Paraeogrammi e trapezi riconoscere un paraeogramma e individuarne e proprietaá riconoscere paraeogrammi particoari e individuarne e proprietaá riconoscere trapezi e individuarne e proprietaá individuare simmetrie nei quadriateri conoscere e appicare e proprietaá dea corrispondenza paraea di Taete 1 QUADRILATERI E PARALLELOGRAMMI Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 11 I quadriateri Ricordiamo che un quadriatero eá un poigono che ha quattro ati (figura 1) ;in esso n i vertici A e C, B e D si dicono opposti, cosõácome i ati AB e CD, AD e BC n i vertici che appartengono ad uno stesso ato si dicono consecutivi, per esempio A e B oppure A e D sono consecutivi n i ati che hanno un vertice in comune sono consecutivi, per esempio AD e DC n gi angoi i cui vertici sono opposti si dicono opposti, per esempio sono opposti gi angoi DAB d e DCB d n gi angoi che hanno un ato in comune si dicono adiacenti a que ato; per esempio gi angoi ADC d e BCD d sono adiacenti a ato DC, gi angoi BAD d e ADC d sono adiacenti a ato AD. Figura 1 Figura 2 AB k DC ^ AD k BC I paraeogrammi Un paraeogramma eá un quadriatero che ha i ati opposti paraei (figura 2). I paraeogramma eá una figura convessa; e sue proprietaá, ognuna dimostrata di seguito a'enunciato, sono e seguenti. n Ciascuna diagonae o divide in due triangoi congruenti. Infatti (figura 3a), tracciando a diagonae AC, otteniamo i due triangoi ABC e ADC che hanno: i ato AC in comune gi angoi DAC d e ACB d congruenti percheâ aterni interni dee rette paraee AD e CB considerando a retta AC come trasversae LE PROPRIETAÁ Figura 3a Paraeogrammi e trapezi 1
gi angoi DCA d e CAB d congruenti percheâ aterni interni dee rette paraee AB e CD considerando ancora a retta AC come trasversae. Per i secondo criterio di congruenza, i due triangoi sono quindi congruenti. In modo anaogo si dimostra che, tracciando 'atra diagonae BD, i triangoi ADB e CBD sono congruenti. n I ati opposti sono congruenti. Questa proprietaá discende immediatamente daa congruenza dei triangoi ABC e ADC (figura 3b): AB DC e AD BC n Gi angoi adiacenti a ciascun ato sono suppementari. Questa proprietaá discende immediatamente daa definizione (figura 3c): ADC d e DCB d sono coniugati interni dee rette paraee AD e BC considerando DC come trasversae e sono quindi suppementari. Anaogamente si dimostra questa prioritaá per e atre coppie di angoi adiacenti. n Gi angoi opposti sono congruenti. Osservando ancora a figura 3c possiamo affermare che gi angoi opposti ADC d e ABC d sono congruenti essendo suppementari deo stesso angoo DAB d (oppure DCB). d Anaogamente sono congruenti gi angoi DAB d e DCB. d n Le diagonai si incontrano ne oro punto medio. Indichiamo con O i punto d'intersezione dee diagonai e consideriamo i triangoi ADO e BCO. Di essi possiamo dire che: AD BC per a seconda proprietaá DAO d OCB d percheâ aterni interni dee rette paraee AD e BC con trasversae AC ADO d OBC d percheâ aterni interni dee rette paraee AD e BC con trasversae DB (figura 3d). Essi sono quindi congruenti per i secondo criterio e in particoare si ha che: AO OC e DO OB Figura 3 b. c. d. Un quadriatero, in base aa definizione data, eá un paraeogramma se ha i ati opposti paraei; i seguente teorema ci daá poi uteriori criteri per riconoscere i paraeogrammi. Teorema. Un quadriatero convesso eá un paraeogramma se ha: n i ati opposti congruenti, oppure n gi angoi opposti congruenti, oppure n e diagonai che si incontrano ne punto medio, oppure n una coppia di ati opposti congruenti e paraei. Dimostrazione. n Con riferimento aa figura 4a, tracciamo a diagonae BD e consideriamo i triangoi ABD e CBD; essi hanno AB CD e AD BC per ipotesi ed i ato BD in comune e sono quindi congruenti per i terzo criterio. In particoare: sono congruenti gi angoi ADB d e DBC d e possiamo concudere che sono paraee e rette AD e BC; COME RICONOSCERE SE UN QUADRILATERO EÁ UN PARALLELOGRAMMA Figura 4a 2 Paraeogrammi e trapezi
sono congruenti gi angoi ABD d e CDB d e possiamo concudere che sono paraee e rette AB e CD. In base aa definizione, i quadriatero ABCD eá dunque un paraeogramma. n Sappiamo che a somma degi angoi interni di un quadriatero convesso eá congruente a due angoi piatti (2), quindi (figura 4b): ba bb C b D b 2 Ma, per ipotesi, A b C b e bb D, b quindi A b bb C b D b. Gi angoi A b e bb sono quindi suppementari e percioá e rette AD e BC sono paraee; anaogamente sono suppementari gi angoi C b e bb e e rette AB e CD sono anch'esse paraee. ABCD eá dunque un paraeogramma. n Supponiamo che sia AO OC e BO OD (figura 4c); essendo anche AOD d BOC d percheâ opposti a vertice, i due triangoi AOD e BOC sono congruenti per i primo criterio, quindi, in particoare AD BC. In modo de tutto anaogo, anche i triangoi AOB e DOC sono congruenti e percioá AB CD. Avendo i ati opposti congruenti, in base aa prima dimostrazione, i quadriatero ABCD eá un paraeogramma n Supponiamo che sia AD k BC e AD BC e consideriamo i triangoi ABC e ADC che hanno (figura 4d): AD BC per ipotesi i ato AC in comune gi angoi DAC d e BCA d congruenti percheâ aterni interni dee rette AD e BC paraee per ipotesi. Essi sono dunque congruenti per i primo criterio e, in particoare, AB CD; avendo i ati opposti congruenti ABCD eá un paraeogramma. Figura 4 b. c. d. 1. Disegniamo un paraeogramma ABCD, prendiamo un punto S su ato AB e un punto T su ato CD in modo che sia AS CT. Vogiamo dimostrare che i quadriatero SBTD eá un paraeogramma. Figura 5 Hp. ABCD eá un paraeogramma AS CT Th. SBTD eá un paraeogramma (figura 5) Dimostrazione. Sappiamo che: AB DC percheâ ati opposti de paraeogramma ABCD AS CT per ipotesi SB DT per differenza di segmenti congruenti Inotre SB k DT percheâ segmenti che appartengono ai ati AB e DC de paraeogramma ABCD. Aora i quadriatero SBTD ha una coppia di ati opposti congruenti e paraei ed eá percioá un paraeogramma. Paraeogrammi e trapezi 3
2 PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI Fra tutti i paraeogrammi ve ne sono acuni che presentano dee caratteristiche in piuá rispetto ai paraeogrammi comuni: i rettangoo, i rombo e i quadrato. Vediamo come possiamo definiri e quai sono e oro pecuiaritaá. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 15 Figura 6 I rettangoo Si chiama rettangoo un paraeogramma che ha tutti gi angoi congruenti (figura 6). In base a questa definizione possiamo dire che, poicheâ gi angoi adiacenti di un paraeogramma sono suppementari e due angoi suppementari e congruenti sono retti, gi angoi di un rettangoo sono tutti retti. Come tutti i paraeogrammi, i rettangoo ha i ati opposti congruenti e paraei e gode di tutte e atre proprietaá dei paraeogrammi; in piuá ha a seguente proprietaá: n un rettangoo ha e diagonai congruenti. Basta infatti osservare che i triangoi ADC e BDC sono congruenti percheâ rettangoi con i cateti congruenti (figura 7)e che quindi AC DB. Per riconoscere se un quadriatero eá un rettangoo bisogna innanzi tutto verificare che si tratti di un paraeogramma in uno dei modi visti ne paragrafo precedente; stabiito cioá, si puoá procedere in uno dei seguenti modi: n verificare che ci sia ameno un angoo retto In questo modo infatti anche gi atri angoi sono retti ed eá quindi rispettata a definizione di rettangoo. n verificare che e diagonai siano congruenti. In questo modo (puoi riferirti ancora aa figura 7)i triangoi ADC e BDC sono congruenti per i terzo criterio (i tre ati sono ordinatamente congruenti); anche gi angoi ADC d e BCD d sono quindi congruenti e poicheâ sono suppementari sono anche retti. DEFINIZIONE DI RETTANGOLO Figura 7 Figura 8 I rombo Si chiama rombo un paraeogramma con tutti i ati congruenti (figura 8). DEFINIZIONE DI ROMBO Un rombo possiede tutte e proprietaá di un paraeogramma; inotre: n un rombo ha e diagonai che sono fra oro perpendicoari e bisettrici degi angoi opposti. Basta infatti osservare che i triangoi ABC e ADC sono isoscei (figura 9)cosõÁ come i triangoi ADB e CDB e che, essendo DB e AC e mediane di tai triangoi, esse sono anche atezze e bisettrici. Figura 9 Per riconoscere se un quadriatero eá un rombo bisogna innanzi tutto verificare che sia un paraeogramma; successivamente si puoá procedere in uno dei seguenti modi: 4 Paraeogrammi e trapezi
n verificare che abbia due ati consecutivi congruenti. In questo modo, infatti, tutti i ati diventano congruenti fra oro e viene appicata a definizione. n verificare che e diagonai siano fra oro perpendicoari. In questo modo i triangoi rettangoi AOB, BOC, DOC, DOA sono tutti congruenti percheâ hanno i cateti ordinatamente congruenti (figura 10a) e si ha che AB BC DC AD. n verificare che una diagonae sia bisettrice degi angoi cui si riferisce. Infatti, supposto che ABD d CBD, d e quindi anche ADB d BDC, d i quattro angoi ABD, d CBD, d ADB, d BDC d sono congruenti percheâ metaá di angoi congruenti (figura 10b); i triangoi ADB e BDC sono percioá isoscei e congruenti per i secondo criterio e quindi AB BC DC AD. Figura 10 a. b. I quadrato Si dice quadrato un paraeogramma che ha tutti i ati congruenti e tutti gi angoi congruenti (figura 11a). DEFINIZIONE DI QUADRATO Daa definizione si deduce che un quadrato eá contemporaneamente un rettangoo e un rombo; di conseguenza, otre a tutte e proprietaá dei paraeogrammi, ha anche tutte e proprietaá dei rettangoi e dei rombi e cioeá (figura 11b): n e diagonai sono congruenti, sono perpendicoari, sono bisettrici degi angoi. Figura 11 a. b. Per riconoscere se un quadriatero eá un quadrato, dopo aver verificato che si tratta di un paraeogramma, abbiamo aora e seguenti possibiitaá: n verificare che ci siano due ati consecutivi congruenti e che ci sia un angoo retto Paraeogrammi e trapezi 5
n verificare che e diagonai siano congruenti e perpendicoari n verificare che e diagonai siano congruenti e che una di esse sia bisettrice degi angoi ai quai si riferisce. 3 IL TRAPEZIO Un atro quadriatero che eá interessante studiare (o vediamo anche nea forma dei tetti di acune case)eá i trapezio che definiamo in questo modo. Un trapezio eá un quadriatero che ha due ati paraei. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 19 DEFINIZIONE DI TRAPEZIO I ati paraei di un trapezio si dicono basi, gi atri due ati si dicono obiqui; si dice inotre atezza de trapezio a distanza fra e due basi (figura 12). I trapezi si possono cassificare in reazione ae caratteristiche dei ati obiqui; in particoare (figura 13): se i ati obiqui sono disuguai i trapezio si dice scaeno se sono congruenti si dice isoscee se uno dei ati obiqui eá perpendicoare ae basi i trapezio si dice rettangoo. Figura 12 Figura 13 trapezio scaeno trapezio isoscee trapezio rettangoo Anche un paraeogramma, avendo due ati opposti paraei, puoá essere considerato un particoare trapezio; ne seguito tuttavia, parando di trapezi, escuderemo questo caso particoare. I trapezio non ha particoari proprietaá se non quee che derivano da'avere due ati paraei: n gi angoi adiacenti a ciascuno dei ati obiqui sono suppementari. Infatti (osserva ancora a figura 13)essi sono in ogni caso coniugati interni: BAD d ADC d ˆ e ABC d BCD d ˆ Se invece i trapezio eá isoscee, e soo in questo caso, si evidenziano acune proprietaá: n gi angoi adiacenti a ciascuna base sono congruenti (figura 14); Infatti, se tracciamo e atezze uscenti dai vertici A e B (i due segmenti sono congruenti percheâ rappresentano a distanza fra e rette paraee dee basi), i triangoi ADK e BCH (figura 14)sono congruenti percheâ hanno 'ipotenusa ed un cateto congruenti; di conseguenza anche gi angoi di vertici D e C sono congruenti. Inotre A b bb percheâ suppementari di angoi congruenti. LE PROPRIETAÁ DEL TRAPEZIO ISOSCELE Figura 14 6 Paraeogrammi e trapezi
n e diagonai sono congruenti (figura 15); Infatti (figura 15), i triangoi ADC e DCB sono congruenti per i primo criterio (DC eá in comune ai due triangoi, AD BC per ipotesi e ADC d BCD d per a proprietaá precedente)e in particoare AC DB. Queste proprietaá possono essere invertite diventando un criterio per riconoscere se un trapezio eá isoscee. Un trapezio eá isoscee se: n gi angoi adiacenti ad una base sono congruenti. Infatti (figura 16a), se dai vertici A e B tracciamo e perpendicoari aa base maggiore DC, i triangoi rettangoi ADH e BCK hanno gi angoi di vertici D e C congruenti per ipotesi e i segmenti AH e BK congruenti percheâ ati opposti de rettangoo ABKH; i due triangoi sono quindi congruenti e percioá AD BC. n e diagonai sono congruenti. Infatti (figura 16b), se di nuovo dai vertici A e B tracciamo e perpendicoari aa base DC, i triangoi AHC e BKD sono congruenti (hanno 'ipotenusa e un cateto ordinatamente congruenti)e in particoare sono congruenti gi angoi ACH d e BDK; d i triangoi ACD e BCD sono aora congruenti per i primo criterio (AC BD per ipotesi, DC in comune e ACH d BDK)e d quindi AD BC. Figura 15 Figura 16 a. b. 4 LA CORRISPONDENZA DI TALETE Sappiamo che un fascio di rette paraee eá 'insieme di tutte e soe e rette che hanno a stessa direzione e che, se una retta interseca una di queste paraee, aora interseca tutte e atre, cioeá eá una trasversae ditutteerettede fascio. Consideriamo dunque un fascio di rette paraee e tagiamoo con due trasversai r e r 0 come in figura 17; si vengono in questo modo a determinare acuni punti sua prima trasversae ed atrettanti sua seconda che sono e intersezioni dee rette de fascio con e trasversai. Fra i punti dea trasversae r e quei dea trasversae r 0 si viene cosõá a stabiire una corrispondenza biunivoca che associa i punto A 0 ad A, i punto B 0 a B, i punto C 0 a C e cosõávia. Tae corrispondenza si chiama corrispondenza paraea di Taete. Se esiste corrispondenza biunivoca fra i punti dee due trasversai, esiste corrispondenza biunivoca anche fra i segmenti che hanno per estremi questi punti; per esempio, facendo ancora riferimento aa figura 17, si ha che i segmento A 0 B 0 eá i corrispondente di AB, i segmento B 0 D 0 eá i corrispondente di BD, i segmento C 0 D 0 eá i corrispondente di CD e cosõá via. In generae non vi eá acuna reazione fra un segmento ed i suo corrispondente: savo casi particoari, AB non eá congruente ad A 0 B 0, i due segmenti non sono paraei e non sono perpendicoari e questo per ogni coppia di segmenti che si corrispondono. Se peroá capita che due segmenti sua prima trasversae sono congruenti, aora possiamo dire che anche i oro corrispondenti o sono; vae infatti i seguente teorema. Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 21 Figura 17 Paraeogrammi e trapezi 7
Teorema (dea corrispondenza di Taete). Dato un fascio di rette paraee, tagiato da due trasversai, se sua prima trasversae si individuano due segmenti congruenti, aora anche i oro corrispondenti sua seconda trasversae sono congruenti. Figura 18 Hp. a k b k c k d k ::::: AB CD Th. A 0 B 0 C 0 D 0 (figura 18) Dimostrazione. Tracciamo i due segmenti AE e CF paraei aa trasversae r 0 ; i quadriateri AA 0 B 0 E e CC 0 D 0 F, avendo i ati opposti paraei, sono dei paraeogrammi, quindi AE A 0 B 0 e CF C 0 D 0. Consideriamo adesso i triangoi ABE e CDF ; essi hanno: AB CD ABE d CDF d d BAE d DCF per ipotesi percheâ angoi corrispondenti dee rette paraee b e d tagiate daa trasversae r percheâ angoi corrispondenti dee rette paraee AE e CF tagiate daa trasversae r I due triangoi sono congruenti per i secondo criterio ed in particoare AE CF. Aora AE A 0 B 0, CF C 0 D 0, AE CF, quindi, per a proprietaá transitiva dea congruenza, A 0 B 0 C 0 D 0. Questo teorema eá importante per e sue conseguenze appicate ai triangoi; si verifica infatti che: n se per i punto medio di un ato di un triangoo si traccia a paraea ad un atro ato, questa tagia i terzo ato ne suo punto medio. Infatti, tracciata da M a paraea a ato BC e considerato i fascio di rette di direzione BC (figura 19),seAM MB, anche AS SC. n Viceversa, se si congiungono i punti medi di due ati di un triangoo, i segmento ottenuto eá paraeo a terzo ato ed eá inotre congruente aa sua metaá. Infatti, indicati con M e N i punti medi di AC e AB e tracciata da M a paraea a ato BC, essa interseca i ato AB ne suo punto medio S (figura 20); quindi, visto che i punto medio di un segmento eá unico, N coincide con S e percioá, se si uniscono i punti medi di due ati, i segmento che si ottiene eá paraeo a terzo ato. Inotre, se da S tracciamo a paraea ad AC, i punto T di intersezione con i ato BC eá punto medio di tae ato, quindi CT TB. Ma i quadriatero MSTC eá un paraeogramma e percioá MS CT. Ne consegue che, essendo Figura 19 LE CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI TALETE Figura 20 Figura 21 CT 1 2 CB, MS 1 2 CB. In modo de tutto anaogo, si dimostra inotre che: n i segmento che congiunge i punti medi dei ati obiqui di un trapezio eá paraeo ae basi e congruente aa oro semisomma (figura 21). 8 Paraeogrammi e trapezi
La corrispondenza di Taete non afferma che sue due trasversai i segmenti che si corrispondono sono congruenti, come si puoá vedere immediatamente daa figura 22. I soi casi in cui accade che AB A 0 B 0 e, di conseguenza e stesse congruenze si verificano per tutte e atre coppie di segmenti corrispondenti, si verificano quando: e due trasversai formano angoi congruenti con e paraee de fascio (figura 23a), percheâ si vengono a formare tanti trapezi isoscei; e due trasversai sono paraee (figura 23b), percheâ si vengono a formare tanti paraeogrammi. Figura 22 Figura 23 a. b. 5 PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E ISOMETRIE Un paraeogramma ABCD ha e diagonai che si tagiano ne punto medio O; possiamo quindi dire che i punti A e C sono simmetrici rispetto ad O, cosõácome i punti B e D (figura 24): n un paraeogramma ha quindi un centro di simmetria che eá i punto d'intersezione dee diagonai. Non ha peroá assi di simmetria a meno che si tratti di un paraeogramma particoare. I paraeogrammi particoari, cioeá i rettangoo, i rombo e i quadrato, otre ad avere un centro di simmetria, hanno anche assi di simmetria. n Un rettangoo ha due assi di simmetria: e rette che passano per i punti medi dei ati opposti (figura 25a). Infatti, indicata con s a retta asse di simmetria de ato AB, si ha che B ˆ S A, BC ˆ S AD percheâ BC k AD e BC AD, quindi C ˆ S D e percioá s eá anche asse di simmetria de ato DC. Anaogamente a retta r, asse di simmetria de ato AD, eá anche asse di BC. n Un rombo ha due assi di simmetria: e rette dee diagonai (figura 25b). Infatti, nea simmetria di asse r i punti B e D sono punti uniti e C ˆ r A percheâ AC? r e AO OC. Anaogamente, anche a retta s eá asse di simmetria. n Un quadrato, essendo contemporaneamente un rettangoo ed un rombo, ha quattro assi di simmetria: e rette che passano per i punti medi dei ati opposti e e rette dee diagonai (figura 25c di pagina seguente). Gi esercizi di questo paragrafo sono a pag. 23 Figura 24 Figura 25 a. b. Paraeogrammi e trapezi 9
Di un paraeogramma, e quindi anche di un paraeogramma particoare, possiamo poi dire che: n una coppia di ati paraei si corrisponde nea trasazione che ha come vettore 'atro ato: con riferimento aa figura 26, i ato DC corrisponde a ato AB nea trasazione di vettore AD ƒ!, i ato BC corrisponde a ato AD nea ƒ! trasazione di vettore AB. Figura 25c. Figura 26 I trapezio non presenta particoari isometrie a meno che sia isoscee; in questo caso infatti: n a retta che passa per i punti medi dee basi eá asse di simmetria (figura 27). Poiche AH HB e DK KC, basta dimostrare che HK eá perpendicoare ae basi de trapezio. Osserviamo aora che i quadriateri AHKD e BHKC sono congruenti percheâ hanno tutti i ati ordinatamente congruenti e HAD d HBC d e ADK d BCK d. Anche gi angoi AHK d e BHK d sono quindi congruenti e percioá retti, cosõácome gi angoi DKH d e CKH; d HK eá quindi asse di simmetria per i trapezio. Figura 27 Un paraeogramma generico ha un centro di simmetria, ma, come giaá detto, non ha assi di simmetria, quindi non sono assi di simmetria: e diagonai (figura 28a): i punti B e D non sono simmetrici rispetto aa diagonae AC e rette che passano per i punti medi di due ati opposti (figura 28b): i punti A e B non sono simmetrici rispetto aa retta r, cosõá come C e D. Figura 28a Inotre e diagonai non sono bisettrici degi angoi (figura 28c): gi angoi BAC d e CAD d non sono congruenti. Figura 28 b. c. 10 Paraeogrammi e trapezi