Matematica per l economia Dott. Alessia Russo 28-29-30 Settembre 2010 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 1 / 10
Terza lezione Equazioni - Equazioni lineari e sistemi di equazioni lineari - Equazioni non lineari Ottimizzazione - Metodo di sostituzione - Metodo di tangenza Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 2 / 10
Equazione - f (x) = w, con w numero reale Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 3 / 10
Equazione - f (x) = w, con w numero reale - risolvere un equazione signi ca trovare i valori di x tali per cui la relazione f (x) = a sia veri cata (radice di funzione) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 3 / 10
Equazioni lineari - a + bx = m Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 4 / 10
Equazioni lineari - a + bx = m - x = m a b Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 4 / 10
Equazioni lineari - a + bx = m - x = m a b - 2 3x = 0 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 4 / 10
Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite a + bx + cy = m d + ex + fy = n - La soluzione del sistema può essere: de nita, inde nita, insieme vuoto Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 5 / 10
Sistema di equazioni lineari: due equazioni-due incognite a + bx + cy = m d + ex + fy = n - La soluzione del sistema può essere: de nita, inde nita, insieme vuoto - Concetto di surplus Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 5 / 10
Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 6 / 10
Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 6 / 10
Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c - 1 + 2x 3x 2 = 1 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 6 / 10
Equazioni non lineari: quadratiche - a + bx + cx 2 = m - x = bp b 2 4c(a m) 2c - 1 + 2x 3x 2 = 1 x (2 3x) = 0! x (1) = 0, x (2) = 2 3 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 6 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Metodo di sostituzione Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Ottimizzazione vincolata: Funzione obiettivo: y = f (x, z) Funzione vincolo: g(x, z) = 0 - Metodi di risoluzione: Metodo di sostituzione Metodo di tangenza Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 7 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 8 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 8 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) sostuiscila in y = f (x, z) (nell esempio, y = f (x, z (x))) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 8 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di sostituzione: esplicita una variabile da g(x, z) = 0 (ad esempio z(x)) sostuiscila in y = f (x, z) (nell esempio, y = f (x, z (x))) massimizza y rispetto alla variabile rimasta (nell esempio, dy dx ) Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 8 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z, al Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 9 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si - determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = 2 5 u x u z, al Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 9 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = 2 5 - - Risolvendo il sistema lineare (x, z ) z x = 2 5 100 = 2x + 5z u x u z, al otteniamo il livello Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 9 / 10
Ottimizzazione: determinazione analitica - Metodo di tangenza: data la funzione di utilità u(x, z) = x 2 1 z 1 2 e il vincolo di bilancio 100 = 2x + 5z, in cui il prezzo del bene x è p x = 2 mentre il prezzo del bene z e p z = 5, il livello ottimo di beni (x, z ) si determina uguagliando il saggio marginale di sostituzione, rapporto relativo dei prezzi, p x p z. u x u z = z x, p x p z = 2 5 - - Risolvendo il sistema lineare (x, z ) - x = 25, z = 10 z x = 2 5 100 = 2x + 5z u x u z, al otteniamo il livello Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 9 / 10
Esercizi Dott. Alessia Russo () Matematica per l economia 28-29-30 Settembre 2010 10 / 10