P 210,3416 83,6861 135,618 m C 88,6014 90,3043 206,405 m D 57,4844 88,6549 287,835 m C 114,6545 87,3615 238,437 m B

ESERCIZI SVOLTI DI TOPOGRAFIA PROF. ING. PIANTONI ALDO 1. si deve determinare la pendenza tra due punti P e Q, che rappresentano gli estremi di una strada rettilinea. Poiché non si è riusciti ad individuare un punto dal quale siano visibili contemporaneamente i due punti, sono state effettuate, con un teodolite a graduazione destrorsa integrato da distanziometro ad onde, due stazioni celerimetriche collegate tra loro in modo indiretto. I dati rilevati sono i seguenti. stazione Punto collimato C.O. C.V. Distanza inclinata A H=1.705 P 210,3416 83,6861 135,618 m C 88,6014 90,3043 206,405 m D 57,4844 88,6549 287,835 m C 114,6545 87,3615 238,437 m B D 154,7458 84,4818 196,585 m H=1.644 Q 246,3489 94,3215 175,606m Si assuma, per i calcoli altimetrici, un altezza del prisma pari a 1,500m, k=0,12 e R=6.376.500 m. Con i dati forniti nel libretto delle misure si determinano innanzi tutto le distanze orizzontali AP=135.618 sen83.6861 = 134.795 m AC=206.405 sen90.3043 = 206.402 m AD=287.835 sen88.6549 = 287.756 m BC = 238.437 sen87.3615 = 238.184 m BD=196.585 sen84.4818 = 195.647 m BQ=175.606 sen94.3215 = 175.107 m Per risolvere la parte planimetrica conviene determinare le coordinate di P e Q nel sistema di riferimento celerimetrico con origine in A, adottando il procedimento del collegamento di Porro. Le coordinate del punto P possono essere determinate subito, poiché tale punto è stato collimato direttamente da A: x p =AP senθ AP =134.795 sen210.3416 = -68.092 m y p =AP cosθ AP =134.795 cos210.3416 = -116.332 m si procede col calcolo dell angolo di disorientamento tra le due stazioni, calcolando le coordinate dei due punti C e D nei due sistemi di riferimento

Sistema di riferimento con origine in A x C =AC senθ AC =206.402 sen 88.6014 = 206.341 m y C =AC cosθ AC =206.402 cos 88.6014 = 5.038 m x D =AD senθ AD =287.756 sen 57.4844 = 242.649 m y D =AD cosθ AD =287.756 cos 57.4844 = 154.677 m x D - x C θ CD =ARCTAN --------------- = 13.6385 y D - y C Sistema di riferimento con origine in B x C =BC senθ BC =238.184 sen 114.6545 = 216.471 m y C =BC cosθ BC =238.184 cos 114.6545 = -99.357 m x D =BD senθ BD =195.674 sen 154.7458 = 83.481 m y D =BD cosθ BD =195.674 cos 154.7458 = -176.972 m x D - x C θ CD =ARCTAN --------------- = 239.7315 y D - y C L angolo di disorientamento tra le due stazioni è pari alla differenza dei due azimut ε=θ CD - θ CD =226.0930 le coordinate del punto Q, nel sistema di riferimento con origine in A valgono: x Q = x C +CB senθ CB + BQ senθ BQ = x C +CB sen(θ' CB - ε ) + BQ sen(θ' BQ - ε ) = 206.341 + 238.184 sen (114.6545 + 180-226.0930) + 175.107 sen (246.3489-226.0930) = 488.670 m y Q = y C +CB cosθ CB + BQ cosθ BQ = y C +CB cos(θ' CB - ε ) + BQ cos(θ' BQ - ε ) = 5.038 + 238.184 cos(114.6545 + 180-226.0930) + 175.107 cos (246.3489-226.0930) = 256.372 m per controllo, si ripete il calcolo delle coordinate di Q, utilizzando il percorso ADBQ anziché ACBQ: x Q = x D +DB senθ DB + BQ senθ BQ = x D +DB sen(θ' DB - ε ) + BQ sen(θ' BQ - ε ) = 242,649 + 195.674 sen (154.7458 + 180-226.0930) + 175.107 sen (246.3489-226.0930) = 488.669 m y Q = y D +DB cosθ DB + BQ cosθ BQ = y D +DB cos(θ' DB - ε ) + BQ cos(θ' BQ - ε ) = 154.677 + 195.674 cos(154.7458 + 180-226.0930) + 175.107 cos (246.3489-226.0930) = 256.372 m che, in pratica, coincidono con quelle calcolate precedentemente. La distanza tra i punti P e Q risulta quindi: PQ= w (x Q - x P ) 2 + (y Q - y P ) 2 =669.994 m Anche la parte altimetrica può essere risolta considerando i percorsi PACBQ e PADBQ. I dislivelli misurati si calcolano con la formula della livellazione trigonometrica: AP = h A - h P + AP cot φ AP + (1-k) AP 2 /2R = 15,121 AC = h A - h P + AC cot φ AC + (1-k) AC 2 /2R = -0.888 AD = h A - h P + AD cot φ AD + (1-k) AD 2 /2R = 6.967 BC = h B - h P + BC cot φ BC + (1-k) BC 2 /2R = 11.124 BD = h B - h P + BD cot φ BD + (1-k) BD 2 /2R = 19.051 BQ = h B - h P + BQ cot φ BQ + (1-k) BQ 2 /2R = -13.086 utilizzando il percorso PACBQ si ottiene il seguente dislivello PQ: ricordando che PA= - AP PQ = PA + AC + CB + BQ = -15.121-0.888-11.124-13.086 = - 40.219 m utilizzando invece il percorso PADBQ si ottiene: PQ = PA + AD + DB + BQ = -15.121 +6.967-19.051-13.086 = - 40.291m

si adotta come valore più attendibile del dislivello la media aritmetica dei due valori PQ = (- 40.291-40.219)/2 = -40.255m la pendenza della strada vale dunque: p PQ = -40.255/669.994 = -0.0601 = - 6.01% 2. determinare le coordinate planimetriche e la quota del punto P, dal quale si sono collimati, con un teodolite centesimale destrorso, i tre punti A, B e C di coordinate note: A(317.818 ; 404.606) B( 385.606 ; 201.304) C( 243.445 ; -15.314) stazione Punto collimato C.O. C.V. A 369.6545 gon 101.2547 gon P B 14.5743 gon 100.8895 gon h=1.609m C 62.0468 gon 98.6843 gon Si assuma, per il calcolo della quota, k=0,14; R=6.377 Km; Q A =188,766, Q B =189,215, Q C =201,545 Gli angoli orizzontali che le proiezioni delle linee di collimazione formano tra loro valgono: α=(pb) - (PA)= 14.5743-369.6545 + 400 = 44.9198 gon β= (PC) - (PA) = 62.0468-14.5743 = 47.4725 gon dalla sequenza con cui si succedono gli angoli di direzione, il punto P non può che stare a sinistra della spezzata ABC; infatti, se il punto P fosse a destra, gli angoli di direzione dovrebbero aumentare da C verso A, mentre si verifica il contrario. Stabilita dunque la posizione di P è possibile effettuare la costruzione grafica, che permette di stabilire una soluzione approssimata del problema. Dalle coordinate di A e di B si ricava la distanza e l'azimut tra tali punti AB= w q (385.606-317.818) 2 + (201.304-404.606) 2 r = 214.306 m θ AB =arctan q(385.606-371.818)/(201.304-404.606)r+200= 179.5109 gon

tracciata la circonferenza passante per P, A e B, detto H il punto di intersezione con il segmento PC, si ha, visto che gli angoli AHB e BAH sono uguali agli angoli α, β Le coordinate di H valgono quindi: AH=AB/senα x sen(α+β) = 328.113 m x H = x A +AH senθ AH = x A +AH sen(θ AB + β ) = 182.873 m y H = y A +AH cosθ AH = y A +AH cos(θ AH + β) = 105.528 m Dalle coordinate di H si ottiene: θ HC = θ PC = arctan q(243.445-182.873)/(-15.314-105.528)r+200 = 170.4197 θ PA = θ PC - (α+β ) =78.0274 gon θ AP = θ PA + 200= 278.0274 gon da cui si possono calcolare gli elementi incogniti del triangolo ABP: Che permette di calcolare le coordinate di P BAP=θ AP -θ AB = 278.0274-179.5109 = 98.5165 gon PBA= 200-(α + BAP) = 56.5637 gon PA= AB/senα x senpba = 256.468 m X P = x A +PA senθ AP = 317.818 + 256.486 sen 278.0274 = 76.458 m Y P = y A +PA cosθ AP = 404.606 + 256.486 cos 278.0274 = 317.828 m Per risolvere il problema altimetrico è necessario calcolare le distanze dei vertici B e C dal punto P: PB= wq(385.606-76.458) 2 + (201.304-317.828) 2 r = 330.379 PC= wq(243.445-76.458) 2 + (-15.314-317.828) 2 r = 372.650 I tre dislivelli misurati valgono quindi: R+Q PA = h P + PA-------- cot ϕ PA + (1-k) PA 2 /2R = - 3.442 R R+Q PB = h P + PB-------- cot ϕ PB + (1-k) PB 2 /2R = - 3.000 R R+Q PC = h P + PC-------- cot ϕ PC + (1-k) PC 2 /2R = +9.321 R La quota del punto P può quindi essere determinata in tre modi diversi a seconda che si consideri come riferimento rispettivamente il punto A, B o C: Q' P =Q A + AP = Q A - PA =188.766 + 3.442 = 192.208 Q" P =Q B + BP = Q B - PB =189.215 + 3.000 = 192.215 Q'" P =Q C + CP = Q C - PC =201.545-9.321 = 192.224 Come quota potrà quindi essere assunta la media aritmetica Qp=192.216

3. determinare l area compensata della particella rilevata Operazioni di campagna Per ogni punto collimato si sono determinate le distanze orizzontali, utilizzando un nastro metrico d'acciaio, e gli angoli orizzontali. Gli angoli verticali non sono stati letti, poiché non è stata presa in considerazione la parte altimetrica del rilievo. Sono state prefissate sia la tolleranza angolare sia quella lineare, che devono essere superiori ai rispettivi errori di chiusura: tα = 4 c e3 =6.9 c t l = 0.02en l LIBRETTO DELLE MISURE stazione Punto collimato Cerchio orizzontale Distanza orizzontale 200 121.583 g 24.548 m 100 300 77.543 g 24.564 m 101 8.801 g 12.400 m 102 198.201 g 12.868 m 100 321.583 g - 200 300 399.652 g 16.625 m 201 79.518 g 6.679 m 102 287.011 g 23.235 m 100 277.489 g - 300 200 199.652 g - 201 173.528 g 15.859 301 348.724 g 4.395 La planimetria dell'appezzamento, con i punti rilevati, è riportata nella figura.

Calcolo dell'area con compensazione empirica Si esegue dapprima il calcolo della poligonale, mediante compensazione empirica. Gli angoli al vertice risultano: α = 121,583-77,543 = 44,040 g β=399,652-321,583 = 78,069 g γ =277.489 -- 199.652 = 77,837 g Si procede quindi con la compensazione angolare degli angoli interni: ε α = 44,040 + 78,069 + 77,837-200 = 199,946-200 = 0,054 g che risulta inferiore alla tolleranza angolare prefissata: ta = 4 c w3 = 6,9 c > 5,4 c e pertanto si può procedere con la compensazione angolare. Poiché la somma degli angoli misurati è risultata minore di 200 g, si dovrà aggiungere a ciascun angolo misurato 1/3 dell'errore di chiusura angolare εα: αc = 44,040 + 0,018 = 44,058 g

βc = 78,069 + 0,018 = 78,087 g γc = 77,837 + 0,018 =77,855 g Si possono ora calcolare gli azimut, assumendo un sistema di riferimento avente origine nel punto 100 e asse delle ordinate diretto lungo l'origine del cerchio orizzontale in tale stazione; θ100-200 = 121,583 g θ200-300 = θ100-200 + βc +200= 399.670 g θ300-100 = θ 200 300 + γc -200= 277.525 g Per controllo: θ100-200 = θ300-100 + αc -200= 121.583 g Si procede con la compensazione lineare, calcolando le coordinate parziali provvisorie: sono le proiezioni dei lati sugli assi (x 200 ) 100 = d 100-200 sen θ 100-200 = 23,151 m (x 300 ) 200 = d 200-300 sen θ 200-300 = -0,086 m (x 100 ) 300 = d 100-300 sen θ 300-100 = -23,049 m (y 200 ) 100 = d 100-200 cos θ 100-200 = -8,164 m (y 300 ) 200 = d 200-300 cos θ 200-300 = 16,625 m (y 100 ) 300 = d 100-300 cos θ 300-100 = - 8,493 m Gli errori di chiusura lineare, rispettivamente lungo X e lungo Y, si ricavano facendo la somma: delle coordinate parziali: e x = n(xj)i = 23,151-0,086-23,049 = 0,016 m e y = n(yj)i = -8,164 + 16,65-8,493 = -0,032 m Si ricava quindi l'errore lineare complessivo, confrontandolo con la tolleranza lineare: ε L = e(ε 2 x + ε 2 y)= 0,036 m < t L = 0,02 e65,737 =. 0,162 m Poiché la verifica è soddisfatta, si può procedere con la compensazione lineare; si calcolano dapprima gli errori unitari:

ux= εx / n (xj)i = 3,457 10-4 (x 200 ) 100 = (x 200 ) 100 - u x (x 200 ) 100 = 23,143 m (x 300 ) 200 = (x 300 ) 200 - u x (x 300 ) 200 = -0,086 m (x 100 ) 300 = (x 100 ) 300 - u x (x 100 ) 300 = -23,057 m uy= εy / n (yj)i = - 9,615 10-4 (y 200 ) 100 = (x 200 ) 100 - u x (y 200 ) 100 = -8,156 m (y 300 ) 200 = (x 300 ) 200 - u y (y 300 ) 200 = 16,641 m (y 100 ) 300 = (x 100 ) 300 - u y (y 100 ) 300 = - 8,485 m Le coordinate compensate delle tre stazioni valgono quindi: x 100 = 0,000 m x 200 = x 100 +(x 200 ) 100 = 23.143 m x 300 = x 200 +(x 300 ) 200 = 23,057 m y 100 = 0,000 m y 200 = y 100 +(y 200 ) 100 = -8,156 m y 300 = y 200 +(y 300 ) 200 = 8,845 m Si ricavano ora le coordinate dei quattro vertici dell'appezzamento, partendo dalle coordinate compensate della poligonale e facendo la media aritmetica dei punti iper-determinati: x 101 = x 100 +d 100-101 sen θ 100-101 =0,000+ 12,400 sen 8,801 = 1,709 m y 101 = y 100 +d 100-101 cos θ 100-101 =0,000+ 12,400 cos 8,801 = 12,282 m x' 102 = x 100 +d 100-102 sen θ 100-102 =0,000+ 12,868 sen 198,201 = 0,364 m y' 102 = y 100 +d 100-102 cos θ 100-102 =0,000+ 12,868 cos 198,201 = -12,863 m x" 102 = x 200 +d 200-102 sen θ 200-102 =23,143+ 23,235 sen 287,011 = 0,390 m y" 102 = y 200 +d 200-102 cos θ 200-102 = -8,156 + 23,235 cos 287,011 = -12,864 m x 102= ( x' 102+ x" 102)/2 = 0,377 y 102= ( y' 102+ y" 102)/2 = -12,864 x' 201 = x 200 +d 200-201 sen θ 200-201 = 23,143+ 6,679 sen 79,518 = 29,479 m y' 201 = y 200 +d 200-201 cos θ 200-201 = -8,156 + 6,679 cos 79,518 = -6,044 m x" 201 = x 300 +d 300-201 sen θ 300-201 =23,057 + 15,859 sen 173,528 = 29,463 m y" 201 = y 300 +d 300-201 cos θ 300-201 = 8,485 + 15,859 cos 173,528 = -6,023 m

x 201= ( x' 201+ x" 201)/2 = 29,471 m y 201= ( y' 201+ y" 201)/2 = -6,034 x 301 = x 300 +d 300-301 sen θ 300-301 = 23,057+ 4,395 sen 348,724 = 19,888 m y 301 = y 300 +d 300-301 cos θ 300-301 = 8,485 + 4,395 cos 348,724 = 11,530 m Avendo determinato le coordinate dei vertici, si può ora calcolare l'area compensata dell'appezzamento racchiuso dalla poligonale applicando la formula di Gauss: A =1/2 ny i (X i-l - X i+ l) =1/2[12,282 (19,888-0,377) - 12,864 (1,709-29,471) - 6,034 (0,377-19,888)+11,350 (29,471-1,709)] =517,3 m 2 4. il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un tacheometro centesimale destrorso determinando i seguenti elementi stazione Punto collimato Cerchio orizzontale Distanza orizzontale D 0,000 gon 66,153 gon A B 135,456 gon 98,389 gon C 31,558 gon 115,444 gon B A 377,165 gon 98,387 gon Dividere il quadrilatero in tre parti, proporzionali ai numeri 3,5 4,5 3,2 con due dividenti parallele al lato CD, in modo che l'area proporzionale a 3,5 contenga tale lato, mediante le distanze dei loro estremi dai vertici C e D Dal libretto delle misure si ricavano gli angoli in A e in B e la distanza media AB: α=(ab)-(cd)=135,456 gon β=(bc)-(ba) + 400 = 54,393 gon AB= (98,389 + 98,387)/2= 98,388 m dapprima risolviamo il quadrilatero ABCD, scomponendolo nei due triangoli ABD e BDC.

TRIANGOLO ADB BD= w AB 2 + AD 2-2AB AD cos α = 144,697 m Per determinare l'angolo β 1 possiamo applicare il teorema dei seni, poichè α è ottuso β 1 = arcsen (sen α / BD x AD)= 25,373 gon δ 1 = 200 - α - β 1 = 39,171 gon A (ABD) = 1/2 ABxAD sen α= 2762,52 m 2 TRIANGOLO BDC β2 = β - β1 = 29.020 gon CD = w BD 2 + BC 2-2BD BC COSβ 2 =65,323 m γ = arccos q(bc 2 + CD 2 - BD 2 ) /(2BC CD) r = 114,228 gon δ 2 = 200 - γ - β 2 = 56,752 gon δ = δ 1 + δ 2 = 95, 923 gon A (BDC) = 1/2 BDxBC sen β2 = 3676,81 m 2 Si può ora determinare l'area del quadrilatero ABCD e delle parti frazionate A(ABCD)= A(ABD) + A(BDC) = 6439,33 m 2 A 1 = 3,5/(3, + 4,5 + 3,2 ) xa(abcd) = 2012,29 A 2 = 4,5/(3, + 4,5 + 3,2 ) xa(abcd) = 2587,23 A 3 = A(ABCD) - A1 - A2 = 1839,81 Applichiamo ora la formula del trapezio alla prima superficie CDMN MN = w CD 2-2A 1 (cotγ +cotδ) = 70,169 m h= 2A 1 / (CD+MN) = 29,703 m CM = h/senγ = 30,461 m DN = h/senδ = 29,764 m In modo analogo si procede per determinare la posizione della dividente PQ, salvo verificare in questo caso che il punto Q ricada all'interno del segmento DA (altrimenti si deve procedere partendo dalla terza superficie) PQ = w CD 2-2(A 1 + A 2 )(cotγ +cotδ) = 75,947 m h 2 = 2(A 1 + A 2 )/ (CD+PQ) = 65,117 m CP = h 2 /senγ = 65,777 m DN = h 2 /senδ = 65,250 m < AD=66,153 m

5. la bisettrice CM divide il triangolo ABC in due parti aventi la seguente valenza unitaria: triangolo ACM: v 1 =5,00 /m 2 triangolo BCM: v 2 = 7,00 /m 2 la posizione degli estremi P e Q delle due nuove dividenti uscenti dal vertice C che dividono il triangolo in tre parti di uguale valore, conoscendo i seguenti dati c= 158,42 m α = 42,615 β= 38,744 applicando il teorema dei seni, determiniamo gli elementi incogniti del triangolo γ= 180 - (α+β) = 98,641 b= c/senγ x senβ = 100,284 m a= c/senγ x senα = 108,493 m e la bisettrice che divide le superfici a diversa valenza : b CM = sen (α+γ/2) sen α = 67,938 m il valore complessivo dell'appezzamento ABC è quindi v T = A(ACM)x5,00 + A(BCM)x7,00 = 1/2(bx5,00 + ax7,00)cm sen γ/2 = 32.481,28 pertanto ciascuna delle parti derivate dovrà avere un valore pari ad 1/3 di quello totale, che diviso per il valore unitario della parte corrispondente fornisce la relativa area A (ACQ) = v 1 /5,00 = 10.827,09/5,00 = 2165,4 m 2 A (BCP) = v 2 /7,00 = 10.827,09/7,00 = 1546,7 m 2 AQ= 2A(ACQ)/(b senα) = 63,783 m BP= 2A(BCP)/(a senβ) = 45,559 m

6. due appezzamenti di terreno contigui, appartenenti a due distinti proprietari, hanno la parte di confine in comune rappresentata dalla spezzata ABCD. Uno degli appezzamenti è rappresentato dalla poligonale ABCDE; i confini dell'altro appezzamento sono rappresentati in corrispondenza del punto A dal prolungamento del lato EA ed in corrispondenza del punto D dal prolungamento del lato ED. I due proprietari desiderano sostituire alla spezzata ABCD un nuovo confine rettilineo, parallelo alla direzione AD, in modo da realizzare la condizione di compenso delle aree aggiunte e sottratte ai due proprietari. Gli elementi misurati con un tacheometro destrorso sono raccolti nel seguente libretto di campagna. stazione Punto collimato Cerchio orizzontale Distanza orizzontale E 44,9074 g - A B 143,7116 g 109,003 A 0,0000 g - B C 84,3715 g - B 0,0000 g 156,374 C D 315,3065 g 85,606 C 0,0000 g - D E 35,6848 g - Determinare la posizione della nuova dividente Si ricavano innanzi tutto dal libretto di campagna gli angoli al vertice (vedi figura): α= (AB) - (AE) = 98,8042 g β = (CD) - (CB) = 315,3065 g γ = (BC) - (BA) = 84,3715 g δ = (DE) - (DC) = 35,6848 g II problema può essere risolto in due modi diversi: imponendo che l'area ceduta da un proprietario sia equivalente a quella acquisita dallo stesso, oppure calcolando l'area di un appezzamento di terreno fittizio che contenga la spezzata da rettificare e imponendo la stessa area all'appezzamento col confine rettificato. Generalmente la prima soluzione è conveniente quando la spezzata da rettificare è formata da solo due lati, mentre conviene la seconda soluzione quando la spezzata ha più di due lati. In quest'ultimo caso è opportuno calcolare l'area dell'appezzamento fittizio mediante la formula di Gauss; infatti, se il poligono è intrecciato, abbiamo visto nella prima unità che tale formula fornisce già la differenza tra l'area percorsa in senso antiorario e quella percorsa in senso orario. Per rendersi conto dei vantaggi della seconda soluzione rispetto alla prima, con una spezzata di soli tre lati, come in questo caso, si presentano qui di seguito entrambe le soluzioni. Prima modalità Congiunto A con D, e indicato con P il punto di intersezione col lato BC, si nota dalla figura che se le aree dei due triangoli ABP e PCD fossero uguali, il lato AD sarebbe la dividente cercata. Se invece dovesse prevalere l'area ABP sull'area PCD, si dovrà spostare il confine AD verso B, parallelamente a se stesso, in modo che l'area del trapezio AA'D'D risulti uguale all'eccedenza dell'area ABP rispetto all'area PCD. Viceversa, se dovesse risultare maggiore l'area del triangolo PCD, il confine AD dovrà essere spostato verso C. Ricaviamo dunque le aree dei due triangoli staccati dal lato AD. Considerato il triangolo ABC, del quale si conoscono due lati e l'angolo compreso, si ha: AC = eab 2 + BC 2-2 AB BCcos β = 167,479 m

AC 2 + BC 2 - AB 2 ACB = arccos------------------------ = 43,4982 g 2 AC BC CAB = 200 - β - ACB = 72,1303 g Considerando ora il triangolo ACD: ACD = ACB + (400 - δ) = 128,1917 g AD = wac 2 + CD 2-2 AC CD cos ACD = 218,323 m CD 2 + AD 2 - AC 2 ADC = arccos---------------------------= 48,7531 g 2 CD AD CAD = 200 - ACD - ADC = 23,0552 g Si possono pertanto ricavare le aree dei due triangoli, applicando la formula : A(PCD) = 1/2 CD 2 ( senbcd senadc ) / sen (BCD + ADC) = 2.851,21 m 2 A(ABP) = 1/2 AB 2 ( sendab senβ ) / sen (DAB + β) = 4.641,15 m 2 essendo DAB = CAB - CAD = 49,0751 g. L'area del triangolo ABP risulta dunque più grande di quella del triangolo PCD di: = 4.641,15-2.851,21 = 1.789,94 m 2 Tale area dovrà essere restituita al proprietario dell'appezzamento ABCDE, mediante il trapezio A'ADD'. Si ricavano quindi ì due angoli adiacenti alla base AD di tale trapezio: DAA' = 200 - α + DAB = 150,2709 g ADD' = 200 - δ - ADC = 115,5621 g Per cui, applicando la formula del trapezio: Valtezza del trapezio si ricava dalla formula inversa dell'area: A'D' = wad 2-2 (cot DAA' + cot ADD') = 228,404 m h = 2 /(AD + A'D') = 8,014 m Per cui le distanze cercate risultano:

AA'= h/sen DAA' = 11,381 m DD' = h/ sen ADD' = 8,259 m Seconda modalità Per calcolare l'area del poligono intrecciato ABCD si devono determinare le coordinate dei vertici della poligonale ABCD. Allo scopo si assume un sistema di assi avente origine in A ed asse delle ordinate diretto lungo AE (v. figura). Gli azimut della poligonale si ricavano con la formula di trasporto: θab = α = 98,8042 g θbc = θ AB + β + 200 = 383,1757 g θcd = θbc + γ - 600 = 98,4822 g Poiché le distanze sono note si possono subito ricavare le coordinate dei vertici: X B = AB senθab = 108,984 m Xc =X B + BC sen θbc = 68,138 m X D = Xc + CD sen θcd = 153,720 m Y B = AB cos θab = 2,047 m Yc = Y B + BC cos θbc = 152,992 m Y D = Yc + CD cos θcd = 155,033 m Dalle coordinate, applicando la formula di Gauss, si può ricavare direttamente l'area del poligono intrecciato. Si noti che se l'area risulterà positiva significherà che l'area del triangolo ABP (numerato in senso antiorario) prevale su quella del triangolo PCR = 1/2 [2,047(0-68,138) + 152,992(108,984-153,720) + 155,033(68,138 - O)] = 1.789,95 m 2 il risultato è positivo, uguale a quello ricavato nelta prima modalità. Ciò sta ad indicare quindi che il lato AD dovrà essere spostato verso il vertice B (si noti come il numero di passaggi risulti inferiore rispetto alla precedente soluzione). Per applicare la formula del trapezio si devono prima determinare la base AD e i due angoli adiacenti; si ha: AD = w (x D 2 + y D 2 ) = 218,323 m A'AD = 200 - θ AD = 200 - arctan (x D /y D ) = 150,2707 g ADD' = 200 - δ - θ DC + θ DA = 115,5625 g e quindi: A'D' = w (AD 2-2 (cotdaa' +cotadd') )= 228,404 m L'altezza del trapezio si ricava dalla formula inversa dell'area: h =2 / (AD+A'D')= 8,014 m

e, procedendo come nel caso precedente: AA' = h/sen DAA' = 11,381 m DD' = h/senadd' = 8,259 m 7. Un appezzamento di terreno di forma quadrilatera ABCD è individuato altimetricamente dalle due falde ABC e ACD. Conoscendo le coordinate e le quote dei vertici: A(O; O; 5,456) B(35,466; - 15,443; 7,554) C(81,466; - 5,455; 5,649) D(12,455; 33,566; 6,876) si determini il volume di terreno necessario per realizzare lo spianamento nei seguenti casi: a) piano orizzontale a quota 5,000 m; b) piano orizzontale a quota 10,000 m. SQLUZlONE Caso a Determiniamo le quote rosse nei vertici per stabilire se si tratta di spianamento di sferro, riporto o misto (vedi figura): r A = 5,000-5,456 = - 0,456 m r B = 5,000-7,554 = - 2,554 m r C = 5,000-5,649 = - 0,649 m r D = 5,000-6,876 = - 1,876 m Dato che tutte le quote rosse sono negative, lo spianamento sarà completamente di sferro. Per calcolare il volume necessario, calcoliamo le aree delle due falde con la formula di Gauss: A(ABC) =1/2 n y i (x i-1 -x i+1 ) = 1/2[y B (-x c ) + y c (x B )] = 532,31 m 2 A(ACD) =1/2 n y i (x i-1 -x i+1 ) = 1/2[y C (-x D ) + y D (x C )] = 1.401,21 m 2

Il volume di sterro risulta quindi (ignorando i segni meno delle quote rosse, tutti negativi): Caso b V st = A(ABC) (r A + r B + r C )/3 + A(ACD) (r A + r C + r D )/3= 649,24 + 1.392,34 = 2.041,58 m 3 In questo caso lo spianamento è di solo riporto, poiché le quote rosse sono tutte positive: r A = 10,000-5,456= 4,544 m r B = 10,000-7,554 = 2,446 m r C = 10,000-5,649 = 4,351 m r D = 10,000-6,876 = 3,124 m Il volume di riporto totale.risulta: Vrip = A(ABC) (r A + r B + r C )/3+ A (ACD) (r A + r C + r D )/3= 2.012,31 +5.613,71 = 7.626,02m 3

ESAME DI STATO PER GEOMETRI - ANNO 1998 La proprietà fondiaria quadrilatera di vertici 1324, per motivi di successione testamentaria, deve essere divisa in due parti equivalenti. I benefici ari decidono di realizzare il frazionamento con una dividente MN parallela al lato U e convengono, altresì, che quella dividente rappresenti l'asse di un canale per uso irriguo, di comune proprietà. Il tecnico preposto all'espletamento dell'incarico professionale decide, indipendentemente dalle coordinate cartografiche planimetriche lette sugli atti catastali, di ridefinire la geometria di quel fondo mediante un opportuno rilevamento, i cui risultati, comprensivi delle quote, conseguenti alle misurazioni e ai relativi calcoli, sono qui riportati. X1= 236,80 m y 1= 172,40 m Q1=201,OO m X2 =576,10 m Y2 =368,40 m Q2 =207,90 m X3 = 616,00 m Y3= 960,10 m Q3=202,80 m X4 = 208,50 m Y4=840,20 m Q4= 191,10 m Le due falde piane 124 e 234 definiscono l'orografia del fondo. L'asse del canale sarà costituito da un'unica livelletta con quota rossa uguale a zero nel punto N, e con pendenza negativa da N verso M. TI valore di essa sarà scelto dal candidato che fisserà anche la larghezza del fondo del canale e le scarpe delle sue sponde. Il candidato, dopo aver determinato le distanze 1M e 2N (M sulla 14, N sulla 23), disegni, per la definizione di quel progetto, la planimetria della proprietà fondiaria e del frazionamento, il profilo longitudinale lungo l'asse del canale e un congruo numero di sezioni trasversali adottando opportunamente le scale di rappresentazione. Determinazione della nuova dividente Per il disegno della planimetria, assumiamo che le coordinate assegnate siano riferite ad un sistema di assi avente l'asse X come asse delle ascisse e l'asse Y come asse delle ordinate, non essendo specificato nel testo che si tratta di coordinate catastali. I Si calcola innanzi tutto l'area A T dell'intero appezzamento 1234, metà della quale dovrà essere assegnata alle due parti i derivate. Poiché si dispone delle coordinate dei vertici, risulta più pratico applicare la formula di Gauss :

A T = ny i (X i-1 - X i+i ) = 234.233m 2 Essendo la nuova dividente parallela al lato 12 si applica il problema del trapezio, calcolando dapprima la lunghezza della base 12 e i due angoli adiacenti: 12 = w (X 2 - X l ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 = 391,84 m α = θ 12 - θ. 14 + 400 gon = 69,3481 gon essendo: β = θ 23 - θ 21 + 400 gon = 137,6345 gon θ 12 = arctan (X 2 ) 1 /(Y 2 ) 1 = 66,6519 gon θ. 14 = arctan (X 4 ) 1 /(Y 4 ) 1 + 400 gon = 397,3037 gon θ 23 = arctan (X 3 ) 2 /(Y 3 ) 2 = 4,2864 gon θ 21 = θ 12 + 200 gon = 266,6519 gon Applicando ora la formula risolutiva del problema del trapezio, si ottiene la lunghezza della nuova dividente: MN = w (1-2) 2-2A T ( cot α + cot β )= 434,03 m Ricavando ora l'altezza del trapezio dalla formula dell'area si possono determinare le distanze richieste dal tema: h = 2A T / (1-2) + MN)=283,62m 1M =h/sen α= 320,00 m 2N = h/sen β= 341,59 m Nella figura 1 è riportata la planimetria della proprietà con indicazione della nuova dividente.

Determinazione della pendenza del canale Calcoliamo dapprima le quote del terreno in corrispondenza dell'asse del canale (punti M ed N), tenuto conto che l'appezzamento di terreno è costituito dalle due falde piane 124 e 234. Si conviene di indicare con Q le quote del terreno e con q quelle di progetto. Q N = Q 2 + 2N (Q 3 -Q 2 )/ 23 =204,96 m Q M = Q 1 + 1M (Q 4 -Q 1 )/ 14 =196,26 m essendo: 23 =w q (X 3 - X 2 ) 2 + (Y 3 - Y 2 ) 2 r = 593,04m 14 =w q (X 4 - X 1 ) 2 + (Y 4 - Y 1 ) 2 r = 668,40m Prima di determinare la pendenza di progetto è necessario calcolare la quota del terreno nel punto P di intersezione della congiungente 24 con l'asse del canale. Si ha: 4P = 4M/ senmp4 = 311,76 m δ1 = θ 41 - θ 42 = 39,4412 gon MP = 4M/ sen (α+δ1) sen δ1= 204,25m Q p = Q 4 +4P (Q 2 -Q 4 )/ (24)= 199,86 m Per la scelta ottimale della pendenza, trattandosi di un canale ad uso irriguo, si dovrebbe utilizzare un valore compreso tra 0,06 e 0,10%, affinché la velocità dell'acqua non risulti troppo elevata, per evitare fenomeni di erosione delle sponde e del fondo. Tale valore risulta però in disaccordo con la pendenza massima della congiungente MN (si noti che si tratta di una spezzata, appartenendo a due falde diverse), che risulta pari rispettivamente a:

tratto NP: (199,86-204,96)/229,79= -2,22% tratto PM: (196,26-199,86)/204,25= -1,76% Le pendenze del terreno sono molto elevate per la realizzazione di un canale ad uso irriguo, tali comunque da richiedere la realizzazione di particolari accorgimenti costruttivi del canale. Continuiamo comunque nello svolgimento dell' esercizio assumendo che il canale in progetto rappresenti il tronco di un canale irriguo avente larghezza del fondo di 2 m, profondità iniziale di 2 m e pendenza uniforme del 2,3% (valore esagerato dal punto di vista idraulico, ma tale da mantenere una profondità minima di 2 m e non ottenere un canale pensile). In tali ipotesi le quote di progetto di fondo del canale risultano: q N = Q N - 2,0 = 202,96 m q M = q N - MN. 0,023 = 192,98 m. q P =q M + MP. 0,023 = 197,68 m Le differenze tra le quote del progetto e quelle del terreno (quote rosse), corrispondenti alla profondità del canale rispetto al piano campagna risultano quindi: r N = 202,96-204,96 = - 2,00 m r M = 192,98-196,26 = - 3,28 m r p = 197,68-199,86 = - 2,18 m Per il disegno delle sezioni trasversali, è necessario determinare la pendenza del terreno perpendicolarmente all'asse del canale. Tale pendenza risulterà diversa a seconda che si considerino le falde piane 124 o 234. Per il calcolo si I mandino

da M e da N le perpendicolari all'asse del canale, fino ad intersecare in R ed S rispettivamente i lati 12 e 34. Si determinano quindi le distanze di tali punti dai vertici 1 e 3. Per il triangolo M1R: 1R = 1M. cos α = 148,19m MR = 1M. Sen α = 283,63 m E per il triangolo SN3: SN3 = β - 100 = 37,6345 gon S3N = θ 34 - θ 32 = 77,4962 gon 3S = 3N/ sen (SN3 + S3N) x sen SN3 = (23-2N)/sen (SN3 + S3N) x sensn3 = 114,20m NS= 3N/sen (SN3 + S3N) x sen S3N = 242,73 m Le quote dei punti R ed S risultano pertanto: Q R = Q 1 + 1R (Q 2 -Q 1 )/ 12= 203,61 m Q S = Q 3 + 3S (Q 4 -Q 3 )/ 34= 198,83 m Le pendenze del terreno perpendicolarmente all'asse del canale p 1 e p 2 risultano quindi, rispettivamente nelle due falde 124 e 234: P 1 = (Q M - Q R )/ MR= -2,59% P 2 = (Q s - Q N )/NS= -2,53% Nelle figure 3, 4 e 5 riportiamo le tre sezioni trasversali ritenute più rappresentative, effettuate rispettivamente in corrispondenza dei punti N, P e M. Si è assunto come riferimento per il tracciamento delle sezioni quello relativo al senso di scorrimento dell'acqua, in modo che la destra della sezione corrisponda alla destra idraulica. Per completare il tracciamento delle sezioni si è ipotizzato che la pendenza del terreno oltre le falde sia costante, in quanto non si hanno dati a disposizione per calcolarla.