1 FIGURE NELLO SPAZIO Rette, piani, semispazi, di cui abbiamo visto le prime proprietà, delimitano le figure solide che si sviluppano nello spazio. Introduciamo gradualmente le figure solide e le loro proprietà fondamentali. 4.1 I triedri A partire da un triangolo e da un punto che non appartiene al piano del triangolo otteniamo una figura nello spazio. Def Dato un triangolo ABC e un punto V che non appartiene al piano del triangolo, si dice triedro la figura che è costituita dall insieme delle semirette che hanno vertice V e passano per un punto del triangolo ABC, compreso il contorno. Il triedro è una figura illimitata, il triangolo che è servito per la costruzione non lo delimita, i suoi punti servono per generare le semirette di origine V. V è il vertice del triedro le semirette che hanno origine V e passano per i vertici del triangolo sono gli spigoli del triedro gli angoli formati dalle coppie di spigoli sono le facce. Un triedro può essere definito anche in un altro modo. Un punto V e tre semirette a, b, c che hanno origine V ma non giacciono su una stesso piano, danno origine a tre angoli convessi,,, di vertice V tre diedri convessi, ciascuno dei quali ha come spigolo una delle tre semirette e come facce i due piani generati da ciascuna delle altre due semirette con lo spigolo. Per esempio la semiretta a è spigolo di un diedro che ha come facce il piano generato dalle semirette a, b e quello generato dalle semirette a, c La parte di spazio comune ai tre diedri è detta triedro.
2 Il modo in cui abbiamo ottenuto il triedro ricalca una possibile definizione di triangolo che lo vede generato dall intersezione di tre angoli. Iniziamo così a stabilire un analogia tra triangoli e triedri in cui agli angoli di un triangolo corrispondono i diedri di un triedro. Approfondiamo l analogia fra triangoli e triedri attraverso due teoremi di cui diamo soltanto l enunciato. Teorema 24 In un triedro ogni faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza. Questo teorema corrisponde alla disuguaglianza triangolare tra i lati di un triangolo e suggerisce di considerare ogni faccia di un triedro come l analogo del lato di un triangolo. Teorema 25 La somma delle facce di un triedro è minore di un angolo giro. Questo teorema ha due aspetti che lo rendono interessante: dal punto di vista dell analogia triangoli triedri si presenta come un elemento di rottura. Il perimetro di un triangolo non ha limiti, mentre la somma dell analogo dei lati ha un limite. dà la condizione a cui devono soddisfare tre semirette complanari per diventare gli spigoli delle facce di un diedro. Se nel piano disegniamo tre semirette con l origine comune e ritagliamo i tre angoli in cui resta diviso l angolo giro, non riusciamo a far diventare questi angoli facce di un triedro (figura...a), per riuscirci dobbiamo ritagliare uno spicchio, anche molto piccolo(figura...b). c V a b Figura... a c V a b Figura... b Proseguiamo nell esame dell analogia, con una proprietà dei diedri di un triedro corrispondenti agli angoli di un triangolo. Teorema 25 La somma dei diedri di un triedro è maggiore di un diedro piatto e minore di tre diedri piatti. Ritroviamo ancora una grossa differenza, la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto mentre la somma dei diedri supera un diedro piatto e il suo valore varia da triedro a triedro.
3 Due triedri possono anche essere confrontati, in particolare due triedri sono congruenti se hanno le tre facce e i tre diedri rispettivamente congruenti. Valgono tre criteri di congruenza che sono la trasposizione dei criteri di congruenza dei triangoli. Scriviamo per esteso l enunciato solo del primo e rimandiamo l enunciato degli altri due al prossimo Mettiti alla prova. Primo criterio di congruenza. Due triedri sono congruenti se hanno due facce e il diedro compreso rispettivamente congruenti. C è anche un quarto criterio di congruenza che non solo non ha l analogo per i triangoli, ma che per questi ultimi è un criterio di similitudine. Quarto criterio di congruenza. Due triedri sono congruenti se hanno i tre diedri rispettivamente congruenti. 4.2 Gli angoloidi Gli angoloidi sono la generalizzazione dei triedri, sono definiti a partire da un poligono e da un punto che non appartiene al piano del poligono. In tutta la nostra trattazione degli angoloidi confideremo sempre poligoni convessi. Def Dato un poligono e un punto V che non appartiene al piano del poligono, si dice angoloide la figura che è costituita dall insieme delle semirette che hanno vertice V e passano per un punto del poligono, compreso il contorno. Se il poligono ha n lati, l angoloide ha n facce e n spigoli. In particolare: se n = 3 si ha l angoloide triedro detto brevemente triedro se n = 4 si ha l angoloide tetraedro come quello rappresentato in figura. Qualunque sia il numero di facce dell angoloide valgono i seguenti teoremi, che generalizzano quelli già enunciati per il triedro. Teorema 26 In un angoloide ogni faccia è minore della somma delle rimanenti. Teorema 27 La somma delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro. Di particolare importanza per il calcolo dei volumi dei solidi è il seguente teorema sulle sezioni parallele di un angoloide. Teorema 28 Le sezioni parallele di un angoloide sono poligoni simili; i loro perimetri sono proporzionali alla distanza delle sezioni dal vertice, le loro aree sono proporzionali al quadrato della distanza delle sezioni dal vertice.
4 Dim dimostriamo il teorema riferendoci a un angoloide tetraedro, come quello rappresentato in figura. Indichiamo con V il vertice dell angoloide e con ABCD, A B C D due sezioni parallele. Distinguiamo la dimostrazione del teorema in due punti. figura a I poligoni ABCD, A B C D sono simili I segmenti AB e A B sono paralleli perché intersezioni del piano VAB con due piani paralleli(teorema 18), di conseguenza i triangoli VAB e VA B sono simili per il primo criterio di similitudine. Vale la proporzione AB : A B = VB : VB = VA : VA (1) Sui segmenti BC e B C valgono osservazioni analoghe a quelle appena fatte e, dalla similitudine dei triangoli VBC e VB C si ottiene la proporzione BC : B C = VB : VB = VC : VC (2) Le proporzioni (1) e (2) hanno due termini in comune, applicando la proprietà transitiva otteniamo una nuova proporzione AB : A B = BC : B C Da considerazioni analoghe a quelle appena condotte segue la similitudine dei triangoli VCD e VC D e infine quella dei triangoli VDA e VD A. Ogni volta la proporzione di due lati situati su uno spigolo dell angoloide consente di applicare la proprietà transitiva delle proporzioni. Si ottiene la seguente proporzione AB : A B = BC : B C = CD : C D = DA : D A I due poligoni hanno anche gli angoli congruenti perché sezioni parallele di uno stesso diedro, pertanto sono poligoni simili. Sappiamo che in poligoni simili i perimetri P, P sono proporzionali ai lati mentre le aree A, A sono proporzionali ai quadrati dei lati, in particolare valgono le proporzioni P : P = AB : A B e A : A = (AB) 2 : (A B ) 2 Confrontando queste due proporzioni con la (1) si ottengono due nuove proporzioni P : P = VB : VB e A : A = (VB) 2 : (V B ) 2 (3) Proporzionalità con le distanze delle sezioni dal vertice
5 Tracciamo dal vertice V la semiretta perpendicolare alle due sezioni e indichiamo con H, H, rispettivamente, i piedi della perpendicolare. Uniamo H, H con B, B, rispettivamente, e consideriamo i triangoli VBH, V B H.(figura... b) Considerazioni analoghe a quelle condotte al punto precedente consentono di affermare che i triangoli VBH, VB H sono simili, pertanto vale la proporzione VB: VB = VH : VH che, confrontata con la proporzione (3) conduce alla tesi P : P = VH : VH e A : A = (VH) 2 : (VH ) 2 figura... b 4.3 Le piramidi A partire da un angoloide si ottiene una figura limitata a tutti molto nota e così definita. Def. Si dice piramide la parte di spazio comune a un angoloide e a un semispazio che contiene il vertice.
6 Ogni piramide ha: un poligono di base, quello che ha generato l angoloide un vertice coincidente con il vertice dell angoloide tanti spigoli laterali quanti sono i vertici del poligono di base tante facce laterali quanti sono i lati del poligono di base. L altezza della piramide è il segmento che ha per estremi il vertice e il piede della perpendicolare condotta dal vertice al piano di base. Le facce laterali di una piramide sono triangolari e la loro unione costituisce la superficie laterale della piramide. L unione della superficie laterale e della superficie di base è detta superficie totale o più brevemente superficie della piramide. Def. Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a un cerchio e l altezza cade nel centro del cerchio. Una piramide retta gode di una proprietà espressa dal teorema Teorema 29 Le altezze delle facce di una piramide retta cadono nei punti di tangenza dei lati di base e sono tutte tra loro congruenti. Dim. In figura è rappresentata una piramide retta a base esagonale ABCDEF, sono indicati con O il centro del cerchio inscritto nell esagono e con T il punto di tangenza del lato AB. Vogliamo dimostrare che il segmento VT è altezza della faccia AOB. A tal fine ricordiamo che O è il piede della perpendicolare condotta al piano del poligono di base e che da O è
7 condotto il raggio OT perpendicolare al lato AB, allora, per il teorema delle tre perpendicolari, il segmento AB è perpendicolare al piano generato dalle rette OT e OV, perciò AB è perpendicolare al segmento VT. Per dimostrare la seconda parte della tesi osserviamo che le altezze di tutte le facce sono congruenti in quanto ipotenuse di triangoli rettangoli congruenti, infatti hanno per cateti l altezza della piramide e il raggio del cerchio inscritto nel poligono di base. L altezza di ciascuna faccia di una piramide retta è detta apotema della piramide. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OVT si ottiene la relazione che lega l altezza h, l apotema a e il raggio r del cerchio di base di una piramide retta. VT OT OV passando alle misure abbiamo Una piramide che ha per base un triangolo ha quattro facce, per questo è detta tetraedro Una piramide retta che ha per base un triangolo equilatero e tutte le facce laterali congruenti con il triangolo di base è detta tetraedro regolare.