Moto oscillatorio INTRODUZIONE Quando la forza che agisce su un corpo è proporzionale al suo spostamento dalla posizione di equilibrio ne risulta un particolare tipo di moto. Se la forza agisce sempre verso la posizione di equilibrio, ne risulta un moto avanti e indietro attorno a questa posizione. Un tale moto è un esempio di ciò che si chiama moto periodico o oscillatorio. Alcuni moti periodici sono molto familiari, come ad esempio le oscillazioni di una massa collegata a una molla, il moto di un pendolo e le vibrazioni di uno strumento musicale a corda. Gran parte di questo capitolo riguarderà il moto armonico semplice. In questo tipo di moto, il corpo oscilla indefinitamente fra due punti dello spazio senza perdita di energia meccanica. Nei sistemi meccanici reali sono sempre presenti forze dissipative (attrito). 207
NOTE 12.1 Moto di una particella collegata a una molla Molti sistemi fisici esibiscono un moto oscillatorio, come per esempio una massa fissata alla estremità di una molla, un pendolo, gli atomi in un solido, strumenti musicali a corda e circuiti elettrici collegati a una sorgente di corrente alternata. Un corpo si muove di moto armonico semplice se la forza esterna risultante agente su di esso è una forza di richiamo lineare; l accelerazione è proporzionale allo spostamento del corpo dalla sua posizione di equilibrio ed è in verso opposto. Il moto armonico semplice di un sistema meccanico corrisponde alle oscillazioni di un corpo fra due posizioni per un tempo infinito, senza alcuna perdita di energia meccanica. 12.2 Rappresentazione matematica di un moto armonico semplice Il valore della costante di fase dipende dalla posizione e dalla velocità iniziale del corpo. La Figura 12.1 mostra il grafico della posizione, della velocità e dell accelerazione in funzione del tempo, assumendo le condizioni iniziali t =0,x i = A e v i = 0. In questo caso, si ha che = 0. Osserva che la velocità è sfasata di 90 rispetto alla posizione, ovvero v è zero quando x ha il suo valore massimo, mentre v ha il suo massimo quando x è zero. Inoltre, l accelerazione è sfasata di 180 rispetto alla posizione, ovvero quando x è un massimo positivo, a è un massimo negativo. In altre parole a è proporzionale a x, ma ha verso opposto. Figura 12.1. (a) Grafico (a) della posizione, (b) della velocità e (c) dell accelerazione in funzione del tempo per un corpo in moto armonico semplice. (b) (c) 208
È necessario definire alcuni termini relativi al moto armonico: L ampiezza, A, è la massima distanza di cui si sposta il corpo dalla sua posizione di equilibrio. In assenza d attrito, un oggetto continuerà a muoversi di moto armonico semplice. Durante ogni ciclo, esso raggiungerà una distanza massima uguale all ampiezza su ciascun lato della posizione di equilibrio. Il periodo, T, è il tempo necessario al corpo per compiere un ciclo completo del moto. La frequenza, f, è il numero di cicli o vibrazioni per secondo. Il sistema blocco-molla mostrato in Figura 12.2 è un tipico sistema con moto armonico semplice. Il blocco si muove su di una superficie orizzontale liscia e il punto x = 0 ne individua la posizione di equilibrio, ovvero la posizione in cui il blocco permane se lasciato indisturbato. In questa posizione non agisce alcuna forza sul blocco. Quando il corpo è spostato ad una distanza x dalla posizione di equilibrio, la molla esibisce una forza di richiamo lineare descritta dalla legge di Hooke, F = kx, dove k è la costante di forza della molla ed ha unità SI di N/m. Il segno meno indica che la forza punta verso sinistra quando lo spostamento x è positivo, mentre punta verso destra quando x è negativo. In altre parole, la direzione della forza F punta sempre verso la posizione di equilibrio. Figura 12.2 Moto oscillatorio di un corpo fissato ad una delle estremità di una molla. 209
12.3 Cosiderazioni energetiche nel moto armonico semplice Dovreste confrontare accuratamente il moto del sistema massa-molla e quello del pendolo semplice. In particolare, notate che quando lo spostamento è massimo, l energia del sistema è totalmente energia potenziale; quando lo spostamento è nullo, l energia è invece interamente energia cinetica. Ciò è coerente con il fatto che v = 0 quando x = A, mentre v = v max quando x = 0. Per un valore arbitrario di x, l energia è la somma di K e U. 12.4 Il pendolo semplice Un pendolo semplice consiste di una massa m fissata ad una delle estremità di una corda di massa trascurabile e lunghezza L, come è mostrato in Figura 12.3. Quando la posizione angolare è piccola durante l intero moto (inferiore a circa 15 ), il pendolo si muove di moto armonico semplice. In questo caso, la forza risultante agente sulla massa m è uguale alla componente del peso tangente alla circonferenza ed ha modulo mg sen. Poiché questa forza è sempre diretta verso = 0, essa corrisponde a una forza di richiamo. Per piccoli valori di, con misurato in radianti, è possibile ricorrere all approssimazione per piccoli angoli, sen. In questa approssimazione, l equazione del moto si riduce all Equazione 12.12, d 2 /dt 2 = g /L. Questa equazione è formalmente identica all Equazione 12.2 per il moto del sistema massa-molla, d 2 x/dt 2 = 2 x, che ammette come soluzione x = A cos( t + ). La corrispondente soluzione dell Equazione 12.12 è = i cos( t + ), dove è data dall Equazione 12.13. Il periodo del moto è dato invece dalla Equazione 12.14. In altre parole, il periodo dipende soltanto dalla lunghezza del pendolo e dalla accelerazione di gravità, non dipende invece dalla massa. Pertanto, possiamo concludere che tutti i pendoli semplici di uguale lunghezza oscillano con la stessa frequenza e con lo stesso periodo. Figura 12.3 210
12.5 Oscillazioni smorzate Le oscillazioni smorzate sono osservate nei sistemi reali nei quali sono presenti forze dissipative come l attrito. Queste forze riducono nel tempo l ampiezza delle oscillazioni, poiché il sistema perde continuamente energia meccanica. Quando si assume che le forze dissipative sono proporzionali alla velocità ma piccole rispetto alla forza di richiamo, il sistema oscillerà con un ampiezza che decresce esponenzialmente nel tempo. È possibile compensare l energia persa da un oscillatore smorzato aggiungendo una forza che svolge lavoro positivo sul sistema. Questa energia addizionale fornita al sistema deve essere almeno uguale all energia perduta per attrito in modo da mantenere costante l ampiezza. L energia trasferita al sistema è massima quando la forza eccitatrice è in fase con la velocità del sistema. L ampiezza è massima quando la frequenza della forza eccitatrice è uguale alla frequenza propria (di risonanza) del sistema. EQUAZIONI E CONCETTI La forza che una molla esercita su una massa ad essa collegata e spostata di un tratto x dalla sua posizione di riposo è data dalla legge di Hooke. La costante elastica, k,è sempre positiva e ha un valore che corrisponde alla rigidità relativa della molla. Il segno meno significa che la forza esercitata sulla massa è sempre diretta in verso opposto allo spostamento la forza è una forza di richiamo, sempre diretta verso la posizione di equilibrio. Un oggetto si muove di moto armonico semplice quando la forza risultante lungo la direzione del moto è proporzionale allo spostamento e in verso opposto. F s = kx (12.1) 211
Applicando la seconda legge di Newton al moto nella direzione x si ha F = ma x = kx. Poiché a x = d 2 x/dt 2, ciò è equivalente all Equazione 12.2. (12.2) La soluzione generale dell Equazione 12.2 rappresenta la dipendenza temporale della posizione x, purché sia 2 = k/m. In questa espressione A rappresenta l ampiezza del moto, t + è la fase, è la pulsazione (rad/s) e è la costante di fase. (12.3) Il periodo del moto, T, è uguale al tempo necessario alla massa per completare una oscillazione, cioè il tempo che la massa impiega per ritornare alla posizione iniziale con velocità uguale a quella iniziale. (12.4) La frequenza del moto, f, è uguale all inverso del periodo e rappresenta il numero di oscillazioni nell unità di tempo. T si misura in secondi, mentre f si misura in s 1 ossia in hertz (Hz). (12.5) La derivata prima di x rispetto al tempo dà la velocità della massa in funzione del tempo. (12.6) (12.7) 212
L accelerazione in funzione del tempo è uguale alla derivata rispetto al tempo della velocità (ossia alla derivata seconda dello spostamento). Notate che l accelerazione (e quindi la forza) è sempre proporzionale allo spostamento cambiato di segno. (12.8) (12.9) L energia cinetica di un oscillatore armonico semplice è data da 1 2 mv2, mentre l energia potenziale è uguale a 1 2 kx 2. Usando le Equazioni 12.3 e 12.6, insieme con 2 = k/m, si ottiene l energia totale E dell oscillatore. Notate che E rimane costante, poiché abbiamo assunto che non vi sono forze non conservative agenti sul sistema. L energia totale dell oscillatore armonico semplice è una costante del moto ed è proporzionale al quadrato dell ampiezza. (12.10) La conservazione dell energia si può usare per ottenere un espressione della velocità in funzione della posizione. (12.11) La velocità di un corpo nel moto armonico semplice è massima per x = 0; la velocità è zero quando il corpo si trova nel punto di massimo spostamento (x =±A). 213
L equazione del moto per il pendolo semplice si basa sull assunzione di piccoli spostamenti angolari di modo che sen. (12.12) Il periodo e la frequenza di un pendolo semplice dipendono soltanto dalla lunghezza del filo di sospensione e dal valore dell accelerazione di gravità. (12.13) (12.14) SUGGERIMENTI, ESPEDIENTI E STRATEGIE La maggior parte di questo capitolo riguarda il moto armonico semplice e le proprietà della espressione della posizione (12.3) Per ottenere la velocità v(t) e l accelerazione a(t) del sistema, si deve avere familiarità tanto con l operazione di derivazione quanto con le funzioni trigonometriche. In particolare, bisogna notare che Usando questi risultati, e x(t) dall Equazione 12.3, si ha: (12.6) e (12.8) 214