se hanno in comune un segmento; e. un iano eá secante ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá maggiore del raggio; f. un iano eá secante ad una sfera se hanno tutti i unti di un cerchio in comune. F F F F F F 17 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie della sfera? Come si esrime in forma simbolica? 18 Quale delle seguenti formule ermette di calcolare il volume della sfera? a. ˆ 4 5 r ; b. ˆ 4 r ; c. ˆ 4 r ; d. ˆ 4 r 2.

4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO BASE * 1 Esercizio Svolto L'area della suerficie totale di un cilindro Le misure del raggio di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 16 cm e 27 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. r ˆ 16 cm h ˆ 27 cm Incognita A t 2 Le misure del raggio di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 24 cm e 6 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. Le misure del diametro di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 70 cm e 46 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. 4 Esercizio Svolto A l ˆ 2 r h ˆ 216 27 cm 2 ˆ 864 cm 2 A b ˆ r 2 ˆ 16 2 cm 2 ˆ 256 cm 2 A t ˆ 2 A b A l ˆ 2 256 864 cm 2 ˆ 176 cm 2 L'area della suerficie totale e il volume di un cilindro L'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 840 cm 2 e 5 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro. A l ˆ 840 cm 2 h ˆ 5 cm Incognite A t A b ˆ r 2 ˆ 12 2 cm 2 ˆ 144 cm 2 Determiniamo la misura del raggio di base alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale. r ˆ A t ˆ 2 A b A l ˆ 2 144 840 cm 2 ˆ 1128 cm 2 ˆ A b h ˆ 144 5 cm ˆ 5040 cm Al 2 h ˆ 840 cm ˆ 12 cm 2 5 5 L'area della suerficie laterale e la misura del raggio di base di un cilindro sono risettivamente 2156 cm 2 e 22 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro. 6 L'area di base di un cilindro eá 24 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro saendo che l'altezza eá 11 del raggio di base. 6

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 7 Il volume e l'altezza di un cilindro misurano risettivamente 5808 cm e 48 cm; calcola l'area della suerficie totale. 8 Il volume e il raggio di base di un cilindro misurano risettivamente 2592 dm e 9 dm; calcola l'area della suerficie totale. 9 Il volume e l'altezza di un cilindro misurano risettivamente 1005 cm e 45 cm; calcola l'area della suerficie totale. 10 Un cilindro equilatero ha la misura del raggio di base di 12 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. (Suggerimento: il cilindro equilatero ha l'altezza congruente al diametro) 11 Un cilindro equilatero ha l'area della suerficie totale di 750 cm 2 ; calcola l'area della suerficie laterale e il volume. 12 L'area della suerficie laterale di un cilindro equilatero eá 4900 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 1 14 Un cono ha le misure del raggio di base e dell'aotema risettivamente di 20 cm e 4 cm; calcola l'area della suerficie totale. 15 Un cono ha le misure del diametro di base e dell'altezza risettivamente di 48 cm e 10 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 16 L'area di base di un cono eá 1024 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume saendo che l'aotema misura 68 cm. 17 Un cono ha la circonferenza di base e l'aotema che misurano risettivamente 70 cm e 91 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 18 Esercizio Svolto L'area della suerficie totale di un cono Un cono ha la misura del raggio di base e dell'altezza risettivamente di 15 cm e 28 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. OB ˆ r ˆ 15 cm O ˆ h ˆ 28 cm A t ˆ A b A l ˆ 225 476,4 cm 2 ˆ 701,4 cm 2 ˆ A b h : ˆ 225 28 : cm ˆ 2100 cm Esercizio Svolto Incognite B ˆ a ˆ r 2 h 2 ˆ 15 2 28 2 cm ˆ 1,76 cm A l ˆ r a ˆ 15 1,76 cm 2 ˆ 476,4 cm 2 A t A b ˆ r 2 ˆ 15 2 cm 2 ˆ 225 cm 2 Le formule inverse di un cono Il volume di un cono eá 6480 cm e la misura dell'altezza eá 15 cm; calcola l'area della suerficie totale.

6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS ˆ 6480 cm h ˆ O ˆ 15 cm Incognita A t Calcoliamo l'area di base alicando la formula inversa del volume A b ˆ ˆ h O ˆ 6480 cm 2 ˆ 1296 cm 2 15 r r A r ˆ OB ˆ b 1296 ˆ cm ˆ 6 cm Alichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OB er determinare la misura dell'aotema: q a ˆ B ˆ O 2 OB 2 ˆ 15 2 6 2 cm ˆ 225 1296 cm ˆ 1521 cm ˆ 9 cm A l ˆ r a ˆ OB B ˆ 6 9 cm 2 ˆ 1404 cm 2 A t ˆ A b A l ˆ 1296 1404 cm 2 ˆ 2700 cm 2 19 L'area della suerficie laterale di un cono eá 960 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume saendo che il raggio di base misura 24 cm. 20 L'area della suerficie laterale e di base di un cono sono risettivamente 2055 cm 2 e 1221 cm 2 ; calcola il volume. 21 Il volume e la misura dell'altezza di un cono sono risettivamente 5000 cm e 7,5 cm; calcola l'area della suerficie totale. 22 Il volume e la misura del raggio di base di un cono sono risettivamente 207646 cm e 94 cm; calcola l'area della suerficie totale. 2 Esercizio Svolto La suerficie e il volume di una sfera La circonferenza massima di una sfera misura 46 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. Dato C massima ˆ 46 cm Incognite A A ˆ 4 r 2 ˆ 4 2 2 cm 2 ˆ 2116 cm 2 ˆ 4 r ˆ 4 2 cm ˆ 16222,6 cm Calcoliamo la misura del raggio della sfera che equivale al raggio della circonferenza massima. r ˆ C massima : 2 ˆ 46 : 2 cm ˆ 2 cm

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 24 La circonferenza massima di una sfera misura 84 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 25 La circonferenza massima di una sfera misura 200,96 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 26 Esercizio Svolto Le formule inverse di una sfera Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 1764 cm 2. Dato A ˆ 1764 cm 2 Incognita 27 Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 11664 cm 2. 28 Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 2826 cm 2. 29 Il volume di una sfera eá 62208 cm ; calcola la misura del raggio. Per calcolare la misura del raggio, alichiamo la formula inversa: r ˆ A : 4 ˆ 1764 : 4 cm ˆ 441 cm ˆ 21 cm ˆ 4 r ˆ 4 21 cm ˆ 1248 cm 0 Il volume di una sfera eá 96 cm ; calcola l'area della suerficie sferica. 1 Il volume di una sfera eá 24416,64 cm ; calcola l'area della suerficie sferica. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO MEDIO ** 1 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale e il volume di un cilindro L'area di base di un cilindro eá 1296 cm 2 e l'altezza eá 5 del raggio di base. Calcola l'area della suerficie totale e il 4 volume. A b ˆ 1296 cm 2 Incognite A t h ˆ 5 4 r Ricaviamo la misura del raggio dall'area di base er oi determinare la misura dell'altezza. r ˆ ::::: : ˆ ::::::: : ::::: cm ˆ ::::: cm

8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS h ˆ 5 4 r ˆ 5 ::::: cm ˆ 45 cm 4 A l ˆ 2 r h ˆ 2 ::::: 45 cm 2 ˆ :::::::::: cm 2 A t ˆ 2 A b A l ˆ 2 1296 :::::::::::: cm 2 ˆ :::::::::: cm 2 ˆ A b ::::: ˆ 1296 ::::: cm ˆ 5820 cm 2 Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cilindro saendo che l'area di base eá 784 cm 2 e l'altezza eá 11 della base. 7 Esercizio Guidato Il volume del cilindro L'area della suerficie totale di un cilindro eá 288 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 1 dell'area laterale. 6 A t ˆ 288 cm 2 A b ˆ 1 6 A l Incognita Determiniamo il valore dell'area di base e dell'area laterale raresentando il raorto con dei quadratini. L'area della suerficie totale eá quindi divisa in... quadratini. A b ˆ A t : ::::: ˆ 288 : ::::: cm 2 ˆ :::::::: cm 2 A l ˆ ::::: 6 ˆ :::::::: 6cm 2 ˆ 216 cm 2 r ˆ A b : ˆ 6 : cm ˆ 6cm h ˆ A l : 2 ::::: ˆ :::::::: : 2 ::::: Š cm ˆ 18 cm ˆ A b ::::: ˆ 6 ::::: cm ˆ 648 cm 4 L'area della suerficie totale di un cilindro eá 448 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 1 5 dell'area laterale. 5 L'area della suerficie totale di un cilindro eá 1188 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá dell'area laterale. 5 6 L'area della suerficie totale di un cilindro equilatero eá 2646 dm 2, calcola il volume. (Suggerimento: un cilindro equilatero ha il diametro congruente all'altezza) 7 L'area della suerficie laterale di un cilindro equilatero eá 576 cm 2, calcola il volume. 8 Il volume di un cilindro equilatero eá 912 dm, calcola l'area della suerficie totale. r (Attenzione alla formula inversa del volume r ˆ ) 2

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 9 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale e il volume di un cono 10 Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cono saendo che l'area di base eá 625 dm 2 eil raggio di base eá 5 8 dell'altezza. 11 Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cono saendo che l'area di base eá 24 cm 2 e il raggio di base eá 5 dell'altezza. r ˆ A b : ˆ h ˆ 5 r ˆ 5 q a ˆ B ˆ O 2 OB 2 :::::::: : cm ˆ 18 cm ::::: cm ˆ 0 cm ˆ A b ˆ 24 cm 2 Incognite A t r ˆ 5 h Calcoliamo la misura del raggio di base alicando la formula inversa dell'area di base er oi calcolare la misura dell'altezza con il raorto dato. 0 2 18 2 cm ˆ A l ˆ ::::: a ˆ ::::: 4,99 cm 2 ˆ :::::::::: cm 2 A t ˆ A b A l ˆ :::::::: :::::::::: cm 2 ˆ 95,82 cm 2 ˆ A b h : ::::: ˆ 24 ::::: : ::::: cm ˆ 240 cm Esercizio Guidato 900 24 cm ˆ 1224 cm ˆ 4,99 cm Le formule inverse del cono L'area della suerficie totale di un cono eá 600 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá dell'area laterale. 5 Incognita A t ˆ 600 cm 2 A b ˆ 5 A l Determiniamo il valore dell'area di base e dell'area laterale raresentando il raorto con dei quadratini. L'area della suerficie totale corrisonde quindi a 8 quadratini. A b ˆ A t : 8 ˆ :::::::: : ::::: cm 2 ˆ 225 cm 2 A l ˆ A t : 8 5 ˆ 600 : ::::: ::::: cm 2 ˆ 75 cm 2

10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS r ˆ OB ˆ A b : ::::: ˆ 225 : ::::: cm ˆ 15 cm a ˆ B ˆ A l : r ˆ 75 : ::::: ::::: Š cm ˆ ::::: cm h ˆ O ˆ B 2 OB 2 ˆ 25 2 15 2 cm ˆ 625 225 ˆ ::::: h : ˆ :::::::: ::::: : ˆ1500 cm cm ˆ 400 cm ˆ 20 cm 12 L'area della suerficie totale di un cono eá 10404 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 4 5 dell'area laterale. 1 L'area della suerficie totale di un cono eá 10584 dm 2, calcola il volume saendo che l'area di base eá 5 dell'area laterale. 14 Il volume di un cono equilatero eá 4277,472 cm, calcola l'area della suerficie totale. r (Attenzione alla formula inversa del volume r ˆ 15 L'area della suerficie totale di un cono equilatero eá 12 cm 2, calcola il volume. 16 Esercizio Guidato L'area della suerficie sferica e del volume di una sfera Un iano secante una sfera forma er intersezione una circonferenza lunga 48 cm; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera misura 2 cm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. C intersezione ˆ 48 cm OP ˆ 2 cm Incognite A 17 Un iano secante una sfera forma er intersezione una circonferenza lunga 108 dm; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera misura 72 dm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 18 Un iano secante una sfera forma er intersezione un cerchio d'area 6561 cm 2 ; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera eá 108 cm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 19 A ˆ 4 :::::::: ˆ 4 ::::: cm 2 ˆ 6400 cm 2 ˆ 4 ::::: ˆ 4 ::::: cm ˆ 85, cm Esercizio Guidato PQ ˆ C intersezione : ::::: ˆ :::::::: : 2 cm ˆ 24 cm q OQ ˆ OP 2 PQ 2 ˆ ::::: 24 2 cm ˆ ::::: cm Il cerchio intersezione L'area della suerficie sferica eá 10816 cm 2 ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 20 cm.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 A ˆ 10816 cm 2 OP ˆ 20 cm OQ ˆ A : ::::: ˆ q PQ ˆ OQ 2 ::::: ˆ Incognita A intersezione 10816 : 4 52 2 20 2 cm ˆ cm ::::::: cm ˆ 52 cm 204 A intersezione ˆ PQ 2 ˆ ::::::: cm 2 ˆ 204 cm 2 cm ˆ ::::: cm 20 L'area della suerficie sferica eá 966 cm 2 ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 72 cm. 21 Il volume di una sfera eá 4500 cm ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 12 cm. 22 Esercizio Guidato La rotazione comleta di un triangolo isoscele attorno alla base Il erimetro e la misura della base di un triangolo isoscele sono risettivamente 112 cm e 42 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del triangolo attorno alla base. 2 ABC ˆ 112 cm AB ˆ 42 cm Incognite A solido solido AC ˆ 2 AB : 2 ˆ ::::: ::::: : 2Š cm ˆ 5 cm CH ˆ BC 2 HB 2 ˆ ::::: 21 2 cm ˆ Il triangolo isoscele ABC ruotando di 60 attorno alla base AB genera due coni congruenti con le basi coincidenti, aventi come raggio l'altezza CH, come altezza le semibasi AH e HB e come aotema i lati AC e BC. ::::: 441 cm ˆ A l cono ˆ r a ˆ CH CB ˆ ::::: ::::: cm 2 ˆ 980 cm 2 A solido ˆ 2 :::::::::: ˆ 2 ::::::: cm 2 ˆ 1960 cm 2 cono ˆ Ab h 784 cm ˆ 28 cm ˆ ::::: BH : Š ˆ ::::: 21 : Š cm ˆ 5488 cm solido ˆ 2 cono ˆ 2 :::::::::::::::: cm ˆ 10976 cm 2 Un triangolo isoscele ha l'area di 480 cm 2 e la misura dell'altezza di 0 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del triangolo attorno alla base. 24 Un traezio rettangolo ha l'area di 00 cm 2 e la misura delle due basi risettivamente 18 cm e 42 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore.

12 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 25 In un triangolo rettangolo la somma dei cateti eá 6 cm e la loro differenza 9 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del triangolo attorno all'iotenusa. 26 In un traezio isoscele la base maggiore e l'altezza misurano risettivamente 156 cm e 6 cm e il lato obliquo eá 1 della base maggiore. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato 4 dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore. 27 L'area della suerficie totale di un solido generato dalla rotazione comleta di un traezio rettangolo attorno alla base minore eá 10080 cm 2. Calcola il volume del solido saendo che la differenza delle due basi e il lato obliquo del traezio misurano risettivamente 40 cm e 58 cm. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIELLO AANZATO *** 1 Calcola il volume di un cilindro saendo che l'area della suerficie totale eá 840 dm 2 e il raggio eá 7 dell'altezza. 2 Calcola l'area della suerficie totale di un cilindro saendo che il volume eá 66 cm e il raggio eá 11 dell'altezza. Calcola il volume di un cono saendo che l'area della suerficie totale eá 4410 cm 2 e il raggio eá 5 1 dell'aotema. 4 Calcola l'area della suerficie totale di un cono saendo che il volume eá 81648 cm e il raggio eá 9 14 dell'altezza. 5 Un cilindro eá sormontato da un cono con la base concentrica a quella del cilindro e il raggio di base e l'altezza risettivamente 15 16 e 4 del raggio e dell'altezza del cilindro. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che il volume del cilindro eá 0720 cm e la sua altezza misura 0 cm. 6 Un solido di acciaio Ps ˆ 7,5 eá formato da un cilindro e da un cono sovraosto con le basi coincidenti e le altezze risettivamente congruenti. Saendo che la circonferenza di base eá 104 cm 2 e che l'area della suerficie laterale del cono eá 80 cm 2, calcola il eso del solido. 7 Calcola il eso di un tubo in ferro (Ps ˆ 7,89) del diametro di 5 cm, lo sessore di mm e la lunghezza di 2 m. 8 In un reciiente cavo cilindrico, avente il raggio interno della base lungo 18 cm, si versa dell'acqua; in un secondo momento vi si immerge un cono che fa innalzare il livello dell'acqua di cm. Calcola il volume del cono e la misura del raggio di una sfera che immersa nell'acqua ha innalzato il livello alla stessa altezza del cono. 9 Un triangolo rettangolo ha un cateto e l'altezza relativa all'iotenusa che misurano risettivamente 12 cm e 9,6 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del triangolo attorno all'iotenusa. 10 In un traezio isoscele l'altezza eá lunga 15 cm, la somma e la differenza delle due basi misurano risettivamente 40 cm e 16 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore. 11 In un traezio isoscele la somma e la differenza delle due basi misurano risettivamente 8 cm e 16 cm ed il erimetro eá 58 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base minore.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 1 12 In un triangolo isoscele il raorto tra un lato obliquo e la base eá 5 e la loro differenza eá cm. Calcola 6 l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto facendo ruotare il triangolo di 60 attorno ad uno dei lati congruenti. 1 Sulle basi di un cilindro sono aoggiati due coni congruenti con le basi concentriche con quelle del cilindro e raggio maggiore. Il raggio di base dei due coni misura 16 dm e la somma e la differenza dell'altezza del cilindro con uno dei due coni sono risettivamente 120 dm e 60 dm. Calcola l'area della suerficie totale e il eso del solido Ps ˆ 2,5 saendo che il raggio del cilindro eá 2 della sua altezza. 15 14 La misura dello sigolo di un cubo eá 42 cm. Nel cubo eá raticata una cavitaá a forma di cono, rofonda 28 cm e con la base inscritta in una faccia del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido. 15 Un solido eá formato da un cilindro equilatero sormontato da un cono equilatero con la base concentrica con quella del cilindro e raggio minore risetto a quello del cilindro di 8 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che l'altezza del cilindro misura 40 cm. 16 Un solido alto 40 cm eá costituito da un cubo sormontato da un cilindro equilatero avente la base inscritta nella faccia sueriore del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 a. una circonferenza; b. una suerficie. 2 rotazione comleta; rettangolo. 4 l'area della suerficie laterale di un cilindro eá data dal rodotto della lunghezza della circonferenza di base er la misura dell'altezza; A l ˆ 2 r h. 5 b. 6 un cilindro si dice equilatero quando il diametro di base eá congruente all'altezza; A l ˆ 4 r 2 ; A t ˆ 6 r 2. 7 il volume di un cilindro eá dato dal rodotto dell'area di base er la misura dell'altezza; ˆ A b h ˆ r 2 h. 8 rotazione comleta; triangolo rettangolo. 9 O: altezza; OA: raggio; A: aotema. 10

14 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 l'area della suerficie laterale di un cono eá data dal rodotto della lunghezza della semicirconferenza di base er la misura dell'aotema; A l ˆ r a. 12 a. 1 un cono si dice equilatero quando il diametro di base e l'aotema sono congruenti; A l ˆ 2 r 2 ; A t ˆ r 2. 14 il volume di un cono eá dato dalla terza arte del rodotto dell'area del cerchio di base er la misura dell'altezza; ˆ Ab h ˆ r 2 h. 15 rotazione comleta; sermicerchio; diametro. 16 a. F; b. ; c. ; d. F; e. F; f.. 17 L'area della suerficie di una sfera eá uguale a 4 volte l'area di un suo cerchio massimo; A ˆ 4 r 2. 18 c. N.B.: in tutti gli esercizi, er ottenere il risultato senza il basta moltilicare il valore numerico er,14. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO BASE 2 2880 cm 2. 5670 cm 2. 5 124 cm 2 ; 2716 cm. 6 186 cm 2 ; 10692 cm. 7 1298 cm 2. 8 78 dm 2. 9 2108 cm 2. 10 864 cm 2 ; 456 cm. 11 2500 cm 2 ; 1250 cm. 12 750 cm 2 ; 85750 cm. 14 1260 cm 2. 15 1200 cm 2 ; 1920 cm. 16 200 cm 2 ; 20480 cm. 17 4410 cm 2 ; 400 cm. 19 156 cm 2 ; 6144 cm. 20 60786 cm. 21 1250 cm 2. 22 19881 cm 2. 24 7056 cm 2 ; 98784 cm. 25 4096 cm 2 ; 4690,6 cm. 27 209952 cm. 28 4500 cm. 29 6 cm. 0 15876 cm 2. 1 1296 cm 2. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO MEDIO 1 r ˆ A b : ˆ 1296 : cm ˆ 6 cm; h ˆ 5 4 r ˆ 5 6 cm ˆ 45 cm; 4 A l ˆ 2 r h ˆ 2 6 45 cm 2 ˆ 240 cm 2 ; A t ˆ 2 A b A l ˆ 21296 240 cm 2 ˆ 582 cm 2 ; ˆ A b h ˆ 1296 45 cm ˆ 5820 cm. 2 402 cm 2 ; 4496 cm. 8; A b ˆ A t : 8 ˆ 288 : 8 cm 2 ˆ 6 cm 2 ; A l ˆ A b 6 ˆ 6 6cm 2 ˆ 216 cm 2 ; h ˆ A l : 2 r ˆ 216 : 2 6 Š cm ˆ 18 cm; ˆ A b h ˆ 6 18 cm ˆ 648 cm. 4 1280 cm. 5 4860 cm. 6 18522 dm. 7 456 cm. 8 7776 dm 2. 9 r ˆ A b : ˆ 24 : cm ˆ 18 cm; h ˆ 5 r ˆ 5 18 cm ˆ 0 cm; A l ˆ r a ˆ 18 4,99 cm 2 ˆ 629,82 cm 2 ; A t ˆ A b A l ˆ 24 629,82 cm 2 ˆ 95,82 cm 2 ; ˆ A b h : ˆ 24 0 : cm ˆ 240 cm. 10 1804,25 dm 2 ; 8, dm. 11 A b ˆ A t : 8 ˆ 600 : 8 cm 2 ˆ 225 cm 2 ; A l ˆ A t : 8 5 ˆ 600 : 8 5 cm 2 ˆ 75 cm 2 ; r ˆ OB ˆ A b : ˆ 225 : cm ˆ 15 cm; a ˆ B ˆ A l : r ˆ 75 : 15 Š cm ˆ 25 cm; ˆ A b h : ˆ 225 20 : ˆ1500 cm. 12 78608 cm. 1 11112 dm. 14 5292 cm 2. 15 546,684 cm.

Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 15 q 16 PQ ˆ C intersezione : 2 ˆ 48 : 2 cm ˆ 24 cm; OQ ˆ OP 2 PQ 2 ˆ 2 2 24 2 cm ˆ 40 cm; A ˆ 4 OQ 2 ˆ 4 40 2 cm 2 ˆ 6400 cm 2 ; ˆ 4 OQ ˆ 4 40 cm ˆ 85, cm. 17 2400 dm 2 ; 972000 dm. 18 72900 cm 2 ; 280500 cm. 19 OQ ˆ A : 4 ˆ 10816 : 4 cm ˆ 2704 cm ˆ 52 cm; q PQ ˆ OQ 2 OP 2 ˆ 52 2 20 2 cm ˆ 204 cm ˆ 48 cm; A intersezione ˆ PQ 2 ˆ 48 2 cm 2 ˆ 204 cm 2. 20 18225 cm 2. 21 81 cm 2. 22 AC ˆ 2 AB : 2 ˆ 112 42 : 2Š cm ˆ 5 cm; CH ˆ BC 2 HB 2 ˆ 5 2 21 2 cm ˆ 1225 441 cm ˆ 784 cm ˆ 28 cm; A l cono ˆ r a ˆ CH CB ˆ 28 5 cm 2 ˆ 980 cm 2 ; A solido ˆ 2 A l cono ˆ 2980 cm 2 ˆ 1960 cm 2 ; cono ˆ Ab h ˆ CH 2 BH : Š ˆ 28 2 21 : Š cm ˆ 5488 cm ; solido ˆ 2 cono ˆ 25488 cm ˆ 10976 cm. 2 2040 cm 2 ; 9600 cm. 24 720 cm 2 ; 2600 cm. 25 160 cm 2 ; 6998,4 cm. 26 11880 cm 2 ; 176256 cm. 27 147000 cm. ALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIELLO AANZATO 1 2256 dm. 2 144 cm 2. 400 cm. 4 808,44 cm 2. 5 4568 cm 2 ; 42720 cm. 6 1118,4 g. 7 6986 g. 8 972 cm ; 27 cm. 9 268,8 cm 2 ; 614,4 cm. 10 870 cm 2 ; 900 cm. 11 444 cm 2 ; 780 cm. 12 475,2 cm 2 ; 106,8 cm. 1 472 dm 2 ; 141928 kg. 14 11507,16 cm 2 ; 6116,76 cm. 15 2544 cm 2 ; 16997,66 cm. 16 656 cm 2 ; 14280 cm.