Nozioni introduttive e notazioni 1.1 Insiemi La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica, in quanto ne fornisce il linguaggio base e le notazioni. Definiamo un insieme come una collezione di oggetti, in numero finito o infinito. Nel primo caso parliamo di insieme finito di ordine pari al numero degli oggetti che lo costituiscono, nel secondo caso di insieme infinito. Così sono insiemi finiti di ordine 7 gli insiemi dei nani della favola di Biancaneve, dei giorni della settimana, delle note musicali, dei numeri naturali compresi tra 0 e 6, sono insiemi infiniti l insieme di tutti i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi, quello dei razionali, degli irrazionali e dei reali. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi. Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino esteso A, B, X, Y, gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y. Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A, si scrive e x A x A rispettivamente. L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il simbolo. Sono esempi di l insieme delle soluzioni reali dell equazione x 2 + 1 = 0, l insieme dei numeri naturali minori di 0, l insieme delle soluzioni reali del sistema seguente x y = 0 2 2 x + y 8x + 15 = 0-1 -
Vediamo i modi più usati per indicare un insieme. Alcuni insiemi hanno una notazione standard : così N, Z, Q, R, C indicano l'insieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, 2Z l'insieme dei numeri pari, Z[x] l'insieme dei polinomi in una variabile x a coefficienti interi. Vedremo in seguito molte altre notazioni di uso comune in matematica. Uno specifico insieme viene indicato mediante l indicazione diretta dei suoi elementi, elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza all ordine. Così, I = { 0,1,2 } = { 1,0,2 } = { 1,2,0 } = indica l insieme dei primi tre numeri naturali. Un altro modo per assegnare un insieme X consiste nell indicare una proprietà caratteristica comune a tutti i suoi elementi e scrivere o anche X = { x / x ha la proprietà P } X = { x : x ha la proprietà P }. In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell insieme X. L insieme I = { 0,1,2 caratteristica : }, finito di ordine 3, ha la seguente rappresentazione I = { x / x N e 0 x 2 } o, equivalentemente, I = { x N / 0 x 2 }. Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi dell insieme e non solo la loro proprietà caratteristica : infatti la stessa proprietà degli elementi di I dà luogo in R all insieme infinito [ 0,2], detto intervallo chiuso di estremi 0 e 2, [ 0,2] = { x R / 0 x 2 }. Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e sono caratterizzati e indicati nel modo che segue : - 2 -
(a,b) = { x R / a < x < b } [a,b) = { x R / a x <b } ( a,b] = { x R / a< x b }. Ricordiamo infine i simboli che useremo più frequentemente nel seguito : significa per ogni, per tutti, qualunque sia, significa esiste almeno un/o/a!significa esiste uno ed un solo si legge implica : se p e q sono due affermazioni, p q significa che se p è vera, allora è vera anche q si legge biimplica o se e soltanto se : se p e q sono due affermazioni, p q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o entrambe false. si legge e, ha il significato della congiunzione e si legge o, ha il significato della congiunzione o, oppure ( è il vel latino). 1.2 Sottoinsiemi Un insieme A si dice sottoinsieme dell insieme B se ogni elemento di A appartiene a B. Si scrive A B e si legge A contenuto in B o A incluso in B. In simboli : Ad esempio, 2Z Z, { 0,1,2 } { 0,1,2,3 } N. A B x A x B. N Z Q R C, Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme, cioè A, A A e A. - 3 -
Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi. Si scrive A = B. In simboli : A = B A B B A. A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B, cioè A B e A B. Si scrive talvolta A B ( si noti l analogia dei simboli e con i simboli e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali ). Dato un insieme I, la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l insieme delle parti o insieme potenza di I : P(I) = { A / A I }. Per quanto osservato precedentemente e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai privo di elementi. Come esempio, costruiamo P(I) nei casi I = { 0,1 } e I = { 0,1,2 }. P( { 0,1 }) = {,{0},{1}, {0,1}} P( { 0,1,2 }) = {,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}}. Se I ha ordine 2, il suo insieme delle parti ha 4 elementi, se I ha ordine 3, il suo insieme delle parti ha 8 elementi, si dimostra che se I ha ordine n, il suo insieme delle parti ha 2 n elementi. 1.3 Operazioni tra insiemi. Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione di A e di B l insieme A U B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B. in simboli : A U B = {x / x A x B } Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e di B l insieme A I B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B. In simboli : Ad esempio : A I B = {x / x A x B }. N U Z = Z, N I Z = N {0,1,2} U {1,2,3} = {0,1,2,3}, {0,1,2} I {1,2,3} = {1,2} - 4 -
{ x R / 0 x 2 } U { x R / -1 x < 2 } = [ 0,2] U [ 1,2 ) = [ 1,2] ( 0,2) U [ ) [ 0,2] I [ 1,2 ) = [,2) 0, 1,0 = { x R / -1 x < 2 x 0, ( 0,2) I [ 1,0 ) =. } Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se A I B =. Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell ultimo esempio. Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte implicitamente, quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o disequazioni : a titolo di esempio si discuta l equazione (x 2 1)(x +3) = 0 e il sistema del paragrafo 1.1 x y = 0 2 2 x + y 8x + 15 = 0 L insieme S delle soluzioni di (x 2 1)(x +3) = 0 è S = {-1,+1,-3} ed è l unione insiemistica dell insieme S 1 = {-1,+1} delle soluzioni di x 2 1 = 0 e dell insieme S 2 = {-3} delle soluzioni di x + 3 = 0. L insieme delle soluzioni del sistema è ed è l intersezione dei due insiemi infiniti di coppie di numeri reali {(x,y) / y = x } {(x,y) / x 2 +y 2 8x + 15 =0} che nel piano cartesiano danno luogo rispettivamente alla bisettrice del primo e terzo quadrante e alla circonferenza di centro C(4,0) e raggio 1 (si noti come la proprietà caratteristica dei due insiemi ne diventa l equazione cartesiana ). Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza di A e di B l insieme A-B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B In simboli : A-B = {x / x A x B }. Ad esempio : {0,1,2,3 } - {-,1,0,2,-2 } = {1,3} R - {x R / x >0 } = {x R / x 0 } = (,0] Z 2Z = {x Z / y Z x = 2y + 1 } - 5 -
Se la differenza viene effettuata tra un insieme e un suo sottoinsieme, si parla di complementare del secondo insieme nel primo. Così, riferendoci all ultimo esempio, l insieme dei numeri dispari è il complementare dell insieme dei numeri pari nell insieme degli interi. Definizione. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza simmetrica di A e di B l insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In simboli : Ad esempio A B = {x / x A x B } U {x / x B x A } = (A-B) U (B-A). {0,1,2,3 } {-1,0,2,-2 } = {1,3} U {-1,-2 }{-1,1,-2,3 }. Quest ultima operazione ha la seguente applicazione : date due specie biologiche e denotati con A l insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della seconda, l ordine di A B indica la distanza tra le due specie in esame. Definizione. Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l insieme AxB avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B. In simboli : AxB = {(a,b) / a A b B } Ad esempio, se A = {0,1,2 } e B = {2,3 }, si ha AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}. Il prodotto cartesiano RxR, indicato anche con R 2, è l insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l insieme dei punti del piano cartesiano. RxR = R 2 = {(a,b) / a R b R} La coppia (a,b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata b. - 6 -