TUTOIAL ON DIGITAL MODULATIONS Part a: 2-PSK [2--26] oberto Garello, Politecnico di Torino Free download at: www.tlc.polito.it/garello (personal use only)
2-PSK: : characteristics. Bandpass modulation 2. One-dimensional signal space and antipodal binary constellation (equal to 2-PAM) 3. TX filter p(t)cos(2πf t) 4. Information associated to the carrier phase = Phase Shift Keying. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 2
2-PSK: : constellation SIGNAL SET M = { s ( t) = + α p( t)cos(2 π f t), s ( t) = α p( t)cos(2 π f t) } 2 Information associated to the impulse amplitude BUT we can also write SIGNAL SET M = { s ( t) = + α p( t)cos(2 π f t), s ( t) = + α p( t)cos(2 π f t π ) } 2 Information associated to the carrier phase. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 3
2-PSK: : constellation Versor b (t)=p(t)cos(2πf t) (d=) VECTO SET M = { s = ( + α), s = ( α )} 2 s2 ( α ) = s ( α ) = + b ( t). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 4
2-PSK: : binary labeling (example) e : H M e() = s e() = s 2 / s / s 2 ( α ) ( ) +α b ( t). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 5
2-PSK: : transmitted waveform m = 2 k = = b T = Tb Transmitted waveform + s( t) = a[ n] b ( t nt ) n= where a[ n] { + α, α} b ( t) = p( t)cos(2 π f t). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 6
2-PSK: : transmitted waveform.2 example for p( t) = PT ( t) T f = 2 b α = T..8.6.4.2. -.2 -.4 -.6 -.8 -. -.2 2 3 4 5 6 7 8 t / T 7. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 7
2-PSK: : bandwidth and spectral efficiency Case : p(t) = ideal low pass filter f f Total bandwidth (ideal case) B = = id b Spectral efficiency (ideal case) b η id = = bps / Hz B id. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 8
2-PSK: : bandwidth and spectral efficiency Case 2: p(t) = C filter with roll off α f f ( + α ) ( + α ) Total bandwidth B = ( + α) = b ( + α) Spectral efficiency b η = = B ( + α) bps / Hz. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 9
Exercize Given a bandpass channel with bandwidth B = 4 Hz, centred around f =2 GHz, compute the maximum bit rate b we can transmit over it with a 2- PSK constellation in the two cases: Ideal low pass filter C filter with α=.25. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26]
Exercize Given a baseband channel with available bandwidth B = 4 Hz, from zero frequency to f max =4 Hz, the maximum bit rate b we can transmit over it with a 2-PAM is 8 bps. We can decide to use a 2-PSK with a carrier frequency in the middle of the available bandwidth, i.e., f = 2 Hz. In this case the maximum bit rate we can transmit over the channel is 4 bps. But the BE performance are the same! We have lost half of the bit rate and the reason is that the (ideal in this case) spectral efficiency is instead of 2 (due to the left portion of the spectrum which is now on the positive frequencies).. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26]
B A f B A f b 2B bps 2 PAM a b 2 PSK B bps a BE = BE 2 PAM 2 PSK. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 2
2-PSK: : modulator The transmitted waveform is given by Where Then we must generate b ( t) = p( t)cos(2 π f t) s( t) = a[ n] b ( t nt ) n s( t) = a[ n] p( t nt )cos(2 π f ( t nt )) n. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 3
2-PSK: : modulator In practical, we choose f integer multiple of =/T f = x = x T cos(2 π f ( t nt )) = cos(2π f t 2 π f nt ) = cos(2 π f t) Each symbol time contains an integer number (x) of periods. We can generate s( t) = a[ n] p( t nt ) cos(2 π ft) n. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 4
2-PSK: : modulator ( π ) co s 2 f t e ( ) u = ( u [ n ]) ( a [ n ]) T T p ( t ) n a [ n ] p ( t n T ) s T ( t ) = a [ n ] p ( t nt ) cos 2 f t n ( π ). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 5
2-PSK: : demodulator Given the received signal ρ( t) the received symbol in the n-th interval is obtained by projecting it on p '( t nt ) = p( t nt )cos(2 π f ( t nt )) = p( t nt )cos(2 π f t) This projection could be computed by using a matched filter q( t) = p '( T t) = p( T t)cos(2 π f ( T t)). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 6
2-PSK: : demodulator As an alternative, we can work as follows:. Given the received signal ρ( t) multiply it by cos(2 π f t) 2. Use a filter matched to p(t): q '( t) = p( T t) ρ ( t) ρ'( t) q'( t) y( t) ρ[ n] t + nt cos 2 ( π f t ) = / T. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 7
2-PSK: : demodulator ρ ( t) ρ'( t) q'( t) y( t) ρ[ n] t + nt cos 2 ( π f t ) = / T By sampling the matched filter output waveform we obtain + + y( t) = ρ '( τ ) q '( t τ ) dτ = ρ( τ )cos(2 π f τ ) p( T t + τ ) dτ + y( t = T ) = ρ( τ )cos(2 π f τ ) p( τ ) dτ = ρ[]. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 8
2-PSK: : demodulator r( t) p( t) y( t) ρ [ n] ML s[ n ] u[ n] e( ) CITEION Carrier synchronization t + nt cos 2 ( π f t ) Symbol Synchronization = / T. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 9
2-PSK: : interpretation We generate a baseband signal v( t) = a[ n] p( t nt ) n Multiplication by cosine shifts the spectrum around f s( t) = v( t)cos(2 π f t). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 2
2-PSK: : interpretation At the receiver side, multiplication by cosine generates This signal enters the matched filter q(t)=p(t-t). ( f ) 2 + cos(2π 2 t) s( t)cos(2 π ft) = v( t)cos(2 π ft) cos(2 π ft) = v( t) cos (2 π ft) = v( t) 2 It is a low pass filter: the high frequency component around 2f is eliminated Only the baseband component v( t) = a[ n] p( t nt ) survives The matched filter output is then equal to a[n] when sampled at t n + nt. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 2
2-PSK: : analytic signal The 2-PSK transmitted waveform s( t) = a[ n] p( t nt ) cos(2 π ft) n can be written as 2 j π f t s( t) = e [ s& ( t) ] = e a[ n] p( t nt )e n Where s& ( t) is called the analytic signal associated with s(t). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 22
2-PSK: : Eye diagram 2-PSK constellation with C filter (α=.5). Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 23
2-PSK: : error probability BE = 2 erfc N BE E b.. E-3 E-4 E-5 E-6 E-7 E-8 E-9 E- E- E-2 E-3 EO POBABILITY Eb/N [db]. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 24 BE E-4-2 2 4 6 8 2 4 6 24
Applications Can be used for BASE-BAND MODULATION BAND-PASS MODULATION Not really used (as we will see the 4-PSK has the same performance but spectral efficiency 2: many applications that seems to use 2-PSK are using it as a subset of 4-PSK, like GPS) Typically used only where the bitrate is not really important (example: deep space missions).. Garello. Tutorial on digital modulations - Part a 2-PSK [2--26] 25
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione Problema in ricezione Il circuito di recupero della portante deve ricostruire esattamente cos(2 π f t) Tuttavia, è in grado di farlo a meno di un ambiguità di fase di 8 gradi. Ovvero, con probabilità /2 può essere ricostruita cos(2 π f t) invece della corretta cos(2 π f t) 26
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione Per capire discussione semplificata sul circuito di recupero della portante. Come si può recuperare la portante? Esempio con il seno Dato il segnale ricevuto, lo elevo al quadrato, ottengo una forma d onda di periodo /2f che non dipende più dai simboli modulanti a[n]=±. In questo modo, guardando gli zeri, stimo il periodo della portante: T =/f. a [] = + α a [] = α a [2] = + α 2 3 t f f f 3 2 5 2 f 2 f f f 2 f f T? 3 t 27
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione In questo modo, riesco quindi a calcolarmi esattamente la frequenza f della portante usata in trasmissione. Tuttavia, mi rimane un ambiguità su dove è collocata temporalmente il periodo T della portante. Ci sono infatti le due alternative di figura. a [] = + α a [] = α a [2] = + α 2 3 t f f f 3 2 5 2 f 2 f f f 2 f f? 3 t 28
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione Nel primo caso, stimo esattamente la portante: cos(2 π f t) Nel secondo caso, la stimo con un errore di fase di 8 gradi. Di conseguenza trovo cos(2 π f t) a [] = + α a [] = α a [2] = + α 2 3 t f f f 3 2 5 2 f 2 f f f 2 f f? 3 t 29
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione Problema: ambiguità di fase. In ricezione, quando cerco di capire la fase della portante e non ho dei riferimenti nella sequenza binaria trasmessa, ho 2 possibilità: ho un ambiguità di mezzo periodo cioè di 8 gradi. Supponiamo di scegliere a caso una delle due possibilità. Problema: se sbaglio di 8 gradi, il segnale ricevuto viene moltiplicato per cos(2 π f t) invece che per cos(2 π f t) 3
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione Se il segnale ricevuto viene moltiplicato per cos(2 π f t) Tutti i simboli ricevuti ρ[ n] hanno il segno invertito. tutti i bit ricevuti vengono ricevuti errati (anche senza rumore). Infatti, per come sono fatte le regioni di Voronoi della 2-PSK, la scelta viene fatta in base al segno del simbolo ricevuto. Nota: se un bit ricevuto è errato si può scrivere u [ n] = u [ n] T 3
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione [In generale, il circuito di recupero di sincronismo di portante introduce un ambiguità di fase pari a una simmetria di rotazione della costellazione.] Per risolvere questo problema si può operare in due modi:. inserimento nella sequenza binaria trasmessa di marker, ovvero di stringhe di bit note sia a chi trasmette che a chi riceve. In ricezione, si sceglie a caso la fase della portante, si inizia a demodulare e si cercano i marker: se non si trovano si deduce che la scelta fatta è errata e si cambia la fase della portante. Progettando in modo opportuno la macchina a stati che guida la fase di acquisizione si possono regolare la probabilità di falso aggancio e la durata della procedura. 32
Modulazione 2-PSK: ambiguità di fase in ricezione 2. metodo della codifica differenziale: si modifica la sequenza di informazione prima di trasmetterla. In ricezione, si sceglie a caso la fase della portante, si demodula e si ricavano le sequenze binarie. Si inverte la modifica fatta in trasmissione e si ricavano le vere sequenze di informazione. L operazione complessiva è trasparente ad un eventuale errore nella fase della portante che si può tranquillamente ignorare. 33
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Precodifica differenziale Vera sequenza binaria di informazione da trasmettere u = ( u [ n]) T T Sequenza binaria trasmessa u' = ( u ' [ n]) T T La vera sequenza di informazione da trasmettere u T viene trasformata in una nuova sequenza binaria u T mediante un differential precoder u ' [ n] = u [ n] u ' [ n ] T T T (SOMME MODULO 2: EX-O) 34
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale differential precoder u ' [ n] = u [ n] u ' [ n ] T T T u [ T n ] u ' [ n ] T u ' [ n ] T D 35
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Sul canale viene trasmessa la nuova sequenza u T mediante una 2-PSK. In X si recupera la portante con un algoritmo che può introdurre un ambiguità di fase di 8 gradi. Si sceglie a caso la fase tra le due alternative. Si effettua la demodulazione e si ottiene la sequenza binaria ricevuta u' = ( u ' [ n]) 36
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale sequenza binaria ricevuta u' = ( u ' [ n]) vera sequenza binaria di informazione ricevuta u = ( u [ n ]) Dalla sequenza binaria u viene ricostruita la vera sequenza binaria ricevuta u mediante un differential postcoder, che inverte la trasformazione fatta in trasmissione u [ n] = u ' [ n] u ' [ n ] 37
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale differential postcoder u [ n] = u ' [ n] u ' [ n ] u ' [ n ] u [ ] n D u ' [ n ] 38
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Verifica senza rumore e senza errore di fase: u ' [ n] = u ' [ n] T u [ n] = u ' [ n] u ' [ n ] = u ' [ n] u ' [ n ] = u [ n] u ' [ n ] u ' [ n ] = u [ n] T T T T T T ritrovo la vera sequenza di informazione 39
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Verifica senza rumore, ma con errore di fase di 8 gradi: u ' [ n] = u ' [ n] T u [ n] = u ' [ n] u ' [ n ] = u ' [ n] u ' [ n ] = T T = u ' [ n] u ' [ n ] = u [ n] u ' [ n ] u ' [ n ] = u [ n] T T T T T T Anche in questo caso ritrovo la vera sequenza di informazione. Spiegazione: l errore di fase inverte tutti i bit ricevuti, ma l inversione corrisponde a sommare. Effettuando una codifica differenziale, in ricezione si sommano due bit conscutivi, quindi i due dovuti all inversione di elidono. 4
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Esempio senza rumore e senza errore di fase u T = u ' = s s T T = + + + + + = + + + + + u ' = u ' = (Per convenzione si suppone che all inizio della codifica la cella sia inizializzata a zero) 4
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Esempio senza rumore e con errore di fase di 8 gradi u T = u ' = s s T T = + + + + + = + u ' = u ' =... (Per convenzione si suppone che all inizio della decodifica la cella sia inizializzata a zero) Sbaglio solo il primo bit ( a causa dell inizializzazione della cella). 42
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Quando c è rumore: problema della propagazione degli errori. Se sbaglio un bit sul canale, visto che in ricezione lo uso due volte, mi fa sbagliare due bit di informazione consecutivi. La BE, approssimativamente, raddoppia. In realtà non esattamente perché può avvenire una parziale compensazione degli errori: se sbaglio due bit consecutivi sul canale, il numero di bit di informazione errato è pari a 2 non a quattro. 43
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Esempio con rumore e senza errore di fase u T = u ' = T u ' = u ' = bit errato sul canale 2 bit di informazione errati 44
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Esempio con rumore e senza errore di fase u = T u ' = T u ' = u ' = 2 bit non consecutivi errati sul canale 4 bit di informazione errati 45
Modulazione 2-PSK: codifica differenziale Esempio con rumore e senza errore di fase u = T u ' = T u ' = u ' = 2 bit consecutivi errati sul canale 2 bit di informazione errati 46