NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti. 1 Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di z = i i. Determinare il valore assoluto e il coniugato di az = 1 + i 6 e bw = i 17. Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi: a z 1 = i 5 + i + 1; b z = + i 8. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: a8 b6i c cos π i sinπ 7. 5 Semplificare le seguenti espressioni a 1 + i i 1 + i + i + 1 i 1 + i ; b ii 1 + + i + 1 + i1 + i. 6 Calcolare le radici quadrate del numero z = 1 i. 7 Calcolare le radici terze di z = 8. 1
NUMERI COMPLESSI 8 Dimostrare che non esistono numeri complessi tali che z z = i. 9 Determinare i numeri complessi che soddisfano le seguenti equazioni: az = iz 1 bz z = z c z + i = z. 10 Determinare tutti i numeri complessi z tali che z R. 11 Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni: a Re z1 + i + zz = 0 ; b Re z + i Im z1 + i = ; c Im iz = 1. 1 Determinare a R in modo che il polinomio P z = z z + z + 1 + a ammetta z = i come radice. Inoltre, per tale valore di a scomporre il polinomio P z in fattori irriducibili sia in R che in C.
NUMERI COMPLESSI Esercizi svolti 1 Si ha Risulta quindi Re z = 1 1 z = i i = i i i + + i 8i 1 = = 1 i + 9 1 + i 5 1. e Im z = 5 1. a Scriviamo innanzitutto z in forma trigonometrica: e applichiamo la formula di De Moivre: z = 1 + i 6 = Allora z = 8 e z = 8i. π π 6 = 8 π π = 8i. b Risulta w = i 17 = i i 16 = i i = i 1 = i. Allora w = 1 e w = i. a Osserviamo che i = 1, i = i, i = 1 e i 5 = i. Allora z 1 = i + i + 1 = 1 + i. b Conviene prima esprimere +i in forma trigonometrica. Vale: +i = cos π π, da cui + i 8 = 8 8 π 8 π = 16 8 π π = 16 8. Dato un numero complesso z = a + ib, con a, b R, è noto che z si può anche scrivere in forma trigonometrica come z = ρ θ θ, ove ρ := a + b e θ soddisfa le relazioni cos θ = a ρ e sin θ = b ρ. Osserviamo che θ è determinato dal numero complesso z a meno di multipli di π. a Se z = 8, allora, con le notazioni introdotte sopra, a = 8, b = 0, cos θ = 1 e sin θ = 0. Quindi b 6i = 6 0 + i = 6 cos π π. 8 = 8 0 0. c cos π i sin π 7 si può scrivere come w 7, ove w è già scritto in forma trigonometrica. Allora, applicando la formula di de Moivre si ha z = cos π i sinπ 7 = cos 7π i sin7π = cosπ+π i sinπ+π = cosπ i sinπ.
NUMERI COMPLESSI 5 a Vale 1 + i i 1 + i + i + 1 i 1 + i = 1 + i 1 i 1 + i i 1 + i + i + 1 + i 1 + i 1 i 1 i = i i i + + 1 i i. b Calcoliamo innanzitutto + i Vale Risulta allora = 5i + 1 i = 7i. + i = i = i i = = = i + 6i + i 1 i i i i = i 6i = 8i. ii 1 + + i + 1 + i1 + i = i 8i + = 10i. 6 Ricordiamo che in campo complesso ogni numero z ha n radici n-ime distinte, che costituiscono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza con centro nell origine e di raggio pari a n z. In particolare, se z = ρ θ θ = ρe iθ, allora le radici ennesime di z sono date da n θ + kπ θ + kπ ρ n n = n ρ e θ+kπ n. k = 0, 1,,..., n 1. Per calcolare le radici quadrate del numero z = 1 i, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z = cos 5π 5π. Dalla formula sopra, si ottiene allora z 1 = 5π 5π = cos 5π 8 5π 8 e 5π z = + π 5π + π Un altra possibilità è la seguente. L equazione x + i y = 1 i = cos 1π 8 1π. 8 dà luogo al sistema { x y = 1, xy = 1,
NUMERI COMPLESSI 5 che ammette le soluzioni z = ± 1 i. 1 È facile ora verificare che le due soluzioni ottenute in questo modo coincidono con z 1 e z. 7 Per calcolare le radici quadrate del numero z = 8, scriviamo z in forma trigonometrica, ottenendo: z = 8 π π. Dalla formula ricordata nell esercizio 6, si ottiene allora z 1 = π π π π 8 cos = cos = 1 + i, z = 8 π π = π π =, e z = 5π 5π 5π 5π 8 cos = cos = 1 i. 8 Supponiamo che esista z C soddisfacente l equazione data. Scriviamo tale equazione nella forma z = Re z + iim z + 1. Poichè z R, deve essere Im z = 1. Riscriviamo l equazione come Re z + 1 = Re z, da cui si ricava, elevando al quadrato, 1 = 0. soddisfacente l equazione data. Non esiste quindi alcun numero complesso 9 Nel corso dell esercizio, scriveremo z come a + ib, a, b R. a L equazione z = iz 1 si può scrivere come a ib = ia+ib 1, cioè a ib = b+ia 1. Occorre quindi imporre a = b e b = a 1. Le due equzioni sono incompatibili; non esistono, quindi, soluzioni complesse dell equazione data. b L equazione z z = z si può scrivere come z z z 1 = 0. Le soluzioni sono quindi date da z = 0 e dall insieme dei numeri complessi z tali che z z = z = 1, cioè dai punti della circonferenza unitaria in R. c Eleviamo al quadrato entrambi i membri della equazione z + i = z, ottenendo z + i = a + ib + = a + b +,
6 NUMERI COMPLESSI e z = 9a + b. Occorre quindi risolvere l equazione a + b + = 9a + b, cioè 8a + b = 6b + 9, cioè ancora a + b b = 9 8. Applicando il metodo di completamento del quadrato si osserva che b b = b 8 9 6, per cui l equazione a + b b = 9 8 è equivalente a a + b 8 = 9 6 + 9 8 = 9 8. L equazione data è quindi soddisfatta da tutti i numeri complessi z = a+ib che appartengono alla circonferenza centrata in 0, 8, di raggio 9 8. 10 Sia z = a + ib, a, b R. Allora z R se e solo se a b + iab R, cioè se e solo se ab = 0. Ciò è equivalente al fatto che la parte reale o la parte immaginaria di z siano nulli, quindi z R se e solo se z è un numero reale oppure un numero immaginario puro. 11 Sia z = a + ib, a, b R. a Calcoliamo innanzitutto Re z1 + i. Vale a + ib1 + i = a b + ia + b, da cui Re z 1 + i = a b. L equazione data è allora equivalente a a b + a + b = 0, che si può anche riscrivere, con il metodo di completamento del quadrato, come a + 1 + b 1 = 1. Le soluzioni dell equazione sono allora date dai punti della circonferenza di centro C 1, 1 e raggio. b Risulta z = a b + iab e z1 + i = a ib1 + i = a + b + ia b. L equazione si può quindi riscrivere come da cui a = b e a b =. a b + ia b =, Questo sistema ammette le soluzioni z 1 = 1 + i e z = 1 i, che sono quindi le uniche soluzioni dell equazione di partenza.
NUMERI COMPLESSI 7 c Calcoliamo iz. Risulta ia + ib = a + b + ib a, per cui l equazione data si può scrivere in modo equivalente come b a = 1. Le soluzioni descrivono quindi la retta di equazione x y + 1 = 0 in C. 1 Osserviamo che se z = i, allora z = 1 e z = i, così che P i = i + 1 i + 1 + a = + a. Allora i è radice del polinomio se e solo se a =. Osserviamo ora che il polinomio P z = z z + z 1 è divisibile per z 1, e vale P z = z z + z 1 = z 1z + 1. Il binomio z + 1 ammette due radici complesse z = ±i. Pertanto, per a =, la decomposizione di P è P z = z 1z + 1 in R e P z = z 1z iz + i in C.