Elementi di Analisi Combinatoria Angelica Malaspina Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Università degli Studi della Basilicata, Italy angelica.malaspina@unibas.it
Lo studio dei vari raggruppamenti che si possono fare con un numero finito di oggetti e il modo di calcolare tale numero si chiama calcolo combinatorio. Risulta un problema assai interessante calcolare quanti sono i diversi modi di raggruppare gli oggetti di un insieme. Ad es. quante sigle diverse si possono fare con tre lettere dell alfabeto, in quanti modi diversi si possono abbinare due squadre di un torneo.
Disposizioni Sia A un insieme costituito da un numero finito di elementi pari ad n, si chiama disposizione (semplice di n oggetti di classe k (k n un sottoinsieme di A di k oggetti ordinati presi in modo tale che ogni elemento compaia al massimo una volta. Il modo di scrivere gli oggetti nelle disposizioni è molto importante.
Esempi Le seguenti sono disposizioni di classe 3 dell alfabeto a c m m c a c a m Esse sono disposizioni diverse tra loro, perchè le lettere compaiono in ordine diverso. Le seguenti b q b k sono disposizioni di classe 2 dell alfabeto diverse tra loro per ché hanno un elemento diverso.
Numero di disposizioni semplici Contiamo il numero di disposizioni di 2 lettere su 3 date. Sia A = {a, b, c}. Preso un elemento di A, ad esempio a, possiamo abbinare ad a gli altri due rimanenti di A, cioè b e c, ottenendo a b e a c. Questo ragionamento si fa pure per gli altri due elemnti di A. Quindi in totale il numero di disposizioni di classe 2 di A è pari a 3 2 = 6. Le possibili disposizioni semplici di 2 lettere rispetto ad A sono a b a c b a b c c a c b
Numero di disposizioni semplici Il numero delle disposizioni semplici D n,k di n oggetti presi k alla volta è uguale al prodotto dei primi k numeri naturali decrescenti a partire da n: D n,k = n(n 1(n 2 (n k + 1, k n. (1 Possiamo scegliere il primo elemento tra gli n dati. Il secondo elemento, possiamo sceglierlo tra gli (n 1 rimanenti Se k = 2, allora D n,2 = n(n 1 Se k = 3, allora D n,3 = n(n 1(n 2 Il k-mo elemento si può sciegliere in (n k + 1 modi.
Un caso particolare di disposizioni semplici: le permutazioni Se k = n, le disposizioni semplici di classe n su n oggetti si chiamano permutazioni. Il numero di permutazioni di n oggetti P n si ottiene da (1 ponendo k = n (D n,n = P n, esso é pari al prodotto dei primi n numeri naturali: P n = n(n 1(n 2 2 1 (2
Il fattoriale Si chiama fattoriale di n N e si indica con n! il prodotto dei numeri naturali da 1 a n n! = 1 2... (n 1 n. 0! = 1 1! = 1 (n + 1! = n!(n + 1 Con la notazione introdotta, la (2 si scrive: P n = n! (3
Esempio di permutazione Quanti modi possibili possiamo mettere in sequenza le carte napoletane? 40! = 815.915.283.247.897.734.345.611.269.596.115.894.272.000.000.000 Il numero 40! è formato da 48 cifre
Un altro modo di scrivere, D n,k Tenendo presente la definizione di fattoriale, D n,k si può scrivere nel seguente modo: Infatti D n,k = n! (n k!, k n (4 n! 1 2 (n k (n k + 1 (n 1n = = (n k! 1 2 (n k 1 2 (n k (n k + 1 (n 1n = 1 2 (n k (n k + 1 (n 1n = D n,k
Disposizioni con ripetizioni Una parola dell alfabeto può essere pensata come disposizione delle lettere dell alfabeto. Ad esempio L I B R O è una disposizione di 5 oggetti dell alfabeto. Spesso, però le lettere che compongono una parola sono ripetute. Ad esempio, nella parola le lettere M, A, T sono ripetute. M A T E M A T I C A La parola M A T E M A T I C A rappresenta una disposizione con ripetizione.
Disposizioni con ripetizioni Quante parole, anche prive di senso, si possono scrivere combinando 4 lettere (non necessariamente diverse scelte dalle 21 dell alfabeto latino? Si tratta di contare quante sono le sequenze ordinate, lunghe k = 4, di elementi non necessariamente diversi, presi da un insieme che ne contiene n = 21. La risposta è 21 4 = 194.481. Si chiama disposizione con ripetizione di classe k ogni raggruppamento ordinato di k oggetti fra n dati con la convenzione che ogni oggetto può essere ripetuto. Il loro numero è pari alla potenza k-ma di n: D n,k = nk, k n.
Esercizio sulle disposizioni ordinate con ripetizioni Determinare quanti numeri diversi di tre cifre si possono formare con le cifre {1, 2, 3}. 111, 112, 113,... Si tratta di scrivere le disposizioni con ripetizioi di tre elementi di classe tre, per cui D 3,3 = 3 3 = 27
Esempio di disposizione con ripetizioni:il lancio di due dadi Supponiamo di lanciare due dadi distinti, uno rosso e uno blu. Indichiamo con D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} l insieme che rappresenta tutti i possibili risultati del lancio di un dado. Indichiamo con D 2 l insieme che rappresenta i possibili risultati del lancio simultaneo dei due dadi. Gli elementi di D 2 sono D 2 = (1, 1 (1, 2 (1, 3 (1, 4 (1, 5 (1, 6 (2, 1 (2, 2 (2, 3 (2, 4 (2, 5 (2, 6 (3, 1 (3, 2 (3, 3 (3, 4 (3, 5 (3, 6 (4, 1 (4, 2 (4, 3 (4, 4 (4, 5 (4, 6 (5, 1 (5, 2 (5, 3 (5, 4 (5, 5 (5, 6 (6, 1 (6, 2 (6, 3 (6, 4 (6, 5 (6, 6 Si noti che la coppia (2, 3 è distinta dalla coppia (3, 2, infatti nel primo caso il 2 esce nel lancio del dado rosso, nel secondo esce nel lancio del dado blu. D 6,2 = 6 2 = 36
Permutazioni con ripetizioni La parola ORO contiene due lettere uguali. Il numero di anagrammi con tre lettere è pari a P 3 = 3! = 6. Nel caso della parola ORO i possibili anagrammi distinti sono soltanto: ORO, ROO, OOR, cioè sono 3 = P 3 /2 e non P 3 = 6. In generale, volendo calcolare le permutazioni di n oggetti in cui ve ne siano r identici fra loro, si ottiene un numero di permutazioni dato da P n = P n r! = n! r!. (5
Disposizioni senza ordine: combinazioni semplici Si chiama combinazione semplice ogni scelta, indipendente dall ordine, di k elementi in un insieme di n elementi. Il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k si indica con C n,k.
Esempio di disposizioni senza ordine (combinazioni Dobbiamo selezionare 3 candidati su 8. Tutti risultano validi ma possiamo sceglierne solo 3. Quante possibili scelte abbiamo sapendo che non è importante l ordine con cui scegliamo, ma solo chi scegliamo? Se scegliessimo le k = 3 persone dando importanza all ordine, avremmo costruito una disposizione semplice, ovvero avremmo 8! (8 3! = 336 possibili scelte. Visto che non siamo interessati all ordine, per ogni terna di persone ce ne saranno altre 5 ad essa equivalenti (perchè 6 = 3! sono le permutazioni possibili di 3 elementi. Allora il numero di combinazioni possibili è dato da e visto che 6 = 3! sono le permutazioni possibili di 3, il numero delle combinazioni possibili è dato da 336 6 = 56
C n,k Dobbiamo scegliere k oggetti da un insieme di n. Ad ogni combinazione corrispondono k! disposizioni semplici diverse, perchè per costruire una disposizione semplice dobbiamo ordinare i k elementi scelti, e questo possiamo farlo in k! modi. Dunque il numero di combinazioni è uguale al numero di disposizioni semplici diviso per k!. Il numero di combinazioni di n oggetti in gruppi di k è C n,k = D n,k n(n 1... (n k + 1 = P k k! (6 Tendendo presente la (4, (6 si scrive C n,k = n! k!(n k! (7
Il coefficiente binomiale Il numero ( n k = n! k!(n k! si chiama coefficiente binomiale e si legge n su k. (8 Quindi il numero di combinazioni semplici di n oggetti in gruppi di k è pari al coefficiente binomiale n su k: ( n C n,k = k
Esempio In una fase di un torneo sportivo, 4 squadre si devono incontrare, l una contro l altra. Quante partite verranno giocate? ( 4 2 = 4! 2!2! = 6
Calcolo del coefficiente binomiale Né il calcolo del fattoriale né quello del coefficiente binomiale sono in genere presenti nelle calcolatrici. Uno dei motivi è che il fattoriale (anche di numeri piccoli è un numero molto grande. Vediamo come si può procedere con carta e penna a calcolare alcuni coefficienti binomiali. Per calcolare il coefficiente binomiale è più agevole utilizzare la seguente espressione che si ricava immediamtamente dalla (8 ( n k = n (n 1... (n k + 1 k!
Calcolo di coefficienti binomiali ( 5 3 ( 4 2 = 5 4 3 3! = 4 3 2! = 5 4 3 3 = 6 = 5 2 = 10 ( 12 7 = 12 11 10 9 8 7 6 7! = 12 11 10 9 8 7 6 7 6 5 4 3 2 = 11 9 8 = 792
Identità ( n 0 = ( n n = 1 ( n 1 ( n 1 k 1 = ( n n k ( n n 1 = ( n 1 + k ( n k = n = ( n k ( 12 7 = ( 12 5 = 792
Coefficienti binomiali e binomio di Newton La potenza n-ma del binomio (x + y n = (x + y(x + y (x + y si ottiene moltiplicando ogni fattore del binomio per tutti gli altri (compreso se stesso in tutti i modi possibili. n = 3 (x + y 3 = (x + y(x + y(x + y = xxx + xxy + xyx + xyy+ yxx + yxy + yyx + yyy = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Coefficienti binomiali e binomio di Newton x n compare una sola volta n qualsiasi x n 1 y compare n volte: dobbiamo scegliere y in uno degli n fattori e x in tutti gli altri ( n x n 2 y 2 compare volte volte perchè dobbiamo contare in 2 quanti modi possiamo scegliere 2 volte y tra gli n fattori ( n In generale, x n k y k compare volte volte perchè scegliamo k k volte y e n k volte x
Binomio di Newton Osservando che ( n 0 = 1 e ( ( ( n x n n + x n 1 n y+ 0 1 2 = ( n 1 = n (x + y n = x n 2 y 2 +...+ n k=0 ( n k ( ( n xy n 1 n + y n n 1 n x n k y k. (9
Triangolo di Tartaglia 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1............ Permette di determinare i coeffcienti binomiali, ovvero i coefficienti dello sviluppo del binomio (x + y n. Ogni numero (tranne l 1 al vertice è la somma dei due sovrastanti.
Triangolo di Tartaglia: somma delle righe La somma della n-ma riga è 2 n 1 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 + 1 = 4 1 + 3 + 3 + 1 = 8 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 Per x = 1 = y, dalla (9 si ottiene un importante identità 2 n = n k=0 ( n k. (10
Triangolo di Tartaglia: somma delle righe La somma della n-ma riga è 2 n 1 = 1 1 + 1 = 2 1 + 2 + 1 = 4 1 + 3 + 3 + 1 = 8 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 Per x = 1 = y, dalla (9 si ottiene un importante identità 2 n = n k=0 ( n k. (10
Triangolo di Tartaglia: differenza nelle righe La somma dei numeri in posto dispari meno la somma dei numeri in posto pari è 0. 1 1-1 = 0 1-2 + 1 = 0 1-3 + 3-1 = 0 1-4 + 6-4 + 1 = 0 1-5 + 10-10 + 5-1 = 0 Prendendo x = 1 e y = 1 nella (9 si ottiene la somma pari a zero.
Triangolo di Tartaglia: differenza nelle righe La somma dei numeri in posto dispari meno la somma dei numeri in posto pari è 0. 1 1-1 = 0 1-2 + 1 = 0 1-3 + 3-1 = 0 1-4 + 6-4 + 1 = 0 1-5 + 10-10 + 5-1 = 0 Prendendo x = 1 e y = 1 nella (9 si ottiene la somma pari a zero.
Triangolo di Tartaglia: potenze di 11 Le cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente 1 1 = 11 0 1 1 11 = 11 1 1 2 1 121 = 11 2 1 3 3 1 1331 = 11 3 1 4 6 4 1 14641 = 11 4 1 5 10 10 5 1 15101051 = 11 5 Basta prendere x = 10 e y = 1 nella (9.
Triangolo di Tartaglia: potenze di 11 Le cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente 1 1 = 11 0 1 1 11 = 11 1 1 2 1 121 = 11 2 1 3 3 1 1331 = 11 3 1 4 6 4 1 14641 = 11 4 1 5 10 10 5 1 15101051 = 11 5 Basta prendere x = 10 e y = 1 nella (9.
Sushruta Samhita Che conto è stato fatto nel Sushruta Samhita (trattato medico indiano, VI sec. a.c. per dire che con i 6 gusti fondamentali si possono ottenere 63 sensazioni differenti? L insieme dei 6 gusti fondamentali G = {amaro, aspro, salato, dolce, piccante, astringente}
Sushruta Samhita ( 6 Combinazioni di 6 gusti = 1 (tutto l insieme G 6 ( 6 Combinazioni di 5 gusti: 5 ( 6 Combinazioni di 4 gusti: 4 ( 6 Combinazioni di 3 gusti: 3 ( 6 Combinazioni di 2 gusti: 2 ( 6 Combinazioni di 1 gusti: = 6 1 ( 6 Combinazioni di 0 gusti: = 1 (insieme vuoto 0
Sushruta Samhita Sommando tutti i contributi si ottiene la formula (10 nel caso n = 6 ( ( ( ( ( ( ( 6 6 6 6 6 6 6 + + + + + + = 6 5 4 3 2 1 0 6 ( 6 = = 2 6 = 64 k k=0 La risposta nel Sushruta Samhita è 63 perchè la sensazione nulla non è stata presa in considerazione dagli antichi indiani. In termini insiemistici abbiamo contato tutti i possibili sottoinsiemi dell insieme G. Tale calcolo si generalizza al caso di n elementi. Il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi è 2 n.