Calcolo combinatorio Matematica e Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica e Informatica Corso di Laurea Magistrale in CTF - A.A. 2014/2015 Docente: Filippo Bighi, bghfpp@unife.it Capitolo 1: Probabilità 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica. Determinare quante scelte differenti può effettuare. [40] 2. Determinare in quanti modi diversi si può chiudere un campionato di calcio al quale partecipano 12 squadre. [479001600] 3. Determinare in quanti modi si possono disporre su un tavolo 15 dischetti, sapendo che di essi 7 sono rossi, 5 sono neri e 3 sono bianchi. [360360] 4. In un ipotetico parlamento sono presenti 12 diversi partiti politici. Determinare quanti sono i possibili governi formati da 7 partiti e quanti da 5 partiti. [792] 5. Un urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Determina quanti numeri differenti si possono ottenere estraendo 3 palline dall urna e leggendo nell ordine le 3 cifre. [60] 6. Quanti numeri naturali di 4 cifre tutte distinte si posono costruire? [4536] 7. Un gruppo di amiche è composto da 10 donne, ognuna delle quali ha 3 figli. Si vuole eleggere una coppia mamma-figlio come mamma e bimbo dell anno. Quante sono le possibili scelte? [30] 8. Un matematico ordinato deve sistemare 10 libri in uno scaffale: 4 di analisi, 3 di geometria, 2 di analisi numerica ed 1 di algebra. Egli vuole mettere vicini tra loro i libri dello stesso argomento. In quanti modi può farlo? [6912] 9. In quanti modi posso mettere 9 bambini in fila indiana? [362880] 10. Un corso di probabilità è seguito da 10 studenti: 6 ragazze e 4 ragazzi. Dopo l esame viene stilata una graduatoria, dal voto più alto al più basso. Tutti gli studenti hanno ottenuto un voto diverso. (a) Quante sono le classifiche possibili? [3628800] (b) Se uomini e donne compaiono in liste separate, quante sono le classifiche possibili? [17280] 11. In quanti modi posso distribuire 4 libri diversi a 7 bambini? [2401] Equiprobabilità 1. Nel gettare 1 dado non truccato, si calcoli la probabilità di ottenere: (a) un numero pari [1/2] (b) un numero primo [1/2] (c) un numero maggiore di 4. [1/3] 2. Si gettano 2 dadi non truccati. Siano: A l evento di ottenere 7 come somma delle due facce uscite, B l evento di ottenere 2 numeri uguali e C l evento di ottenere due 3. Calcolare P (A), P (Ω \ A) e P (B \ C). [ 16, 67%, 83, 33%, 13, 89%] 1
3. Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure una figura da un mazzo di 40 carte non truccate? Qual è invece la probabilità di non estrarre una figura? [40%, 70%] 4. Un urna contiene 3 palline gialle e 8 palline rosse tutte uguali. Si effettuano 2 estrazioni successive senza reimbussolamento. Qual è la probabilità che la seconda pallina sia rossa? Qual è la probabilità di estrarre due palline gialle? [8/11, 3/55] 5. Un comitato universitario è composto da 3 studenti, 4 ricercatori, 5 professori, 2 amministrativi. Si sceglie a caso un sottocomitato di 4 persone. Qual è la probabilità che il sottocomitato contenga un rappresentante di ogni categoria? [ 0, 12] 6. Otto rematori si dispongono a caso su una canoa con otto posti. Qual è la probabilità che i due rematori più forti occupino il primo e l ultimo posto? [1/28] 7. Un gruppo di n 3 persone si dispone a caso attorno ad un tavolo rotondo. Qual è la probabilità che due prefissate persone si ritrovino sedute accanto? [2/(n 1)] 8. Supponiamo che le 18 squadre del campionato di calcio di serie A siano tutte della stessa forza. (a) Qual è la probabilità che arrivino ai primi posti, nell ordine, le stesse 3 squadre dell anno precedente? [ 0, 02%] (b) Qual è la probabilità che vengano retrocesse le 3 squadre appena promosse? [ 0, 12%] 9. Ci sono 4 urne numerate, e 7 palline numerate da collocare a caso nelle urne. (a) Qual è la probabilità di mettere tutte le palline nella terza urna? [ 6, 1 10 5 ] (b) Qual è la probabilità di mettere 3 palline nella prima urna, nessuna nella seconda, 2 nella terza e 2 nella quarta? [ 0, 013] (c) Qual è la probabilità che si abbia un urna con 5 palline ed una con 2? [ 0, 015] 10. Quattro ragazzi e quattro ragazze partecipano ad una caccia al tesoro a coppie. In quanti modi diversi si può formare la quaterna di coppie se: (a) ogni coppia è formata da un ragazzo e una ragazza? [24] (b) ogni coppia è formata da persone dello stesso sesso? [9] (c) ogni coppia è formata in maniera del tutto casuale? [840] 11. In una foresta vivono 20 cervi. In una battuta di caccia vengono catturati e marchiati 5 di essi, che poi vengono rimessi in libertà. Dopo qualche tempo, ad una seconda battuta di caccia, 4 dei 20 cervi vengono catturati. Supponiamo che ogni cervo abbia la stessa probabilità di essere catturato e che tale probabilità non dipenda da quante volte è già stato catturato in passato. Qual è la probabilità che 2 dei 4 cervi catturati durante la seconda battuta di caccia siano marchiati? [ 0, 22] 12. Nel 1976, in Florida, una donna accusò i titolari della ditta per cui lavorava di averla discriminata ingiustamente nella sua carriera in base al sesso. Al processo i giudici le diedero ragione; la commissione era composta da 5 donne e 3 uomini: le donne votarono a favore dell accusatrice, gli uomini contro. I datori di lavoro fecero ricorso, sostenendo che l esito del processo era dovuto esclusivamente alla composizione della commissione. (a) Supponiamo che 5 voti a favore e 3 voti contrari siano casualmente ripartiti tra gli 8 giudici. Qual è la probabilità che i voti si suddividano come è avvenuto, ossia i 5 favorevoli alle 5 donne ed i 3 contrari ai 3 uomini? [ 1, 79%] (b) Il ricorso era motivato? (c) E se i 5 voti a favore della signora fossero stati dati da 4 donne ed un uomo, il ricorso sarebbe stato motivato? 2
Condizionamento e indipendenza 1. Sia Ω = {n N 1 n 240}. Consideriamo i seguenti eventi: A : il numero estratto è un multiplo di 3 ; B : il numero estratto è un multiplo di 4 ; C : il numero estratto è un multiplo di 6. Gli eventi A e B sono indipendenti? Gli eventi B e C sono indipendenti? Motivare le risposte. 2. Calcoliamo la probabilità che una famiglia con due figli abbia: (a) un maschio e una femmina; [1/2] (b) un maschio e una femmina, sapendo che uno dei due figli è un maschio; [2/3] (c) un maschio e una femmina, sapendo che il primogenito è un maschio. [1/2] Per semplificare l esercizio si consideri lo spazio campione equiprobabile. 3. Una scatola contiene 10 palline, 6 verdi (V ) e 4 bianche (B) tali che: 4 palline verdi sono lisce e le altre 2 verdi sono ruvide (R); 1 pallina bianca è liscia e le altre 3 bianche sono ruvide (R). Supposto lo spazio campione Ω equiprobabile ed estratta a caso una pallina, calcolare P (B), P (V ), P (R), P (V R), P (B R), P (B R). [40%, 60%, 50%, 20%, 30%, 60%] 4. Si effettuano 2 estrazioni successive da un mazzo di 40 carte non truccate senza reintrodurre la prima carta estratta nel mazzo. Calcolare la probabilità di estrarre una figura come seconda carta, sapendo che la prima carta estratta è un asso. [12/39] 5. Si effettuano 2 estrazioni successive da un mazzo di 40 carte non truccate senza reintrodurre la prima carta estratta nel mazzo. Calcolare la probabilità di estrarre una carta di coppe come seconda, sapendo che la prima carta estratta è un re. [1/4] 6. Si lanciano due dadi non truccati. Calcolare la probabilità che escano due 6 e la probabilità che escano due numeri pari. Suggerimento: nel lancio di due dadi non truccati, gli esiti del primo e del secondo dado sono eventi indipendenti! 7. Un sacchetto contiene 8 palline rosse (R) e 5 palline gialle (G). Si effettuano 3 estrazioni successive senza reimbussolamento. Qual è la probabilità che la prima e la terza pallina estratta siano entrambe rosse? Qual è la probabilità che tutte le tre palline estratte siano rosse? [ 0, 359; 0, 196]. 8. Si effettuano 3 estrazioni successive da un urna contenente 10 palline, di cui 3 bianche (B) e 7 nere (N). Quali sono le probabilità di estrarre 0, 1, 2, 3 palline bianche nel caso in cui le estrazioni avvengano: (a) con reimbussolamento [0,343; 0,441; 0,189; 0,027] [ ] 7 (b) senza reimbussolamento. 24 ; 21 40 ; 7 40 ; 1 120 9. Un urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. (a) Dall urna vengono estratti, senza reimbussolamento, due numeri. Qual è la probabilità che i due numeri estratti siano consecutivi? [1/3] (b) Dall urna vengono estratti, con reimbussolamento, due numeri. Qual è la probabilità che i due numeri estratti siano consecutivi? [5/18] 3
10. Una scatola cilindrica contiene 13 cioccolatini distinguibili solo dal colore dell involucro: 5 sono al latte e 8 di cioccolato fondente. Anna, Bruno e Carlo nell ordine pescano un cioccolatino a caso dalla scatola. Ad Anna e Carlo piace solo il cioccolato al latte, a Bruno solo quello fondente. (a) Qual è la probabilità che tutti e 3 siano soddisfatti del cioccolatino ottenuto? [0.093] (b) Qual è la probabilità che almeno uno di loro sia soddisfatto? [0.837] 11. Ci sono 3 scatole identiche: la prima contiene 2 monete da 50 centesimi, la seconda contiene una moneta da 50 centesimi ed una da 1 euro, la terza contiene 2 monete da 1 euro. Le 3 scatole vengono mescolate, poi se ne sceglie una a caso e da essa si estrae una moneta. La moneta estratta è da 50 centesimi. Qual è la probabilità che si tratti della prima scatola? [2/3] 12. Una compagnia di assicurazioni suddivide le persone in 2 classi: P : propense agli incidenti ; (il 30% della popolazione) N : non propense agli incidenti ; (il rimanente 70%) Le statistiche dell assicurazione mostrano che la probabilità di aver un incidente in un anno vale 0.4 per gli individui di classe P, mentre vale 0.2 per quelli di classe N. (a) Qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dall acquisto della polizza? [0.26] (b) Qual è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente nel secondo anno di rinnovo dell assicurazione, sapendo che ha già avuto un incidente nel primo anno? [0.29] ESERCIZI RIEPILOGATIVI STILE ESAME Esercizio 1. Tre commissioni d esame bocciano in media con la seguente frequenza: la prima il 20% degli studenti, la seconda il 40% degli studenti, la terza il 65% degli studenti. Sapendo che uno studente è stato bocciato (B), qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla terza commissione? Sapendo che uno studente è stato promosso (P ), qual è la probabilità che sia stato esaminato dalla terza commissione? [52%, 20%] Esercizio 2. Un indagine medica ha stabilito che l 1% della popolazione è portatrice di una malattia. Si sa che un esame del sangue ha una precisione dell 85% nello stabilire la presenza o l assenza della malattia: se una persona è portatrice della malattia la probabilità che il test sia positivo è 0, 85, oppure se una persona non è portatrice della malattia la probabilità che il test sia negativo è 0, 85. Scelta una persona a caso (a) qual è la probabilita che il test sia positivo? [15, 7%] (b) se il test è positivo, qual è la probabilità che la persona sia portatrice o meno della malattia? [ 5, 4%, 94, 6%] Dai risultati ottenuti, cosa si può affermare sull affidabilità del test? Esercizio 3. Un indagine medica su una malattia ha fornito i seguenti dati: la malattia è presente nell 1% della popolazione; la probabilità che, se una persona è malata, il test risulti positivo è p(t P M) = 80%; la probabilità che, se una persona è sana, il test risulti positivo è p(t P S) = 10%. Scelta una persona a caso, qual è la probabilità che il test risulti positivo? Qual è la probabilità che, se il test risulta positivo, la persona sia malata? Qual è la probabilità che, se il test risulta positivo, la persona sia sana? [10, 7%, 7, 5%, 92, 5%] 4
Esercizio 4. Una certa malattia colpisce il 4% degli italiani. Un test clinico ha fornito i seguenti dati: la probabilità che, se una persona è malata, il test risulti positivo è il 90%, mentre il test risulta positivo su soggetti sani nel 5% dei casi. Qual è la probabilità di non soffrire della malattia per una persona il cui test è risultato positivo? [ 57, 1%] Esercizio 5. Nel periodo natalizio tre ragazzi lavorano in un grande magazzino per impacchettare i regali. Riccardo prepara il 40% dei pacchetti, Elena impacchetta il 38% dei regali e Giovanni prepara i pacchi rimanenti. Sappiamo che la probabilità che un pacco preparato da Riccardo abbia l etichetta del prezzo è 0, 76%, la probabiltà che un pacco preparato da Elena non abbia l etichetta del prezzo è 79, 76%, infine la probabilità che un pacco preparato da Giovanni non abbia l etichetta del prezzo è 62%. (a) Qual è la probabilità che ad un regalo acquistato ed impacchettato in questo grande magazzino non sia stata tolta l etichetta del prezzo? [ 16, 36%] (b) Si supponga che un cliente scopra che ad un regalo da lui fatto ad amici ed impacchettato nel grande magazzino, non era stata tolta l etichetta del prezzo. Qual è la probabilità che quel pacco sia stato impacchettato da Riccardo? [ 1, 86%] Esercizio 6. In una comunità il 10% degli individui con oltre 50 anni ha il diabete. La probabilità che un medico diagnostichi il diabete ad un individuo effettivamente malato è il 92%, mentre la probabilità che egli diagnostichi il diabete ad un individuo sano è il 3%. (a) Qual è la probabilità che questo medico diagnostichi il diabete ad un adulto di oltre 50 anni scelto casualmente nella comunità?[11, 9%] (b) Supponendo che ad un individuo di oltre 50 anni della comunità il medico abbia diagnosticato il diabete, qual è la probabilità che non sia malato?[ 22, 69%] Esercizio 7. I laureati presso l Università della città X nell a.a. 2009-2010 si suddividono nelle seguenti percentuali: il 44% sono laureati in Ingegneria, il 36% in Farmacia e il rimanente in Filosofia. Sappiamo che le probabilità che un laureato in Ingegneria, Farmacia e Filosofia trovi lavoro entro un anno sono rispettivamente 90%, 76% e 49%. (a) Qual è la probabilità che un laureato presso l Università della città X nell a.a. 2009-2010 trovi lavoro entro un anno? [76, 76%] (b) Sapendo che un laureato ha trovato lavoro entro un anno, qual è la probabilità che sia laureato in Farmacia? [ 35, 64%] (c) Sapendo invece che un laureato non ha trovato lavoro entro un anno, qual è la probabilità che sia laureato in Filosofia? [ 43, 89%] Esercizio 8. Lo 0, 5% di una popolazione soffre di una determinata malattia M. In un laboratorio analisi l esame del sangue individua la malattia M (quando essa è presente nel paziente) nel 95% dei casi. L esame rileva però anche dei falsi positivi nell 1% dei casi (ovvero, una persona sana risulta positiva all esame con probabilità 0.01). Qual è la probabilità che una persona risultata positiva all esame abbia veramente la malattia M? [ 0.323] Esercizio 9. L ispettore che conduce le indagini per un omicidio è convinto, ad un certo punto dell indagine, che l indagato S sia colpevole al 60%. Arriva una telefonata dei R.I.S. i quali avvisano l ispettore di avere la prova che il colpevole è mancino. I mancini costituiscono il 20% della popolazione e l indagato S è mancino. Come deve modificare ora l ispettore la sua valutazione sulla colpevolezza di S? [0.882] 5