M A R I O G A R G I U L O LE FUNZIONI EONOMIHE APPLIAZIONE DELL ANALISI MATEMATIA
FUNZIONI EONOMIHE L economia è lo studio di come imiegare, con maggior convenienza, il denaro di cui si disone er raggiungere determinati fini. Per descrivere ciò si fa ricorso alle leggi economiche, basate sulle funzioni economiche. Lo scoo ultimo, uindi, è osservabile fondamentalmente sotto due asetti: ottenere il massimo utile a arità di costi; sostenere il minimo costo a arità di utile. Le rinciali funzioni economiche sono: la funzione di domanda; la funzione di vendita; la funzione di ricavo; la funzione di costo. Dobbiamo semre distinguere, oi, tra due tii di mercato: concorrenza erfetta: caratterizzato dalla resenza di molti oeratori, che singolarmente, con il loro oerare, non riescono ad influenzare il rezzo di mercato e/o la uantità di euilibrio; monoolio erfetto: caratterizzato dalla resenza di un solo oeratore che decide ed imone il rezzo di mercato e la uantità di euilibrio. Esistono, oi, numerosi tii di mercati intermedi a uelli indicati, che si sostano su un asse immaginario tra la concorrenza erfetta ed il monoolio erfetto, come la concorrenza monoolistica e l oligoolio. 2
FUNZIONE DI DOMANDA La domanda è l atto con cui un individuo fa richiesta di un bene dietro corresonsione di un corrisettivo in denaro. Le variabili che influenzano la domanda sono: il rezzo del bene; il reddito disonibile; i rezzi degli altri beni; i fattori sicologici che influenzano la scelta. La funzione di domanda è una funzione matematica che ci siega come, al variare del rezzo, varia la uantità domandata del bene. Quindi, diremo che = f (). Le funzioni iù comuni sono: funzione lineare: esressa da = a b dove a e b sono due variabili ositive. a a/b funzione uadratica: esressa da = a b² dove a e b sono due variabili ositive. a (a/b) ½ funzione ierbolica: a esressa da = b dove a, b e c sono tre + c variabili ositive. a/c -b a/b -c 3
funzione esonenziale: esressa da = a e -b dove a e b sono due variabili ositive. a Si uò facilmente verificare, comunue, che la uantità domandata di un bene è funzione inversa del rezzo dello stesso bene, uindi la funzione di domanda è decrescente. 4
FUNZIONE DI VENDITA La funzione di vendita indica il rezzo in funzione della uantità. Sono due i tii rinciali di funzione di domanda: funzione lineare: esressa da = a b dove a e b sono due variabili ositive. a a/b funzione ierbole: esressa da ositiva. a = dove a è una variabile a a/b La iù imortante e nota è la funzione lineare, comunemente nota come curva di domanda. 5
FUNZIONE DI RIAVO Il ricavo totale di un imresa è la somma del rodotto tra il rezzo e la uantità venduta di ogni bene. Per facilità di calcolo e di raresentazione grafica, standardizziamo il modello economico ad un imresa che roduce e vende un solo bene. i troviamo di fronte ad una funzione raresentabile su di un diagramma cartesiano, diversa a seconda che il mercato è: concorrenza erfetta: R esressa da R =. monoolio: R esressa dalla stessa funzione della concorrenza erfetta, dove erò = a b dove a e b sono due variabili ositive. 6
FUNZIONE DI OSTO La teoria economica classifica i costi in costi di breve eriodo e costi di lungo eriodo. La classificazione è basata sulla ossibilità di variare tutti i fattori della roduzione, ed abbiamo i costi di lungo eriodo, o meno, ed abbiamo i costi di breve eriodo. Esistono altre tiologie di costi, cioè: costi fissi: costi che non variano al variare dell outut; costi variabili: costi che variano al variare dell outut; costo medio fisso: costi fissi er unità di outut; costo medio variabile: costi variabili er unità di outut; costo totale: somma dei costi fissi e dei costi variabili; costo medio totale: somma dei costi medi fissi e dei costi medi variabili. Dato il costo totale, abbiamo i seguenti altri costi: mf mv m f v ( ) f = + v( ) = f v( ) + = mf + mv 7
LA TEORIA DEI OSTI NEL BREVE PERIODO Nel breve eriodo troviamo tutte le configurazioni di costo analizzate sora, con le seguenti caratteristiche: costi fissi: costanti risetto alla roduzione. costi variabili: variano al variare della roduzione. costo medio variabile: raresenta l inclinazione della funzione di costo variabile. costi medio fisso: costi medio totale: Il unto di minimo della funzione dei costi totali medi raresenta il unto in cui la roduzione è ottimale, ci indica cioè la uantità da rodurre al minor costo sostenibile, dati i vincoli ed i costi di roduzione. 8
IL OSTO MARGINALE Il costo marginale è il costo da sostenere er la roduzione di un unità aggiuntiva di outut. La funzione del costo marginale ci aiuta a uantificare le variazioni del costo marginale al variare dell outut. Il costo marginale, in termini matematici, è la derivata rima della funzione di costo totale, uindi: d( ) ' ( ) = d da cui deriva: d( ) df dv( ) dv( ) '( ) = = + = = ' v( ) d d d d Il costo marginale è dunue la derivata rima del costo variabile. Graficamente la funzione di costo marginale è raresentata da: m Nel unto di intersezione della funzione del costo marginale con la funzione del costo medio, si ha il unto di minimo della curva del costo medio, cioè le coordinate ottimali di roduzione uantità e costi. 9
RIAVO MARGINALE E RIAVO MEDIO Il ricavo totale è dato dal rodotto tra la uantità venduta ed il rezzo di vendita. Abbiamo visto che la formula del ricavo è R =. Il ricavo medio è il ricavo er unità di outut venduto, che, in base al tio di mercato in cui l imresa oera, corrisonde: concorrenza erfetta R( ) = = monoolio R( ) ( ) = = ( ) = a b ome si vede il ricavo medio è uguale al rezzo di vendita, sia nel mercato in concorrenza erfetta che nel mercato monoolistico. Il ricavo marginale è il ricavo ottenuto dalla vendita di un unità addizionale di outut. In concorrenza erfetta abbiamo: dr( ) d R '( ) = = = d d Il ricavo marginale, in concorrenza erfetta, è uguale al ricavo medio. In un mercato monoolistico abbiamo: 2 dr( ) d( a b) da b R'( ) = = = = a 2b d d d che corrisonde al ricavo medio in monoolio, ma con inclinazione doia. Graficamente: Rm = R R Rm concorrenza monoolio 10
MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO La massimizzazione del rofitto imone due alternative er il calcolo rima del rofitto e successivamente, in termini matematici o grafici, il calcolo del unto in cui il rofitto è il massimo. Il rofitto si determina come differenza tra il ricavo totale ed il costo totale. Graficamente abbiamo due metodi: differenza tra il ricavo totale ed il costo totale; unto di intersezione tra la curva del ricavo marginale e la curva del costo marginale. In concorrenza erfetta, analiticamente, er massimizzare la differenza tra il ricavo totale ed il costo totale bisogna determinare il unto di massimo della funzione del rofitto, cioè la derivata rima della funzione di rofitto π = R, e orlo uguale a 0: π ' = R' ' = 0 e uindi R ' = ' = Per massimizzare il rofitto la roduzione deve essere tale che il costo marginale sia uguale al rezzo. Questo assaggio ci riorta al secondo unto, cioè l intersezione tra la curva del ricavo marginale, il rezzo, e la curva del costo marginale. m R = Anche in regime di monoolio abbiamo l uguaglianza tra costo marginale e ricavo marginale, ma in uesto caso dobbiamo tener resente delle due funzioni di costo. Abbiamo uindi il sistema formato da R = a b² e da = c + d. La soluzione sarà: a d π ' = R' ' = a 2b d da cui deriva che π = 0 se =. 2b 11
ELASTIITÀ DELLA DOMANDA L elasticità di una funzione f in un unto x la uantità: x ε = y ' = y dy dx ed esrime il limite degli incrementi di y e della variabile x. x y L elasticità, nella teoria economica, ci aiuta a determinare l elasticità del mercato in base al rezzo. Tale valore ci guida su come varia la uantità venduta al variare del rezzo. L elasticità della domanda sarà, uindi: d d / ε = = d d / che er valori assoluti assume i seguenti significati: ε < 1 ε = 1 ε > 1 domanda inelastica domanda unitaria domanda elastica La domanda è elastica se ad una variazione del rezzo segue una variazione dello stesso segno della uantità domandata. La domanda inelastica, invece, è caratterizzata da un comortamento del mercato in senso oosto alla variazione del rezzo. La domanda è unitaria se la variazione del rezzo e della uantità hanno lo stesso segno e lo stesso raorto costante. 12
DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO L offerta è la uantità di merce osta sul mercato dai roduttori. Essa è funzione crescente del rezzo, nel senso che all aumentare del rezzo aumenta la uantità di outut osto sul mercato. La domanda è la uantità di merce richiesta dal mercato dai consumatori. Essa è funzione decrescente, nel senso che all aumentare del rezzo diminuisce la uantità di merce richiesta dai consumatori. Dall euilibrio tra i due mercati abbiamo il unto di euilibrio, che definisce la uantità ed il rezzo di euilibrio tra domanda ed offerta. All aumentare del rezzo i roduttori tenderanno a offrire iù outut ed i consumatori a domandare iù merce. I roduttori allora tenderanno ad offrire uantità decrescenti di outut fino a trovare la uantità domandata dai consumatori. In uesto unto d incrocio si torna al unto d euilibrio. Analiticamente la uantità domandata = a b e la uantità offerta s = - c + d. Il unto di euilibrio sarà il unto in cui = s, cioè a b = c + d da cui deriva ( b d) = a + c e da cui si ottiene il rezzo e la uantità di euilibrio: a + c = e = a b b d 13
INDIE FUNZIONI EONOMIHE...2 FUNZIONE DI DOMANDA...3 FUNZIONE DI VENDITA...5 FUNZIONE DI RIAVO...6 FUNZIONE DI OSTO...7 LA TEORIA DEI OSTI NEL BREVE PERIODO...8 IL OSTO MARGINALE...9 RIAVO MARGINALE E RIAVO MEDIO...10 MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO...11 ELASTIITÀ DELLA DOMANDA...12 DOMANDA, OFFERTA ED EQUILIBRIO...13 INDIE...14 14