CAPITL Cinematica unidimensionale Queste atlete, nella fase finale dei 00 metri piani, sono un esempio di moto unidimensionale. Nell istante mostrato nell immagine le atlete si stanno muovendo con una velocità costante di circa 0 m/s. Iniziamo lo studio della fisica con la meccanica, la parte della fisica con cui abbiamo più a che fare nella vita di tutti i giorni. gni volta che solleviamo un braccio, che ci alziamo o ci sediamo, che lanciamo una palla o che apriamo una porta, le nostre azioni sono governate dalle leggi della meccanica. Fondamentalmente, la meccanica studia come si muovono gli oggetti, come essi rispondono alle forze esterne e come altri fattori, ad esempio le dimensioni, la massa e la distribuzione di massa, influiscono sul loro moto. È evidente che dobbiamo capire molte cose e che non cercheremo di affrontarle tutte in un capitolo. In questo capitolo ci limiteremo allo studio della cinematica del moto unidimensionale. Che cosa significa? Tanto per cominciare, la cinematica (dal greco kinema moto) è lo studio del moto e si propone di descriverlo, senza occuparsi di ciò che lo ha causato. Inoltre, con l espressione moto unidimensionale intendiamo il moto che avviene lungo una linea retta: da destra verso sinistra, verso l alto o verso il basso o da est a ovest e così via. Non solo, ma in questo capitolo tratteremo tutti gli oggetti fisici come punti materiali; in altre parole, supporremo che tutta la massa dell oggetto sia concentrata in un singolo punto. Questa è una pratica piuttosto comune in fisica. Ad esempio, se si è interessati a calcolare il tempo che la Terra impiega a completare una rivoluzione intorno al Sole, è ragionevole considerare la Terra e il Sole come semplici particelle. Nei capitoli seguenti estenderemo lo studio a situazioni sempre più realistiche, considerando il moto in più di una dimensione e gli oggetti fisici con forma e dimensioni non trascurabili. Contenuti. Posizione, distanza e spostamento 7. Velocità scalare media e velocità media 8 3. Velocità istantanea 3. Accelerazione 3 5. Moto con accelerazione costante 38 6. Applicazioni delle equazioni del moto 7. ggetti in caduta libera 7
. Posizione, distanza e spostamento Il primo passo nella descrizione del moto di una particella consiste nello stabilire un sistema di coordinate che definiscono la sua posizione. Un esempio di sistema di coordinate in una dimensione è mostrato in figura. Si tratta semplicemente di un asse, sul quale è fissata un origine (in cui 0) e una freccia che indica il verso positivo, cioè il verso nel quale aumenta. Quando stabiliamo un sistema di coordinate, siamo liberi di scegliere l origine e il verso positivo come desideriamo, ma, una volta fatta questa scelta, dobbiamo essere coerenti con essa in tutti i calcoli che seguiranno.. Posizione, distanza e spostamento 7 = 0 rigine (in cui = 0) i f Posizione iniziale ( i ) e finale ( f ) della persona La punta della freccia indica il verso positivo FIGURA Sistema di coordinate in una dimensione Quando stabilisci un sistema di coordinate in una dimensione puoi scegliere l origine e il verso positivo che preferisci, ma, una volta fatta la scelta, devi attenerti a essa. La particella in figura è una persona che si è mossa verso destra da una posizione iniziale i a una posizione finale f. Poiché il verso positivo è a destra, segue che f è maggiore di i, cioè f i. Abbiamo visto come costruire un sistema di coordinate; usiamolo ora per esaminare la situazione mostrata in figura. Casa del tuo amico Casa tua = 0, km,3 km FIGURA Coordinate unidimensionali La posizione della tua casa, di quella del tuo amico e della drogheria in un sistema di coordinate unidimensionali. Supponi di uscire da casa tua, di andare in drogheria e quindi di tornare a casa. La distanza che hai percorso nel tuo tragitto è di 8,6 km. In generale la distanza è definita come segue: Definizione di distanza distanza lunghezza complessiva del tragitto Nel SI si misura in metri (m). Usando le unità del SI la distanza percorsa in figura è 8,6 km 8,6 0 3 m. In un automobile la distanza percorsa è indicata dal contakilometri. sserviamo che la distanza è sempre positiva e, poiché non ha associata alcuna direzione, è una grandezza scalare. Un altro modo utile per descrivere il moto di una particella consiste nell esprimerlo in termini di spostamento,, che rappresenta il cambiamento di posizione. Definizione di spostamento, spostamento cambiamento di posizione posizione finale posizione iniziale f i [] Nel SI si misura in metri (m). Abbiamo usato la notazione per indicare in forma abbreviata la quantità f i. ATTENZINE Notazione La notazione, che si legge delta di, indica la variazione della grandezza, cioè la differenza fra il valore finale di e il valore iniziale di : f i La notazione si utilizza per qualsiasi grandezza; ad esempio, t t f t i indica la variazione (intervallo) di tempo, v v f v i la variazione di velocità e così via.
8 CAPITL Cinematica unidimensionale sserviamo che può essere positivo (se la posizione finale è a destra della posizione iniziale, f i ), negativo (se la posizione finale è alla sinistra della posizione iniziale, f i ) o nullo (se la posizione finale e quella iniziale coincidono, f i ). In effetti lo spostamento è un vettore unidimensionale e il suo verso (destra o sinistra) è indicato dal suo segno (positivo o negativo, rispettivamente). Nel SI lo spostamento si misura in metri, come la distanza, ma spostamento e distanza sono grandezze fisiche diverse. Ad esempio, nel tragitto da casa tua alla drogheria e ritorno, la distanza percorsa è 8,6 km, mentre lo spostamento è zero dal momento che f, km i. Supponi, invece, di andare da casa tua alla drogheria e quindi a casa del tuo amico. In questo caso la distanza percorsa è 0,7 km, ma lo spostamento è: f i 0, km, km dove il segno meno indica che il tuo spostamento è avvenuto nel verso negativo, cioè verso sinistra.. ESEMPI GUIDAT Calcola la distanza e lo spostamento Partendo dalla casa del tuo amico, vai in drogheria e poi torni a casa tua; calcola: a) la distanza percorsa; b) lo spostamento. SLUZINE (Per verificare se hai capito esegui i calcoli indicati in ogni passo) a) Calcola la distanza sommando le distanze percorse nelle varie parti del tragitto:, km,3 km,3 km 0,7 km b) Utilizzando la figura determina la posizione iniziale: i 0 Utilizzando la figura determina la posizione finale: f, km Calcola la spostamento come differenza fra f e i :, km PRVA TU Supponi di aver scelto come origine del sistema casa tua anziché la casa del tuo amico. Calcola a) la distanza e b) lo spostamento nel caso in cui, partendo dalla casa del tuo amico, tu vada alla drogheria e poi torni a casa tua. [a) 0,7 km, b), km; il risultato è indipendente dalla scelta dell origine del sistema]. Velocità scalare media e velocità media Il passo successivo nella descrizione del moto consiste nel valutare quanto rapidamente si muove un oggetto. Ad esempio, quanto tempo impiega un pallone calciato da un giocatore a raggiungere la porta? Di quanto si sposta in un ora una navicella spaziale che orbita intorno alla Terra? Quanto rapidamente si muovono le tue palpebre in un battito di ciglia? Questi sono esempi di domande elementari sul moto, alle quali impareremo a rispondere in questo paragrafo. Il modo più semplice per caratterizzare la rapidità di un moto è attraverso la velocità scalare media: distanza velocità scalare media [] tempo impiegato La velocità scalare media ha dimensioni di una lunghezza diviso un tempo e nel SI si misura in metri al secondo (m/s). Sia la distanza sia il tempo impiegato sono grandezze positive, perciò la velocità scalare media è sempre positiva.
. Velocità scalare media e velocità media 9. ESEMPI SVLT Il tuffo del martin pescatore Il martin pescatore è un uccello che caccia il pesce tuffandosi nell acqua da un altezza di parecchi metri. Se un martin pescatore si tuffa da un altezza di 7,0 m con una velocità scalare media di,00 m/s, quanto tempo impiega a raggiungere l acqua? DESCRIZINE DEL PRBLEMA Come mostrato in figura, il martin pescatore si muove lungo una linea retta verticale percorrendo una distanza di 7,0 m. La velocità scalare media dell uccello è,00 m/s. STRATEGIA Possiamo utilizzare l equazione [], risolvendola rispetto al tempo impiegato. 7,0 m SLUZINE Risolviamo l equazione [] rispetto al tempo impiegato: Sostituiamo i valori numerici per determinare il tempo: tempo impiegato tempo impiegato distanza velocità scalare media 7,0 m,00 m/s = 7,0,00 s =,8 s SSERVAZINI L equazione [] non è soltanto una formula per calcolare la velocità scalare media. Essa mette in relazione la velocità scalare media, il tempo e la distanza; date due qualsiasi di queste grandezze, l equazione può essere utilizzata per calcolare la terza. PRVA TU Un martin pescatore si tuffa con una velocità scalare media di,6 m/s e tocca l acqua dopo, s. Da quale altezza si è tuffato? [distanza (velocità scalare media) (tempo impiegato) (,6 m/s) (, s) 6, m] Problemi simili: 0 e. Calcoliamo ora la velocità scalare media per un tragitto diviso in due parti di uguale lunghezza, ciascuna delle quali percorsa con velocità scalare diversa.. VERIFICA DEI CNCETTI Velocità scalare media Con un automobile percorri prima,00 km a 30,0 km/h e poi altri,00 km a 50 km/h. La tua velocità scalare media per il tragitto totale di 8,00 km è: A maggiore di 0,0 km/h. B uguale a 0,0 km/h. C minore di 0,0 km/h. t t 30,0 km/h 50,0 km/h,00 km,00 km RAGINAMENT E DISCUSSINE A prima vista potrebbe sembrare che la velocità scalare media sia effettivamente 0,0 km/h, cioè la media aritmetica tra le due velocità. Riflettendo meglio, tuttavia, è evidente che occorre più tempo per percorrere,00 km viaggiando a 30,0 km/h che non viaggiando a 50,0 km/h. Quindi hai viaggiato per un tempo maggiore alla velocità minore e, di conseguenza, la velocità scalare media dell intero percorso è minore di 0,0 km/h, cioè è più vicina a 30,0 km/h che non a 50,0 km/h. RISPSTA La risposta corretta è la C: la velocità scalare media è minore di 0,0 km/h.
30 CAPITL Cinematica unidimensionale Possiamo verificare il risultato ottenuto con il ragionamento applicando la definizione di velocità scalare media. Sappiamo che la distanza totale è 8,00 km; dobbiamo calcolare il tempo impiegato per l intero tragitto. Nei primi,00 km il tempo impiegato è:,00 km t = 30,0 km/h =,00 30,0 h Per percorrere gli altri,00 km il tempo impiegato è:,00 km t = 50,0 km/h =,00 50,0 h Dunque il tempo impiegato per percorrere l intero tragitto è: t + t =,00 30,0 h +,00 0,0 +,0 h = h = 3,0 50,0 50,0 50,0 h = 6,0 75,0 h La velocità scalare media dell intero percorso è, quindi: 8,00 km 75,0 velocità scalare media 8,00 km 37,5 km/h 6,0 75,0 h 6,0 h Tale velocità, come avevamo dedotto con il ragionamento, è minore di 0 km/h. In molte situazioni per descrivere il moto anziché la velocità scalare media si utilizza un altra grandezza: la velocità media, v m, definita come il rapporto fra lo spostamento e il tempo impiegato a compierlo. Definizione di velocità media, v m spostamento velocità media tempo impiegato v m t = f - i t f - t i Nel SI si misura in metri al secondo (m/s). [3] Sottolineiamo la differenza fra i termini velocità scalare e velocità che, nonostante siano simili, descrivono grandezze fisiche diverse. La velocità media non ci informa soltanto su quanto rapidamente l oggetto si sta movendo, ma ci dice anche in che direzione e verso esso si muove. Per esempio, se un oggetto si muove in direzione positiva, f i e v m 0. Al contrario, se l oggetto si muove in direzione negativa, f i e quindi v m 0. Come lo spostamento, la velocità media è un vettore unidimensionale e il suo verso è indicato dal suo segno. La velocità media fornisce più informazioni rispetto alla velocità scalare media, perciò in fisica è usata più spesso. 3. ESEMPI SVLT Allenarsi allo sprint Un atleta esegue uno sprint di 50,0 m in 8,00 s, quindi si ferma e, camminando lentamente, torna alla linea di partenza in 0,0 s. Considerando come positivo il verso in cui avviene lo sprint: a) qual è la velocità media dello sprint? b) qual è la velocità media della camminata di ritorno? c) qual è la velocità media del percorso completo di andata e ritorno? = 0 Sprint Camminata 50,0 m DESCRIZINE DEL PRBLEMA Nel disegno fissiamo un sistema di coordinate nel quale il verso dello sprint è positivo, come indicato nel testo del problema. Scegliamo per comodità come origine la linea di partenza; l arrivo si trova, quindi, a 50,0 m. = 0 50,0 m
. Velocità scalare media e velocità media 3 STRATEGIA A tutte le domande del problema si può rispondere applicando direttamente l equazione [3]. Le uniche quantità da determinare sono, nei tre casi, f i e t t f t i. SLUZINE a) Applichiamo l equazione [3] allo sprint, con f 50,0 m, i 0, t f 8,00 s e t i 0 s: b) Applichiamo l equazione [3] alla camminata. In questo caso f 0, i 50,0 m, t f 8,0 s e t i 8,00 s: c) Per l intero percorso, f i 0, cioè 0; quindi la velocità media è: v m = t = f - i = 50,0 m - 0 t f - t i 8,00 s - 0 = 50,0 m/s = 6,5 m/s 8,00 v m = f - i t f - t i = v m = t = 0 8,0 s = 0 0-50,0 m 8,0 s - 8,00 s = -50,0 m/s = -,5 m/s 0,0 SSERVAZINI Notiamo che il segno delle velocità in a) e in b) indica il verso del moto: positivo verso destra, negativo verso sinistra. Inoltre possiamo osservare che la velocità scalare media per l intero percorso (00 m) è 00,0 m/8,0 s,08 m/s ed è diversa da 0, al contrario della velocità media, che invece si annulla. PRVA TU Se la velocità media durante la camminata è,50 m/s, per quanto tempo dovrà camminare l atleta per ritornare alla linea di partenza? [ t /v m 50,0 m/,50 m/s 33,3 s] Problemi simili: 6 e 7. Interpretazione grafica della velocità media Spesso è utile visualizzare il moto di una particella rappresentando la sua posizione in funzione del tempo. Consideriamo ad esempio una particella che si muove avanti e indietro lungo l asse, come mostrato in figura 3a nella quale è riportata la posizione della particella in vari istanti. Questo modo di indicare la posizione di una particella e il tempo corrispondente è però un po disordinato; proviamo perciò a rappresentare la stessa informazione con un diverso tipo di grafico. In figura 3b rappresentiamo lo stesso moto, ma questa volta su un piano cartesiano, riportando sull asse orizzontale il tempo t e sull asse verticale la posizione. Con un grafico spazio-tempo di questo tipo è molto più facile visualizzare il moto della particella. La particella si muove nel verso positivo per s, quindi inverte il verso t = 0 s s s 3 s 3 m m m m m 3 m m 5 m asse Posizione (m) 5 3 La particella si muove nel verso positivo per secondi 3 Tempo t (s) quindi si muove nel verso negativo a) Il cammino della particella mostrato su un asse coordinato b) Lo stesso cammino visualizzato in un grafico che riporta la posizione in funzione del tempo t La rappresentazione nel piano -t permette di dare un interpretazione particolarmente utile della velocità media. Supponiamo di voler determinare la velocità media della particella, il cui moto è illustrato nelle figure 3a e 3b, nell intervallo di tempo fra t 0 e t 3 s. Applicando la definizione di velocità media data nell equazione [3], otteniamo: v m t = m - m 3s - 0 0,3 m/s FIGURA 3 Due modi per visualizzare un moto unidimensionale Sebbene in a) il percorso della particella sia mostrato come una U per chiarezza, in realtà la particella si muove in linea retta, lungo l asse.
3 CAPITL Cinematica unidimensionale Pendenza = t (m) 5 3 A Δt Quando > 0, la pendenza / t è positiva Δ > 0 a) Velocità media tra t = 0 e t = 3 s (m) 5 3 La pendenza / t è negativa quando < 0, cioè quando il moto è verso sinistra Δt = velocità media fra A e B FIGURA Velocità media in un grafico spazio-tempo La pendenza della retta fra due punti qualsiasi su un grafico spazio-tempo è uguale alla velocità media fra quei punti. Una pendenza positiva indica un moto verso destra, una pendenza negativa indica un moto verso sinistra. 3 B Δ < 0 b) Velocità media tra t = s e t = 3 s t (s) t (s) LABRATRI Laboratorio Misura della velocità media e della velocità istantanea di un oggetto 3 Per mettere in relazione questa definizione con il grafico spazio-tempo, disegniamo nel grafico il segmento che unisce la posizione della particella al tempo t 0 (punto A) con la posizione al tempo t 3 s (punto B), come mostrato in figura a. La pendenza della retta che congiunge i punti A e B è uguale all incremento di rispetto a t, cioè a. Ma è la velocità media, perciò concludiamo che: t t La pendenza della retta che congiunge due punti del grafico spazio-tempo è uguale alla velocità media nell intervallo di tempo fra i due punti. Come ulteriore esempio, calcoliamo la velocità media fra l istante t s e l istante t 3 s della figura 3b. In figura b è riportata la retta che congiunge i due punti corrispondenti. sserviamo innanzitutto che questa retta ha una pendenza negativa; quindi v m 0, cioè la particella si sta muovendo verso sinistra. Notiamo inoltre che la retta è molto più inclinata rispetto a quella della figura a e pertanto la sua pendenza è maggiore. Infatti, se calcoliamo la pendenza in questo intervallo di tempo otteniamo v m m/s. Quindi, congiungendo i punti in un grafico -t abbiamo un informazione immediata sulla velocità media in un determinato intervallo di tempo. Questo tipo di analisi grafica sarà particolarmente utile nel prossimo paragrafo. 3. Velocità istantanea La velocità media è una grandezza utile per caratterizzare il moto, ma a volte considerare solo tale grandezza può portare a conclusioni sbagliate. Ad esempio, supponiamo di viaggiare in automobile su una lunga strada rettilinea e di percorrere 3 km in,0 h. La nostra velocità media è di 67 km/h, ma sicuramente solo in pochi istanti durante il viaggio la velocità è stata effettivamente di 67 km/h. Possiamo aver viaggiato a 90 km/h per la maggior parte del tempo, ma per tutto il tempo durante il quale siamo stati fermi alla stazione di servizio per pranzo la nostra velocità è stata uguale a 0. Per avere una rappresentazione più accurata del viaggio, dobbiamo calcolare la velocità media su intervalli di tempo più piccoli. Se calcoliamo la nostra velocità media ogni 5 minuti, otteniamo una migliore rappresentazione del viaggio; possiamo ottenere una rappresentazione ancora più realistica calcolando la velocità media ogni minuto o, addirittura, ogni secondo. Avendo a che fare con il moto di una qualsiasi particella, l ideale sarebbe conoscere la velocità della particella in ogni istante. Questa idea di una velocità corrispondente a ogni istante di tempo è proprio ciò che intendiamo con velocità istantanea. Con un espressione matematica, la velocità istantanea è definita nel modo seguente: Definizione di velocità istantanea, v v = lim t:0 t Nel SI si misura in metri al secondo (m/s). [] Un tachimetro indica la velocità scalare istantanea di un automobile. Notiamo che il tachimetro non fornisce informazioni sulla direzione e sul verso del moto, quindi è un misuratore di velocità scalare istantanea, ma non di velocità istantanea. In questa espressione la notazione lim si legge «limite per t che tende a 0 di» t:0 t t e indica che la velocità istantanea è la velocità media calcolata su intervalli di tempo t sempre più piccoli, al limite tendenti a zero. Notiamo che la velocità istantanea può essere positiva, negativa, o nulla, proprio come la velocità media e, come la velocità media, anche la velocità istantanea è un vettore unidimensionale. Il valore assoluto o modulo della velocità istantanea è detto velocità scalare istantanea. Il tachimetro di un automobile, ad esempio, fornisce una lettura della velocità scalare istantanea del veicolo. Man mano che l intervallo t diventa piccolo, anche diminuisce, ma il rapporto tende a un valore definito. Consideriamo, ad esempio, il semplice caso di una particella che si muove con una velocità costante di m/s. Se essa parte dal punto 0 nell istante t 0, la sua posizione nell istante t s corrisponde a m,
3. Velocità istantanea 33 nell istante t s a m e così via. Riportando questo moto in un grafico spazio-tempo otteniamo una linea retta (fig. 5). ra, supponiamo di voler determinare la velocità istantanea nell istante t 3 s. Calcoliamo la velocità media su piccoli intervalli di tempo centrati intorno a 3 s, riducendo l intervallo di tempo, come mostrato in figura. Poiché il grafico è una linea retta, è evidente che, indipendentemente dall ampiezza dell intervallo t. Più piccolo diventa t, più lo diventa anche, ma il rapporto, essendo la t = t pendenza della retta, rimane costante ed è uguale a m/s. Perciò, la velocità istantanea nell istante t 3 s è m/s. sserviamo inoltre che in questo caso la velocità istantanea è uguale a m/s in qualsiasi istante e non solo per t 3 s. Pertanto possiamo concludere che: Quando la velocità è costante, la velocità media in qualunque intervallo di tempo è uguale alla velocità istantanea in ogni istante. Tuttavia, in genere, la velocità della particella varia nel tempo e il grafico -t non è una linea retta. Un esempio è mostrato nella figura 6, che rappresenta il grafico -t i cui valori numerici corrispondenti sono riportati nella tabella. (m) 5 3 Il moto inizia in = 0 al tempo t = 0 Se la velocità è costante la pendenza è costante Δt Δt 3 Δ Δ t (s) FIGURA 5 Una velocità costante corrisponde a una pendenza costante in un grafico -t La pendenza / t è uguale a ( m m)/ ( s s) ( m)/( s) m/s. Poiché il grafico è una linea retta, la pendenza è uguale a m/s per qualsiasi valore di t. Posizione (m) 30 5 0 5 0 v = 0,0 m/s v m = 3,7 m/s v m =, m/s FIGURA 6 Velocità istantanea Grafico -t relativo a un moto con velocità variabile. La velocità istantanea per t s è uguale alla pendenza della tangente in quell istante. La velocità media in un piccolo intervallo di tempo centrato su t s è un approssimazione della velocità istantanea nell istante t s; questa approssimazione è tanto migliore quanto più l intervallo di tempo è piccolo. 5 0,5,5,5 3 Tempo t (s) In questo caso qual è la velocità istantanea nell istante t,00 s? Come prima approssimazione, calcoliamo la velocità media nell intervallo tra t 0 e t,00 s. sserviamo che questo intervallo è centrato in t,00 s. Dalla tabella vediamo che i 0 e f 7, m, perciò v m 3,7 m/s; tale valore, come noto, è la pendenza della retta che congiunge i due punti (la retta più in basso in figura). Le altre tre rette, considerate dal basso verso l alto, si riferiscono, rispettivamente agli intervalli tra 0,50 s e,75 s, tra 0,500 s e,50 s e tra 0,750 s e,5 s. Le velocità medie corrispondenti, riportate in tabella, sono, m/s, 0,9 m/s e 0, m/s. La tabella riporta anche le velocità medie per intervalli di tempo più piccoli. In particolare, per l intervallo da 0,900 s a,0 s la velocità media è 0,0 m/s. Intervalli più piccoli forniscono ancora 0,0 m/s, perciò possiamo concludere che la velocità istantanea nell istante t,00 s è v 0,0 m/s. TABELLA Calcolo della velocità istantanea a t,00 s t i (s) t f (s) t (s) i (m) f (m) (m) v m / t (m/s) 0 0,50 0,500 0,750 0,900 0,950,00,75,50,5,0,05,00,50,00 0,50 0,0 0,0 0 9,85 7,,3,5 5, 7, 8,0 8, 7, 6,5 6, 7, 8, 0,9 5,0,00,00 3,7, 0,9 0, 0,0 0,0 TABELLA Valori -t relativi alla figura 6 t (s) (m) 0 0 0,5 9,85 0,50 7, 0,75,3,00 5,6,5 7,,50 8,,75 8,0,00 7, La retta più in alto in figura 6 è la tangente alla curva nell istante t,00 s, cioè è la retta che tocca la curva in un solo punto. La sua pendenza è 0,0 m/s.
3 CAPITL Cinematica unidimensionale Le rette che rappresentano la velocità media, man mano che gli intervalli di tempo diventano più piccoli, hanno una pendenza il cui valore si avvicina sempre di più a quello della pendenza della tangente. Tutto ciò può essere riassunto nel seguente risultato generale: La velocità istantanea in un dato istante è uguale alla pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo nel punto corrispondente a tale istante. Dunque il grafico spazio-tempo fornisce informazioni non solo sulla posizione della particella, ma anche sulla sua velocità. D ora in avanti, quando parleremo di velocità ci riferiremo sempre alla velocità istantanea; se vorremo parlare di velocità media, lo diremo esplicitamente.. VERIFICA DEI CNCETTI Velocità istantanea sservando la figura 6, puoi dire che la velocità istantanea nell istante t 0,500 s è: A maggiore della velocità istantanea nell istante t,00 s. B minore della velocità istantanea nell istante t,00 s. C uguale alla velocità istantanea nell istante t,00 s. Pendenza = velocità media fra gli istanti t e t Pendenza = velocità media fra gli istanti t e t 3 RAGINAMENT E DISCUSSINE Dal grafico spazio-tempo della figura 6 è chiaro che la pendenza della tangente alla curva nell istante t 0,500 s è maggiore di quella della tangente alla curva nell istante t,00 s. Da ciò segue che la velocità della particella nell istante t 0,500 s è maggiore di quella nell istante t,00 s. RISPSTA La risposta corretta è la A: la velocità istantanea è maggiore nell istante t 0,500 s. t t Pendenza della tangente = velocità istantanea all istante t 3 t t 3 Interpretazione grafica della velocità media e istantanea Riassumendo le osservazioni precedenti, possiamo dire che, dato il grafico spaziotempo del moto di una particella: FIGURA 7 Interpretazione grafica della velocità media e istantanea La velocità media corrisponde alla pendenza del segmento di retta che congiunge due diversi punti del grafico -t. La velocità istantanea è data dalla pendenza della retta tangente alla curva in un determinato istante. La velocità media in un determinato intervallo di tempo è la pendenza della retta che congiunge due punti del grafico corrispondenti agli estremi dell intervallo. La velocità istantanea è la pendenza della retta tangente alla curva in un determinato istante. Queste relazioni sono illustrate in figura 7.. Accelerazione Mentre la velocità è una misura della variazione della posizione nel tempo, l accelerazione è una misura della variazione della velocità nel tempo. Perciò, un oggetto accelera ogni volta che la sua velocità cambia, non importa in che modo: il corpo accelera sia quando la sua velocità aumenta sia quando la sua velocità diminuisce. Fra tutti i concetti presentati in questo capitolo, forse nessuno è importante per la fisica come l accelerazione. Galileo, ad esempio, mostrò che i corpi in caduta libera si muovono con un accelerazione costante, Newton che accelerazione e forza sono direttamente correlate, come vedremo nel capitolo 5. È quindi particolarmente importante una comprensione chiara e completa del concetto di accelerazione. Iniziamo, allora, con la definizione di accelerazione media: La navicella spaziale Discovery accelera verso l alto nella fase iniziale del suo viaggio orbitale. Durante questa fase gli astronauti a bordo subiscono un accelerazione, approssimativamente lineare, che può raggiungere i 0 m/s. Definizione di accelerazione media, a m a m = v [5] t = v f - v i t f - t i Nel SI si misura in metri al secondo per secondo, cioè in metri al secondo quadrato (m/s ).
. Accelerazione 35 Notiamo che le dimensioni dell accelerazione media sono le dimensioni di una velocità diviso un tempo, cioè metri al secondo diviso secondo: m/s = m s s Generalmente, quindi, esprimeremo l accelerazione in metri al secondo quadrato. Ad esempio l accelerazione di gravità sulla superficie terrestre è circa 9,8 m/s ; ciò significa che la velocità di un oggetto che cade varia di 9,8 metri al secondo (m/s) ogni secondo (s). L accelerazione media può essere positiva, negativa o nulla. Infatti essa è un vettore unidimensionale, proprio come lo spostamento, la velocità media e la velocità istantanea. Nella tabella 3 sono riportati alcuni valori di accelerazione espressi in m/s. ESERCIZI Una importante casa automobilistica pubblicizza un automobile che passa da 0 a 0 km/h in 6, s. Qual è l accelerazione media di questa automobile? 00 km/h 7,8 m/s ca m =,3 m/s d 6, s 6, s TABELLA 3 Alcuni valori tipici di accelerazione Ultracentrifuga Palla da baseball durante la battuta Accelerazione per attivare un air bag Bungee jump Accelerazione di gravità sulla Terra Frenata di emergenza con un automobile Aeroplano durante il decollo Ascensore Accelerazione di gravità sulla Luna Accelerazione (m/s ) 3 0 6 3 0 60 30 9,8 8 5 3,6 Un aereo ha una accelerazione media di 5,6 m/s durante il decollo. Quanto tempo impiega per raggiungere la velocità di 50 km/h? v 50 km/h 69, m/s c t = = sd a m 5,6 m/s 5,6 m/s Come abbiamo fatto per la velocità istantanea, consideriamo intervalli di tempo sempre più piccoli e ripetiamo lo stesso ragionamento per definire l accelerazione istantanea: Definizione di accelerazione istantanea, a v a = lim t:0 t Nel SI si misura in metri al secondo per secondo (m/s ). [6] L accelerazione istantanea è un vettore unidimensionale, come l accelerazione media, e il suo verso è indicato dal segno. Notiamo che l accelerazione media, come la velocità media, si riferisce sempre a un determinato intervallo di tempo, mentre l accelerazione istantanea, come la velocità istantanea, si riferisce a uno specifico istante. Per semplicità, in seguito, quando useremo il termine accelerazione, ci riferiremo sempre all accelerazione istantanea. sserviamo infine che, se l accelerazione è costante, essa ha lo stesso valore in tutti gli istanti. Quindi possiamo dire che: Quando l accelerazione è costante, l accelerazione istantanea e l accelerazione media sono uguali. Interpretazione grafica dell accelerazione Per vedere in che modo si può interpretare graficamente l accelerazione, supponiamo che una particella abbia un accelerazione costante di 0,50 m/s. Ciò significa che la velocità della particella diminuisce di 0,50 m/s ogni secondo; quindi, se a t 0 la sua velocità è m/s, a t s la sua velocità sarà 0,50 m/s, a t s sarà 0, a t 3 s sarà 0,50 m/s e così via. Il moto della particella è rappresentato nel grafico velocità-tempo di figura 8 dalla curva I, che è una retta con pendenza negativa. La curva II della figura 8, che è una retta con pendenza positiva, corrisponde a un accelerazione costante di 0,5 m/s. Quindi, in un diagramma velocità-tempo un moto con accelerazione costante è rappresentato da una retta la cui pendenza ha valore uguale all accelerazione. Velocità v (m/s) a = +0,5 m/s Δt Δv a = 0,50 m/s 3 Δt II Δv t (s) FIGURA 8 Grafico velocità-tempo per un moto con accelerazione costante La curva I rappresenta il moto di una particella con accelerazione costante a 0,50 m/s. La curva II rappresenta il moto di una particella con accelerazione costante a 0,5 m/s. I
36 CAPITL Cinematica unidimensionale 3. VERIFICA DEI CNCETTI Velocità in funzione del tempo Una particella, il cui moto è rappresentato dalla curva II della figura 8, ha una velocità che aumenta nel tempo. Come varia nel tempo la velocità di una particella il cui moto è rappresentato dalla curva I della stessa figura? A B C Aumenta. Diminuisce. Prima diminuisce e poi aumenta. v Pendenza della tangente = accelerazione istantanea all istante t 3 Pendenza = accelerazione media fra gli istanti t e t 3 Pendenza = accelerazione media fra gli istanti t e t RAGINAMENT E DISCUSSINE Nella curva I il modulo della velocità ha un valore iniziale a t 0 di,0 m/s, poi diminuisce fino a 0 a t s. Dopo questo istante, il modulo della velocità aumenta di nuovo; ad esempio, a t 3 s è 0,50 m/s e a t s è,0 m/s. Dal grafico si può capire se la particella varia la direzione del suo moto nell istante t s? Evidentemente sì; infatti, prima di t s la particella si muove nel verso positivo, dopo questo istante si muove nel verso negativo. Nell istante t s la particella è momentaneamente ferma. Tuttavia, indipendentemente dal fatto che si muova nel verso positivo, negativo o sia momentaneamente ferma, la particella ha sempre la stessa accelerazione costante: l accelerazione è legata soltanto alla variazione della velocità in un determinato istante. RISPSTA La risposta corretta è la C: la velocità prima diminuisce e poi aumenta. t t t 3 FIGURA 9 Interpretazione grafica dell accelerazione media e istantanea L accelerazione media corrisponde alla pendenza del segmento di retta che congiunge due diversi punti del grafico v-t. L accelerazione istantanea è data dalla pendenza della retta tangente alla curva nel punto corrispondente a un determinato istante. t L interpretazione grafica della velocità, presentata nella figura 7, può essere estesa anche all accelerazione, operando soltanto un piccolo cambiamento: invece di un grafico -t utilizziamo ora un grafico v-t, come mostrato in figura 9. Per analogia possiamo dire che, in un diagramma velocità-tempo: L accelerazione media in un determinato intervallo di tempo è la pendenza della retta che congiunge i punti corrispondenti agli estremi dell intervallo. L accelerazione istantanea è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto corrispondente a un determinato istante.. ESEMPI SVLT Un treno in accelerazione Un treno, che sta viaggiando su un tratto rettilineo con una velocità iniziale di 0,50 m/s, accelera di,0 m/s per,0 secondi, prosegue con accelerazione uguale a 0 per altri 3,0 secondi e quindi accelera nuovamente di,5 m/s per,0 secondo. a) Qual è la velocità finale del treno? b) Qual è l accelerazione media del treno? DESCRIZINE DEL PRBLEMA Disegniamo il diagramma v-t relativo al moto del treno. L idea di base è che ogni intervallo in cui l accelerazione è costante sia rappresentato da un segmento di retta con la pendenza opportuna. Pertanto, disegniamo un segmento con pendenza uguale a,0 m/s da t 0 a t,0 s, un segmento orizzontale (pendenza zero) da t,0 s a t 5,0 s e un segmento con pendenza,5 m/s da t 5,0 s a t 6,0 s. La pendenza del segmento che collega il punto iniziale e quello finale corrisponde all accelerazione media. STRATEGIA In ogni intervallo nel quale l accelerazione è costante la variazione di velocità è v a m t a t. a) Sommando le singole variazioni di velocità si ottiene la variazione totale, v v f v i. Poiché v i è nota, questa espressione consente di determinare la velocità finale v f. Velocità v (m/s) 3 L accelerazione istantanea e l accelerazione media sono uguali sui segmenti di retta 3 Tempo t (s) Pendenza = accelerazione media da t = 0 a t = 6 s 5 3 6 7
. Accelerazione 37 v b) L accelerazione media può essere calcolata utilizzando l equazione a m. Notiamo che v è stato calcolato in a) e l intervallo t di tempo totale è t 6,0 s, come vediamo chiaramente dal grafico. SLUZINE a) Determiniamo la variazione di velocità in ognuno dei tre intervalli durante i quali l accelerazione è costante: Sommiamo la variazione di velocità in ogni intervallo per ottenere la variazione totale: Utilizziamo v per determinarne v f, ricordando che v i 0,50 m/s: v = a t =,0 m/s,0 s =,0 m/s v = a t = 0 3,0 s = 0 v 3 = a 3 t 3 = -,5 m/s,0 s = -,5 m/s v = v + v + v 3,0 m/s + 0 -,5 m/s =,5 m/s v = v f - v i v f = v + v i =,5 m>s + 0,50 m>s = 3,0 m>s v b) L accelerazione media è : t a m = v t =,5 m/s 6,0 s = 0, m/s SSERVAZINI Notiamo che l accelerazione media durante i 6 secondi non è semplicemente la media delle singole accelerazioni (,0 m/s, 0 m/s e,5m/s ) perché ogni accelerazione ha una durata diversa. Inoltre, l accelerazione media può essere determinata anche graficamente, come indicato nel grafico v-t precedente; in particolare il grafico mostra che v è,5 m/s in un intervallo di tempo da t 0 s a t 6,0 s. PRVA TU v 3,0 m/s -,5 m/s Qual è l accelerazione media del treno fra t,0 s e t 6,0 s? ca m = 0,38 m/s d t 6,0 s -,0 s Problema simili: 8 e 3. In un moto rettilineo se la velocità e l accelerazione non sono nulle, possono essere sia positive sia negative, a seconda che siano nel verso positivo o negativo del sistema di coordinate scelto. Perciò, la velocità e l accelerazione di un oggetto possono avere segni uguali oppure opposti (naturalmente, in due o tre dimensioni le relazioni tra velocità e accelerazione possono essere varie, come vedremo nei prossimi capitoli). Si hanno perciò le due seguenti possibilità: quando la velocità e l accelerazione di un oggetto hanno lo stesso segno il modulo della velocità aumenta. In questo caso la velocità e l accelerazione sono vettori che hanno lo stesso verso; quando la velocità e l accelerazione di un oggetto hanno segno opposto il modulo della velocità diminuisce. In questo caso la velocità e l accelerazione sono vettori che hanno verso opposto. Queste due possibilità sono illustrate in figura 0. sserviamo che, quando il modulo della velocità aumenta, allora la velocità può crescere positivamente, come mostrato in figura 0a, oppure crescere negativamente, come mostrato in figura 0d. a a v v a) Il modulo della velocità aumenta a v c) Il modulo della velocità diminuisce b) Il modulo della velocità diminuisce a v d) Il modulo della velocità aumenta FIGURA 0 Automobili che accelerano e decelerano Il modulo della velocità dell automobile aumenta quando la velocità e l accelerazione hanno lo stesso verso, come nei casi (a) e (d). Quando la velocità e l accelerazione hanno versi opposti, come nei casi (b) e (c), il modulo della velocità dell automobile diminuisce.
38 CAPITL Cinematica unidimensionale v (a) (b) (c) (d) FIGURA Grafico v-t con accelerazione costante I quattro diagrammi corrispondono alle situazioni mostrate in figura 0. sserviamo che il modulo della velocità aumenta nei casi (a) e (d), mentre diminuisce nei casi (b) e (c). t Quando il modulo della velocità diminuisce, spesso diciamo che l oggetto sta decelerando. Un errore comune è pensare che una decelerazione implichi un accelerazione negativa. Questo non è vero; infatti una decelerazione può essere provocata sia da un accelerazione positiva sia da un accelerazione negativa, a seconda della direzione della velocità iniziale. Ad esempio, l automobile di figura 0b ha una velocità positiva e un accelerazione negativa, mentre l automobile di figura 0c ha una velocità negativa e un accelerazione positiva e, in entrambi i casi, il modulo della velocità dell automobile diminuisce. Dunque, perché in un moto unidimensionale ci sia una decelerazione, la velocità e l accelerazione devono avere segni opposti; in altre parole, i vettori che rappresentano le due grandezze devono avere versi opposti, come nelle figure 0b e 0c. I diagrammi velocità-tempo per le quattro situazioni mostrate in figura 0 sono riportati in figura. In ognuno dei quattro diagrammi abbiamo assunto che l accelerazione sia costante. 5. ESEMPI SVLT I moli dei traghetti Un traghetto effettua una breve corsa tra due moli, uno a Napoli e l altro sull isola di Capri. a) Quando il traghetto si avvicina all isola di Capri, viaggiando in direzione positiva, la sua velocità scalare è 7, m/s. Se il traghetto rallenta fino a fermarsi in,3 s, qual è la sua accelerazione media? b) Quando il traghetto ritorna al molo di Napoli la sua velocità scalare è 7,3 m/s. Se si ferma in 3, s, qual è la sua accelerazione media? DESCRIZINE DEL PRBLEMA Il disegno mostra la posizione dei due moli e la direzione positiva indicata nel problema. Notiamo che la distanza tra i due moli non è data, in quanto non è necessaria. Capri Napoli STRATEGIA Conosciamo le velocità iniziale e finale (il battello in entrambi i casi si ferma, dunque le velocità finali sono uguali a zero). Calcoliamo l accelerazione media utilizzando la formula a m e prestando attenzione ai segni delle velocità. v t SLUZINE a) Calcoliamo l accelerazione media, ricordando che v i 7, m/s e v f 0: a m = v t = v f - v i t 0-7, m/s = = -0,60 m/s,3 s b) In questo caso v i 7,3 m/s e v f 0: a m = v t = v f - v i 0 - -7,3 m/s = = 0,56 m/s t 3, s SSERVAZINI In ognuno dei due casi, l accelerazione del traghetto ha segno opposto rispetto alla sua velocità; quindi il traghetto decelera. PRVA TU Quando il traghetto lascia l isola di Capri, la sua velocità passa da 0 a 5,8 m/s in 9,5 s. Qual è la sua accelerazione media? [a m 0,63 m/s ] Problemi simili: 6 e 7. LABRATRI Laboratorio 5 Moto accelerato 5. Moto con accelerazione costante In questo paragrafo dedurremo le equazioni che descrivono il moto di particelle che si muovono con accelerazione costante. Queste equazioni o leggi del moto possono essere usate per descrivere un gran numero di fenomeni della vita di tutti giorni; ad esempio, in un mondo ideale dove non esista la resistenza dell aria, gli oggetti che cadono hanno un accelerazione costante. Come abbiamo detto nel paragrafo precedente, se una particella ha un accelerazione costante, la sua accelerazione istantanea a è uguale alla sua accelerazione media a m. Ricordando la definizione di accelerazione media (equazione [5]), possiamo scrivere: a m = v f - v i t f - t i = a
Gli istanti iniziale e finale possono essere scelti arbitrariamente, quindi se poniamo, ad esempio, t i 0 come istante iniziale, v i v 0 come velocità nell istante iniziale, t f t come istante finale e v f v come velocità corrispondente, la relazione precedente diventa: a m = v - v 0 t - 0 = a cioè: v - v 0 = at - 0 = at Da questa relazione ricaviamo l espressione della velocità del moto con accelerazione costante o moto uniformemente accelerato: Equazione del moto uniformemente accelerato: velocità in funzione del tempo v v 0 at [7] Notiamo che la [7] è l equazione di una retta nel diagramma velocità-tempo. Questa retta interseca l asse della velocità nel punto di ordinata v 0 e ha una pendenza a, in accordo con l interpretazione grafica che abbiamo discusso nel paragrafo precedente. Ad esempio, per la curva I della figura 8, l equazione del moto è: v v 0 at m/s ( 0,5 m/s )t Inoltre notiamo che il termine ( 0,5 m/s )t ha come unità di misura (m/s )(s) m/s; perciò ogni termine dell equazione [7] ha le stesse dimensioni (come deve essere in un equazione valida in fisica). 5. Moto con accelerazione costante 39 ESERCIZI 3 Una palla viene lanciata verso l alto con una velocità iniziale di 8, m/s. Se l accelerazione della palla è 9,8 m/s, calcola la sua velocità dopo: a) 0,50 s b),0 s [sostituendo i valori di t nell equazione [7] otteniamo: a) v 8, s ( 9,8 m/s )(0,50 s) 3,3 m/s; b) v 8, m/s ( 9,8 m/s )(,0 s),6 m/s] v v v m = (v 0 + v) Quale distanza percorre una particella in un determinato tempo se la sua accelerazione è costante? Per rispondere a questa domanda, ricordiamo la definizione di velocità media: v m = t = f - i t f - t i Ponendo t i 0, t f t, i 0 e f, la relazione precedente diventa: v v v 0 a) t t v m = - 0 t - 0 cioè: - 0 = v m t - 0 = v m t che possiamo anche scrivere: = 0 + v m t L equazione [8] è del tutto generale e si può utilizzare sia quando l accelerazione è costante, sia quando non lo è. Un espressione più utile, nel caso in cui l accelerazione è costante, si può ottenere scrivendo la velocità media in termini di velocità iniziale e finale. Possiamo farlo con riferimento alla figura a nella quale la velocità cambia linearmente (poiché a è costante) da v 0 nell istante t 0 a v in un istante t successivo. La velocità media durante questo intervallo di tempo è la media fra la velocità iniziale e quella finale; in altre parole è la somma delle due velocità divisa per. [8] v m v 0 t b) FIGURA La velocità media a) Quando l accelerazione è costante, la velocità varia linearmente con il tempo. Di conseguenza, la velocità media v m è semplicemente la media fra la velocità iniziale v 0 e la velocità finale v. b) La curva che rappresenta la variazione della velocità nel tempo nel caso in cui l accelerazione è variabile non è lineare. In questo caso la velocità media non corrisponde più al valore medio fra le velocità iniziale e finale. t
0 CAPITL Cinematica unidimensionale Possiamo quindi scrivere: Equazione del moto uniformemente accelerato: velocità media v m = v 0 + v [9] ATTENZINE Risoluzione dei problemi: schematizzare il sistema Il primo passo nella risoluzione di un problema di fisica è quello di eseguire un semplice schizzo del sistema. Lo schizzo deve comprendere un sistema di coordinate con un origine e una direzione positiva, per identificare le grandezze che vengono date nel problema, come la posizione iniziale, la velocità iniziale, l accelerazione e così via. Queste azioni preliminari ti aiuteranno a costruire una rappresentazione matematica del problema. La velocità media è indicata in figura a. Notiamo che, se l accelerazione non è costante, come nella figura b, non possiamo più calcolare la velocità media come media aritmetica tra le velocità iniziale e finale. Se sostituiamo nell equazione [8] il valore della velocità media fornito dalla [9], otteniamo l espressione della distanza percorsa in un moto uniformemente accelerato: Equazione del moto uniformemente accelerato: posizione in funzione del tempo = 0 + v 0 + vt Questa equazione, come l equazione [7], vale solo quando l accelerazione è costante. [0] 6. ESEMPI SVLT Avanti a tutta forza Un battello esce dal porto muovendosi lentamente (in modo tale da non lasciare una scia) con una velocità costante di,50 m/s. Appena passato il frangiflutti e lasciato il porto, il battello accelera di,0 m/s. a) A quale velocità viaggia il battello dopo aver accelerato per 5,00 s? b) Quale distanza ha percorso in questo tempo? DESCRIZINE DEL PRBLEMA Nel disegno abbiamo scelto come origine il frangiflutti e come direzione positiva quella del moto. In questo sistema di riferimento la posizione iniziale è 0 0 e la velocità iniziale è v 0,50 m/s. STRATEGIA L accelerazione è costante, perciò possiamo utilizzare le equazioni precedenti. Per rispondere alla domanda a) bisogna mettere in relazione la velocità con il tempo, perciò utilizziamo l equazione [7], v v 0 at. Per rispondere alla domanda b) bisogna mettere in relazione la posizione con il tempo e perciò utilizziamo l equazione [0], 0 (v 0 v)t. Frangiflutti a =,0 m/s SLUZINE a) Usiamo l equazione [7] con v 0,50 m/s e a,0 m/s : b) Applichiamo l equazione [0], sostituendo a v il valore ottenuto nella parte a): v = v 0 + at =,50 m/s +,0 m/s 5,00 s,50 m/s +,0 m/s = 3,5 m/s = 0 + v 0 + vt = 0 +,50 m/s + 3,5 m/s 5,00 s = 7,50 m/s 5,00 s = 37,5 m SSERVAZINI Poiché l accelerazione del battello è costante tra gli istanti t 0 e t 5,00 s, il diagramma della velocità rispetto al tempo, durante questo intervallo, è una linea retta. La velocità media per questi 5 secondi è quindi la media aritmetica delle velocità iniziale e finale, v m (,50 m/s 3,5 m/s) 7,50 m/s; moltiplicando tale velocità per il tempo (5,00 s) si ottiene la distanza percorsa, che è esattamente quella ottenuta applicando l equazione [0]. PRVA TU In quale istante la velocità del battello risulta uguale a 0,0 m/s? [t 3,5 s] Problema simile: 36. La velocità del battello dell esempio svolto in funzione del tempo è rappresentata nel diagramma di figura 3, con l accelerazione che parte nell istante t 0 e termina nell istante t 5,00 s.
5. Moto con accelerazione costante v v = 3,5 m/s Area totale = 30,0 m + 7,50 m = 37,5 m Area del triangolo = ( v)t = v = (3,5 m/s,50 m/s) (5,00 s) = = 30,0 m v 0 =,50 m/s t 5 s Area del rettangolo = v 0 t = = (,50 m/s)(5,00 s) = = 7,50 m t FIGURA 3 Diagramma velocità-tempo per il battello dell esempio svolto La distanza percorsa dal battello fra t 0 e t 5,00 s è uguale all area della parte di piano che sta sotto la curva della velocità. Mostreremo ora che la distanza percorsa dal battello fra t 0 e t 5,00 s è uguale all area della parte di piano che si trova sotto la curva che rappresenta la velocità. Questo è un risultato del tutto generale, valido per qualsiasi curva della velocità e per qualsiasi intervallo di tempo: Nel diagramma velocità-tempo la distanza percorsa da un oggetto dall istante t all istante t è uguale all area della parte di piano sottesa alla curva della velocità fra questi due istanti. In questo caso l area considerata è la somma delle aree di un rettangolo e di un triangolo. Il rettangolo ha base 5,00 s e altezza,50 m/s e quindi la sua area è (5,00 s) (,50 m/s) 7,50 m. Analogamente, il triangolo ha base 5,00 s e altezza (3,5 m/s,50 m/s),0 m/s e quindi un area di (5,00 s) (,0 m/s) 30,0 m. L area totale è perciò 37,5 m, ed è pari alla distanza percorsa, che è esattamente quella calcolata nell esempio svolto utilizzando le formule. Consideriamo ancora l esempio svolto 6 e ripetiamo il calcolo della parte b), generalizzandolo. Per prima cosa sostituiamo la velocità finale ricavata nella parte a), cioè v v 0 at, nell espressione della velocità media, v m (v 0 v): v 0 + v = [v 0 + v 0 + at] = v 0 + at (accelerazione costante) Sostituiamo ora questa espressione nell equazione [0]: = 0 + v 0 + vt = 0 + Av 0 + atbt Eseguendo le operazioni indicate, otteniamo il seguente risultato: Equazione del moto uniformemente accelerato: posizione in funzione del tempo = 0 + v 0 t + at [] Abbiamo ottenuto un espressione per la posizione in funzione del tempo, che è formulata esplicitamente in funzione dell accelerazione a. Notiamo che ogni termine dell equazione [] ha le stesse dimensioni, come deve essere. Ad esempio, il termine che contiene la velocità, v 0 t, ha unità di misura (m/s)(s) m; analogamente il termine che contiene l accelerazione, at, ha unità di misura (m/s )(s ) m. ESERCIZI Rispondi alla domanda b) dell esempio svolto 5 utilizzando l equazione []. [ = 0 + v 0 t + at = 0 +,50 m/s5,00 s +,0 m/s 5,00 s = 37,5 m] L esempio svolto che segue fornisce un ulteriore approfondimento sul significato fisico dell equazione [].
CAPITL Cinematica unidimensionale 7. ESEMPI SVLT Premi sul pedale Nelle corse di dragster, che si svolgono negli Stati Uniti, particolari veicoli da corsa gareggiano in accelerazione lungo una pista rettilinea. In una di queste gare un corridore, partendo da fermo, accelera con un accelerazione pari a 7,0 m/s. Calcola la distanza percorsa in: a),00 s b),00 s c) 3,00 s DESCRIZINE DEL PRBLEMA Fissiamo un sistema di coordinate nel quale il corridore parte dall origine e accelera nel verso positivo dell asse. Con questa scelta si ha 0 0 e a 7,0 m/s. Inoltre il corridore parte da fermo, perciò la sua velocità iniziale è v 0 0. Nel disegno le posizioni del corridore nei vari istanti sono riportate in scala. t = 0,00 t =,00 s t =,00 s t = 3,00 s STRATEGIA Poiché il problema fornisce l accelerazione e chiede di determinare la relazione fra la posizione e il tempo, utilizziamo l equazione []. SLUZINE a) Applichiamo l equazione [] con a 7,0 m/s e t,00 s: b) Come abbiamo visto nella parte a), l equazione [] si riduce a = at. Calcoliamo per t,00 s: c) Ripetiamo il calcolo per t 3,00 s: = 0 + v 0 t + at = 0 + 0 + at = at = 7,0 m/s,00 s = 3,70 m = at 7,0 m/s,00 s =,8 m = 3,70 m = at 7,0 m/s 3,00 s = 33,3 m = 93,70 m SSERVAZINI Questo esempio illustra una delle caratteristiche del moto accelerato: quando un oggetto accelera, la sua posizione non cambia uniformemente nel tempo. In questo caso la distanza percorsa nei primi secondi è volte quella percorsa nel primo secondo e la distanza percorsa nei primi 3 secondi è 9 volte quella percorsa nel primo secondo. Questo comportamento è una diretta conseguenza del fatto che, quando l accelerazione è diversa da zero ed è costante, dipende da t. PRVA TU In un secondo il corridore percorre 3,70 m. Quanto tempo gli occorre per percorrere (3,70 m) 7,0 m? [ t = s =, s] Problema simile: 37. Posizione (m) 0 30 0 0 La figura mostra il diagramma -t relativo all esempio svolto 7. sserviamo che la curva ha un andamento parabolico, che è dovuto al termine at ed è caratteristico del moto uniformemente accelerato. In particolare, se l accelerazione è positiva (a 0) la curva ha la concavità rivolta verso l alto, se l accelerazione è negativa (a 0) la curva ha la concavità rivolta verso il basso. Inoltre, più grande è il valore di a, più accentuata è la curvatura. Se un oggetto si muove con velocità costante (a 0), la dipendenza da t scompare e il diagramma -t si riduce a una linea retta. Determiniamo ora un ultima equazione del moto uniformemente accelerato, quella che mette in relazione la posizione e la velocità. Iniziamo risolvendo l equazione [7] rispetto al tempo: 0,5,5,5 3 3,5 Tempo t (s) FIGURA Diagramma posizione-tempo relativo all esempio svolto 7 L andamento parabolico, con la concavità verso l alto, della curva che rappresenta la posizione in funzione del tempo, indica un accelerazione costante e positiva. I punti sulla curva rappresentano la posizione del corridore dell esempio svolto 7 negli istanti,00 s,,00 s e 3,00 s. v = v 0 + at : t = v - v 0 a Quindi sostituiamo questa espressione nell equazione [0], eliminando cioè il tempo: = 0 + v 0 + vt = 0 + v 0 + v v - v 0 a sservando che (v 0 v)(v v 0 ) v v 0, otteniamo: = 0 + v - v 0 a